리에즈 표현 정리

이 기사는 힐버트 공간의 이중화에 관한 정리를 설명한다. 선형 함수와 측정에 관련된 이론은 Riesz-Markov-Kakutani 표현 정리를 참조한다.

프리게스 리츠와 모리스 레네 프레셰트의 이름을 따서 리제스-프레셰트 표현 정리라고도 하는 리제즈 표현 정리는 힐베르트 공간과 그 연속적인 이중 공간 사이에 중요한 연결을 설정한다. 기초가 실수인 경우 두 필드는 등축성 이형성이고, 기초가 복잡한 숫자인 경우 이형성 이형성 이형성 이형성 이형성 이형성 이형성 이형성 이형성 이형성 이형성 이형성 이형성 이형성 이형성 이형성 이형성인 것이다. (반-반-) 이형성은 다음에 설명될 것처럼 특정한 자연적인 것이다; 자연적인 이형성이다.

예행 및 표기법

Let ${\displaystyle H}$ be a Hilbert space over a field ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ where ${\displaystyle \mathbb {F} }$ is either the real numbers ${\displaystyle \mathbb {R} }$ or the complex numbers ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ If ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$$$ (${\displaystyle resp\mathbb{}}$. $F{\displaystyle \mathbb{}}$= R ${\$ {$F} =\mathb$ {R$}$ )인 $경우{\displaystyle }$ H ${\displaystyle$ H$}$을(resp. resp. 실제 Hilbert 공간)라고 부른다. 모든 실제 힐버트 공간은 그것의 복잡화라고 불리는 독특한 (비주사적 등위계에 이르는) 복잡한 힐버트 공간의 조밀한 부분집합으로 확장될 수 있으며, 그래서 힐버트 공간은 종종 자동으로 복잡하다고 가정된다. 실제적이고 복잡한 힐버트 공간은 많은 공통점을 가지고 있지만, 결코 전부는 아니다, 특성 및 결과/이론.

이 글은 수학자와 물리학자를 위한 것으로, 양쪽 모두에 대한 정리를 기술할 것이다. 수학 및 물리학 모두에서 힐버트 공간이 실제라고 가정할 경우($즉{\displaystyle \mathbb{},}$ ${\displaystyle F\mathbb{}}$ =$$R {\$displaystyle \mathb${F} =\$mathb${R$\}\})$ 이는 일반적으로 분명하게 나타난다. 흔히 수학에서, 특히 물리학에서 달리 명시되지 않는 한, "힐버트 공간"은 대개 "복잡한 힐버트 공간"을 의미하는 것으로 자동 가정된다. 저자에 따라 수학에서 "힐버트 공간"은 대개 (1) 복잡한 힐버트 공간 또는 (2) 실제 힐버트 공간 또는 복잡한 힐버트 공간을 의미한다.

선형 및 반선형 지도

정의에 따르면 반선형 지도(결합-선형 지도라고도 함) ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle H}$→ Y ${\displaystyle f:$$H\to Y}$은(는) 벡터 공간 사이의 지도로서 다음과 같은 가법이다.

및 반선형(결합-선형 또는 결합-변형이라고도 함):

이와 대조적으로 $지도{\displaystyle f}$ : H${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\디스플레이 스타일$ f$:$$H\to Y}$은(는) 가법적이고 동질적인 경우 선형:

모든 상수 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$ 맵은$$ 항상 선형 및 반선형 맵이다. $F{\displaystyle \mathbb{}}$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$이면 선형$$ 지도와 반선형 맵의 정의는 완전히 동일하다. 힐베르트 공간으로부터 바나흐 공간으로의 선형 지도(또는 보다 일반적으로, 바나흐 공간으로부터 위상 벡터 공간으로의 선형 지도)는 경계가 있는 경우에만 연속된다. 반선형 지도도 마찬가지다. 반선형(resp)의 역행. 선형) 편향은 다시 반선형(resp)이다. 선형) 편향 두 개의 반선형 맵의 구성은 선형 맵이다.

연속 이중 및 반이중 공간

A functional on ${\displaystyle H}$ is a function ${\displaystyle H\to \mathbb {F} }$ whose codomain is the underlying scalar field ${\displaystyle \mathbb {F} .}$ Denote by ${\displaystyle H^{*}}$ (resp. by ${\displaystyle {\overline {H}}^{*})}$ the set of all continuous linear $($. 연속 반선형) H , {\$displaystyle H,}$의 함수, 이를 (연속형) 이중 공간(resp)이라고 한다. H.{H.\displaystyle}의(연속)anti-dual 공간)[1]만약 F=R{\displaystyle \mathbb{F}=\mathbb{R}}그때 선형 functionals에 H{H\displaystyle}와 동일antilinear functionals고 뒤이어, 같은 것이 참에 대한 지속적인 지도:저것은, H∗=H¯ ∗.{\displaystyle H^{*.})${\overline{H}^{*}.$$}$

선형 및 반선형 함수 사이의 일대일 대응

기능 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle H\mathbb{}}$→ F${\displaystyle }$, ${\디스플레이 스타일$ f$~~:~$$H{\displaystyle }$$\to \mathb {F},}$ f ${\displaystyle f}$의 결합은 기능이다$$.

