폐쇄 그래프 정리(기능분석)

수학에서, 특히 기능 분석과 위상에서, 닫힌 그래프 정리는 닫힌 그래프를 가진 선형 연산자가 특정 조건에서 연속적이라는 것을 나타내는 근본적인 결과물이다.원래의 결과는 여러 번 일반화되었기 때문에 현재 "폐쇄 그래프 정리"라고 불리는 많은 이론들이 있다.

정의들

그래프 및 닫힌 그래프

$함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$의 그래프가 설정됨$$

통상적으로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 Y ${\displaystyle Y}$이($가{\displaystyle }$) 위상 공간인 경우 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\time$ Y$}$이(가) 제품 위상과 함께 부여되는 것으로 가정한다$$.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ $및$ Y ${\displaystyle Y}$이(가) 위상학적 공간인 경우 $D{\displaystyle }$⊆ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle D\subseteq$ X$,}$ 및$$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle D}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystystyle f:$$D\to Y}$ is a function, then ${\displaystyle f}$ has a closed graph (resp. sequentially closed graph) in ${\displaystyle X\times Y}$ if the graph of ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} f,}$ is a closed (resp. sequentially closed) subset of ${\displaystyle X\times Y.}$ If${\displaystyle }D{\displaystyle }$ = ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$D=$X{\displaystyle }$$}$ 또는$$ X ${\displaystyle$ X$}$이(가) 컨텍스트에서 분명한 경우 "$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ X$\time Y$는 쓰기에서 생략될 수 있다.

선형 연산자

부분 지도(^[1]$f{\displaystyle }$ : X ↣ Y)로 표시된 부분 지도, X ,${\displaystyle$ X$}$의 부분 집합에서 돔 f로 표시된$$ 경우$Y{\displaystyle }$. {\$displaystyle$ Y$.}$f$$${\displaystyle }$: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:$$D\subseteq X\to Y}$이(가) 기록되면 f : X ↣ Y는 부분 맵이고 돔 f = D라는 뜻이다.

${\displaystyle \mathrm{지도}}$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \subseteq }$ X${\displaystyle }$→ Y ${\displaystyle f:$$D\subseteq X\to Y}$이(가) 닫히거나(가) 닫힌 그래프(가)가 있음$f{\displaystyle }$ {\$displaystyle f}$의 그래프가 $X$ ${\displaystyle \times }$ Y ${\displaystyle X\time Y}($$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ Y ${\displaystyle D\time Y})$로 닫힌 경우(순차$$닫힌 그래프 포함)

${\displaystyle \mathrm{지도}}$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \subseteq }$ X${\displaystyle }$→ Y ${\displaystyle f:$$D\subseteq X\to Y}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$ 및 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $Y$$}$이(가) 벡터 ${\displaystyle \mathrm{공간}}$인 경우 선형 연산자 또는$$ 선형 연산자로, $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ X ${\$$displaystyle$ D\$subseteq$ $X$$}$은 $X$의 벡터 하위 공간이며${\displaystyle ,}$ ${\$${\displaystyle D}$ →$:$$D\to Y}$는 선형 지도다.

닫힌 선형 연산자

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 위상학적 벡터 공간(TV)이라고$$ 가정해 보십시오.

${\displaystyle \mathrm{선형}}$ 연산자 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:$$D\subseteq X\to Y}$ 그래프가 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$. ${\displaystyle X\time Y.}$에서 닫힌 경우 닫힌 선형 연산자 또는 닫힌 선형 연산자라고 부른다$$.

닫을 수 있는 지도 및 폐쇄

${\displaystyle \mathrm{선형}}$ 연산자 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:$$D{\displaystyle }$$\$$subseteq$ X\$to$ $Y$$}$은(는) ${\displaystyle D}$ ${\$displaystyle D$}$을(를) $포함하는 벡터$ $하위{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{공간}}$ E${\displaystyle }$$\$ X $display$ X {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $E\subseteq X}$과(resp. 다기능) $F{\displaystyle }$: E${\displaystyle }$${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle Y}$ {\$displaystystystyle F:$$E\to Y}$ whose graph is equal to the closure of the set ${\displaystyle \operatorname {Gr} f}$ in ${\displaystyle X\times Y.}$ Such an ${\displaystyle F}$ is called a closure of ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle X\times Y}$, is denoted by ${\displaystyle {\overline {f}},}$그리고 반드시 $f{\displaystyle .}${\$displaystyle f.$$}$

