거의 복잡한 다지관

수학에서 거의 복잡한 다지관은 각 접선 공간에 매끄러운 선형 복합 구조를 갖춘 매끄러운 다지관이다.모든 복합다지관은 거의 복합다지관이지만, 복합다지관이 아닌 거의 복합다지관이 있다.거의 복잡한 구조들은 공통 기하학에서 중요한 응용을 가지고 있다.

이 개념은 1940년대 찰스 에레스만과 하인츠 홉프 덕분이다.^[1]

형식 정의

M을 매끄러운 다지관이 되게 하라.M의 거의 복잡한 구조 J는 다지관의 각 접선 공간에 있는 선형 복합 구조물(즉, -1에 제곱하는 선형 지도)이며, 다지관에서 원활하게 변화한다.즉 접선다발에서 벡터다발 $이형성{\displaystyle }$ ${\displaystyle {J\mathrm{}}^{}}$${\displaystyle }$: ${\displaystyle T}$M${\displaystyle }$→ ${\displaystyle T}$ $M {\displaystyle J^{2$$}=-1$$}$과 같은 부드러운 텐서장 $J1,$ 1)을 가지는 것이다.거의 복잡한 구조를 갖춘 다지관을 거의 복잡한 다지관이라고 한다.

M이 거의 복잡한 구조를 인정한다면 그것은 반드시 고른 차원일 것이다.이것은 다음과 같이 볼 수 있다.M이 n차원이라고 가정하고, J : TM → TM이 거의 복잡한 구조라고 하자.J² = -1이면 (상세 J)² = (-1).ⁿ그러나 M이 실제 다지관이라면, det J는 실제 수이므로, M이 거의 복잡한 구조를 가지고 있더라도 n은 반드시 있어야 한다.또한 방향을 잡을 수 있어야 한다는 것을 보여줄 수 있다.

선형대수학에서 쉬운 운동은 어떤 짝수치 벡터 공간도 선형 복합 구조를 인정한다는 것을 보여준다.따라서 균등 치수 다지관은 항상_p² 지점 p에서 J = -1과 같은 지점 tensor의 점(1, 1) 순위 텐서(각 접선 공간의 선형 변환에 불과하다)를 허용한다.이 국소 텐서를 함께 패치하여 전체적으로 정의할 수 있을 때만 점선형 복합 구조가 거의 복잡한 구조를 산출하며, 이 구조는 그 다음에 고유하게 결정된다.이러한 패치 적용 가능성, 따라서 다지관 M에 거의 복잡한 구조의 존재는 접선 번들의 구조 그룹을 GL(2n, R)에서 GL(n, C)로 축소하는 것과 같다.존재 문제는 그때 순전히 대수학적 위상학이며 상당히 잘 이해된다.

예

모든 정수 n에 대해 평탄한 공간 R은²ⁿ 거의 복잡한 구조를 인정한다.An example for such an almost complex structure is (1 ≤ i, j ≤ 2n): ${\displaystyle J_{ij}=-\delta _{i,j-1}}$ for even i, ${\displaystyle J_{ij}=\delta _{i,j+1}}$ for odd i.

거의 복잡한 구조를 인정하는 유일한 구는 S와² S이다⁶.특히 S는⁴ 거의 복잡한 구조(Ehresmann과 Hopf)를 줄 수 없다.S의² 경우, 거의 복잡한 구조는 리만권의 정직한 복잡한 구조에서 나온다.6-sphere, S는⁶ 단위 규범 상상의 옥토니언 집합으로 간주될 때 옥토니언 곱셈으로부터 거의 복잡한 구조를 계승한다; 복잡한 구조를 가지고 있는지에 대한 문제는 하인츠 홉프 다음으로 호프 문제로 알려져 있다.^[2]

거의 복잡한 다지관의 미분위상

벡터 공간 V의 복합 구조물이 V를^C V와⁺ V로⁻ 분해(각각 +i와 -i에 해당하는 J의 어겐스페이스)할 수 있는 것처럼, M의 거의 복잡한 구조물은 복합 탄젠트 번들 TM^C(각 지점의 복합 탄젠트 공간의 벡터 번들)을⁺ TM과 TM으로⁻ 분해할 수 있다.TM의⁺ 한 단면을 유형(1, 0)의 벡터장이라고 하며, TM의⁻ 한 단면은 유형(0, 1)의 벡터장이라고 한다.따라서 J는 복합 접선 번들의 (1, 0) 벡터 필드에서 i에 의한 곱셈을, (0, 1)벡터 필드에 -i에 의한 곱셈에 해당한다.