This assignment is most useful when ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ because if ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ then ${\displaystyle f={\overline {f}}}$ and the assignment ${\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$ reduces down to the identity map.

할당 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ $'{\$는 다음 집합에서 반선형 생물주사적 서신을 정의한다$$.

$모든{\displaystyle }$ 함수${\displaystyle (}$resp. 모든 선형 함수, 모든 연속 선형 함수 $H{\displaystyle {}^{}}$∗{\$displaystyle H$ H , {\$displaystyle H,}$

의 선상에

$모든{\displaystyle }$ 기능(모든 반선형 기능, 모든 연속 반선형 기능 $H{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ $∗{\$의 H${\displaystyle .}$ ${\displaystyle H.}$

수학 대 물리학 개념과 내부 생산물의 정의

The Hilbert space ${\displaystyle H}$ has an associated inner product ${\displaystyle H\times H\to \mathbb {F} }$ valued in ${\displaystyle H}$'s underlying scalar field ${\displaystyle \mathbb {F} }$ that is linear in one coordinate and antilinear in the other (as described in detail below). $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 복잡한 힐버트 공간($F{\displaystyle \mathbb{}}$= ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$ }을$($를) 매우 자주 사용하는 경우라면 어느 좌표가 반선형이고 어떤 선형인지 매우 중요한 기술적 특성이 된다. 그러나 $F{\displaystyle \mathbb{}}$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$인 경우$$ 내부 제품은 각 좌표(즉, 이선)에서 동시에 선형이고 각 좌표에서 반선형인 대칭 맵이다. 따라서 어느 좌표가 선형이고 어느 좌표가 반선형인지에 대한 문제는 실제 힐버트 공간과는 무관하다.

내부 제품 표기법

In mathematics, the inner product on a Hilbert space ${\displaystyle H}$ is often denoted by ${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$ or ${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle _{H}}$ while in physics, the bra–ket notation ${\displaystyle \lef$$t\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle }$ 또는$$ ${\displaystyle {⟨}_{}}$ ⋅ ${\displaystyle {\cdot }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$가 대신 사용된다$$. 이 글에서 이 두 가지 명언은 평등에 의해 관련된다.

내부 제품의 정의 완료

지도 ${\displaystyle ⟨,\cdot ,}$ ⋅, \,$$\, {\$displaystyle \langle \cdot,\cdot \right\rangle$} 및$$ $⟨{\displaystyle }$ maps${\displaystyle \cdot }$ ⋅ ∣ ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle \{}$ { {,$$\$displaysty \langle$ \$cdot \cdot \cdot$ \$langle}$은 다음과 같은 두 가지 속성으로 가정한다$$.

1. 지도 ${\displaystyle ⟨,\cdot ,}$ \, \,$\displaystyle$\좌측\$langle \cdot ,\cdot \right$$\rangle$$}$은 첫 번째 좌표에서 선형이며, 이와 동등하게 지도 ${\displaystyle ⟨}$ ⋅ ${\displaystyle \mid }$ { ${\displaystyle \{}$ { { ${\displaystyle \{}$ {${\$ \$cdot \midot$\cdot \$langle$}은 두 번째 좌표에서 선형이다$$. Explicitly, this means that for every fixed ${\displaystyle y\in H,}$ the map that is denoted by ${\displaystyle \left\langle \,y\mid \cdot \,\right\rangle =\left\langle \,\cdot ,y\,\right\rangle :$$H\to \mathb {F} }$에 정의됨$$
   $$\displaystyle h\mapsto \left\langle \,y\,\right\langle \,h,y\,\right\langle \quad {\text{\cH}모든 경우에 해당됨$$