${\displaystyle f}$: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:$$D\subseteq X\to Y}$ is a closable linear operator then a core or an essential domain of ${\displaystyle f}$ is a subset ${\displaystyle C\subseteq D}$ such that the closure in ${\displaystyle X\times Y}$ of the graph of the restriction ${\displaystyle f{\big \vert }_{C}:$$C\to Y}$ of ${\displaystyle f}$ to ${\displaystyle C}$ is equal to the closure of the graph of ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle X\times Y}$ (i.e. the closure of ${\displaystyle \operatorname {Gr} f}$ in ${\displaystyle X\times Y}$ is equal to the closure of ${\displaystyle \mathrm{Gr}f{}_C}$$$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$의 ${\displaystyle \operatorname {Gr} f{\big \vert }_{C}}).$$$

폐쇄형 지도 대 폐쇄형 선형 연산자

함수 분석에서 문헌을 읽을 때 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ $[\displaystyle f:X\to Y}$이(가) 위상학적 벡터 공간(TV) 사이의 선형 지도라면 "${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 거의 항상 그래프가 닫힌다는 것을 의미할 것이다.그러나 "${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 닫혔으며, 특히 점 집합 위상에 대한 문헌에서 대신 다음을 의미할 수 있다.

위상학적 공간 사이의$$ $지도{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$을(를) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 닫힌 부분 집합 이미지가 $Y{\displaystyle }$. ${\displaystyle Y}$의 닫힌 부분 집합인$$ 경우 닫힌 맵이라고 한다.

"폐쇄 지도"의 이 두 정의는 동등하지 않다.만약 그것이 불분명하다면, 독자는 그들이 읽고 있는 문헌에 의해 "폐쇄 지도"가 어떻게 정의되는지를 확인하는 것이 좋다.

닫힌 그래프의 특성 지정(일반 토폴로지)

전체적으로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 $Y$ ${\displaystyle Y}$을(를) 위상학적 공간으로 하고$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ X$\time Y}$을(를) 제품 위상과 함께 부여한다$$.

닫힌 그래프를 사용한 함수

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:X\to Y}$이(가) 함수일$$ 경우, 다음 조건 중 하나를 만족하면 닫힌 그래프가 있다고 한다.

1. (정의):$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 그래프 ${\displaystyle \mathrm{Gr}}$ ${\displaystyle }$ f ${\displaystyle \operatorname {Gr}$은(는) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ Y${\displaystyle }$. ${\displaystyle X\times$ Y$.}$의 닫힌 부분 집합이다.
2. For every ${\displaystyle x\in X}$ and net${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ in ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ in ${\displaystyle X,}$ if ${\displaystyle y\in Y}$ is such that the net ${\displaystyle f}$$($ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$( ${\displaystyle {x_{}}_{}}$ i${\displaystyle {{}_{}}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\$left$(f\left)(x_{i}\right)_{i\in I}$의 Y$$= $x$ ${\displaystystylease$ y$=y$ y=f$.$$}$^[2]
   • Compare this to the definition of continuity in terms of nets, which recall is the following: for every ${\displaystyle x\in X}$ and net ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ in ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ in ${\displaystyle }$$X{\displaystyle }$${\displaystyle }$, ${\$$displaystyle X$$,}$${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)$ in Y$$$.}$
   • Thus to show that the function ${\displaystyle f}$ has a closed graph, it may be assumed that ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$ converges in ${\displaystyle Y}$ to some ${\displaystyle y\in Y}$ (and then show that ${\displaystyle y=f(x)}$) while to show that ${\di$$splaystyle f}$ is continuous, it may not be assumed that ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$ converges in ${\displaystyle Y}$ to some ${\displaystyle y\in Y}$ and instead, it must be proven that this is true (and moreover, it must more specifically be proven that ${\displaysty$$le$ f$\left(x_{\bullet }\오른쪽)}$은(는) $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의${\displaystyle }$f (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}($으$$)로 수렴한다.$$

$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) Hausdorff 컴팩트 공간이라면 이 목록에 추가하십시오.

3. ${\displaystyle f}$ $[\displaystyle f}$은(는) 연속적이다$$.^[3]

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 모두 먼저 카운트할 수 있는 공간인$$ 경우 다음 목록에 추가하십시오.

4. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$에는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$. ${\displaystyle X\time$ Y$.}$의 순차 닫힌 그래프가 있음$$

순차적으로 닫힌 그래프로 함수

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:X\to Y}$이(가) 함수인$$ 경우, 다음과 같다.

1. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$에는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$. ${\displaystyle X\time$ Y$.}$의 순차 닫힌 그래프가 있음$$
2. 정의: $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 그래프는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$. ${\displaystyle X\time$ Y.}의 순차적으로 닫힌 부분 집합이다$.$
3. For every ${\displaystyle x\in X}$ and sequence ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ in ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ in ${\displaystyle X,}$ if ${\displaystyle y\in Y}$ is such that ${\displaystyle {}_{}}$ $f{\displaystyle }$( x ${\displaystyle {\bullet }_{}}$) ${\displaystyle :={}_{}^{}}$( f${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle {x_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$)${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$→ ${\displaystyle y}$ $[\displaystyle f\left(x_{\ft }\오른쪽):$$=\$$left(f\lift(x_{i}\$$right$)\right)$_{i=1$}^{\$infit }\to y$$},$ $그$ 다음$$ y${\displaystyle }$= ${\displaystyle f(x}$)${\displaystyle }$. ${\displaysty$ y$=f(x).$$}$^[2]

닫힌 그래프가 있는 맵의 기본 속성

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle D}$(${\displaystyle f}$ ) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:D(f)\subseteq X\to Y}$이(가) Banach 공간 사이의 선형 연산자라고 가정합시다.

• ${\displaystyle A}$을(를) 닫으면$$ A${\displaystyle }$- s ${\displaystyle {ID}_{}}$ D$){\$$operatorname$${Id}$ $_{$$D(f)}$이(가) 닫히고$$ 여기서 s ${\$$displaystystyle$$s}$은(는$)$ 스칼라,$$ 함수는 {$d(f)$이다.
• $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 닫힌 경우 커널(또는 nullspace)은 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X.}$의 닫힌 벡터 하위 공간이 된다.
• $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을(를) 닫고 주입하면 역 $f{\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\$도 닫힌다$$.
• A linear operator ${\displaystyle f}$ admits a closure if and only if for every ${\displaystyle x\in X}$ and every pair of sequences ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ and ${\displaystyle z_{\bullet }=\left(z_{i}$$\right)_{i=1}^{\infty }}$ in ${\displaystyle D(f)}$ both converging to ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X,}$ such that both ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$ and ${\displaystyle f\left(z_{\bullet }\right)={(}_{}^{}}$${\displaystyle f\left(z_{\bullet }\right)=\left(f\left(z_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$ converge in ${\displaystyle Y,}$ one has ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }f\left(x_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }f\left(z_{i}\right).$$}$

예제 및 counterexample

연속형 맵이지만 닫히지 않음

• Let ${\displaystyle X}$ denote the real numbers ${\displaystyle \mathbb {R} }$ with the usual Euclidean topology and let ${\displaystyle Y}$ denote ${\displaystyle \mathbb {R} }$ with the indiscrete topology (where ${\displaystyle Y}$ is not Hausdorff and that every function valued in ${\displaysty$$Le Y}$은(는) 연속이다.Let ${\displaystyle f:X\to Y}$ be defined by ${\displaystyle f(0)=1}$ and ${\displaystyle f(x)=0}$ for all ${\displaystyle x\neq 0.}$ Then ${\displaystyle f:X\to Y}$ is continuous but its graph is not closed in ${\displaystyle X\times Y.}$^[2]
• If ${\displaystyle X}$ is any space then the identity map ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$ is continuous but its graph, which is the diagonal ${\displaystyle \operatorname {Gr} \operatorname {Id} =\{(x,x):x\in X\},}$ is closed in ${\displaystyle X\times X}$ if$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 하우스도르프일 경우에만$$.^[4]특히 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Hausdorff가 아닐 경우 ${\displaystyle \mathrm{ID}}$: ${\displaystyle X}$→ X ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to$ X$}$은(는) 연속적이지만$$ 닫히지 않는다.
• $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$이(가) 그래프가 닫히지 않은 연속형 맵이라면$$ $Y{\displaystyle }${\$displaystyle Y}$은(는) 하우스도르프 공간이 아니다.

