게이지 이론(수학)

수학, 특히 미분 기하학, 수학적 물리학에서 게이지 이론은 벡터 번들, 주체 번들, 섬유 번들에 대한 연결에 대한 일반적인 연구다. 수학의 게이지 이론은 게이지 대칭을 인정하는 필드 이론인 물리학의 게이지 이론과 밀접하게 연관되어 있는 개념과 혼동해서는 안 된다. 수학 이론에서 수학 이론은 개념이나 현상의 집합에 대한 일반적인 연구를 캡슐화하는 수학적 이론을 의미하지만, 물리적인 의미에서 게이지 이론은 어떤 자연 현상의 물리적 모델이다.

수학에서 게이지 이론은 일반적으로 게이지이론 방정식의 연구와 관련이 있다. 이것들은 벡터 번들이나 주 번들의 연결이나 벡터 번들의 단면을 포함하는 미분 방정식들이며, 따라서 게이지 이론과 기하학적 분석 사이에 강한 연관성이 있다. 이러한 방정식은 종종 물리적으로 의미 있는 경우가 많아 양자장 이론이나 끈 이론에서 중요한 개념에 해당하지만 중요한 수학적인 의의도 가지고 있다. 예를 들어, 양-밀스 방정식은 주요 다발의 연결을 위한 부분 미분 방정식의 시스템이며, 이러한 방정식에 대한 물리학 용액에서 인스턴트온으로 알려진 고전적 장 이론의 운동 방정식에 대한 진공 해법에 해당한다.

게이지 이론은 매끄러운 다지관의 새로운 불변성 구성, 하이퍼켈러 다지관과 같은 이국적인 기하학적 구조의 구성과 벡터 다발과 일관적인 피복의 모듈리 공간과 같은 대수 기하학에서 중요한 구조에 대한 대체적 설명을 제공하는 데 이용된다는 것을 발견했다.

역사

게이지 이론은 고전적인 전자성을 기술하는 맥스웰 방정식의 공식화만큼 그 기원을 가지고 있는데, 이것은 원 그룹을 구조로 묶은 게이지 이론으로 표현될 수도 있다. Paul Dirac의 자기 단면체와 상대론적 양자역학에 대한 연구는 다발과 연결이 양자역학의 많은 문제를 표현하는 올바른 방법이라는 생각을 장려했다. 수학적 물리학의 게이지 이론은 소위 양-밀스 게이지 이론에 대한 로버트 밀스와 천-닝 양의 정석적인 연구와 함께 중요한 연구 분야로 대두되었는데, 이것은 이제 입자 물리학의 표준 모델을 뒷받침하는 근본적인 모델이다.^[1]

게이지 이론의 수학적 연구는 4차원의 리만 다지관에 대한 자기이중성 방정식에 대한 마이클 아티야, 이사도어 싱어, 나이젤 히친의 연구에 그 기원을 두고 있다.^[2][3] $본{\displaystyle }$ 연구에서는 유클리드 공간에 대한 자기 이중 연결(인스턴트)의 모듈리 공간을 연구하였고, $여기$서 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle k}$은 양의 정수 매개변수인 치수 8 k - ${\displaystyle 3}$ ${\$$displaystyle 8k-3}$인 것으로 나타났다. 이것이 발견된 사건과 BPST instantons, 4차원의 k=1{\displaystyle k=1}과 그러한 instantons 5매개 변수의 선택에 의해 정의되는 Yang–Mills한 방정식이다.에 진공 솔루션의 물리학자들을 연결, 그 중심 z∈ R4{\displaystylez\in \mathbb{R}^{4}}와 규모 ρ ∈ R>0{\displaystyle. \r$ho{\displaystyle \mathrm{}}$$\in \mathb$ {${\displaystyle \mathrm{R}}$$} _${>$0}$${\displaystyle }$8${\displaystyle }$- ${\displaystyle 3}$ = 5 ${\displaystyle 8-3=$5$$} - 차원 모듈리 공간에 해당된다 BPST 인스턴스(inston)가 오른쪽에 묘사되어 있다.

비슷한 시기에 아티야, 리처드 워드는 복잡한 사영 공간에 대한 self-duality 방정식에 대한 솔루션과 대수 다발 사이의 연결 고리를 발견했다 CP3{\displaystyle \mathbb{CP}^{3}}.[4]또 다른 의미 있는 조기 발견이 개발의 ADHM 건설에 의해 아티야, 블라디미르 드린 펠트, 히친, 특보와 류.리마닌.^[5] 이 구조는 순수 선형 대수 $데이터$에서 $공간$ R 4 {\$displaystyle \mathb${R}$^4}$에 대한 반자기이중 방정식의 해답을 허용했다.

수학적 게이지 이론의 개발을 장려하는 중요한 발전은 1980년대 초에 일어났다. 이때 리만 표면에 대한 양-밀스 방정식에 관한 아티야와 라울 보트의 중요한 연구는 게이지 이론적 문제들이 흥미있는 기하학적 구조를 발생시킬 수 있다는 것을 보여주었고, 무한 차원 모스 지도, 등가변 모스 이론, 게이지 이론과 대수 기하학의 관계 개발에 박차를 가했다.^[6] 기하학적 분석에서 중요한 분석 도구는 중요한 콤팩트성 결과를 증명하는 연결과 곡률의 분석 특성을 연구한 카렌 울렌벡에 의해 이 시기에 개발되었다.^[7] 이 분야에서 가장 중요한 진보는 사이먼 도날드슨과 에드워드 비튼의 업적으로 인해 일어났다.

도날드슨은 현재 도날드슨 불변제로 알려진 4개의 다지관의 새로운 불변기를 구성하기 위해 대수 기하학과 기하학적 분석 기법의 조합을 사용했다.^[8][9] 이러한 불변제들로, 매끄러운 구조를 인정하지 않는 위상학적 다지관의 존재나, 유클리드 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 많은 뚜렷한 매끄러운 구조의 존재와 같은 새로운 결과를 증명할 수 있었다$$. 이 작품으로 도날드슨은 1986년 필즈상을 받았다.

위튼은 체르누스-시몬스 이론에서 발생하는 양을 3차원으로 묶어 노트의 불변인 존스 다항식(Jones polyomial)과 연관시킴으로써 위상학적 불변성을 기술하는 게이지 이론의 힘을 유사하게 관찰했다.^[10] 이 작품과 도날드슨 불변성의 발견은 물론 플로어 호몰로지상의 안드레아스 플로어의 참신한 작품도 위상학적 양자장 이론의 연구에 영감을 주었다.

다지관의 불변성을 정의하기 위한 게이지 이론의 힘이 발견된 이후, 수학 게이지 이론의 분야는 대중적으로 확대되었다. 세이베르크-위튼 불변제, 바파-위튼 불변제 등 더 많은 불변제가 발견되었다.^[11][12] 대수 기하학과의 강한 연결은 도날드슨, 울렌벡, 그리고 고바야시-에 있는 신퉁 야우의 연구로 실현되었다.Hitchin 서신은 양-밀스의 안정적인 벡터 묶음 연결과 관련된 것이다.^[13][14] 나이젤 히친과 카를로스 심슨의 힉스 묶음 연구는 게이지 이론에서 발생하는 모듈리 공간은 하이퍼켈러 다지관과 같은 이국적인 기하학적 구조와 히친 시스템을 통한 통합형 시스템과의 연계를 가질 수 있다는 것을 보여주었다.^[15][16] 끈 이론과 거울 대칭에 대한 링크가 실현되었는데, 여기서 게이지 이론은 동질 거울 대칭 추측과 AdS/CFT 대응의 표현에 필수적이다.

기본 관심 대상

게이지 이론에서 기본적인 관심 대상은 벡터 번들과 주요 번들에 대한 연결이다. 이 절에서는 이러한 공사에 대해 간략히 기억하고, 자세한 내용은 해당 공사에 대한 주요 기사를 참조하십시오. 여기서 설명한 구조는 미분 기하학 문헌 내에 표준으로 되어 있으며, 게이지이론적 관점에서 주제에 대한 소개는 도날드슨과 피터 크론하이머의 저서에서 찾아볼 수 있다.^[17]

주 번들

게이지 이론에서 연구의 중심 대상은 주요 다발과 벡터 다발이다. 연구할 대상의 선택은 본질적으로 임의적인데, 그 사이를 지나갈 수도 있지만, 주된 번들은 게이지 분야를 기술하기 위한 물리적 관점에서의 자연적인 대상이며, 수학적으로 그것들과 연관된 벡터 번들에 대한 해당 연결과 곡률 이론을 더욱 우아하게 암호화한다.