   
   $H$ ${\displaystyle$ H$.}$의 선형 함수
   • 사실 이 ${\displaystyle 선형}$ 기능은 연속적이기 때문에 $⟨{\displaystyle }$ y ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle ==}$ = ${\displaystyle \cdot }$ ⋅, y${\displaystyle ⟩{}^{}}$ H ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \left\langle \,y\mid \cdot \,\langle \,\cdot;y\,\right\angle$\langle \$in H^{*}}}$
2. 지도 ${\displaystyle ⟨,\cdot ,}$ \, \,$displaystyle$\좌측\$langle \cdot ,\cdot \right\$$angle$ $}$은 두 번째 좌표에서 반선형이며, 마찬가지로 지도 map${\displaystyle }$map ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \backslash }$ ${\displaystyle \backslash }$ \ \ \${\displaystyle }$\ ${$langle$}}}}}}$은 반선형이다. Explicitly, this means that for every fixed ${\displaystyle y\in H,}$ the map that is denoted by ${\displaystyle \left\langle \,\cdot \mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,\cdot \,\right\rangle :$$H\to \mathb {F} }$에 정의됨$$
   $$\displaystyle h\mapsto \left\langle \,h\mid y\,\right\langle \,y,h\,\right\langle \quad {\text{\cH}모든 경우에 해당됨$$

   
   $H$ ${\displaystyle$ H$.}$의 반선형 기능
   • 실제로 이 반선기능은 지속적이기 때문에$⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ y ${\displaystyle y}$ y ${\displaystyle =}$= ${\displaystyle =}$ =${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \backslash {}^{}}$h${\displaystyle }$h${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{\stackrel{}{}}}$ \ \ \ \ \ \${\displaystyle {}^{}}$\ \ \ \ \$\left\langle \light\langle \, \y$,\$cdot$$\{*}.$$}$

수학에서 지배적인 관습(즉, 내적 생산물의 정의)은 내적 생산물이 첫 번째 좌표에서는 선형이고 다른 좌표에서는 반선형이라는 것이다. 물리학에서 관례/정의는 불행히도 정반대인데, 내생물이 두 번째 좌표에서는 선형이고 다른 좌표에서는 반선형이라는 뜻이다. 이 글은 한 가지 정의를 다른 정의보다 선택하지는 않을 것이다. 대신, 위에 제시된 가정들은 수학 표기법${\displaystyle }$notation${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \cdot ,}$ ⋅,$$\, \$displaystyle \left\langle \cdot,\cdot \right\angle$ ${\displaystyle \}\}}$이(가) 내부 제품에 대한 수학적 관습/정의(즉, 첫 번째 좌표에서 선형이고 다른 좌표에서는 반선형)를 만족하도록 만든다${\displaystyle .}$${\displaystyle ⟩}$ ${\$은(는) 내부 제품에 대한 물리학 규약/정의$$(즉, 두 번째 좌표에서는 선형이고 다른 좌표에서는 반선형). 따라서 위의 두 가정은 각 분야에서 사용되는 표기법을 좌표가 선형이고 반선형인 필드의 규약/정의와 일치하도록 만든다.

이중공간과 반이중공간에 표준규범과 내제품

$x{\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle$ x$=y}$인 경우 $⟨{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=}$ =${\displaystyle x}$ x , $x$ $\langle$\,$x\mid$ x$\,\langle =\,\langle$\,$x\,\rangele$}은(는) 음이 아닌 실제 번호로 지도는$$ 음수가 된다.

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$을(를) 정규화된 공간으로 만드는$$ 표준$$ 규범을 H ${\displaystyle H}$에 정의한다.^[1] 모든 표준 공간과 마찬가지로 (연속) 이중 공간 $∗{\$ H$^{*}$는 다음과^[1] 같이 정의되는 표준 규격(dual norm)을 가지고$$ 있다.

$\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {H{\stackrel{}{}\ast }^{}}_{}}$$∗,$ {\$displaystyle$ {\$overline{$H}^{*}}, ${\displaystyle$\$f\ _{\overline{H}^{*}}}}$에 표시된 반듀얼 공간 $H$의 표준은 다음과 같은 방정식을 사용하여 정의된다$$.^[1]

$∗{\$에 대한 이 표준규격은 평행사변형 법칙을 충족하며$$, 이는 양극화 정체성을 $사용$하여 H ${\displaystyle {\ast }^{}}$, ${\displaystyle$ H$^{*}$에 표준 내제품을 정의할 수 있다는 것을 의미하며$$, 이는 이 논문이 인용할 것이다.

이 내부 제품은 $∗{\$Hilbert 공간으로$$ 변신한다. There are now two ways of defining a norm on ${\displaystyle H^{*}:}$ the norm induced by this inner product (that is, the norm defined by ${\displaystyle f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{H^{*}}}}}$) and the usual dual norm (defined as the supremum over the closed unit ball). 이러한 규범들은 동일하다. 명시적으로 이것은 모든 $f{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ :${\displaystyle f\in$ H$^{*}$에 대해 다음 사항이 유지됨을 의미한다.