우리가 코탄젠트 번들의 외부 파워로 차동형 형태를 구축하듯이, 우리는 복합형 코탄젠트 번들(복합형 탄젠트 번들의 이중 공간 번들에 표준적으로 이형화된)의 외부 파워를 구축할 수 있다.거의 복잡한 구조는 r형식의 각 공간의 분해를 유도한다.

${\displaystyle \Oomega ^{r}(M)^{\mathbf {C}}=\bigoplus _{p+q=r}\Oomega^{(p,q)}(M)\,}$

즉, 각 Ω^r(M)^C은 Ω^{(p, q)}(M)의 합으로 분해되는 것을 인정하며, r = p + q가 된다.

어떤 직접 합과 마찬가지로 Ω^r(M)^C에서 Ω까지_p,q^(p,q) 표준 투영 projection이 있다.우리는 또한^r Ω(M)^C과^r+1 Ω(M)을 매핑하는 외부 파생 모델 d도 가지고 있다.^C따라서 우리는 외부 파생상품의 작용을 명확한 유형의 형태로 세분화하기 위해 거의 복잡한 구조를 사용할 수 있다.

${\displaystyle \cHB =\pi _{p+1,q}\put d}$

${\displaystyle {\overline {\pi}=\pi _{p,q+1}\pi d}$

그래서 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \partial}$은(는) 유형의 홀로모르픽 부분을 1씩 증가시키는$$ 지도(p, q)이고,$\$ {\$displaystyle$ {\$overline{\nowline}}}$은(는) 타입의 안티홀로모르픽 부분을 1씩 증가시키는 지도다$$.이러한 연산자를 돌벌 연산자라고 부른다.

모든 투영의 합계가 ID 맵이어야 하므로, 외부 파생 모델이 작성될 수 있다는 점에 유의한다.

${\displaystyle d=\sum _{r+s=p+q+1}\pi _{r,s}\reason d=\computer d=\cdots.}$

통합 가능한 거의 복잡한 구조

모든 복잡한 다지관은 그 자체가 거의 복잡한 다지관이다.국부 홀로모르픽 좌표 $z{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$= x ${\displaystyle {\mu }^{}}$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mu }^{}}$ ${\$^{}\$mu }+iy$^{\$mu$}}}}}}}}에서$$ 지도를 정의할 수 있다.

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}={\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}=-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}$

(π/2의 반시계방향 회전과 같음) 또는

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}=i{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}=-i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}.}$

이 지도가 거의 복잡한 구조를 정의하고 있는지 쉽게 확인할 수 있다.따라서 다지관의 어떤 복잡한 구조는 거의 복잡한 구조를 산출하는데, 이것은 복잡한 구조물에 의해 '유인된다'고 하며, 그 복잡한 구조는 거의 복잡한 구조와 '호환된다'고 한다.

거의 복잡한 구조가 복잡한 구조의 존재를 내포하고 있는 것은 훨씬 덜 사소한 것이며, 일반적으로 사실이 아니다.임의의 거의 복잡한 다지관에서는 거의 복잡한 구조가 어떤 주어진 p 지점에서 위의 표준적인 형태를 취하는 좌표를 항상 찾을 수 있다.그러나 일반적으로 좌표를 구하는 것은 불가능하여 J가 p의 전체 근방에서 표준적인 형태를 취하게 된다.그러한 좌표들이 존재한다면 'J에 대한 국부적 홀로모르픽 좌표'라고 부른다.만약 M이 모든 지점을 중심으로 J에 대한 국부적인 홀로모픽 좌표를 인정한다면, 이 패치는 함께 복잡한 구조를 제공하는 M에 대한 홀로모픽 지도책을 형성하고, 더욱이 J.J는 '통합할 수 있다'고 한다.J가 복잡한 구조물에 의해 유도되면, 그것은 독특한 복합 구조물에 의해 유도된다.