구조 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$또는 $주{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$ -번들$$ G ${\displaystyle$ G${\displaystyle \}}$ -bundle이 있는 주 번들은 5중주$(P,$ X${\displaystyle ,}$ $\pi, G,\rho$)로 구성되며, $여기$서 ${\displaystyle :}$ :${\displaystyle P}$ → ${\displaystyle X}${\$displaystyle$\pi $:$ \$pi$ :$P\to X}$ is a smooth fibre bundle with fibre space isomorphic to a Lie group ${\displaystyle G}$, and ${\displaystyle \rho }$ represents a free and transitive right group action of ${\displaystyle G}$ on ${\displaystyle P}$ which preserves the fibres, in the sense that for all ${\displaystyle p\in P}$, $$${\displaystyle \pi }$( ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi }$( ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle \pi (pg)=\pi (p)}$ 모든 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$에 대한$$. $여기$서$$P {\$displaystyle$ P$}$은 총 $공간$이고$$X {\$displaystysty$ X$}$ 기본 공간이다. Using the right group action for each ${\displaystyle x\in X}$ and any choice of ${\displaystyle p\in P_{x}}$, the map ${\displaystyle g\mapsto pg}$ defines a diffeomorphism ${\displaystyle P_{x}\cong G}$ between the fibre over ${\displaystyle x}$ and the Lie group ${\dis$부드러운 다지관처럼 플레이$$ $스타일 G}$ 그러나 모든 $x{\displaystyle }$ x${\displaystyle }${ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$x {\p_${$$x$}에 대해$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$$x}$를 자연적으로 선택할 수 없기 때문에 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P$$}$의 섬유들을 Lie 그룹의 구조와$$ 함께 장착할 수 있는 자연적인 방법은 없다$.$

$주요{\displaystyle }$ 번들의 가장 간단한 예는 G${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{U}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle G=\operatorname {U}(1$)이 원 그룹일 때 제시된다. In this case the principal bundle has dimension ${\displaystyle \dim P=n+1}$ where ${\displaystyle \dim X=n}$. Another natural example occurs when ${\displaystyle P={\mathcal {F}}(TX)}$ is the frame bundle of the tangent bundle of the manifold ${\displaystyle X}$, or more gene$X{\displaystyle }$ {\displaystyle X$}$ 위에 $벡터$ 번들의 $프레임$ 번들을 랠리하십시오$.$ 이 경우 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 섬유는 일반 선형 그룹 ${\displaystyle \mathrm{GL}}$⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle n\mathbb{}}$, R${\displaystyle }$) ${\displaysty \operatorname {GL}(n,\mathb {R} )}$에 의해 주어진다$$$.$

주요 번들은 섬유 묶음이기 때문에, 그것은 국소적으로 제품의 구조를 가지고 있다. 즉, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의${\displaystyle }${$U$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle \{{\alpha }\}\}\$displaystyle \u${\displaystyle {}_{}{\alpha }_{}{{}_{}}_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaysty \varphi _{\alpha }}}}}}}}$에 대한 개방형 덮개가 존재한다.$P_{U_{\alpha }}\to U_{\alpha }\times G}$ commuting with the projections ${\displaystyle \pi }$ and ${\displaystyle \operatorname {pr} _{1}}$, such that the transition functions ${\displaystyle g_{\alpha \beta }:$$U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G}$ defined by ${\displaystyle \varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}(x,g)=(x,g_{\alpha \beta }(x)g)}$ satisfy the cocycle condition

${\displaystyle g_{\displaystyle \}(x)g_{\displaystyle \properties \displaysty \}(x){\displaysty \displaysty \c$

on any triple overlap ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }}$. In order to define a principal bundle it is enough to specify such a choice of transition functions, The bundle is then defined by gluing trivial bundles ${\displaystyle U_{\alpha }\times G}$ along the intersections $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\$전환 함수를 사용하여$$. The cocycle condition ensures precisely that this defines an equivalence relation on the disjoint union ${\displaystyle \bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }\times G}$ and therefore that the quotient space ${\displaystyle P=\bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }\times G/{\sim }}$ is well-defined. 이것은 섬유다발 구축 정리라고 알려져 있으며, 단순히 주성다발이나 벡터성다발만이 아니라 전환기능에 의해 기술된 어떤 섬유다발에도 동일한 프로세스가 작용한다.

국소 섹션 $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {U{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\alpha }_{}}_{}}$ ${\$$\pi {\displaystyle }$ \ ${\displaystyle {}_{}{\alpha }_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{ID}}$ ${\displaystyle \pi \circ s_{\alpha }=\operatorname {Id}}}$을(를) 만족하는 $U_${\$alpha }}}}$은$($는) 로컬 사소한 것에도 지정하는 동등한 방법이다$$. Namely, one can define ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(p)=(\pi (p),{\tilde {s}}_{\alpha }(p))}$ where ${\displaystyle {\tilde {s}}_{\alpha }(p)\in G}$ is the unique group element such that ${\displ$$aystyle p{\tilde{s}_{\laim }(p)^{-1}=s_{\laim }(\pi(p$

벡터 번들

벡터 번들은 트리플 $({\displaystyle E}$, ${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle \pi }$) ${\displaystyle (E,X,\pi )}$이며 여기서$$ $\pi {\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi$:$E\to X}$은 벡터 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ $r{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$에 의해 주어지는 섬유 번들로, $여기$서${\displaystyle }$K = ${\displaystyle R\mathbb{},}$ ${\displaystyle C\mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {K}$ =\$mathb {R},\mathb {C}}}}$은 필드다$$. 숫자 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$은 벡터 번들의 순위다. 다시 말하지만, 벡터 번들에 대한 지역적 설명은 사소한 오픈 커버의 관점에서 볼 수 있다. $\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}\}}}}}$이(가) 그러한 표지라면$$, 이소모르피즘 아래에서는.

${\displaystyle \varphi _{\properties }:E_{U_{\alpha }}\to U_{\alpha }\times \mathb {K}^{r}}}}$

$하나$는 K ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$^{$${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$$}$의 $r{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $r}$ 좌표$$ 기반 벡터 e ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle \dots ,}$${\displaystyle e_{}}$ r {\$displaystyle e_{1},\$${\displaystyle {}_{}}$, e_{$r$$}}$에 해당하는$$ $E{\displaystyle }$ ${\$ ${\displaystyle {\mathit{}}_{}{}_{}}$의 $고유{\displaystyle }$ 로컬 섹션을 구한다$.$$\boldsymbol{e}_{1},\reason,{\\\symbol{e}_{r$ 이것들은 방정식으로 정의된다.

${\displaystyle \varphi _{\property }({\symbol {e}_{i})(x)=(x, e_{i})).}$

따라서 사소한 것을 지정하려면 모든 곳에 선형적으로 $독립$된 r ${\displaystyle$ r$} 로컬$ 섹션$$ 컬렉션을 제공하는 것과 동등하며, 이 식을 사용하여 해당 이형성을 정의한다. 이와 같은 지방 단면 수집을 액자라 한다.

주요 번들과 마찬가지로 ${\displaystyle {}_{}}$ 함수 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$: U ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ α${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ → ${\displaystyle \mathrm{GL}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (R${\displaystyle }$,${\displaystyle }$K$){\displaystyle g_{\alpha$\beta \$beta }:$벡터 번들에 대해$$ 정의된 $U_{\alpha$}\$cap U_{\beta }\to \operatorname {GL}(r,\mathb {K}$ )

${\displaystyle \varphi _{\properties }\properties \varphi _{\put \v)=(x,g_{\put \v)v.}$

이러한 전환 기능을 사용하여 구조 그룹 ${\displaystyle \mathrm{GL}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle }$r${\displaystyle }$, ${\displaystyle K}$) ${\displaystyle \operatorname {GL}(r,\mathb {$${\displaystyle K\mathbb{}}$$}$)과 동일한 파이버를 가진 주 번들에 대한 로컬 단순화를 구성하면, $주{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{GL}}$$$${\displaystyle }$(${\displaystyle }$, ${\displaystyle K}$) ${\displaystyle$ $E}$의 프레임 번들을 정확히 얻는다$.$$e \operatorname {GL}(r,\mathb {K} )}$ -번들$$.

관련 번들

Given a principal ${\displaystyle G}$-bundle ${\displaystyle P}$ and a representation ${\displaystyle \rho }$ of ${\displaystyle G}$ on a vector space ${\displaystyle V}$, one can construct an associated vector bundle ${\displaystyle E=P\times _{\rho }V}$ with fibre the vector space ${\displaystyle }$${\displaystyle V}$. To define this vector bundle, one considers the right action on the product ${\displaystyle P\times V}$ defined by ${\displaystyle (p,v)g=(pg,\rho (g^{-1})v)}$ and defines ${\displaystyle P\times _{\rho }V=(P\times V)/G}$ as the 이 작용에 관한 지분의 공간

전환 기능의 측면에서 관련 번들을 더 간단하게 이해할 수 있다. If the principal bundle ${\displaystyle P}$ has transition functions ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ with respect to a local trivialisation ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$, then one constructs the associated vector bundle using the transition functions ${\displaystyle \rho \circ g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to \mathrm{GL}(V}$${\displaystyle \rho \reho g_{\reason \reason }:$$U_{\alpha$}\$cap U_{\beta }\to \operatorname {GL}(V$ .

관련 번들 구성은 단순히 벡터 공간이 아닌 모든 섬유 공간 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$에 대해 수행될 수 있다$.$ 단, $\rho {\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle \mathrm{Auto}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (F}$) ${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut}(F)$은 그룹 동형상이다. One key example is the capital A adjoint bundle ${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$ with fibre ${\displaystyle G}$, constructed using the group homomorphism ${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} (G)}$ defined by conjugation ${\displaystyle g\mapsto (h\m$$apsto ghg^{-1$ $파이버{\displaystyle }$G {\$displaystyle G}$을$($를) 가지고 있음에도 불구하고 Adjoint 번들은 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$ 자체에$$ 대한 파이버 번들로서 이형성이거나 둘 다 아니라는 점에 유의하십시오. For example, if ${\displaystyle G}$ is Abelian, then the conjugation action is trivial and ${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$ will be the trivial ${\displaystyle G}$-fibre bundle over ${\displaystyle X}$ regardless of whether or not ${\displaystyle P}$ is trivial as a fibre bundle. Another key example is the lowercase a adjoint bundle ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ constructed using the adjoint representation ${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})}$ where ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is the Lie algebra of ${\displaystyl$$e$ G$}$.