나중에 설명하겠지만, Riesz 표현 정리는 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$에 대한 표준규범과 표준내제품의 등가 정의를 내리는 데 사용될 수 있다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ H$^{*}}$

위에서 사용된 것과 동일한 방정식을 $사용$하여 H ${\displaystyle H}$의$$반이중 공간 $H{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\H}^{*}$에 표준 및 내부 제품을 정의할 수도 있다.$}$^[1]

이중과 반비례 사이의 표준 등분법

위에서 정의한 $기능$ f${\displaystyle }$, ${\displaystyle f}$의 복합 결합 ${\$이(가) 충족됨

모든 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$∗ ${\$ 및$$ 모든 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ ${\displaystyle g\in {\overline {H}^{*}}}$에 대해 이것은 정확히 다음과 같이 정의된다. 반비례 ${\displaystyle {콩}^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle \text{H}{\stackrel{\text{'}}{}}^{}}$→ → ${\displaystyle {}^{}{}^{}{\ast }^{}}$ ${\$^{-$1}~{\overline{H}^{*}}\to$ H$^{*}}}}}$은 반선 등각형이며 결과적으로 동형성이다. The inner products on the dual space ${\displaystyle H^{*}}$ and the anti-dual space ${\displaystyle {\overline {H}}^{*},}$ denoted respectively by ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{H^{*}}}$ and ${\displaystyle \langle \$$,\cdot \...\cdot \,\$cdot \,\$rangele _{\overline{$H}^{*}},}은$$(는) 다음에 의해 관련된다. 그리고

${\displaystyle F\mathbb{}}$= R ${\$인 $경우$ H${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}{}^{}}$ = ${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$∗$${\$displaystyle$ H$^{*}={\overline {H}^{*}}}}}}}$와 이 표준 지도 ${\displaystyle \mathrm{Cong}}$${\displaystyle :}$ ${\displaystyle {}^{}}$ → $∗$ {\$displaystyleveloperatorname$ {$Con}$ :$H^{*}\to {\overline{H}^{*}}}$은(는) ID 맵까지 감소한다$$.

리에즈 표현 정리

Two vectors ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ are orthogonal if ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0,}$ which happens if and only if ${\displaystyle \ y\ \leq \ y+sx\ }$ for all scalars ${\displaystyle s.}$$$^[2] 부분 집합 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C\subseteq H}$의 직교 보어는 다음과$$ 같다.

which is always a closed vector subspace of ${\displaystyle H.}$ The Hilbert projection theorem guarantees that for any nonempty closed convex subset ${\displaystyle C}$ of a Hilbert space there exists a unique vector ${\displaystyle m\in C}$ such that ${\displaystyle \ m\ =\inf _{c$$\in C}\\;},$ 즉$$ $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ C ${\displaystyle m\in C}$은(는) $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ‖ ${\displaystyle \Vert }$ . . ${\displaystyle .}$${\displaystyle c}$ c c${\displaystyle }$$c$ $‖.$ {\$displaysty$c\$mapsto \c\}$에 의해 정의된 (${\displaystyle \mathrm{유일한}}$) $전역{\displaystyle }$ 최소 지점이다${\displaystyle .}$

성명서

역사적으로 이 정리는 1907년 리에즈와 프레셰트에게 동시에 귀속되는 경우가 많다(참고 참조).

관측치

$\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ H$^{*}}}}$인 경우

So in particular, ${\displaystyle \varphi \left(f_{\varphi }\right)\geq 0}$ is always real and furthermore, ${\displaystyle \varphi \left(f_{\varphi }\right)=0}$ if and only if ${\displaystyle f_{\varphi }=0}$ if and only if ${\displaystyle \varphi =0.$$}$