닫혔지만 연속되지 않은 지도

• If ${\displaystyle (X,\tau )}$ is a Hausdorff TVS and ${\displaystyle \nu }$ is a vector topology on ${\displaystyle X}$ that is strictly finer than ${\displaystyle \tau ,}$ then the identity map ${\displaystyle \operatorname {Id} :(X,\tau )\to (X,\nu )}$ a closed discontin우성 선형 ^[5]연산자
• $여기$서 $X{\displaystyle }$=${\displaystyle }$${\displaystyle Y}$= ${\displaystyle C}$(${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$) ${\dplaystyle$ $A={\frac {d}{dx}}$을(를$)$ $고려하십시오.$$}$은(는) 간격에 있는 모든 연속함수의 Banach 공간이다${\displaystyle .}$ [$].$ ${\displaystyle [a,b$].$}$ 도메인 $D{\displaystyle (f}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle D(f)}$을(를) ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle ([}$ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle C^{1}([a,b]))$로 한다면 f$$ ${\displaystyle$ f}은(는$)$ $폐쇄$ 연산자로$$, 경계가 지정되지 않는다.^[6]한편, D(f) = $C{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ (${\displaystyle }$[${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b]}$ ) . ${\displaystyle$ C$^{\inflt }([a,b])$일 경우.$\},$ 그러면 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 더 이상 닫히지 않지만$$ 닫힘이 될 것이며 닫힘은 C ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$[${\displaystyle }$a ,${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ )에 정의된 확장자가 될 것이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle C^{1}([a,b]).$$}$
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 모두 일반적인 유클리드 위상에서의 실제 숫자$$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {$R}을($를) 나타내도록 하십시오.Let ${\displaystyle f:X\to Y}$ be defined by ${\displaystyle f(0)=0}$ and ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ for all ${\displaystyle x\neq 0.}$ Then ${\displaystyle f:X\to Y}$ has a closed graph (and a sequentially closed graph) in ${\d$$isplaystyle X\time$ Y$=\mathb {R} ^{2}}:$ 그러나$$ 연속은 아니다($x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=0}$에 불연속성이 있기 때문에).$$^[2]
• Let ${\displaystyle X}$ denote the real numbers ${\displaystyle \mathbb {R} }$ with the usual Euclidean topology, let ${\displaystyle Y}$ denote ${\displaystyle \mathbb {R} }$ with the discrete topology, and let ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to Y}$ be the identity map (i.e.${\displaystyle \operatorname {Id}(x):$모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in$ X$}$에 대한$$$=x}$그러면 ${\displaystyle \mathrm{ID}}$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to$ Y$}$는 그래프가 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ Y ${\displaystyle$ X\$time Y}$로 닫힌 선형 지도지만 분명히 연속적이지 않다(싱글톤 세트는 Y ${\$$displaysty Y$$}$에서 열렸지만 X$}$에서는 열리지 않음).$$^[2]

닫힌 그래프 정리

바나흐 공간 사이

연산자는 어디서나 정의되어야 한다. 즉, $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 도메인 $D{\displaystyle (T)}$ ${\displaystyle$ $D$$(T)}$은 $X{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ X$.}$ 이 조건은$$ 무한(연속적이지 않음)인 폐쇄형 선형 연산자가 존재하므로, $C$에서 파생 연산자에 의해 프로토타입적인 예가 제공된다.${\displaystyle (}$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ C$([0,1]),$ $도메인$이 C${\displaystyle ([0,}$ ${\displaystyle 1]}$ .${\displaystyle$ C$([0,1$])의 엄격한 부분 집합인 {\displaystystyle C([0,1$]).$$}$

닫힌 그래프 정리의 통상적인 증명은 개방형 매핑 정리를 채택한다.사실 폐쇄 그래프 정리, 오픈 맵핑 정리, 경계 역정리는 모두 동등하다.이러한 동등성은 $또한{\displaystyle }$ Banach로서 X ${\displaystyle X}$과 Y ${\displaystyle Y}$의 중요성을 입증하는 역할을 한다. 예를 들어, 콤팩트한 지원을 가진 연속 함수를 사용하거나 위트를 따라 0이 아닌 많은 항을 가진 시퀀스를 사용하여 이 설정에서 무한의 invers를 갖는 선형 지도를 구성할 수 있다.최고의 규범이다.

완전한 메트리징 코도메인

닫힌 그래프 정리는 바나흐 공간부터 보다 추상적인 위상학적 벡터 공간까지 다음과 같은 방법으로 일반화할 수 있다.

F-스페이스 사이

$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$을(를) 로컬 볼록하게 하지 않아도$$ 되는 버전이 있다.

이 정리는 다시 작성되며 그래프가 닫혔는지 여부를 결정하는 데 사용할 수 있는 몇 가지 조건으로 확장된다.

완전 유사측정 가능 코도메인

모든 측정 가능한 위상학적 공간은 유사하게 측정 가능하다.유사 측정 가능한 공간은 하우스도르프일 경우에만 측정이 가능하다.