게이지 변환

벡터 번들 또는 주요 번들의 게이지 변환은 이 물체의 자동형이다. 주요 번들의 경우 게이지 변환은 차이점형 ${\displaystyle \phi }$: P${\displaystyle }$→ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \varphi :$로 구성된다.$P\to P}$ 투영$$ 연산자 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$ 및 올바른$$ 작용 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho$ $\}\}$과(와) 통근하는 P\to P. 벡터 번들의 경우 게이지 변환은 유사하게 $차이점형{\displaystyle }$ ${\displaystyle :}$: E → ${\displaystyle E}${\$displaystyle \varphi$:$E\to E}$이(가) 각 섬유에 있는 벡터 공간의 선형 이형성인$$ 투영 연산자 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$과(와) 통근한다$$.

The gauge transformations (of ${\displaystyle P}$ or ${\displaystyle E}$) form a group under composition, called the gauge group, typically denoted ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$. This group can be characterised as the space of global sections ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operat$$orname {Ad} (P))}$ of the adjoint bundle, or ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E)))}$ in the case of a vector bundle, where ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ denotes the frame bundle.

또한 로컬 게이지 변환을 사소한 오픈 서브셋 ${\displaystyle {U\alpha }_{}}$ ${\$에 대한 로컬 번들 이소모르퍼시즘으로 정의할 수 있다$.$ 지도 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \alpha {}_{}}$→ G ${\displaystyle g_{\alpha }:$$U_{\\alpha }\to G}$ $$($G{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{GL}}$ ${\displaystyle }$( r${\displaystyle }$, ${\displaystyle K\mathbb{}}$) ${\displaystyle$ G$=\operatorname {GL}(벡터$ 번들의 경우$$$,\mathb {K} ))$을 취함) 여기서 유도 번들 이형성은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \varphi _{\pi }(p)=pg_{\pi(p)}}$

벡터 번들의 경우에도 마찬가지로.

동일한 오픈 서브셋 $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$에 걸쳐 주성분 번들의 두 개의 국소적 사소한 국소적 사소한 것이 주어진 점에 유의하십시오$.$ 전환 함수는 정확히 국소 게이지 변환 g ${\displaystyle {\alpha }_{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{\alpha \alpha$ \a $\}}:::::$$U_{\\alpha }\to G}$즉, 로컬 게이지 변환은 주 번들이나 벡터 번들에 대한 로컬 사소한 현지의 변경이다.

주 번들에 대한 연결

기본 번들에 대한 연결은 $섹션{\displaystyle }$ s${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ P ${\displaystyle s:X\to P}$이(가) 상수 또는 수평이라는 개념을 포착하기 위해 근처의 섬유들을 연결하는 방법이다. 추상적인 주성분 다발의 섬유는 서로 자연스럽게 식별되지 않거나, 실제로 섬유 $공간{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$ 그 자체로$$ 식별되지 않기 때문에, 어떤 섹션이 일정한지 규정하는 표준적인 방법은 없다. 국소적 사소한 것들의 선택은 가능한 한 가지 선택으로 이어진다. $여기$서 P$${\$displaystyle$ P$}$이(가) $설정$된 ${\displaystyle {U\alpha }_{}}${\$displaystyle U_{\alpha$ $\}\}\}\}\}$에 대해 사소한 것이라면, ${\displaystyle {\alpha }_{}(x)}$= ${\displaystyle (x}$, ${\displaystyle g}$) ${\displaysty \vara$ \var }에 대해 일정하다면 국소부문은 수평이라고 말할 수 있다.$phi _{\alpha }(s(x))=(x,g)}$ for all ${\displaystyle x\in U_{\alpha }}$ and one ${\displaystyle g\in G}$. In particular a trivial principal bundle ${\displaystyle P=X\times G}$ comes equipped with a trivial connection.

In general a connection is given by a choice of horizontal subspaces ${\displaystyle H_{p}\subset T_{p}P}$ of the tangent spaces at every point ${\displaystyle p\in P}$, such that at every point one has ${\displaystyle T_{p}P=$$H_{p}\oplus V_{p}$ 여기서$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은(는) $V{\displaystyle }$= ${\displaystyle \ker }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle$ V$=\ker d\pi }}}$에 의해 정의된 수직 번들 구조와$$ 호환되어야 한다$.$ 이러한 수평적 하위 공간은 오른쪽 그룹 작업 하에서 수평 분포 $H{\displaystyle }$ ${\\\\\\displaystystylease H}$가 불변수를 불변하도록 요구하여 주 번들 구조와 호환되어야 한다. ${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$= ${\displaystyle d}$( ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle H_{pg}=d(R_{g})(H_{p})($여기서$$ $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$: ${\displaystyle P}$→ P ${\displaystyle R_{g}):$$P\to P}$ denotes right multiplication by ${\displaystyle g}$. A section ${\displaystyle s}$ is said to be horizontal if ${\displaystyle T_{p}s\subset H_{p}}$ where ${\displaystyle s}$ is identified with its image inside ${\displaystyle P}$, which is a submanifold of ${\displaystyle P$접선 번들 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle Ts}$이$($가) ${\displaystyle \mathrm{있는}}$ $}.$ 벡터 필드 v ${\displaystyle \in }$ ∈$\$ ( ${\displaystyle T}$ X ) {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ v\in${\displaystyle }$\Gamma ($TX)}$을(를) 지정하면${\displaystyle {}^{}}$\displaysty v^{\#}\}\Ma (${\displaystyle H}$)에 고유한 $수평 리프트가$있다$.$ 연결 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 곡면성은 2-폼에 의해 정의되는$$ 조정 $번들{\displaystyle }$ F ∈${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}^{}}$2 (${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle \mathrm{ad}(}$ (${\displaystyle P}$ )$${\$displaysty F\in \Oomega$^{$2}(X,\operatorname {ad} (P))}$에 값이 있는 2-폼으로 주어진다$$.

${\displaystyle F(v_{1},v_{2}}=[v_{1}^{\#}}}{2}^{2}^-[v_{1},v_{2}]^{\#}}}}}}}}$

여기서 [${\displaystyle \cdot }$ ,${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$은 벡터 필드의 Lie bracket이다. Since the vertical bundle consists of the tangent spaces to the fibres of ${\displaystyle P}$ and these fibres are isomorphic to the Lie group ${\displaystyle G}$ whose tangent bundle is canonically identified with ${\displaystyle TG=G\times {\mathfrak {g}}}$, there is a unique Lie algebra-valued two-form ${\displaystyle }$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle P}$, ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle F\in \Oomega ^{2}(P,{\mathfak {g})}$ 곡률에 해당함$$. 프로베니우스 통합성 정리의 관점에서 곡면성은 수평 분포가 통합될 수 없는 정도를 정밀하게 측정하므로, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$M}이(가) 로컬로 수평 하위 관리형$$ P$${\$displaystyle P}$ 내부에 내장되지$$ 않는 정도를 측정한다.

수평 서브스페이스 선택은 투영 $연산자{\displaystyle }$ ${\displaystyle :}$ : ${\displaystyle TP}$ → ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \nu$:$TP\to V}$은(는) 올바른 의미로 이등변하며 연결 원폼이라고 한다. For a horizontal distribution ${\displaystyle H}$, this is defined by ${\displaystyle \nu _{H}(h+v)=v}$ where ${\displaystyle h+v}$ denotes the decomposition of a tangent vector with respect to the direct sum decomposition ${\displaystyle TP=H\oplus V}$. Due to the equivariance, this 투영 원폼은 $some{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle P}$, ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle \nu \in \Oomega^{1}(P$, ${\\mathfrak {g})}$을(를) 제공하여 Lie 대수 값으로 간주할 수 있다$.$

$P$ ${\displaystyle P}$에 대한 국소적 사소한 부분은 로컬 섹션 $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {U{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\alpha }_{}}_{}}$ ${\$$U_{\alpha }\to P_{U_{\alpha }}}$과(와) 연결 원폼과 곡면성을 이 부드러운 지도를 따라 뒤로 당길 수 있다. This gives the local connection one-form ${\displaystyle A_{\alpha }=s_{\alpha }^{*}\nu \in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {ad} (P))}$ which takes values in the adjoint bundle of ${\displaystyle P}$. Cartan's structure equation says that the curvature may be expressed 식에 의한$$ 국소 단형 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$의 관점에서.

${\displaystyle F=dA_{\alpha }+{\frac {1}{1}:{2}}[A_{\alpha },A_{\alpha }]}$

여기서 Lie 대수다발 ${\displaystyle \mathrm{광고}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle }$P${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {ad}(P)}$에 Lie 브래킷을 사용하며$$, $U$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ g ${\$${\$

국소 게이지 $변환{\displaystyle }$ g${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \alpha {}_{}}$→ G ${\displaystyle$ g$:$$U\_$${\alpha }\to G},$ A${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$=${\displaystyle }$( g${\displaystyle g}$ s${\displaystyle {}^{}}$) ∗${\displaystyle {}^{}}${ ${\displaystyle {\tilde{A}_{\alpha }=(g\circl s)^{*}\nu$ 로컬 연결 단형이 식에 의해 변환됨

${\displaystyle {\tilde{A}_{\alpha }=\operatorname {ad}(g)\circle A_{\alpha }+(g^{-1})^{*}\theta }$

where ${\displaystyle \theta }$ denotes the Maurer–Cartan form of the Lie group ${\displaystyle G}$. In the case where ${\displaystyle G}$ is a matrix Lie group, one has the simpler expression ${\displaystyle {\tilde {A}}_{\alpha }=gA_{\alpha }g^{-1}-(dg)g^{-1}$$.}$

벡터 번들의 연결

벡터 번들의 연결은 Ehresmann 연결로 알려진 위의 주요 번들의 경우와 유사하게 지정될 수 있다. 그러나 벡터 번들 연결은 차동 연산자의 관점에서 더 강력한 설명을 인정한다. 벡터 번들의 연결은 $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ -선형$$ 차동 연산자를 선택하는 것이다.