아핀 하이퍼플레인으로서의 선형 함수

A non-trivial continuous linear functional ${\displaystyle \varphi }$ is often interpreted geometrically by identifying it with the affine hyperplane ${\displaystyle A:=\varphi ^{-1}(1)}$ (the kernel ${\displaystyle \ker \varphi =\varphi ^{-1}(0)}$ is also often visualized alongside ${\displaystyle A:=\varphi ^{-1}(1)}$ although knowing ${\displaystyle A}$ is enough to reconstruct ${\displaystyle \ker \varphi }$ because if ${\displaystyle A=\varnothing }$ then ${\displaystyle \ker \varphi =H}$ and otherwise ${\displaystyle \ker$$\varphi =A-A}$ ).$$ 특히 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$의 표준은 어떻게든 "$하이퍼플레인{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$의 표준"으로 해석할 수 있어야$$ 한다.$$ 언제 φ{\displaystyle \varphi \neq 0}0≠ 다음 리스 표현 정리 hyperplane[주 3]A:=φ− 1(1){\displaystyle A:=\varphi ^{)}(1)}을 정리의 성명에서, ‖φ ‖의 표기법을 사용하여 다음과 같이‖φ ‖{\displaystyle\와 같이 \varphi)}의 affine의 조건에 나타난 이러한 해석을 제공한다. 2≠${\displaystyle \ \varphi \ ^{2}\neq 0}$ it follows that ${\displaystyle C:=\varphi ^{-1}\left(\ \varphi \ ^{2}\right)=\ \varphi \ ^{2}\varphi ^{-1}(1)=\ \varphi \ ^{2}A}$ and so ${\displaystyle \ \varphi \ =\l$$eft\ f_{\varphi }\right\ =\inf _{c\in C}\ c\ }$ implies ${\displaystyle \ \varphi \ =\inf _{a\in A}\ \varphi \ ^{2}\ a\ }$ and thus ${\displaystyle \ \varphi \ ={\frac {1}{\inf _{a\in A}\ a\ }}.}$ This can also be seen by applying the Hilbert projection theorem to ${\displaystyle A}$ and concluding that the global minimum point of the map ${\displaystyle A\to [0,\infty )}$ defined by ${\displaystyle a\mapsto \ a\ }$ is ${\displaystyle {\frac {f_{\varphi }}{\ \varphi \ ^{2}}}\in A.}$ The formulas

선형 기능의 표준 norm${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Vert }$ { { ${\displaystyle \varphi \$\varphi \}에$$ 대한 약속된 해석을 관련 애프라인 $하이퍼플레인{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\phi }{}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$( 1${\displaystyle }$) ${\$$displaysty$ $A=\varphi ^{-1(1)}$에 대해 제공한다($$이 공식으로 A $집합$만 알면 연관성의 규범을 설명하기에 충분하기$$ 때문이다$).$ted 선형 함수). $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {\frac$ {1}{\\flac$}{\inflt}:0,}$의 최소 공식 정의 will also hold when ${\displaystyle \varphi =0.}$ When the supremum is taken in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (as is typically assumed), then the supremum of the empty set is ${\displaystyle \sup \varnothing =-\infty }$ but if the supremum is taken the non-negative reals ${\displaystyle [0,$어떤 경우에 \infty)}(표준의 image/range ‖⋅ ‖{\displaystyle)\,\cdot \,\} 때 희미한 ⁡ H>0{\dim H>\displaystyle;0}) 다음 이 최소 상계에 저녁밥을 먹다 ∅=0,{\displaystyle \sup =0 \varnothing,} 상한 공식 ‖ φ ‖=저녁밥을 먹다는∈ φ − 1(1)1‖ ‖{\displaystyle)\.varphi$\ =\sup _{a\in \varphi ^{-1(1){\frac {$1}{1$}{\\}} 또한$ $when{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi$=$0$$}$이(가$)$ 있을 때 유지된다$$($$비정상적인 동등성 $sup \varnothanymissionalize)$ = 0 = 0$}$은 일반적으로 예기치 못한 것이므로$$ 혼란을 야기할 위험이 있다.

표현 벡터의 구성

위의 정리로부터 나온 표기법을 이용하여 $now{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ h ${\displaystyle {}^{}}$ h { { { {${\displaystyle {}^{}}${ { \$$\$displaystyle \varphi \in$ H$^{*}}}$로부터 f ${\displaystyle {\phi }_{}}$ ${\$ \varphi \in H$^{}}}}}}}}$을 구성하는 여러 가지 방법이 현재$$ 설명되어 있다. $\phi {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi =0}$인 경우$$ $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\phi }_{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f_{\varphi }:0$ 즉,

$이{\displaystyle }$ 특별한 경우${\displaystyle 0}$ =$$0 {\$displaystyle \varphi$=0}은(는) 알려진 것으로 가정하며$$, 아래에 주어진 구성 중 일부는 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \varphi \neq.}$을(를) 가정하여 시작하는 것이다.

