이동 프레임

Moving frame
곡선의 Frenet-Serret 프레임이 움직이는 프레임의 가장 간단한 예다.

수학에서 이동 프레임동질적 공간내재된 매끄러운 다지관의 외측 미분 기하학을 연구하기 위해 종종 사용되는 벡터 공간의 순서화된 기본 개념의 유연한 일반화다.

소개

평이한 용어로, 기준 프레임관측자좌표를 제공하여 주변 공간을 측정하기 위해 사용하는 측정봉 시스템이다.이동 프레임은 궤적(곡선)을 따라 관찰자와 함께 이동하는 기준 프레임이다.이동 프레임의 방법은, 이 간단한 예에서, 관찰자의 운동학적 특성으로부터 「선호적인」 이동 프레임을 생산하려고 한다.기하학적 배경에서 이 문제는 19세기 중반 장 프레데릭 프레네와 조셉 알프레드 세레트에 의해 해결되었다.[1]Frenet-Serret 프레임은 곡선에 정의된 이동 프레임으로, 곡선의 속도가속도로 순수하게 구성될 수 있다.[2]

Frenet-Serret 프레임은 곡선의 차등 기하학에서 핵심적인 역할을 하며, 궁극적으로 유클리드 공간의 부드러운 곡선을 일치까지 거의 완전한 분류로 이끈다.[3]Frenet-Serret 공식은 곡선, 비틀림곡률에 정의된 한 쌍의 함수가 있으며, 이 함수는 프레임을 차별화하여 얻으며, 이 함수는 커브를 따라 시간 내에 프레임이 어떻게 진화하는지 완전히 설명한다.일반적인 방법의 주요 특징은 선호되는 이동 프레임이 발견될 수 있다면 곡선에 대한 완전한 운동학적 설명을 제공한다는 것이다.

Darboux 삼면체(point P)와 P가 표면에 놓여 있다는 의미에서 표면에 적응하는 직교단위 벡터세1, e2, e3 3중으로 구성되며 e3 표면에 수직이다.

19세기 후반 개스톤 다르부스는 곡선 대신 유클리드 공간의 표면에 선호하는 이동 프레임을 구성하는 문제, 즉 다부스 프레임(또는 그때 불렸던 3중 이동 수단)을 연구했다.일반적으로 이런 프레임을 구축하는 것이 불가능하고, 통합성 조건이 있어 먼저 만족해야 하는 것으로 나타났다.[1]

이후, 이동 프레임은 보다 일반적인 균질 공간(예: 투영 공간)의 서브매니폴드에 대한 연구에서 Elie Cartan과 다른 사람들에 의해 개발되었다.이 설정에서 프레임은 벡터 공간의 기초에 대한 기하학적 개념을 다른 종류의 기하학적 공간(클레인 기하학)으로 옮겨간다.프레임의 몇 가지 예는 다음과 같다.[3]

이러한 각각의 예에서 모든 프레임의 집합은 어떤 의미에서 동질적이다.예를 들어, 선형 프레임의 경우, 두 개의 프레임은 일반 선형 그룹의 요소에 의해 관련된다.투영 프레임은 투영 선형 그룹에 의해 연관된다.프레임 클래스의 이러한 동질성 또는 대칭성은 선형, 아핀, 유클리드 또는 투사적 경관의 기하학적 특징을 포착한다.이러한 상황에서 움직이는 프레임은 단지 포인트에 따라 달라지는 프레임일 뿐이다.

형식적으로 균질 공간 G/H의 프레임은 tautological bundle G → G/H의 한 점으로 구성된다. 움직이는 프레임은 이 묶음의 한 부분이다.베이스의 지점이 달라짐에 따라 대칭군 G의 요소에 의해 섬유 속의 프레임이 변한다는 의미에서 움직이고 있다. G/H의 서브매니폴드 M에 있는 이동 프레임은 Tautological 번들의 M에 대한 풀백의 한 부분이다.본질적으로[5] 이동 프레임은 다지관의 주요 번들 P에 정의될 수 있다.이 경우 이동 프레임은 G-등가 지도 : : PG에 의해 주어지며, 따라서 Lie 그룹 G의 요소에 의해 다지관을 프레임화한다.

프레임의 개념을 보다 일반적인 사례로 확대할 수 있다. 즉 섬유 묶음부드러운 다지관에 "땜질"할 수 있다. 섬유들이 접선된 것처럼 행동하도록 말이다.섬유 묶음이 균질한 공간인 경우, 이는 위에서 설명한 프레임 영역으로 줄어든다.균질 공간이 특수한 직교 그룹의 몫인 경우, 이것은 비어베인의 표준 개념으로 감소한다.