$\displaystyle \nabla :\Gamma(E)\to \Gamma(T^{*}X\otimes E)=\Oomega^{1}(E)}$

그런

$\displaystyle \nabla (fs)=df\otimes s+f\\la s}$

모든 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle f\in C^{\\\inflt$}($X)$ 및$$ $섹션{\displaystyle }$ s ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$(${\displaystyle E}$) ${\displaysty s\in \Gamma (E$ 벡터 필드 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$ 방향의$$ $섹션{\displaystyle }$ s$${\$displaystyle s$}의 공변량 파생 모델은 다음과 같이 정의된다$$.

$\displaystyle \vla _{v}=\vla s(v)}$

오른쪽에서 우리는 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \Oomega ^{1}(X)}$과 ${\displaystyle T}$ X ${\displaystyle$ $TX$$}$ 사이의 자연스러운 쌍을 사용한다$.$ $이것$은 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$ 방향으로$$ s ${\\displaystyle s}$의 파생어로 생각되는 새로운 섹션이다$.$ 연산자 $\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$는 $v$ ${\displaystyle v}$ 방향의 공변량 파생 연산자다$.$ $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \nabla }$의 곡면성은 연산자 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\nabla \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∈${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}^{}}$2${\displaystyle }$(${\displaystyle E}$ )$${\$displaystyle$F_{\$nabla$}\$in \Oomega ^{$2}(\$operatorname$ {End$})($E$)})$에 의해 정의되며$$$$,

${\displaystyle F_{n1}(v_{1},v_{2})=\nabla_{v_{1}{1}:{v_{1}-\nabla_{v_{2}}-\nabla_{v_{1}-\nabla_{v_{1},v_{2}}.}$

현지 사소한 부분화에서 외부 파생상품 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$은(위에서 논의한 사소한 연결에 대한 주요 번들 그림의 대응) 사소한 연결로 작용한다$$. 즉, 로컬 $프레임{\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ e ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\${\$boldsymbol {e}_{1},\dots,{\boldsymbol {e}_{r}}$ 중 하나가$$ 정의함

${\displaystyle d(s^{i}{\symbol {e}_{i}}=ds^{i}\otimes {\symbol{e}_{i}}}}}}$

여기서 우리는 국부 섹션 $s{\displaystyle }$= s ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 아인슈타인 표기법을 사용했다$.$

Any two connections ${\displaystyle \nabla _{1},\nabla _{2}}$ differ by an ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$-valued one-form ${\displaystyle A}$. To see this, observe that the difference of two connections is ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$-linear:

${\displaystyle (\displaystyle _{1}-\bla _{2})(fs)=f(\bla _{1}-\bla _{2})(s).}$

특히 모든 벡터 번들은 (단일성과 로컬 사소한 연결의 파티션을 사용하여) 연결을 허용하므로, 벡터 번들의 연결 세트는 벡터 공간 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle E}$)${\displaystyle \Oomega$^{$1}(\operatorname {End})(E)}}})$에 모델링된 무한 차원 아핀 공간의 구조를 가지고 있다$.$ 이 공간은 일반적으로 $A{\displaystyle \mathcal{}}${\$displaystyle {\mathcal {A}$로 표시된다$.$

Applying this observation locally, every connection over a trivialising subset ${\displaystyle U_{\alpha }}$ differs from the trivial connection ${\displaystyle d}$ by some local connection one-form ${\displaystyle A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {End} (E))}$$$, $U{\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle {\alpha }_{}}$${\displaystyle }$= ${\displaystyle d}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$ U$$ α ${\$ $\}\}\}\}\}\}\}.$ 이 로컬 연결 형태의 경우 곡면성은 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle F_{A}=dA_{\alpha }+A_{\alpha }{\alpha }\wedge A_{\alpha }}}}}$

쐐기 제품이 단일 형태 구성요소에서 발생하며, 하나는 내형성 구성요소에 내형성을 구성한다. 주성분 묶음 이론으로 다시 연결하기 $위해{\displaystyle }$, A${\displaystyle }$=${\displaystyle A}$ = ${\displaystyle 1\frac{2}{}}$ [${\displaystyle A}$]$${\$displaystyle$A\$wedge$ A$={\frac{1}{1$}:{2}}[$A,A]}}}}$ 오른쪽에 단일 형태의 쐐기 및 내형성 정류자가 수행된다는 점에$$ 유의하십시오.

Under a gauge transformation ${\displaystyle u}$ of the vector bundle ${\displaystyle E}$, a connection ${\displaystyle \nabla }$ transforms into a connection ${\displaystyle u\cdot \nabla }$ by the conjugation ${\displaystyle (u\cdot \nabla )_{v}(s)=u($$\nabla _{v}(u^{-1}s)}$. The difference ${\displaystyle u\cdot \nabla -\nabla =-(\nabla u)u^{-1}}$ where here ${\displaystyle \nabla }$ is acting on the endomorphisms of ${\displaystyle E}$. Under a local gauge transformation ${\displaystyle g}$ one obtains the same expression

${\displaystyle {\tilde{A}_{\alpha }=gA_{\lpha }g^{-1}-(dg)g^{-1}$

주요 묶음의 경우처럼

유도접속

주 번들의 연결은 관련된 벡터 번들의 연결을 유도한다. 이를 확인할 수 있는 한 가지 방법은 위에서 설명한 로컬 연결 양식에 관한 것이다. Namely, if a principal bundle connection ${\displaystyle H}$ has local connection forms ${\displaystyle A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {ad} (P))}$, and ${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} (V)}$ is a representation of ${\displa$연결된 벡터 번들 $E{\displaystyle }$= ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ V ${\displaystyle E=P\times _{\rho }V}$을$($를) 정의하는 ystyle $G},$ 그러면 유도 로컬 연결 원폼은 다음에 의해 정의된다.

$\displaystyle \rho _{*}A_{\alpha }\in \Oomega ^{1}(U_{\alpha }}}\operatorname {E}).$

Here ${\displaystyle \rho _{*}}$ is the induced Lie algebra homomorphism from ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)}$, and we use the fact that this map induces a homomorphism of vector bundles ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)\to \operatorname {End} (E)$$}$.

유도 곡면성은 다음과 같이 간단히 정의할 수 있다.

$\displaystyle \rho _{*}F_{A}\in \Oomega ^{2}(U_{\alpha }}},\operatorname {End}(E)).$

여기서는 Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g$${\$displaystyle${\$mathfak{g}}$의 Lie 브래킷이 Lie 대수 호모폴리스 $\rho {\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle${$End$$}(V$$)$의 내형성 정류자로 보내짐에$$ 따라 곡률에 대한 국소 표현이 주된 번들과 벡터 번들에 어떻게 관련되어 있는지 본다${\displaystyle {.}_{}}$$isplaystyle \rho _$

연결 공간

수학 게이지 이론에서 연구의 중심 대상은 벡터 묶음 또는 주다발에 연결된 공간이다. This is an infinite-dimensional affine space ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ modelled on the vector space ${\displaystyle \Omega ^{1}(X,\operatorname {ad} (P))}$ (or ${\displaystyle \Omega ^{1}(X,\operatorname {End} (E))}$ in the case of vector bundles). 두 $연결부{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle \in }$ ∈ ${\displaystyle A\mathcal{}}$ ${\$$}}$은(는) $게이지{\displaystyle {}^{}}$ 변환 ${\displaystyle u}$ ${\displaysty u}$이(가$)$ 있는 경우 게이지 등가 같다고 하며$$$,$ 게이지 이론은 게이지 연결부의 게이지 등가 $등급$과 관련이 있다. 따라서 어떤 의미에서 게이지 이론은 $일반적$으로 하우스도르프 공간이나 부드러운 다지관 둘 다 아닌 A${\displaystyle }$/ ${\displaystyle G\mathcal{}}$ ${\$의 인용 공간 속성과 관련이 있다.

기본 매니폴드 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 많은 흥미로운 특성은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 통한 주 번들과 벡터 번들의 연결 모듈리 공간의 기하학 및 토폴로지로 인코딩할 수$$ 있다$.$ 도날드슨 불변제 또는 세이버그-위튼 불변제 같은 X ${\displaystyle X}$의 불변량은 콤마로 얻을 수 있다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 위에 연결 모듈리 공간에서 파생된 숫자 수량 입력$.$ 이 아이디어의 가장 유명한 적용 분야는 도날드슨의 정리인데$,$ 도날드슨은 단순히 연결된 4개의 매니폴드$$ $X {\displaystyle$ $\operatorname {SU}(2)$ -번들$$ 위에 양-밀스 ${\displaystyle \mathrm{연결}}$의 모듈리 공간을 사용하여 교차 형태를 연구한다. 이 작품으로 도날드슨은 필즈상을 받았다.

논설 규약

벡터 번들과 주요 번들의 연결에 사용되는 다양한 개념적 규약이 여기에 요약될 것이다.

