핵공간

수학에서 핵 공간은 유한 치수 유클리드 공간의 일반화로 볼 수 있는 위상학적 벡터 공간이며, 이들의 바람직한 특성 중 상당수를 공유할 수 있다.그러나 핵 공간은 유한 치수 유클리드 공간의 또 다른 일반화인 힐버트 공간과는 상당히 다르다.그것들은 알렉산더 그로텐디크에 의해 소개되었다.

핵 공간의 위상은 단위 공의 크기가 급격히 감소하는 세미노름족에 의해 정의될 수 있다.어떤 의미에서 원소가 "매끄러운" 벡터 공간은 핵 공간인 경향이 있다. 핵 공간의 대표적인 예는 소형 다지관의 매끄러운 기능 집합이다.모든 유한차원 벡터 공간은 핵이다.바나흐 공간은 유한한 차원 외에는 핵인 공간이 없다.실제로, 이것과 어떤 종류의 반대는 종종 사실이다: 만약 "자연적으로 발생하는" 위상학적 벡터 공간이 바나흐 공간이 아니라면, 그것은 핵일 가능성이 충분히 있다.

원래 동기:슈워츠 커널 정리

핵 공간 이론의 상당 부분은 알렉산더 그로텐디크가 슈워츠 커널 정리를 조사하면서 전개하여 (그로텐디크 1955)에 발표하였다.우리는 이제 이러한 동기를 설명한다.

For any open subsets ${\displaystyle \Omega _{1}\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ and ${\displaystyle \Omega _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ the canonical map ${\displaystyle {\mathcal$${D}^{\premy }\left(\Oomega _{1}\times \Oomega _{2}\right)\l_{b}\left(C_{c}^{\infty }\lift(\Oomega _{2}\right);;$${\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$ is an isomorphism of TVSs (where ${\displaystyle L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);$${\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$ has the topology of uniform convergence on bounded subsets) and furthermore, both of these spaces are canonically TVS-isomorphic to ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right){\widehat {\otimes }}{\mathc$$al{D}^{\premy }\left(\$${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\_\mathrm{}}_{}}$${2}\오른쪽)}($D${\displaystyle {}^{}}$Ω 1${\displaystyle {}_{}}$) ${\$premium }\$left(\Oomega _{1}\오른쪽)$이 핵이기$$ 때문에 이 텐서 제품은 주입 텐서 제품과 투사 제품이다.^[1]요컨대 슈워츠 커널 정리는 다음과 같이 기술하고 있다.

이 모든 TVS 이형성들이 표준적인 것이다.

This result is false if one replaces the space ${\displaystyle C_{c}^{\infty }}$ with ${\displaystyle L^{2}}$ (which is a reflexive space that is even isomorphic to its own strong dual space) and replaces ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }}$ with the dual of this ${\displaystyle L$$^{2}}$ 공간$$.^[2]왜 그렇게 좋은 결과가 분포와 시험 기능의 공간에는 포함되지만 힐버트 $공간{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ L$^{2$}}$$(일반적으로 "nicest" TV 중 하나로 간주되는)에는 해당되지 않는가?이 질문은 그로텐디크가 핵 공간, 핵 지도, 그리고 주입 텐서 제품을 발견하도록 이끌었다.

기하학으로부터의 동기

동기부여의 또 다른 예는 기하학과 부드러운 다지관 이론에서^{[3]appendix 2} 직접 나온다.부드러운 다지관 $M{\displaystyle }$, ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M,N$$}$ 및 국소적으로 볼록한 Hausdorff 위상 벡터 공간인 경우, 다음과 같은 핵 공간의 이형성이 있다.

• $C^{\displaystyle C^{\inful }(M)\otimes C^{\inful }\cong C^{\inful }(M\time N)}}$
• ${\displaystyle C^{\nothy}(M)\otimes F\cong \{f:M\to F:f{\text{은 매끈매끈하게 }}}}$

$C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle C^{\inflt }(\mathb {R}$ )에 대한 표준 텐서 제품을 벡터 공간으로 사용$$, 함수

${\displaystyle \sin(x+y):\mathb {R} ^{2}\to \mathb {R}}$

$f$에${\displaystyle }$대한 ${\displaystyle {}^{}}$ $f{\displaystyle }$${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ g${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle f\otimes$ g$},$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \in }$ C ∞ (${\displaystyle R\mathbb{}).}$ ${\displaystyle f,g\in C^{\infit }(\mathb {R})$로 표현할 수 없음$.$ 이것은$$ 세트의 엄격한 포함이 있음을 보여주는 예를 제공한다.