커널의 직교보완물

$\phi {\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi \neq$ 0$}$인 경우 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \ne }$ $u$ )$in$, {\displaystyle 0\neq u\in$(\ker \varphi$ )^{\$bot }}}}}$의 경우$$

$u{\displaystyle \in (\ker }$ ${\displaystyle {}^{}}$⊥ ) $⊥$ {\$displaystyle u\in (\$ker \$varphi$)^{\$bot$}}}}이(가) 단위 벡터라면 $(\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Vert }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$\$u\=1}$을 의미한다$)$

($이{\displaystyle }$ 경우 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\phi }_{}}$= ${\displaystyle 0\stackrel{}{}}$$${\$displaystyle \varphi$=${\displaystyle \stackrel{}{0\})}}$의${\displaystyle u\stackrel{}{\mathrm{}}}$ = 0${\displaystyle \stackrel{}{}u}$ = ${\displaystyle 0}$ u${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle f_{\varphi }={\overline {0}u=0})$이(가) 되더라도 ${\displaystyle \mathrm{마찬가지}}$다.$$ If ${\displaystyle u}$ is a unit vector satisfying the above condition then the same is true of ${\displaystyle -u,}$ which is also a unit vector in ${\displaystyle (\ker \varphi )^{\bot }.}$ However, ${\displaystyle {\overline {\varphi (-u)$$}}}(-u)={\overline{\varphi (u)}}u=f_{\barphi }}}}$ 따라서$$ 이 두 벡터 모두 동일한 f ${\displaystyle f_{}}$.${\displaystyle f_{\varphi }}}}$

커널에 직교 투영

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle$ x$\in H}$이(${\displaystyle 가}$) $≠${\$displaystyle \varphi$(x$)\neq$ 0$}$과(와) 같거나, x$$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\\displaystyle x_$${K}$이(가$)$ ${\displaystyle \mathrm{커어}\phi }$ ${\displaystystyle \varpi$}에$$$$^{[proof 1]} $대한{\displaystyle }$ x의 직교정 투영사인 경우

직교 기준

Given an orthonormal basis ${\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i\in I}}$ of ${\displaystyle H}$ and a continuous linear functional ${\displaystyle \varphi \in H^{*},}$ the vector ${\displaystyle f_{\varphi }\in H}$ can be constructed uniquely by

여기서 모든 $\phi {\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$)을 제외하고 거의 모든 φ(e ) ${\$이$(가$) 0 {\displaystyle $0}$과(와) 같으며$$$$ f ${\displaystyle {\phi }_{}}$ ${\$의 값이 실제로 정형 기반(즉$, Hsty$)의 선택에 의존하지 않는다$$. 동일한 벡터(vector)가 될 것이다). $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle y\in H}$이(가) $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle \sum _{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ i ${\displaystyle e_{}}$ ${\$로 기록되면$$ 그리고

정형외과적 기준${\displaystyle {}_{}}${ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle {}_{}^{}}${ e ${\displaystyle {}_{{}_{}}^{\}}}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}^{}}$ = 1$$ {\$displaystyle \{e_{$i}\$right\}{i\in$ I$}=\e_\{i$}\right$\}}_{i=1}^{\infty$}}}}이 순서인$$ 경우 이 순서가 된다.

and if ${\displaystyle y\in H}$ is written as ${\displaystyle y=\sum _{i\in I}a_{i}e_{i}=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots }$ then

행렬 변환을 사용한 유한 치수 예제

표준 내측 제품과 $함께{\displaystyle }$ H${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ H$=\mathb {C} ^{n}}($여기서 > ${\displaystyle n>0}$은 정수)의 특수한 경우를 고려하십시오.