M의 각 접선 공간에 대한 선형 지도 A가 주어진 경우, 즉 A는 순위(1, 1)의 텐서 필드, Nijenhuis 텐서는 다음이 주는 순위 1,2의 텐서 필드다.

${\displaystyle N_{A}(X,Y)=-A^{2}[X,Y]+A([AX,Y]+[X,AY]]-[AX,AY]\,}$

또는 $거의{\displaystyle {}^{}}$ 복잡한 구조 A=J의 ${\displaystyle {일반적}^{}}$인 경우 J$$2${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle I}$ d ${\displaystyle$ J$^{2}=-Id},$

${\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J([JX,Y]+[X,JY]]-[JX,JY]\,}$

오른쪽의 개별 표현은 매끄러운 벡터장 X와 Y의 선택에 따라 다르지만, 왼쪽은 실제로 X와 Y의 점괘 값에만 의존하므로 N이_A 텐서인 것이다.이는 성분 공식에서도 명확하다.

${\displaystyle -(N_{A})_{ij}^{k}=A_{i}^{m}\partial _{m}A_{j}^{k}-A_{j}^{m}\partial _{m}A_{i}^{k}-A_{m}^{k}(\partial _{i})A_{j}^{m}-\partial _{j}A_{i}^{m}).}$

벡터장의 Lie bracket을 일반화한 Frölicher-Nijenhuis bracket으로 볼 때, Nijenhuis tensor N은_A [A, A]의 1/2에 불과하다.

뉴랜더-니렌버그 정리는 N_J = 0인 경우에만 거의 복잡한 구조 J를 통합할 수 있다고 기술하고 있다.위에서 논의한 바와 같이 호환 가능한 복잡한 구조는 독특하다.거의 통합할 수 있는 복잡한 구조의 존재는 복잡한 구조의 존재와 같기 때문에, 이것은 복잡한 구조의 정의로 받아들여지기도 한다.

Nijenhuis 텐서(tensor)의 소멸에 해당하는 몇 가지 다른 기준이 있으며, 따라서 거의 복잡한 구조의 통합성을 점검하는 방법을 제공한다(실제로 이러한 각 기준은 문헌에서 확인할 수 있다).

• 임의의 두(1, 0) 벡터 필드의 Lie Bracket이 다시 유형(1, 0)이 된다.
• ${\displaystyle d=\property +{\bar {\pair }}$
• ${\displaystyle {\bar {\bar}}^{2}=0.}$

이러한 조건들 중 어떤 것이라도 고유한 호환 가능한 복잡한 구조의 존재를 암시한다.

거의 복잡한 구조의 존재는 위상학적 질문이며 위에서 논의한 바와 같이 비교적 쉽게 대답할 수 있다.반면에, 통합 가능한 거의 복잡한 구조의 존재는 훨씬 더 어려운 분석적 질문이다.예를 들어, S가⁶ 궁극적으로 검증되지 않은 주장들의 오랜 역사에도 불구하고, 통합 가능한 거의 복잡한 구조를 인정하는지는 여전히 알려져 있지 않다.부드러움 문제는 중요하다.실제 분석 J의 경우 뉴랜더-니렌버그 정리는 프로베니우스 정리에서 따르며, C^∞(그리고 덜 매끄러운) J의 경우 (정규성 가설이 약해지면서 더 어려운 기법으로) 분석이 필요하다.