${\displaystyle C^{\nothy }(\mathb {R} )\otimes C^{\nothy }(\mathb {R} )\subset C^{\nothy }(\mathb {R} ^{2}).}$

정의

이 절에는 핵 공간에 대한 보다 일반적인 정의 몇 가지가 열거되어 있다.아래의 정의는 모두 동등하다.일부 저자들은 핵 공간 역시 프레셰트 공간이 되어야 한다는 조건을 추가함으로써 핵 공간에 대한 보다 제한적인 정의를 사용한다는 점에 주목한다.(이것은 공간이 완성되었고 위상은 셈할 수 있는 세미노름 계열에 의해 주어진다는 것을 의미한다.)

그로텐디크가 핵 공간을 정의하기 위해 사용한 정의는 다음과 같다.^[4]

정의 0: $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간으로 한다$$.Then ${\displaystyle X}$ is nuclear if for any locally convex space ${\displaystyle Y,}$ the canonical vector space embedding ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ is an embedding of TVSs whose image is dense in the codomain (where the domain ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$ is the projective tensor product and the codomain is the space of all separately continuous bilinear forms on ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }}$ endowed with the topolog등가 하위 집합에 대한 균일한 수렴 y).

우리는 어떤 배경을 떠올리는 것으로 시작한다.국부적으로 볼록한 위상 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에는 일부 세미노름 계열에 의해 정의된 위상이$$ 있다.어떤 세미노름에 대해서도 단위 공은 원점의 닫힌 볼록 대칭 근방이며, 반대로 0의 닫힌 볼록 대칭 근방은 어떤 세미노름의 단위 공이다.(복잡한 벡터 공간의 경우 "대칭" 조건도 "균형"으로 대체해야 한다.)$p{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $p}$이(가) X${\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$의 세미노름인 경우$,$$$X p {\$displaystyle$ $X_{p}}$은 $세미노름{\displaystyle }$ p${\displaystyle .}$ {\$displaystyp$ p$.}$ $자연지도{\displaystyle X_{}}$→ $\to X_{p}}($필수주사하지 않음)를 사용하여$$ 보조 규범위를 완료하여 $주어진{\displaystyle {}_{}}$ 바나흐 공간을 나타낸다.

If ${\displaystyle q}$ is another seminorm, larger than ${\displaystyle p}$ (pointwise as a function on ${\displaystyle X}$), then there is a natural map from ${\displaystyle X_{q}}$ to ${\displaystyle X_{p}}$ such that the first map factors as ${\displaystyle X\to X_{$$q}\to X_{p}.$$}}$ 이 지도들은$$ 항상 연속적이다.공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$는 더 강한 조건이 유지될 때 핵이다$$. 즉, 이 지도들이 핵 운영자라는 것이다.원자력 사업자가 되는 조건은 미묘하며, 더 자세한 내용은 해당 기사에서 확인할 수 있다.

정의 1: 핵 공간은 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간으로서, $세미노름{\displaystyle }$ p ${\displaystyle$ $q$$}$에 대해 더 큰 세미노름 ${\displaystyle q_{}}$ ${\$$displaystyle$ q$}$을 찾을 수 있으므로 자연 지도 X $q$ →$$ $displaysty X_{q}\$to_{p$}}}}}}}}$이 핵이다.

비공식적으로, 이것은 우리가 어떤 세미놈의 유닛볼을 받을 때마다 그 안에 있는 다른 세미놈의 "much small" 유닛볼을 찾을 수 있거나, 0의 동네는 "much small" 동네를 포함하고 있다는 것을 의미한다.모든 세미노름 p ${\displaystyle p}$에 대해 이 조건을 확인할 필요는 없다$;$ 위상을 생성하는 세미노름 집합, 즉 위상의 하위 기반인 세미노름 집합에 대해 이 조건을 확인하는 것으로 충분하다.