• 문자 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은 벡터 번들 또는 주 번들의 연결을 나타내는 데 사용되는 가장 일반적인 기호다$$. It comes from the fact that if one chooses a fixed connection ${\displaystyle \nabla _{0}\in {\mathcal {A}}}$ of all connections, then any other connection may be written ${\displaystyle \nabla =\nabla _{0}+A}$ for some unique one-form ${\displaystyle A\in \Omega ^{1}($$X,\operatorname {ad}(P$ 또한 $A{\displaystyle {}_{}}$ α {\$displaystyle A_{\alpha }}$을(를$$) 사용하여 벡터 번들에 연결의 로컬 형태를 나타내며, 이후 물리학의$$ $전자기전위{\displaystyle }$ A ${\displaystystyle$ A$}$에서 비롯된다. Sometimes the symbol ${\displaystyle \omega }$ is also used to refer to the connection form, usually on a principal bundle, and usually in this case ${\displaystyle \omega }$ refers to the global connection one-form ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})}$ on the total space of the 해당 로컬 연결 양식이 아닌 주 번들. 이 규칙은 기초 다지관 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Kahler 다지관일 때 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$을(를) Kahler 양식에 사용하는$$ 것과 종종 충돌하기 때문에 수학적 문헌에서는 일반적으로 피한다.
• 기호 $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \nabla }$은(는) 차등 연산자로 벡터 번들의 연결을 나타낼 때 가장 많이 사용되며$$, 그런 의미에서$$문자 $A{\displaystyle }$ {\$displaystyle A}$과(와) 바꾸어 사용된다$.$ 또한 공변량 파생 연산자${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$x ${\displaystyle X_{}}${\$displaystyle \nabla _{X$대안이 아니다.연결사업자와 공변량 파생상품사업자의 경우 $\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $\nabla _{A}}$을(를) 사용하여 $A{\displaystyle }$ A {\$displaystyle$ A$\in$ {\$mathcal {$$A$$\},$ 또는 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$의 선택에 대한 의존성을 강조한다$.$
• 연산자 ${\displaystyle d_{}}$ ${\$는 일반적으로 $연결{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$의 외부 공변량 파생상품을 가리킨다($$따라서 연결에 $대해$ d $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ $d_{\$$nabla }).$ 도 0의 외부 공변량 파생상품이 일반 공변량 파생상품과 동일하기 때문에 연결 또는 공변량 파생상품 자체가 ${\displaystyle d_{}}$ $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\$로 표기되는 경우가 많다.$∇{\displaystyle \nabla$ $\}$ $대신$ A$}.$
• 기호 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$ 또는$$ $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\nabla \mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 연결의 곡률을 나타낼 때 가장 많이 사용된다$$. When the connection is referred to by ${\displaystyle \omega }$, the curvature is referred to by ${\displaystyle \Omega }$ rather than ${\displaystyle F_{\omega }}$. Other conventions involve ${\displaystyle R}$ or ${\displaystyle R_{A}}$ or ${\displaystyle R_{\nabla }}$, by analogy $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$으로 표시된 리만 기하학에서 리만 곡률 텐서(Remanian contraction tensor)와 함께$.$
• 문자 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$은(는) 수평 분포 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle P}$ {\$displaystyle H}$에 해당하는 수직 투영 연산자($$$이{\displaystyle }$ 경우 H ${\displaystyle H}($P의 연결 단 형태)에 해당하는 주요 번들 연결부 또는 Ehresmann 연결을 나타내는 데 종종$$ 사용된다$.$${\displaystyle P}$)는 보통 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$또는 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v$ $또는{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \nu}$로 표시된다$.$ 이 규칙을 사용하여 곡면성은 때때로 ${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$ ${\$ $F_$${H$$}$로 표시되며, F$}$는 곡률 $연산자$를 $가리킬$ 수 있다. on the total space ${\displaystyle F_{H}\in \Omega ^{2}(P,{\mathfrak {g}})}$, or the curvature on the base ${\displaystyle F_{H}\in \Omega ^{2}(X,\operatorname {ad} (P))}$.
• The Lie algebra adjoint bundle is usually denoted ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$, and the Lie group adjoint bundle by ${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$. This disagrees with the convention in the theory of Lie groups, where ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$ refers to the representation $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 $있는{\displaystyle }$ G$${\$displaystyle$ G$}$과$($${\displaystyle 와}$) 광고 ${\displaystyle \operatorname {ad}은($는) Lie 브래킷에 의한$$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\${\$mathfak {g}$의 Lie 대수표현을 말한다$$. Lie group 이론에서 결합 작용(${\displaystyle \mathrm{Ad}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle P}$) ${\displaystyle \operatorname {Ad} (P$은 흔히 $\psi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$로 표시된다$.$

수리 및 물리 용어 사전

게이지 이론의 수학적, 물리적인 분야는 같은 물체의 연구를 수반하지만, 그것들을 기술하기 위해 다른 용어를 사용한다. 아래는 이러한 용어들이 서로 어떻게 연관되어 있는지를 요약한 것이다.

수학적 및 물리적 게이지 이론의 개념 비교

수학	물리학
주 번들	인스턴트온 섹터 또는 충전 섹터
구조군	게이지 그룹 또는 로컬 게이지 그룹
게이지 그룹	글로벌 게이지 변환 그룹 또는 글로벌 게이지 그룹
게이지 변환	게이지 변환 또는 게이지 대칭
지역소요화 변경	국소 게이지 변환
지역소급화	게이지
현지 사소한 부분화 선택	게이지 고정
연결 공간에 정의된 기능	게이지 이론의 라그랑지안
게이지 변환의 영향으로 개체가 변경되지 않음	게이지 불변성
연결에 대해 공변량적으로 일정한 게이지 변환	글로벌 게이지 대칭
연결에 대해 공변량이 일정하지 않은 게이지 변환	국소 게이지 대칭
연결	게이지 필드 또는 게이지 전위
곡률	자기장 강도 또는 자기장 강도 측정
관련 번들의 유도 연결/공변량 파생 모델	최소 커플링
관련 벡터 번들의 단면	물질분야
여러 가지 다른 수량을 포함하는 라그랑기 함수의 용어 (예: 관련 번들의 한 섹션에 적용되는 공변량 파생상품 또는 두 항의 곱셈)	상호작용
실제 또는 복잡한(일반적으로 사소한) 라인 번들의 섹션	(실제 또는 복합) 스칼라 필드

이 사전의 시연으로 양자 전기역학의 라그랑지아에서 전자 위치 입자장과 전자기장의 상호 작용 용어를 고려하십시오.^[18]

${\displaystyle {\mathcal {{L}={\bar {\psi }}}(i\gamma^{}D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}F_{\mu \nu \f^{\mu \nu \nu }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

수학적으로 이것은 다시 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal{L}=\langle \psi ,({D\!\!)!\!\!/}_{A}-m)\psi \랑글 _{L^{2}}+\ F_{{}{A}\ _{L^{2}}^{2}}$

여기서 ${\$$displaystyle$ $A}$은(는) 주 $U{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle }$( 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {U}$번들$$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P},$$\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$$psi$$}$은(는) 관련 스피너 번들과 $D{\displaystyle {/A}_{}}$의$$한 섹션이다$.$$\!/}_{A}}$은(는) 이 관련 번들에 유도된 ${\displaystyle {공변량}_{}}$ 파생상품$$induced A {\$displaystyle \nabla_${A$$$}$의 유도 Dirac 연산자다. 제1항은 스피너장(전자-포시트론을 나타내는 장)과 게이지장(전자장을 나타내는 장) 사이의 라그랑지어(Lagrangian)에서 상호 작용하는 용어다. 두 번째 용어는 전자기장의 기본적인 비접촉 특성(접속 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A})$을 설명하는 정기적인 양-밀스 기능이다. $\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \nabla _{A}\psi }$ 형식의 용어는 물리학에서 최소 결합이라고 하는 것, 즉 물질 분야 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi}$과 게이지$$ 필드 $A{\displaystyle }$ ${\displaystytle A}$ 사이의 가능한 가장 간단한 상호작용의 예다$$$.$

양-밀스 이론

수학적 게이지 이론에서 발생하는 지배적인 이론은 양-밀스 이론이다. 이 이론은 양-밀스 기능의 중요한 지점인 연결에 대한 연구를 포함한다.

${\displaystyle \operatorname {YM}(A)=\int _{X}\F_{A}\ ^{2}\,d\mathrmatrix {vol} _{g}}}}$

where ${\displaystyle (X,g)}$ is an oriented Riemannian manifold with ${\displaystyle d\mathrm {vol} _{g}}$ the Riemannian volume form and ${\displaystyle \ \cdot \ ^{2}}$ an ${\displaystyle L^{2}}$-norm on the adjoint bundle ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)$$\}\}.$ 이 기능은 연결부 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 곡률의 표준$$ $규격$인 L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$displaystyle L$^{2$}}의 제곱이므로$,$ 이 기능의 핵심 지점인 연결부는 곡률(또는 ${\displaystyle \mathrm{YM}}${\$displaystyle \operatorname {YM}$의 로컬 최소점 이상)이 될 수 있다.$$

이러한 임계점은 관련 오일러-라그랑주 방정식인 양-밀스 방정식의 해결책으로 특징지어진다.

${\displaystyle d_{A}\별 F_{A}=0}$

$여기$서 d ${\displaystyle A_{}}$ ${\$$A}}$은 광고${\displaystyle (}$ ($P ){\displaystyle$$\nabla _{A}$의 ${\displaystyle {유도}_{}}$ 외부 공변량 파생상품이며, $\star {\displaystyle }$ ${\displaystyle \star}$은 호지스타 연산자다. 그러한 해결책은 양-밀스 연결이라고 불리며 상당한 기하학적 관심을 가지고 있다.

Bianchi ID는 모든 연결에 대해 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ A${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle d_{A}$라고 주장한다.$F_{A}=0$ 차분 형식에 대한 유추에 의해 조화 형식 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$이(가) 조건에 의해 특징지어진다$$.

$\displaystyle d\star \omega =d\omega =0.}$

만약 다음과 같은 조건에 의해 조화 연결을 정의한다면

${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=d_{A}F_{A}=0}$

당시 양-밀스 연결에 대한 연구는 조화 형태와 성질이 유사하다. Hodge theory provides a unique harmonic representative of every de Rham cohomology class ${\displaystyle [\omega ]}$. Replacing a cohomology class by a gauge orbit ${\displaystyle \{u\cdot A\mid u\in {\mathcal {G}}\}}$, the study of Yang–Mills connections can be seen as trying to find unique representatives $연결{\displaystyle \mathcal{}}$ 모듈로 게이지 변환의$$ A${\displaystyle }$/ ${\displaystyle G\mathcal{}}$ ${\$에 있는 각 궤도에 대해.