외적 이동 프레임과 내적 이동 프레임 사이에는 상당한 공식적 차이가 있지만 이동 프레임이 항상 G에 대한 매핑에 의해 주어진다는 점에서 둘 다 비슷하다.카르탄의 등가방법에 간략히 요약한 바와 같이 카르탄의 이동방법에 있어서의 전략은 다르부르크의 자연적인 이동 프레임을 찾아 그 다르복스파생물을 취하는 것으로, 즉 G에서 M(또는 P)로 Maurer-Cartan 형식잡아당겨 다르방에 대한 구조적 불변제 전체를 획득하는 것이다.[3]

이동 프레임의 방법

카탄(1937년)Weyl(1938년)이 상세히 기술한 바와 같이 이동 프레임의 일반적 정의와 이동 프레임의 방법을 공식화했다.그 이론의 요소는

  • 거짓말 그룹 G.
  • 기하학적 자동화 그룹이 G클라인 공간 X.
  • X에 대한 (일반화된) 좌표 공간의 역할을 하는 부드러운 다지관 σ.
  • X부터 σ까지의 좌표함수를 결정하는 프레임의 집합 ƒ (프레임의 정확한 성질은 일반적인 공리화에서 모호하게 남아 있다.)

다음 공리는 이러한 요소들 사이에서 유지되는 것으로 가정한다.

  • 프레임 컬렉션에 G의 자유롭고 전이적인 그룹 동작이 있다: G주된 동질 공간이다.특히 어떤 프레임이라도 ƒ과 ƒ′의 쌍에 대해서, 요건(ƒ→ƒ′) = ƒ′에 의해 결정되는 G의 프레임(→→ƒ)의 독특한 전환이 있다.
  • 프레임 ƒ과 점 AX가 주어진 경우, σ에 속하는 점 x = (A, X)가 연관되어 있다.프레임 ƒ에 의해 결정된 이 매핑은 X의 포인트에서 σ의 포인트로의 편향이다.이러한 편향은 다른 프레임 ƒ a에서 점 A의 좌표 x′이 변형 적용( (→→ƒ)에 의해 (A,,)에서 발생한다는 점에서 프레임 구성의 법칙과 양립할 수 있다.그것은

그 방법에 관심이 있는 것은 X의 매개변수화된 하위매니폴드들이다.고려사항은 대부분 국소적이므로 매개변수 도메인은 Rλ 개방된 부분집합으로 간주된다.매개변수화와 함께 서브매니폴드에 관심이 있는지, 아니면 리패라미터까지 서브매니폴드에 관심이 있는지에 따라 조금씩 다른 기법이 적용된다.

접선 프레임 이동

이동 프레임의 가장 흔히 접하는 경우는 다지관의 접선 프레임 묶음(프레임 번들이라고도 함)이다.이 경우 다지관 M의 이동 접선 프레임은 개방 세트 UM의 각 지점에서 접선 공간의 기초를 형성하는 벡터 필드 집합 e1, e2, … en 구성된다.

, 2,… ,x ) U의 좌표계라면, 각 벡터 필드 ej 좌표 벡터 필드 x }{ x의 선형 조합으로 표현될 수 있다.

여기서 각 (는) U의 함수다. 이것들은 행렬 의 성분으로 볼 수 있다 이 행렬은 다음 절에서 설명한 대로 이중 코프레임의 좌표식을 찾는 데 유용하다.

코프레임

이동 프레임은 U 위로 동탄재 번들이중 프레임이나 코프레임을 결정하는데, 이를 이동 프레임이라고도 한다.이것은 부드러운 1폼의 n투플이다.

θ1, θ2, …, θn

U의 각 q 지점에서 선형적으로 독립적이다. 반대로 그러한 코프레임을 감안할 때, e1, e2, 그것n 이중적인, 즉 이중성 관계 relationi(ej) = Δij 만족하는 고유한 이동 프레임이 있다. 여기서 Δij UKronecker 델타 함수다.

, ,… , ) 앞의 절과 같이 U의 좌표계라면, 각 코브터 필드 i x {\의 선형 조합으로 표현할 수 있다

where each is a function on U. Since , the two coordinate expressions above combine to yield ; 행렬의 관점에서 보면 A B B서로 어긋난다고만 되어 있다.