호환삼배

Suppose M is equipped with a symplectic form ω, a Riemannian metric g, and an almost complex structure J. Since ω and g are nondegenerate, each induces a bundle isomorphism TM → T*M, where the first map, denoted φ_ω, is given by the interior product φ_ω(u) = i_uω = ω(u, •) and the other, denoted φ_g, is given by the analogous operation for g.이것을 이해한 상태에서, 세 구조(g, Ω, J)는 다음과 같이 다른 두 구조물에 의해 각 구조물을 지정할 수 있을 때 호환 가능한 삼중 구조를 형성한다.

• g(u, v) = Ω(u, Jv)
• Ω(u, v) = g(Ju, v)
• J(u) = (φ_g)(⁻¹φ)(φ_ω)).

이러한 각 방정식에서, 오른쪽의 두 구조물은 해당 구조가 지정된 유형의 구조를 산출할 때 양립가능하다고 불린다.예를 들어 Ω(•, J•)이 리만 메트릭인 경우에만 Ω과 J가 호환된다.Ω과 호환되는 거의 복잡한 구조의 M의 묶음에는 수축 가능한 섬유, 즉 동일성 형태의 제한과 호환되는 접선 섬유에 있는 복잡한 구조물이 있다.

Ω 형태의 기본 특성을 사용하면 호환 가능한 거의 복잡한 구조 J가 리만 미터법 Ω(u, Jv)을 위한 거의 케흘러 구조임을 알 수 있다.또한, J가 통합 가능한 경우, (M, Ω, J)는 Kahler 다지관이다.

이 세 쌍은 단일 군집단의 3개 중 2개 재산과 관련이 있다.

일반화된 거의 복잡한 구조

나이젤 히친은 그의 제자인 마르코 구알티에리와 길 카발칸티의 박사학위 논문에서 정교하게 기술된 다지관 M에 일반화된 거의 복잡한 구조의 개념을 소개했다.일반적인 거의 복잡한 구조는 복잡한 접선 번들 TM의 각 섬유에 대한 반차원 아공간을 선택하는 것이다.일반화된 거의 복잡한 구조는 복합 탄젠트 및 등방성 번들의 직접 합계의 각 섬유에 대한 반차원 등방성 아공간을 선택하는 것이다.두 경우 모두 서브번들과 그것의 복잡한 결합의 직접 합계가 원래의 묶음을 산출할 것을 요구한다.

거의 복잡한 구조물은 반차원 아공간이 Lie Bracket 아래 닫히면 복잡한 구조물에 통합된다.일반화된 거의 복잡한 구조는 Courant 브래킷 아래에 서브 스페이스를 닫으면 일반화된 복합 구조와 통합된다.더 나아가 이 반차원 공간이 어디에서도 사라지는 순수한 스피너의 전멸자라면 M은 일반화된 칼라비--이다.야우 다지관.

참고 항목

• 거의 쿼터니온 다지관
• Chen class – 대수 벡터 번들에 대한 특성 클래스
• 프롤리허-니젠후이스 브라켓
• Kahler 다지관 – 리만니안, 복잡하고 동감적인 구조를 가진 다지관
• 포아송 다지관 – 구조, 차동 기하학
• 리자 다지관
• 심플렉틱 매니폴드 – 차동 기하학 내 매니폴드 유형

참조

• Newlander, August; Nirenberg, Louis (1957). "Complex analytic coordinates in almost complex manifolds". Annals of Mathematics. Second Series. 65 (3): 391–404. doi:10.2307/1970051. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970051. MR 0088770.
• Cannas da Silva, Ana (2001). Lectures on Symplectic Geometry. Springer. ISBN 3-540-42195-5. 호환 가능한 세 쌍, Kahler 및 Emitherian 매니폴드 등에 대한 정보
• Wells, Raymond O. (1980). Differential Analysis on Complex Manifolds. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0. 표준 기본 재료를 소개하는 짧은 섹션.
• Rubei, Elena (2014). Algebraic Geometry, a concise dictionary. Berlin/Boston: Walter De Gruyter. ISBN 978-3-11-031622-3.
• Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre (1953). "Groupes de Lie et puissances réduites de Steenrod". American Journal of Mathematics. 75 (3): 409–448. doi:10.2307/2372495. JSTOR 2372495. MR 0058213.