where ${\displaystyle w{\text{ and }}z}$ are represented as column matrices${\displaystyle {\vec {w}}:={\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}}$ and ${\displaystyle {\vec {z}}:={\begin{bmatrix}z_{1}\\\$나는}는 1{1\displaystyle}의 나는{\displaystyle 나는}th좌표와 0{0\displaystyle} 다른 모든 곳에서{\displaystyle e_{나는}Vdots \\z_{n}\end{bmatrix}}}은 표준 정규직 교기 e1,…에 관련해서 en{\displaystyle e_{1},\ldots}H{H\displaystyle}에 ,e_{n}(여기, e,.usual, ${\displaystyle H^{*}}$ will now be associated with the dual basis) and where ${\displaystyle {\overline {\,{\vec {z}}\,}}^{\operatorname {T} }:=\left[{\overline {z_{1}}},\ldots ,{\overline {z_{n}}}\right]}$ denotes the conjugate transpose of ${\displaystyle \overrightarrow{z}}$${\displaystyle {\vec {z}}.}$ Let ${\displaystyle \varphi \in H^{*}}$ be any linear functional and let ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\in \mathbb {C} }$ be the unique scalars such that 여기서 $모든{\displaystyle {}_{}}$ $i{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$. {\$displaystyle \$$varphi _{i}=\varphi \left(e_{i}\오른쪽)$에 대해 } i = ${\displaystyle {}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$. ${\displaystyle i$=1$,\$$ldots$$,n.}$ 그러면$$ Riesz의 벡터 $표시$가 된다$.$ To see why, identify every vector ${\displaystyle w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)}$ in ${\displaystyle H}$ with the column matrix ${\displaystyle {\vec {w}}:={\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}}$ so that ${\d$$isplaystyle f_{\varphi }}$ is identified with ${\displaystyle {\vec {f_{\varphi }}}:={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\$$오버라인 {\barphi \left(e_{1}\오른쪽)$$}}\\\vdots \\{\overline {\varphi \left(e_{n}\right)}}}\end{bmatrix}}.$$}$ As usual, also identify the linear functional ${\displaystyle \varphi }$ with its transformation matrix, which is the row matrix${\displaystyle {\vec {\varphi }}:=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]}$ so that ${\displaystyle {$$\vec {f_{\varphi }}}:={\overline {\,{\vec {\varphi }}\,\,}}^{\operatorname {T} }}$ and the function ${\displaystyle \varphi }$ is the assignment ${\displaystyle {\vec {w}}\mapsto {\vec {\varphi }}\,{\vec {w}},}$ where the right hand side is matrix multiplication. 그런 다음 $모든{\displaystyle }$ w${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle w_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle w=\left(w_{1},\ldots, w_{n}\right)\in$ H$,}$ 이는 f ${\$이(가) $\phi$의 Riesz 표현 정의 조건을 만족한다는$$ 것을 보여준다${\displaystyle .}${\$displaystyle$$$\$varphi .}$비주체$$ 반일체 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ $∗$ {\$displaystystyle$ \$Phi :$$H\to H^{*}}$ defined in the corollary to the Riesz representation theorem is the assignment that sends ${\displaystyle z=\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)\in H}$ to the linear functional ${\displaystyle \Phi (z)\in H^{*}}$ on ${\displaystyle H}$ defined by 여기서 열 행렬이 있는$$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$에서 벡터와 행 행렬이 있는$$ $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ H$^{*}$에서 벡터를 식별하면 $under{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi$}이$($가) 할당될 뿐이다$$. 코롤러리에서 설명한 대로 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$의$$역 $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$→ H ${\displaystyle \Phi ^{-1}:$$H^{*}\to H}$은(는) 반선형 등위계${\displaystyle }$is f ${\displaystyle {}_{}}$ f${\displaystyle {}_{}{\phi }_{}}$ ,$${\$displaystyle \varphi$ \$mapsto f_{\varphi }}}$이며, 위에서$$ 방금 보여 준 다음과 같다. 여기서 행렬의 ${\displaystyle {\mathrm{관점}}^{}}$에서 $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$- 1 ${\$은 할당이다. 따라서 행렬의 관점에서 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$:$H\to H^{*}$ 및$$ $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$→ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}:$$H^{*}\to H}$ is just the operation of conjugate transposition${\displaystyle {\vec {v}}\mapsto {\overline {\,{\vec {v}}\,}}^{\operatorname {T} }}$ (although between different spaces of matrices: if ${\displaystyle H}$ is identified with the space of all column (respectively, row) matrices then $$$∗{\$은(는) 모든 행(기둥) 행렬의 공간으로 식별한다.

This example used the standard inner product, which is the map ${\displaystyle \langle z\mid w\rangle :={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}},}$ but if a different inner product is used, such as ${\disp$$laystyle \langle z\mid w\rangle _{M}:={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatorname {T} }\,M\,{\vec {w}}\,}$ where ${\displaystyle M}$ is any Hermitian positive-definite matrix, or if a different orthonormal basis is used then the transformation matrices, and thus also the above formulas, will be different.

연관된 실제 힐버트 공간과의 관계

Assume that ${\displaystyle H}$ is a complex Hilbert space with inner product ${\displaystyle \langle \,\cdot \mid \cdot \,\rangle .}$ When the Hilbert space ${\displaystyle H}$ is reinterpreted as a real Hilbert space then it will be denoted by ${\displaystyle H_{\mathbb {R} },}$ where the (real) $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}}$ ${\$의 내부 제품이 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의$$내부 제품의 실제 부분, 즉 다음과$$ 같다.