자기 이중성 및 반 자기 이중성 방정식

In dimension four the Hodge star operator sends two-forms to two-forms, ${\displaystyle \star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)}$, and squares to the identity operator, ${\displaystyle \star ^{2}=\operatorname {Id} }$. Thus the Hodge star operating on two-forms has eigenvalues ${\d$$isplaystyle \pm 1}$과$($와) 방향의 리만 4마니폴드 분할에 대한 2가지 형식(직접 합계)

${\displaystyle \Oomega ^{2}(X)=\Oomega _{+}(X)\oplus \Oomega _{-}(X)}$

호지 항성 운영자의${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle +1$$}$ 및${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$eigenspaces가$$ 각각 제공하는 자체 이중 및 반자체 이중형 2-폼으로. That is, ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{2}(X)}$ is self-dual if ${\displaystyle \star \alpha =\alpha }$, and anti-self dual if ${\displaystyle \star \alpha =-\alpha }$, and every differential two-form admits a splitting ${\displaystyle \alpha =\alpha _{+}+\alpha$$_{-}}$ 자기희생 및 자기희생 방지 부분으로$$.

4마니폴드 위에 있는 주요 번들에 있는$$ $연결부{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle$A}의 곡률이 자체 이중 또는 반 자기 이중인 경우 비앙치 ID ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle A_{}{}_{}}$=${\displaystyle }$± ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle d_{$$A}\star F_{A}=\pm d_{A}$$F_{A}=0$ 따라서 연결은 자동으로 양-밀스 방정식이 된다. 방정식

${\displaystyle \star F_{A}=\pm F_{A}}$

$연결부{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$의 1차 부분 미분 방정식이므로 완전한 2차 양-밀스 방정식보다 연구하기가 더 간단하다$.$ The equation ${\displaystyle \star F_{A}=F_{A}}$ is called the self-duality equation, and the equation ${\displaystyle \star F_{A}=-F_{A}}$ is called the anti-self-duality equation, and solutions to these equations are self-dual connections or anti-self-dual connections respectively.

치수축소

새롭고 흥미로운 게이지이론 방정식을 도출하는 한 가지 방법은 치수 감소 과정을 양-밀스 방정식에 적용하는 것이다. 이 프로세스에는 다지관 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}($일반적으로 유클리드 $공간{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$= R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ X$=\mathb{R} ^4})$ 위에 양-밀 방정식을 취하고,$$ 방정식의 해법이 변환 또는 기타 대칭의 그룹 하에서 불변성을 보이도록 하는 것이 포함된다. 이 과정을 통해 양-밀스 방정식은 각각 1방향, 2방향, 3방향으로 번역하여 대칭을 부여함으로써 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 단면체를 기술하는 보고몰니 방정식$,$ 리만 표면의 힉스다발을 기술하는 히친 방정식, 그리고 실제 간격으로 기술하는 등식으로 이어진다.

게이지 이론은 1차원 및 2차원

여기에서 베이스 다지관 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 저차원일 때의 양-밀 방정식을 논한다. 이 설정에서 방정식은 치수 1에 2형식이 없기 때문에 극적으로 단순화되며, 치수 2에서 2형식에 대한 호지 항성 연산자는 ${\displaystyle :}$ : ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}^{}}$2 (${\displaystyle X}$) → ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ( ${\displaystyle X}$)$${\$display$ style $\Star$:\$Oba$^{2$}(X)\to$ C$^{\inft}(X$

양-밀스 이론

치수 2의 다지관에서 양-밀 방정식을 직접 연구할 수 있다. 염기 다지관이 콤팩트한 리만 표면일 때의 양-밀스 방정식 이론은 마이클 아티야와 라울 보트가 떠돌았다.^[6] 이 경우 복잡한 벡터 번들 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$ 위에 놓인 양-밀스 연결부의 모듈리 공간은 다양한 풍부한 해석을 인정하며$$, 이론은 더 높은 차원으로 방정식을 이해하는 가장 단순한 사례로 작용한다. 이 경우 양-밀스 방정식은

${\displaystyle \star F_{A}=\lambda(E)\operatorname {Id} _{E}}$

for some topological constant ${\displaystyle \lambda (E)\in \mathbb {C} }$ depending on ${\displaystyle E}$. Such connections are called projectively flat, and in the case where the vector bundle is topologically trivial (so ${\displaystyle \lambda (E)=0}$) they are precisely the flat connections.

벡터 번들의 등급과 정도가 동일할 때 양-밀스 연결부의$$ 모듈리 $공간{\displaystyle \mathcal{}}$ M ${\$이 매끈하고 자연적인 구조로 되어 있는 것이 특징이다. Atiyah와 Bott는 양-밀스 연결부가 계획적으로 평평하기 때문에, 이들의 홀노미는 표면의 기본 집단을 투사적으로 나타내기 때문에, 이 공간은 리만 표면의 투사적 단일 집단의 모듈리 공간과 동등한 설명을 가지고 있다고 관찰했다.품종의 Narasimhan과 Seshadri의 정리는 원활하게 E{E\displaystyle}.[19]에 이 동형 이성을 통해 동형이 안정적인 적인. 벡터 다발의moduli 공간으로 이 공간에 대한 묘사의 대안을 설명한다 Yang–Mills 연결의moduli 공간 월며 상호 작용하는 복잡한 구조, 얻게 된다.es아티야와 보트의 ympectic 구조로 컴팩트한 Kahler 다지관이다.

사이먼 도날드슨은 양-밀스 연결에서 안정적 홀로모르픽 구조로 직접 전달된 나라시만과 세샤드리 정리의 대체 증거를 제시했다.^[20] 아티야와 보트는 $곡률{\displaystyle }$ 지도 A${\displaystyle }$curvature ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$$displaystyle{\mathcal{G}$ 게이지 $그룹{\displaystyle \mathcal{}}$ G ${\$$displays$}의 작용을 위한 무한 차원 모멘트 맵으로서, 이 문제의 개조를 이용하여 극한 양-밀스 연결부와 벡터 번들의 안정성 사이의 친밀한 관계를 조명했다$.$$스타일$ A$\mapsto F_{A}$ 그 자체$$. 이 관찰은 기하불변성 이론으로부터 일종의 무한 차원 버전의 켐프-네스 정리(Narasimhan-Seshadri)를 구하며, 모멘트 지도(이 경우 양-밀스 연결)의 표준 제곱 임계점들을 해당 대수적 지수(이 경우 안정적 홀로모르픽)의 안정점들에 관련시킨다. 벡터 번들). 이 아이디어는 이후 게이지 이론과 복잡한 기하학에 큰 영향을 끼쳤다.

옴 방정식

베르너 나옴이 도입한 나옴 방정식은 3방향으로 변환불변성을 부과함으로써 4차원에서 1차원으로 반자기이중성의 치수축소로 얻어진다.^[21] 구체적으로는 연결 형태 $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {d\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 0${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle d{}_{}}$ x ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 2{}_{}}$ d ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2 + A ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle d{}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$를 요구한다.$A_{1}\,dx^{1}+$$A_{2}\,dx^{2}+$$A_{3}\,dx^{3}}$ does not depend on the coordinates ${\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3}}$. In this setting the Nahm equations between a system of equations on an interval ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ for four matrices ${\displ$$aystyle T_{0},T_{1},T_{2},T_{3}\in C^{\notful }(I,{\mathfrak {g})$ 등식의 3배를$$ 만족함

${\displaystyle {\begin{case}{\frac {dT_{1}:{dt}+[]T_{0},T_{1}]+[T_{2},T_{3}]=0\\{\frac {dT_{2}}:{dt}}+[]T_{0},T_{2}]+[T_{3},T_{1}]=0\\{\frac {dT_{3}}{dt}}+[]T_{0},T_{3}]+[T_{1},T_{2}]=0.\end{case}}}$

이러한 방정식의 해법(일반적인 미분방정식의 체계인 만큼 상당히 쉽게 얻을 수 있는 것)을 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 3$${\$style \mathb{R}$ ^{$3}}}$에 단면체를 기술한 보고몰니 방정식의 해법 구축에 사용할 수 있다는 것이 Nhm에 의해 밝혀졌다$.$Nigel Hitchin은 보고몰니 e에 대한 해법들을 보여주었다.해답은 Nahm 방정식에 대한 해답을 만드는 데 사용될 수 있으며, 두 문제에 대한 해답은 동등하다는 것을 보여준다.^[22] 또한 Donaldson은 Nahm 방정식에 대한 해결책이 복잡한 투사선 C ${\displaystyle {\mathbb{P}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$부터 그 자체까지의 도 $k{\displaystyle }${\$displaystyle$k}의 합리적인 지도와 동등하다는 것을 보여주었고, $여기$서 k$${\$displaystyle k}$은 해당 자기 단극의 전하였다.^[23]

Nahm 방정식에 대한 용액의 모듈리 공간은 하이퍼켈러 다지관의 구조를 가지고 있다.