고전역학의 설정에서 표준 좌표로 작업할 때 표준 코프레임은 tautological one-form에 의해 주어진다.직관적으로 기계적 시스템 속도(좌표 접선 번들의 벡터 장에 의해 주어짐)를 시스템의 해당 모멘트a(즉, 형식에 의해 주어짐)와 연관시킨다.tautological one-form은 일반 섬유 다발에 (co-)프레임 장을 제공하는 보다 일반적인 땜납 형태의 특별한 경우다.

사용하다

이동 프레임은 이벤트 p(스팩타임의 포인트, 차원 4의 다지관)에서 프레임 선택을 인근 포인트로 확장할 수 있는 특권적인 방법이 없는 일반상대성이성에서는 중요하므로 반드시 선택을 해야 한다.특수상대성이론에서 대조적으로, M은 벡터 공간 V (차원 4의)로 간주된다.이 경우 p 지점의 프레임은 잘 정의된 방식으로 p에서 다른 지점 q로 번역될 수 있다.대체로 이동 프레임은 관찰자에 해당하며, 특수 상대성에서 구별되는 프레임은 관성 관찰자를 나타낸다.

상대성 및 리만 기하학에서 가장 유용한 종류의 이동 프레임은 직교직교 프레임, 즉 각 지점에서 직교(단위) 벡터로 구성된 프레임이다.주어진 p 지점에서 일반 프레임이 직교화에 의해 직교로 만들어질 수 있다. 사실 이것은 부드럽게 이루어질 수 있다. 그래서 움직이는 프레임의 존재는 움직이는 직교 프레임의 존재를 암시한다.

추가내역

이동 프레임은 항상 국소적으로 존재한다. 즉, M의 어떤 지점 p의 일부 인접 지역 U에 존재한다. 그러나 이동 프레임이 M에 전체적으로 존재하려면 위상학적 조건이 필요하다.예를 들어, M원일 때, 또는 더 일반적으로 토러스일 때, 그러한 프레임이 존재하지만, M2-sphere일 때는 존재하지 않는다.전지구적 이동 프레임을 가진 다지관을 병렬처리 가능함이라고 한다.예를 들어, 지구 표면의 위도경도의 단위 방향이 어떻게 북극과 남극의 이동 프레임으로 분해되는지 참고하십시오.

에일리 카탄프레임 이동 방법은 연구 중인 특정 문제에 적응한 움직이는 프레임을 취하는 것에 기초한다.예를 들어, 공간에서의 곡선이 주어진 경우, 곡선의 처음 3개의 파생 벡터는 일반적으로 그 지점에서 프레임을 정의할 수 있다(정량적 설명을 위해 cf. torsion tensor - 여기서 비틀림이 0이 아니라고 가정함).실제로 프레임 이동 방식에서는 프레임보다는 코프레임으로 작업하는 경우가 더 많다.더 일반적으로, 움직이는 프레임은 오픈 세트 U에 걸쳐 주요 번들의 섹션으로 볼 수 있다.일반적인 카르탄 방법은 카르탄 연결의 개념을 이용하여 이 추상화를 이용한다.

아틀라세

세계적으로 유효한 하나의 기준 프레임을 정의하는 것은 불가능한 경우가 많다.이를 극복하기 위해 일반적으로 프레임을 짜서 지도책을 만들어 국부 프레임의 개념에 도달한다.또한 이러한 아틀라테를 매끄러운 구조로 내주는 것이 바람직하여 결과적인 프레임 필드가 다를 수 있다.

일반화

이 글은 다지관접선다발에 대한 좌표계로서 프레임 장을 구성하지만, 일반적인 생각은 벡터다발의 개념으로 쉽게 넘어간다. 벡터다발은 각 지점에 벡터 공간이 부여된 다지관이다. 벡터 공간은 임의적이며 접선다발과는 일반적으로 관련되지 않는다.

적용들

공간 회전의 주요 축

항공기 기동은 조종사가 기술할 때 이동 프레임(항공기 주축)의 관점에서 표현할 수 있다.

참고 항목

메모들

  1. ^ a b 체른 1985년
  2. ^ D. J. 슈트루익, 고전적 미분 기하학 강의, 페이지 18
  3. ^ a b c 그리피스 1974년
  4. ^ "Affine frame" Proofwiki.org
  5. ^ Cartan(1983) 9를 참조하십시오.접선 프레임 묶음에 대한 부록 2(헤르만).펠스와 올버(1998)는 더 일반적인 기형의 경우에 해당한다.그리피스(1974)는 동질 공간의 tautological principal bundle에 있는 프레임의 경우.

참조