임의의 바나흐 공간과 원자력 사업자를 이용하는 대신에, 우리는 힐버트 공간과 추적 클래스 사업자의 관점에서 정의를 내릴 수 있는데, 이것은 이해하기 쉽다. (힐버트 공간에서는 핵 사업자를 추적 클래스 사업자로 부르는 경우가 많다.$우리$는 X ${\displaystyle p_{}}$ ${\$이 힐버트 공간이라면 세미노름 p ${\$displaystyle $p}$이(가) 힐버트 공간이라고 말할 것이며, $또는{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$이(가) X${\displaystyle .}$ ${\displaysty X.}$의 sesquilinite 형태에서 온다면 동등하게 말할 것이다.

정의 2: 핵 공간은 힐베르트 $세미노름{\displaystyle }$ p$${\$displaystyle p}$에 대해 더 큰 힐베르트 세미노름 q {\$displaystyle q$}을(를) ${\displaystyle {찾을}_{}}$ 수 있도록$$ 위상 벡터 $공간이다.$$}}}$은 트레이스 클래스다.

일부 저자들은 추적 클래스 연산자보다 힐버트-슈미트 연산자를 더 선호한다.추적 등급 운영자는 힐버트-슈미트이고, 두 힐버트-슈미트 운영자의 제품은 추적 등급이기 때문에 이것은 거의 차이가 없다.

정의 3: 핵 공간은 힐베르트 세미노름 $p{\displaystyle }${\$displaystyle p}$에 대해 더 큰 힐베르트 세미노름 $q{\displaystyle }$ {\$displaystyle q$}을(를) ${\displaystyle {찾을}_{}}$ 수 있도록$$ 위상 벡터 $공간이다.$$}}}$은(는) 힐베르트-슈미트다.

만일 우리가 임의의 국지적으로 볼록한 위상 벡터 공간에서 바나흐 공간까지 원자력 사업자의 개념을 기꺼이 사용하고자 한다면 다음과 같이 더 짧은 정의를 내릴 수 있다.

정의 4: 핵 공간은 국소적으로 볼록한 위상학적 벡터 공간이며, 따라서 $세미노름{\displaystyle }$ p$[\displaystyle p]$의 $경우{\displaystyle }$X → ${\displaystyle X_{}}$ p$[\$ X$\to X_{p}}}}$의 자연 지도가 핵이다.

정의 5: 핵 공간은 바나흐 공간에 대한 연속적인 선형 지도가 핵일 정도로 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간이다.

그로텐디크는 다음과 유사한 정의를 사용했다.

정의 6: 핵 공간은 국소적으로 볼록한 위상 벡터 $공간{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$이며, 따라서$$ 국소적으로 볼록한 위상 벡터 $공간{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$의 투영형에서 $A{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle A$$}$ 및 $B$}의 주입형 텐서 곱에 이르는 자연$$ 지도가 이형이다$$.

사실 이것은 Barnach $공간{\displaystyle }$ B${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ B$,}$에 대해서만, 또는 절대 수렴 시리즈의 단일$$ Banach 공간 ${\displaystyle {\ell \mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$에 대해서도 확인하기에 충분하다.

특성화

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 지역적으로 볼록한 공간이 되게 하라.그 후 다음과 같다.

1. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 핵이다.
2. for any locally convex space ${\displaystyle Y,}$ the canonical vector space embedding ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ is an embedding of TVSs whose image is dense in the codomain;
3. for any Banach space ${\displaystyle Y,}$ the canonical vector space embedding ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$ is a surjective isomorphism of TVSs;^[5]
4. for any locally convex Hausdorff space ${\displaystyle Y,}$ the canonical vector space embedding ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$ is a surjective isomorphism of TVSs;^[5]
5. $\ell {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle N}$, ${\displaystyle X}$$)$에 있는 ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$N , X${\displaystyle }$$]$$${\$displaystyle$\$ell ^{1$$}[\$$mathb {N},X$$]$의 표준 내장형은 TVS의 과대망상 이형성이다.^[6]
6. $\ell {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}{\stackrel{}{}}_{}}$^ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ^ ^ ${\displaystyle {}_{}}$ →${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle\ell ^{1}{\widehat {\otimes }{\pi$ \$x\to \1}{1}{\widehat {\otimes }{\epsilon }X}$의 표준지도는$$ 굴절성 TVS-isomphismolismoliscoliscoliscoliscolism.^[6]
7. 모든 세미노름 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에 대해 우리는$$ 더 큰 세미노름 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$을(를) 찾을 수 있으므로 자연지도$$ $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$→ ${\displaystyle X_{}}$ p ${\$이(가) 핵이다.
8. 세미노름 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에 대해 더 큰 세미노름 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$을(를) 찾을 수 있으므로 표준 주입 $X{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle p_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$→ X$q_{p}^{p}^{\premium$ }}{$q}^{\premium }}}}}}}}}}$이 핵이고$$;^[5]
9. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 토폴로지는 힐버트 세미노름 패밀리에 의해 정의되며$$, 힐버트 세미노름 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$에 대해 더$$ 큰 힐버트 세미노름 $q{\displaystyle }$ ${\\$$displaystyle$ $q}$을(를) 찾을 수 있으므로$$, 자연 $지도{\displaystyle {}_{}}$ X${\displaystyle {}_{}{q}_{}}$→ $X_{q}\$p$}}}}}}}\p$}}}}}}}에 대한 추적 등급;
10. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$에는 힐버트 세미노름 p ${\displaystyle$ $p$$}$에 대해$$ 더 큰 힐버트 세미노름 $q$ {\$displaystyle$ q${\displaystyle {}_{}}$을(를$)$ 찾을 수 있도록$$ 힐버트-슈미트 $계열$에 $의해{\displaystyle {}_{}}$ 정의된$$위상이 $있다$.
11. 모든 세미노름 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에 대해 X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$ X$\to X_{p}}$의 자연$$ 지도가 핵이다.
12. 바나흐 공간에 대한 모든 연속 선형 지도는 핵이다.
13. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 연속 세미놈은 태핵이다$$.^[7]
14. $′{\$의 모든 등거리 부분 집합은 핵융합형이다$$.^[7]
15. Banach 공간에서 단위 공을 등거리 세트로 변환하는$$ $X{\displaystyle {}^{}}$ $′{\$ X$^{\prime}}}$까지의 모든 선형 지도는 핵이다.^[5]
16. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 완성은 핵 공간이다$$.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 프리셰트 공간인 경우 다음 사항은 동일하다.

1. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 핵이다.
2. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 요약 순서는 절대적으로 요약할$$ 수 있다.^[6]
3. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 강력한 이중은 핵이다$$.

충분한 조건

• 국지적으로 볼록한 하우스도르프 공간은 완성도가 핵일 경우에만 핵이다.
• 핵 공간의 모든 하위 공간은 핵이다.^[8]
• 핵 공간의 모든 하우스도르프 지분의 공간은 핵이다.^[8]
• 핵 공간의 셀 수 있는 순서의 귀납적 한계는 핵이다.^[8]
• 핵 공간의 셀 수 있는 순서의 국소적으로 볼록한 직접 합은 핵이다.^[8]
• 핵 프레셰트 공간의 강력한 이중성은 핵이다.^[9]
  • 일반적으로 핵 공간의 강한 이중성은 핵이 아닐 수도 있다.^[9]
• 핵이라는 강력한 이중성을 가진 프레셰트 공간은 그 자체로 핵이다.^[9]
• 핵공간 가족의 한계는 핵이다.^[8]
• 핵 공간 가족의 산물은 핵이다.^[8]
• 핵 공간의 완성은 핵이다(그리고 실제로 핵의 완성이 핵인 경우 그리고 핵 공간은 핵 공간은 핵이다.
• 두 개의 핵 공간의 텐서 생산물은 핵이다.
• 두 개의 핵 공간의 완성뿐만 아니라 투영적인 텐서 제품은 핵이다.^[10]

$X{\displaystyle }$${\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle$ X$,Y,}$ 및$$ $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$이(가) 핵인$$ 로컬 볼록 공간이라고$$ 가정합시다.

• $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$이(${\displaystyle 가}$) 핵이라면 단순 수렴의 위상이 부여된 연속$$ 선형 지도 L$l{\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle X_{}}$,${\displaystyle }$N ) $displaystyle L_{\sigma }(X,N)}$의 벡터 공간은 핵 공간이다.^[9]
• If ${\displaystyle X}$ is a semi-reflexive space whose strong dual is nuclear and if ${\displaystyle N}$ is nuclear then the vector space of continuous linear maps ${\displaystyle L_{b}(X,N)}$ (endowed with the topology of uniform convergence on bounded subsets of ${\displaystyle X}$ ) is a nuclear s보조를 ^[11]맞추다

예

$d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$이(가) 카디널리티 집합인 경우, ${\displaystyle {}^{}}$ d$${\$dyplaystyle \mathb {R}$^{$d}$ $및$ ${\displaystyle {}^{}}$ d$${\$displaystyle \mathb {C} ^{d}}($제품 위상 포함) 모두 핵 공간이다.^[12]