히친 방정식과 힉스 묶음

니겔 히친이 도입한 히친 방정식은 번역 불변제를 2방향으로 부과하여 4차원에서 2차원으로 자기이중 방정식의 치수 감소로 얻는다.^[24] In this setting the two extra connection form components ${\displaystyle A_{3}\,dx^{3}+A_{4}\,dx^{4}}$ can be combined into a single complex-valued endomorphism ${\displaystyle \Phi =A_{3}+iA_{4}}$, and when phrased in this way the equations become conformally invariant and therefore are natural to study on a compact Riemann surface rather than ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Hitchin's equations state that for a pair ${\displaystyle (A,\Phi )}$ on a complex vector bundle ${\displaystyle E\to \Sigma }$ where ${\displaystyle \Phi$$\in \Oomega ^{1,0}(\Sigma ,\operatorname {End})(으$ that

${\displaystyle {\displaysty}F_{A}+[\Phi ,\Phi ^}=0\\\\bar {\partial }}{A}\Phi =0\end{case}}$

여기서 $∂{\$는${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$$,$${\displaystyle }$1$){\displaystyle (0,$1)의 ${\displaystyle {성분}_{}}$으로 d$${\$displaystyle d_{A}.$ 히친 방정식의 해법은 히친 쌍이라고 한다.

콤팩트한 리만 표면의 양-밀스 방정식에 대한 해법은 표면 집단의 투사적 단일 표현에 해당하지만, 히친의 방정식에 대한 해법은 표면 집단의 투사적 복합 표현에 해당한다는 것을 보여주었다. 히친 쌍의 모듈리 공간은 자연적으로 (다발의 등급과 정도가 동일할 때) 케흘러 다지관의 구조를 가지고 있다. Through an analogue of Atiyah and Bott's observation about the Yang–Mills equations, Hitchin showed that Hitchin pairs correspond to so-called stable Higgs bundles, where a Higgs bundle is a pair ${\displaystyle (E,\Phi )}$ where ${\displaystyle E\to \Sigma }$ is a holomorphic vector bundle and ${\dis$$playstyle \Phi :E\to E\otimes K}$ is a holomorphic endomorphism of ${\displaystyle E}$ with values in the canonical bundle of the Riemann surface ${\displaystyle \Sigma }$. This is shown through an infinite-dimensional moment map construction, and this moduli space of Higgs bundles also has a complex structure, which is different to 힉스 번들의 M ${\$ 모듈리 $공간$ 상의 두 개의 복잡한 구조로 이어지는 것. 이것들이 합쳐져서 이 모듈리 공간을 하이퍼켈러 다지관으로 만든다.

히친의 작품은 그 후 카를로스 심슨에 의해 크게 일반화되었고, 임의의 케흘러 다지 위에 있는 히친의 방정식과 힉스 다발들에 대한 해결책 사이의 대응은 비아벨리안 호지 정리라고 알려져 있다.^{[25][26][27][28][29]}

게이지 이론 3차원

단면체

The dimensional reduction of the Yang–Mills equations to three dimensions by imposing translational invariant in one direction gives rise to the Bogomolny equations for a pair ${\displaystyle (A,\Phi )}$ where ${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} ^{3}\to {\mathfrak {g}}}$ is a family of matrices.^[30] 방정식은

${\displaystyle F_{A}=\star d_{A}\Phi.}$

주 번들 $P{\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\$에 원 $그룹{\displaystyle \mathrm{}}$ U${\displaystyle ((1}$ )$${\$displaystyle \operatorname {U}($1)이 있는 경우, 보고몰니 방정식에 대한 해답은 고전 전자기학에서 자기 단극을 설명하는 디락 단극 모델이다. Nahm과 Hitchin의 연구는 구조군이 특수한 ${\displaystyle \mathrm{단일군}}$ SU ${\displaystyle \mathrm{special}}$ ( 2$)$ $displaystyle \operatorname {SU}$ (2)$단극$ 방정식에 대한 용액은$$ Nahm 방정식에 대한 용액에 해당하며, $도날드슨$의 작업으로 이것들은 C P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 합리적인 지도에 더 부합한다는 것을 보여준다.$CP} ^{1$} $^{$1} 도 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 자체로$$, $여기$서 k ${\displaystyle k}$는 단극의 전하. 이 충전은 한계로 정의된다.

${\displaystyle \lim_{R\to \infit }\int_{S_{R}(\Phi ,F_{A})=4\pi k}$

of the integral of the pairing ${\displaystyle (\Phi ,F_{A})\in \Omega ^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ over spheres ${\displaystyle S_{R}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ of increasing radius ${\displaystyle R}$.

체르-시몬스 이론

3차원의 체르-시몬스 이론은 체르-시몬스 양식의 적분에 비례하는 작용 기능을 갖는 위상학적 양자장 이론으로, 3차원으로 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {Tr}(F_{A}\wedge A-{\frac {1}{1}{3}A\wedge A).}$

닫힌 3-manifold X ${\displaystyle X}$에서 체르-시몬스 기능의 오일러-라그랑주 방정식에 대한 고전적 해결책은 $주{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm{-분들레<img\; alt="G"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.827ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="1317">}}$ $P{\displaystyle }$→ X ${\displaystyle P\to$ X$}$의 평면 연결에 해당한다$.$ $그러나{\displaystyle }$ X ${\\displaystyty X}$의 경계가 복잡해진다$$.ga.의 힘을. Chern–Simons 이론 에드워드 위튼에 의해 윌슨 고리 SU에서 진공을 기대 값 ⁡은three-sphere S3{\displaystyle S^{3}에(2){\displaystyle \operatorname{SU}(2)}Chern–Simons 이론}의 측면에서, 존스 다항식, 매듭 invariant를 표현하는 데 사용되 .[10]이것은 극명한 시위uge 위상에 새로운 통찰력을 제공하기 위한 이론적 문제들 그리고 위상학적 양자장 이론의 첫번째 예들 중 하나이다.

고전적인 체르-시몬스 이론의 정량화에서, 한 사람은 3-매니폴드 내의$$ 표면 σ${\displaystyle x}$ X ${\displaystyle \Sigma \subset$ X$}$에 제한된 주요 번들에 유도된 평면 또는 투사적으로 평면 연결을 연구한다. 각 표면에 해당하는 고전적 상태 공간은 정확하게 아티야와 보트가 연구한 양-밀스 방정식의 모듈리 공간이다.^[6] 이들 공간의 기하학적 정량화는 니겔 히친과 악셀로드-델라 피에트라-위튼이 독자적으로 달성하였으며, 구조군이 복잡한 경우 구성 공간은 힉스 다발의 모듈리 공간이며 그 정량화는 위튼이 달성하였다.^[31][32][33]

플로어 호몰로지

안드레아스 플로어는 유한차원의 모스 호몰로지(Morse homology)와 유사하게 정의한 3-매니폴드에 호몰로지(homology)의 유형을 소개했다.^[34] 이 호몰로지 이론에서 Morse 함수는 3-manifold $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \operatorname {SU}(2$$)$ 위에 있는 주요$$ ${\displaystyle \mathrm{번들}}$의 연결 공간에${\displaystyle \mathrm{대한}}$Chener-Simons $함수$다. 임계점은 평면 연결이며, $흐름선$은 M ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M\time I}$의 양-밀 인스턴스(instons)로 정의되며$$, 두 경계 구성요소의 임계 평면 연결로 제한된다. 이것은 인스턴트온 플로어 호몰로지(Inston Floer homology. The Atiyah–Floer conjecture asserts that instanton Floer homology agrees with the Lagrangian intersection Floer homology of the moduli space of flat connections on the surface ${\displaystyle \Sigma \subset X}$ defining a Heegaard splitting of ${\displaystyle X}$, which is symplectic due to the observations of Atiyah and Bott.

인스턴트온 플로어 호몰로지(Instanton Floer homology)와 유사하게, 인스턴트온을 세이버그-위튼 호몰로지(Sieberg-Witten 방정식의 솔루션으로 대체하는 경우)를 정의할 수 있다. 클리포드 타우베의 연구로 이것은 임베디드 접촉 호몰로지 및 그 후 히가아드 플로어 호몰로지와의 이형성인 것으로 알려져 있다.

게이지 이론 4차원

게이지 이론은 4차원에서 가장 집중적으로 연구되어 왔다. 여기서 게이지 이론의 수학적 연구는 입자 물리학의 표준 모델을 4차원 스페이스타임에 양자장 이론으로 생각할 수 있기 때문에 그 물리적 기원과 크게 겹친다. 게이지 이론의 4차원의 문제점에 대한 연구는 위상학적 양자장 이론의 연구로 자연스럽게 이어진다. 그러한 이론은 기초적인 4마니폴드의 리만 메트릭스 변화에 무감각한 물리적 게이지 이론이므로 다지관의 위상학적(또는 부드러운 구조) 불변성을 정의하는 데 사용할 수 있다.

반자기이중 방정식

In four dimensions the Yang–Mills equations admit a simplification to the first order anti-self-duality equations ${\displaystyle \star F_{A}=-F_{A}}$ for a connection ${\displaystyle A}$ on a principal bundle ${\displaystyle P\to X}$ over an oriented Riemannian four-manifold ${\displaystyle X}$$$.^[17] 양-밀스 방정식에 대한 이러한 해결책은 양-밀스 기능의 절대 미니마를 나타내며, 높은 임계점은 d A${\displaystyle {}_{}{d}_{}}$ F ${\displaystyle A_{}}$ = ${\displaystyle d_{$$A}\별 F_{$$A}=0}$은(는) 자체 이중 연결에서 발생하지 않는다. 자기이중성방정식에 대한 해결책의 모듈리 $공간$인 ${\displaystyle M_{}}$ P$${\$displaystyle${\$mathcal{{M}_{P$을 사용하면 기초적인 4-manifold에 대해 유용한 불변수를 도출할 수 있다.