코도메인이 완전하지 않거나 (의사) 메트리징 가능

클로즈드 그래프 정리의 훨씬 일반적인 버전은

보렐 그래프 정리

L에 의해 증명된 보렐 그래프 정리.슈워츠는 닫힌 그래프 정리가 분석에서 접하는 대부분의 공간에서 정의되고 평가되는 선형 지도에 유효하다는 것을 보여준다.^[13]위상학적 공간은 분리 가능한 완전한 메트리징 가능한 공간이라면 폴란드 공간이라고 불리며, 소슬린 공간은 폴란드 공간의 연속적인 이미지임을 상기하라.분리 가능한 프래쳇 공간의 약한 이중과 분리 가능한 프래쳇-몬텔 공간의 강한 이중은 수슬린 공간이다.또한 유클리드 공간의 오픈 서브셋 위에 분포된 공간과 모든 Lp-스페이스는 분석에서 발생하는 많은 다른 공간들이 소슬린 공간이다.보렐 그래프 정리에는 다음과 같이 명시되어 있다.

A에 의해 증명된 이 정리의 개선.Martineau, K-analytic space를 사용한다.

위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 콤팩트 세트의 계수 가능한 조합의 교차점이라면 K라고_σδ 부른다$$.

Hausdorff 위상학적 공간 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y$$}$이(가) K_σδ 공간의 연속 이미지인 경우($즉$_σδ, Y {\displaystyle $X$$}$에 대한 K 공간 X ${\displaystyle$ X}와 X$${\$displaysty$$X$}$$의 연속 지도가 있는 경우$$ K 분석법이라고 한다.

모든 콤팩트 세트는 K-analytic으로 분리할 수 없는 K-analytic 공간이 있다.또한 모든 폴란드어, 수슬린어, 반사적인 프레셰트 공간은 프리셰트 공간의 약한 이중처럼 K-분석적이다.일반화된 보렐 그래프 정리는 다음과 같이 기술되어 있다.

관련결과

$F{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:X\to$ Y$}$이(가) Hausdorff 로컬 볼록 TVS $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 Hausdorff 유한 차원 $TVS{\displaystyle }$ Y ${\displaysty Y}($으$$)로$$ 닫힌 선형 연산자라면 F는 연속이다.^[15]

참고 항목

• 거의 열린 선형 지도
• 바나흐 공간 – 완성된 표준 벡터 공간
• 경계 공간 – 위상 벡터 공간
• 닫힌 그래프 – 제품 공간에서 닫힌 지도 그래프
• 닫힌 선형 연산자
• 연속선형지도
• 조밀하게 정의된 연산자 – 거의 모든 곳에서 정의되는 기능(수학)
• 불연속 선형 지도
• 카쿠타니 고정점 정리 – 콤팩트한 비빈 볼록 부분집합 S⊂ⁿ의 함수 f: S→Pow(S)가 고정점을 갖는 경우
• 국소 볼록형 위상 벡터 공간 – 볼록형 오픈세트로 정의된 위상형 벡터 공간
• 개방형 매핑 정리(기능분석) – 선형 연산자가 개방될 수 있는 조건
• 위상 벡터 공간 – 근거리 개념의 벡터 공간
• Ursescu 정리 – 닫힌 그래프의 일반화, 개방형 매핑, 균일한 경계 정리
• 웹베드 공간 – 열린 매핑과 닫힌 그래프 이론이 있는 공간

참조

참고 문헌 목록

• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topological Vector Spaces: The Theory Without Convexity Conditions. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 639. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003.
• Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [Theory of Linear Operations] (PDF). Monografie Matematyczne (in French). Vol. 1. Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901. Archived from the original (PDF) on 2014-01-11. Retrieved 2020-07-11.
• Berberian, Sterling K. (1974). Lectures in Functional Analysis and Operator Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 15. New York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401.
• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur certains espaces vectoriels topologiques [Topological Vector Spaces: Chapters 1–5]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. Vol. 2. Translated by Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
• Conway, John (1990). A course in functional analysis. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
• Edwards, Robert E. (1995). Functional Analysis: Theory and Applications. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Convergence Foundations Of Topology. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
• Dubinsky, Ed (1979). The Structure of Nuclear Fréchet Spaces. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 720. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09504-0. OCLC 5126156.
• Grothendieck, Alexander (1973). Topological Vector Spaces. Translated by Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, S. M. (1978). Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topological Vector Spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 159. Translated by Garling, D.J.H. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
• Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). The Convenient Setting of Global Analysis (PDF). Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 53. Providence, R.I: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0780-4. OCLC 37141279.
• Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Swartz, Charles (1992). An introduction to Functional Analysis. New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.
• "Proof of closed graph theorem". PlanetMath.