핵 공간의 비교적 단순한 무한 치수 예로는 모든 급감하는 시퀀스 $c{\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}}$c ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle )}$의 공간이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle c=\좌측(c_{1},c_{2},\ldots \우측).}("$급격한 감소")는 ${\displaystyle {}_{}}$ ($){n$$n$$}p$($n$$)$이 모든 다항 $p$에 대해 경계됨을$$ 의미한다$.$$}}$ ) 각 실수의 $s{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ s$,}$에 대해 by$$$$ ${\displaystyle \cdot {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$을(를) 기준으로 표준 $\Vert {\displaystyle }$ ‖을 정의할 수 있다.

만약 이러한 규범의 완성은 Cs,{\displaystyle C_{s},} 때마다 그것 ≥지 마,{\displaystyle s\geq지 마,}과 이 핵은 언제나의 을 그 다음에는 C신규 → Ct{\displaystyle C_{s}\to C_{t}에서 자연스러운 지도};t+1{\displaystyle s>, t+1}본질적으로 때문에 이 시리즈 ∑ nt s−{\display 있다.스타일$$그러면 $\sum$ n$^{t-s}$는 절대적으로 수렴된다$$.In particular for each norm ${\displaystyle \ \,\cdot \,\ _{t}}$ this is possible to find another norm, say ${\displaystyle \ \,\cdot \,\ _{t+1},}$ such that the map ${\displaystyle C_{t+2}\to C_{t}}$ is nuclear.그래서 공간은 핵이다.

• 어떤 소형 다지관에서도 매끄러운 기능의 공간은 핵이다.
• 모든 주문의 파생상품이 급격히 감소하고 있는$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대한 부드러운 기능의 슈워츠 공간은 핵 공간이다.
• 복잡한 평면에 있는 전체 홀로모픽 기능의 공간은 핵이다.
• 분포 $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{\mathrm{}}}$, ${\displaystyle {\d}^{\d$}{\mathcal$}}$의 강한$$ 이중 D${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathcal$ {$D},}$의 공간은 핵이다$$.^[11]

특성.

핵 공간은 여러 면에서 유한한 차원 공간과 유사하며 많은 좋은 성질을 가지고 있다.

• 모든 유한차원 하우스도르프 공간은 핵이다.
• 프레셰트 공간은 그것의 강한 이중성이 핵일 경우에만 핵이다.
• 핵 공간의 모든 경계 부분 집합은 사전 컴팩트하다(공간 완료 시 집합의 닫힘이 콤팩트할 경우 집합이 사전 컴팩트하다는 점을 상기한다).^[13]이것은 하이네-보렐 정리와 유사하다.이와는 대조적으로 무한 치수 규범 공간에는 이러한 특성이 없다(유한 치수 공간은 그러하지만).
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 준완전(즉, 모든 폐쇄 및 경계 하위 집합이 완료됨) 핵 공간인$$ 경우 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 하이네-보렐 속성을 갖는다$$.^[14]
• 핵 준완전 철책 공간은 몬텔 공간이다.
• 핵 공간의 이중 부분 집합의 닫힌 등가 부분 집합은 콤팩트한 측정 가능 집합이다(강력한 이중 위상의 경우).
• 모든 핵 공간은 힐버트 공간의 생산물의 하위 공간이다.
• 모든 핵 공간은 힐베르트의 규범들로 구성된 반원형의 기초를 인정한다.
• 모든 핵 공간은 슈워츠 공간이다.
• 모든 핵 공간에는 근사 특성이 있다.^[15]
• 핵 공간의 폐쇄된 하위 공간에 의한 모든 하위 공간과 지분의 공간은 핵이다.
• $만일{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A$}이$$(가) $핵$이고 B$${\$displaystyle$B}이(가) 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간이라면$$, $A$와 B의 투사 텐서 곱$[\displaystyle B}$에서 주입$$ 텐서 곱까지의 자연도는 이형성이다.대략적으로 이것은 텐서 제품을 정의하는 합리적인 방법이 하나밖에 없다는 것을 의미한다.이 특성은 핵 공간 $A{\displaystyle .}$ ${\displaystyle A$의 특성을 나타낸다$.$$}$
• 위상학적 벡터 공간에 대한 측정 이론에서, 기본 정리는 핵 프레셰트 공간의 이중에서 어떤 연속적인 실린더 세트 측정치가 자동으로 라돈 측정치까지 확장된다고 명시한다.위상 벡터 공간에 실린더 세트 측정치를 구성하는 것이 종종 쉽기 때문에 유용하지만, 라돈 측정치가 아닌 한(예를 들어, 일반적으로 계산적으로 첨가할 수 있는 것도 아님) 대부분의 용도에 적합하지 않다.