이 이론은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 간단히 연결되는 경우에 가장 효과적이다. For example, in this case Donaldson's theorem asserts that if the four-manifold has negative-definite intersection form (4-manifold), and if the principal bundle has structure group the special unitary group ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ and second Chern class ${\displaystyle c_{2}(P)=1}$, then tmoduli space $M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle${\$m}_{P}$은(는$)$ 5차원이며 X {\$displaystyle$ X$}$ 그$$ 자체와${\displaystyle {}_{}C}$P 2$$${\$ $b_{2}(X$$)$의 분리 결합을 그 ${\displaystyle {}^{}}$과 함께$$ $제공$한다$.$ 이는 그러한 4마니폴드의 교차 형태가 대각선이라는 것을 암시한다. E8 다지관과 같이 단순히 연결된 위상학 4마니폴드(topological four manifolds)와 비대각성 교차로형식의 예가 있으므로, 도날드슨의 정리는 부드러운 구조가 없는 위상학 4마니폴드의 존재를 암시한다. 이는 위상학적 구조와 평탄한 구조가 동등한 2, 3차원과는 극명한 대조를 이룬다: 3 이하의 치수의 위상학적 다지관은 그 위에 독특한 평탄한 구조를 가지고 있다.

유클리드 공간 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}{4$}}$이(가) 헤아릴 수 없이 많은 뚜렷한 매끄러운 구조를 인정한다는$$ 것을 보여주기 위해 Clipord Taubes와 Donaldson이 유사한 기법을 사용하였다. 이것은 유클리드 공간이 독특한 부드러운 구조를 가지고 있는 4차원 이외의 어떤 차원과는 극명한 대조를 이룬다.

이러한 사상의 확장은 도날드슨 이론으로 이어지며, 도날드슨 이론은 도날드슨 이론으로 이어져, 도날드슨 이론은 그것들 위에 있는 연결의 모듈리 공간으로부터 매끄러운 4마니폴드의 불변성을 더 구축한다. 이러한 불변성들은 기초적인 클래스를 기준으로 모듈리 공간의 코호몰로지 클래스를 평가하여 얻는데, 카렌 울렌벡, 타우베, 도날드슨에 의한 모듈리 공간의 방향성과 콤팩트함을 보여주는 분석 작업으로 인해 존재한다.

4-매니폴드가 케흘러 다지관 또는 대수표면이고 주요 다발이 제1 체르누스 등급이 사라졌을 때, 반자율 $방정식$은 복합 다지관 $X$의 에르미타인 양-밀스 $방정식$과 동등하다$.$ 고바야시-Hitchin 서신은 Donaldson에 의해 대수 표면에 대해 증명되었고, Uhlenbeck와 Yau에 의해 일반적으로 HYM 방정식에 대한 해법은 안정적인 홀로모르픽 벡터 번들에 대응한다고 주장한다. 이 연구는 복잡한 다지관 위에 있는 반증성 홀로모르픽 벡터 번들의 모듈리 공간은 투영적인 다양성이며 따라서 콤팩트하기 때문에 모듈리 공간과 그 압축화에 대한 대체 대수학적 설명을 제공했다. 이는 연결 모듈리 공간을 압축하는 한 가지 방법이 반안정 벡터 번들에 해당하는 연결부, 이른바 거의 에르미타인 양-밀스 연결부에 추가하는 것임을 나타낸다.

세이베르크-위튼 방정식

초대칭성의 4차원에서는 그들의 조사를 받는 동안, 에드워드 위튼과 나탄 자이 베르크, A{A\displaystyle}과spinor장을four-manifold prin을 정의하는 SpinC 구조임을 인정해야 한다 이 경우{\displaystyle \psi}.[11]ψ 연관을 방정식은 현재 Seiberg–Witten 방정식이라고 불리는 시스템을 파헤쳐 냈다.cipal 결정력 선 번들 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$및 연관된 스핀너 $번들{\displaystyle {}^{}}$ S${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ S$^{+}$를 포함한$$ 스핀^C $번들{\displaystyle }$ P ${\displaystyle$ $P$ 연결 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은$($는) $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$에 있으며$$, 스피너 필드 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$∈ (${\displaystyle {}^{}}$+ )$displaysty \psi \in \Gamma$ ($S^{+})}$에 있다$.$ 세이베르크-위튼 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\displaysty}F_{A}^{+}=\psi \otimes \psi \psi ^{*-{\frac {1}{1}2}} \psi ^{2}\d_{psi }A}\psi =0.\end{case}}}$

세이베르크-위튼 방정식에 대한 해법은 단면체라고 불린다. Sieberg-Witten 방정식, $M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ ${\$$}$$_${\$mathcal{{\sigma$$}}}}}$에 대한 해결책의 모듈리 공간. 여기서$$ {\displaystyle \$sigma}$은 Siberg-Witten 불변성물을 도출하는 데 사용된다. 세이버그-위튼 방정식은 자기 이중성 방정식보다 유리하며, 그 방정식 자체는 용액의 모듈리 공간을 더 잘 제공하기 위해 약간 변형될 수 있다. 이를 위해 첫 번째 방정식에 임의의 자기 이중형 2형식이 추가된다. 기본 4-매니폴드 상의$$ $미터법{\displaystyle }$g {\$displaystyle$ g$}$의 일반적 선택과 동요하는 2-폼의 선택을 위해 솔루션의 모듈리 공간은 콤팩트한 부드러운 다지관이다. 양호한 환경(다지관 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 단순한 유형인 경우, 이 모듈리 공간은 0차원: 유한한 점 집합이다. 이 경우 세이베르크-위튼 불변성은 모듈리 공간의 포인트 수일 뿐이다. 세이버그-위튼 불변제는 도날드슨 불변제들과 동일한 결과를 많이 증명하기 위해 사용될 수 있지만, 더 일반적인 경우에 적용되는 더 쉬운 증거를 가지고 종종 사용될 수 있다.

게이지이론(Gauge 이론(Gauge 이론)

에르미트 양-밀스 방정식

특정 등급의 양-밀 연결부는 칼러 다지관 또는 에르미트 다지관에 대해 연구할 수 있다. 에르미트 양-밀스 방정식은 4차원 양-밀스 이론에서 발생하는 반자기 이중성 방정식을 에르미트 복합 다지관 위에 있는 홀로모르픽 벡터 묶음으로 일반화한다. $E{\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E\to X}$이(가) 컴팩트 Kahler 매니폴드$({\displaystyle X}$,$Ω$)$$위에 있는 홀로모픽 벡터 번들이고$,$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $A$$}$이(가) 일부 Emitutian 메트릭 $h{\displaystyle }$ ${\displaysty h$에 대한$$ $E{\displaystyle }$ ${\$dmitian 연결이다. 에르미트 양-밀스 방정식은

${\displaystyle {\displaysty}F_{A}^{0,2}=0\\\\Lambda _{\\\\Lambda _{A}=\lambda(E)\operatorname {Id} _{E}\case}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle \lambda \mathbb{}}$( ${\displaystyle E}$) ${\displaystyle \in }$ C ${\$}은(는$$) $E{\displaystyle }${\$displaystyle$E$\}$에 따라 위상수이다. 이는 에르미트어 연결 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 대한 방정식이나 관련 체르어 연결 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 해당하는 에르미트어 $메트릭{\displaystyle }$ h ${\displaysty$ h$}$에 대한 식으로 볼 수 있다$.$ 4차원에서는 HYM 방정식이 ASD 방정식과 동일하다. 2차원에서 HYM 방정식은 아티야와 보트가 고려한 양-밀스 방정식에 해당한다. 고바야시-Hitchin communications는 HYM 방정식의 해법이 다성형 홀모픽 벡터 번들과 일치한다고 주장한다. 콤팩트한 리만 표면의 경우 이것은 도날드슨에 의해 증명된 나라심한과 세샤드리(Seshadri)의 정리다. 대수학적 표면의 경우 도날드슨에 의해 증명되었고, 일반적으로 카렌 울렌벡과 신퉁 야우에 의해 증명되었다.^[13][14] 이 정리는 심슨에 의해 비아벨리안 호지 정리(nonabelian Hodge orges)에 일반화되어 있으며, 사실 $힉스다발(E$,$φ$)의$$힉스 필드가 0으로 설정되어$$ 있는 특수한 경우다.^[25]

예외적인 홀노노미 인스턴스(Holonomy Instantons)

4-매니폴드의 불변성 정의에 있어 양-밀스 방정식의 해결책의 효과는 치수 7의 G2 다지관과 치수 8의 스핀(7) 다지관과 같은 예외적인 홀노믹 다지관과 칼라비-야우 6-매니폴드와 거의 케흘러 마니폴드와 같은 관련 구조물을 구별하는데 도움이 될 수 있다는 관심을 가져왔다.ds.^[35][36]

끈 이론

새로운 게이지 이론 문제는 슈퍼스트링 이론 모델에서 발생한다. 그러한 모델에서 우주는 정규 스페이스 시간의 4차원 및 6차원 칼라비로 구성된 10차원이다.야우 다지관. 그러한 이론에서 끈에 작용하는 분야는 이러한 고차원 공간에 걸쳐 다발로 살고 있으며, 이와 관련된 게이지이론적 문제에 관심이 있다. 예를 들어, 칼라비-야우 6배에서 끈 반경이 0(일명 큰 부피 한계)에 가까워질 때 슈퍼스트링 이론에서 자연장 이론의 한계는 이 다지관의 에르미타인 양-밀스 방정식에 의해 주어진다. 큰 부피 한계에서 벗어나 슈퍼스트링 이론의 B 모델에서 D-브레인에 대한 운동 방정식을 설명하는 기형적인 에르미트 양-밀스 방정식을 얻는다. 미러 대칭은 이러한 방정식에 대한 솔루션이 미러 이중 칼라비–의 특수 라그랑지아 하위 매니폴드에 대응해야 한다고 예측한다.야우.^[37]

참고 항목

• 게이지 이론
• 게이지 이론 소개
• 게이지 그룹(수학)
• 게이지 대칭(수학)
• 양-밀스 이론
• 양-밀스 방정식

참조