커널 정리

핵 공간 이론의 상당 부분은 알렉산더 그로텐디크가 슈워츠 커널 정리를 조사하면서 전개하여 (그로텐디크 1955)에 발표하였다.우리는 다음과 같은 정리를 일반화했다.

슈워츠 커널 정리:^[9]Suppose that ${\displaystyle X}$ is nuclear, ${\displaystyle Y}$ is locally convex, and ${\displaystyle v}$ is a continuous bilinear form on ${\displaystyle X\times Y.}$ Then ${\displaystyle v}$ originates from a space of the form ${\displaystyle$$X_{A^{\prime }}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y_{B^{\prime }}^{\prime }}$ where ${\displaystyle A^{\prime }}$ and ${\displaystyle B^{\prime }}$ are suitable equicontinuous subsets of ${\displaystyle X^{\prime }}$ and ${\displaystyle Y^{\prime }.}$ Equivalently, ${\displa$$ystyle v}$은(는) 형식이며,

where ${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)\in \ell ^{1}}$ and each of ${\displaystyle \left\{x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },\ldots \right\}}$ and ${\displaystyle \left\{y_{1}^{\prime },y_{2}^{\prime },\ldots \right\}}$ are eq요염한또한 이러한 시퀀스는 각각$$ $X{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {A{}^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{\mathrm{}}^{}}$ $′{\$과 $Y{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {B{}^{}}_{}^{}}$ ′${\displaystyle {}_{}^{}}$′${\displaystyle {{}^{}}_{\mathrm{}}^{}}$,, ${\display Y_{B^{prime }}}$에서 null 시퀀스(즉, 0으로 수렴)로 취할 수 있다.

보크너-민로스 정리

A continuous functional ${\displaystyle C}$ on a nuclear space ${\displaystyle A}$ is called a characteristic functional if ${\displaystyle C(0)=1,}$ and for any complex ${\displaystyle z_{j}{\text{ and }}x_{j}\in A,}$ ${\displaystyle j,k=1,\ldots ,n,}$$$

핵 공간 $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle A$,}에 대한 특성 기능을 부여하면, 보크너-미네로스 정리(살로몬 보치너와 로버트 아돌포비치 민로스 이후)는 주어진$$ 이중 공간 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle A^{\preme}$에 해당하는 확률 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\\\displaystylease μ}$의 존재와 고유성을 보장한다.

이것은 역 푸리에 변환을 핵공간으로 확장시킨다.

특히 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 핵 공간인 경우

where ${\displaystyle H_{k}}$ are Hilbert spaces, the Bochner–Minlos theorem guarantees the existence of a probability measure with the characteristic function ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}\ y\ _{H_{0}}^{2}},}$ that is, the existence of the Gaussian measure on the dual space.이러한 조치를 백색 소음 대책이라고 한다.$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 슈워츠 공간인$$ 경우 해당 랜덤 요소는 무작위 분포가 된다.

강한 핵 공간

강한 핵 공간은 국소적으로 볼록한 위상학적 벡터 공간으로서, 어떤 세미노름 $p{\displaystyle }${\$displaystyle q$$}$에 대해 더 큰 $세미노름{\displaystyle }$ q ${\displaystyle q$${\displaystyle {}_{}}$이 존재하므로 $자연지도{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ q$$→ $X_{q}\to_{p}}}}}}$는 강한 핵 공간이다$$.

참고 항목

• 보조 규범 공간
• 프레드홀름 커널
• 주입 텐서 제품
• 국소 볼록형 위상 벡터 공간 – 볼록형 오픈세트로 정의된 위상형 벡터 공간
• 원자력 사업자
• 투영 텐서 제품
• 고정된 Hilbert 공간 – 기능 분석에서 "경계"와 연속적인 고유값을 연결하는 시공
• 트레이스 클래스
• 위상 벡터 공간 – 근거리 개념의 벡터 공간

참조

참고 문헌 목록

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