The norm on ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ induced by ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{\mathbb {R} }}$ is equal to the original norm on ${\displaystyle H}$ and the continuous dual space of ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ is the set of all real-valued bo${\displaystyle {비중격\mathbb{}}_{}}$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$displaystyle \mathb{R}}}$H R {\$displaystyle H_{\mathb{R}}}}}}$의 선형$$ 함수($$이 관계에 대한 자세한 내용은 양극화 정체성에 대한 기사 참조). $\psi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle :={}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{re}}$ ${\displaystyle }$ $\$ {\$displaystyle$ \$psi$_{\$mathb${R} $}:=\operatorname {re$$}$ \psi$$} ${\displaystyle {및}_{}}$ : i ${\displaystyle :=\mathrm{im}}$ ${\displaystyle \mathrm{im}}$ ${\displaystyle \psi _{i}:}:$$=\operatorname {im} \psi }$ denote the real and imaginary parts of a linear functional ${\displaystyle \psi ,}$ so that ${\displaystyle \psi =\operatorname {re} \psi +i\operatorname {im} \psi =\psi _{\mathbb {R} }+i\psi _{i}.$$}}$ 실제 부분의 관점에서 선형함수를 표현하는 공식은$$

where ${\displaystyle \psi _{i}(h)=-i\psi _{\mathbb {R} }(ih)}$ for all ${\displaystyle h\in H.}$ It follows that ${\displaystyle \ker \psi _{\mathbb {R} }=\psi ^{-1}(i\mathbb {R} ),}$ and that ${\displaystyle \psi =0}$ if and only if ${\displaystyle \psi _{\mathbb {R} }=0.}$ It can also be shown that ${\displaystyle \ \psi \ =\left\ \psi _{\mathbb {R} }\right\ =\left\ \psi _{i}\right\ }$ where ${\displaystyle \left\ \psi _{\mathbb {R} }\right\$$:=\sup$ ${\displaystyle {\_}_{}}$${\h\ \leq$ 1$}\좌측 \psi _${\$mathb$ {$R$$}$${\displaystyle {}_{}}$$}(h)}\우측$$}({\$도 이와 비슷하게 정의되었다$$. 특히 선형 기능 ${\displaystyle \psi}$은(는) 실제 부분 ${\displaystyle {\psi \mathbb{}}_{}}$ R ${\$이(가) 경계된$$ 경우에만 경계된다$$.

기능 및 실제 부분을 나타냄

Let ${\displaystyle \varphi \in H^{*}}$ and as usual, let ${\displaystyle f_{\varphi }\in H}$ be such that ${\displaystyle \varphi (x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\mid x\right\rangle }$ for all ${\displaystyle x\in H.}$ Let

denote the kernel of the real part ${\displaystyle \operatorname {re} \varphi =\varphi _{\mathbb {R} }}$ of ${\displaystyle \varphi .}$ If ${\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}}$ denotes the unique vector in ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ such that ${\displaystyle {\phi }_{\mathbb{R}}(}$${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\mid x\right\rangle _{\mathbb {R} }}$ for all ${\displaystyle x\in H,}$ then ${\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}=f_{\varphi }.}$ This follows from the main theorem be$x$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x\in$ H$}$인 경우 and consequently, if ${\displaystyle m\in \ker \varphi _{\mathbb {R} }}$ then ${\displaystyle \left\langle f_{\varphi }\mid m\right\rangle _{\mathbb {R} }=0,}$ which shows that ${\displaystyle f_{\varphi }\in (\ker \varphi _{\mathb$$b {R} })^{\perp _{\mathbb {R} }}.}$ Moreover, because ${\displaystyle \varphi (f_{\varphi })=\ \varphi \ ^{2}}$ is real, ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(f_{\varphi })=\operatorname {re} \varphi (f_{\varphi })=\ \varphi \ ^{2}.}$ In other words, in the theorem and constructions above, if ${\displaystyle H}$ is replaced with its real Hilbert space counterpart ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ and if ${\displaystyle \varphi }$ is replaced with ${\displaystyle \operatorname {re} \varphi }$ then ${\displaystyle f_{$$\varphi }=f_{\operatorname {re} \varphi }.}$ This means that vector ${\displaystyle f_{\varphi }}$ is obtained by using ${\displaystyle \left(H_{\mathbb {R} },\left\langle ,\cdot ,\cdot \right\rangle _{\mathbb {R} }\right)}$ and the real linear functional ${\displaystyle \$연산자 $이름 {re} \varphi }$은(는) 원래 콤플렉스 힐버트$H$ ,$$ ,${\displaystyle \cdot }$ ,${\displaystyle \cdot }$) ${\$ \right$}$ 및$$ 원래 콤플렉스 선형 함수 $\$ {\\\\\\\\\\\\\\\\\\$displaystycdisplaystyparthbarphi}$을 사용하여 $얻은$ 벡터와 동일 표준 값도 동일하다$.$

Assume now that ${\displaystyle \varphi \neq 0.}$ Then ${\displaystyle f_{\varphi }\not \in K_{\mathbb {R} }}$ because ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\left(f_{\varphi }\right)=\varphi \left(f_{\varphi }\right)=\ \varphi \ ^{2}\neq 0}$ and ${\displaystyle \ker \varphi }$ is a proper subset of ${\displaystyle K_{\mathbb {R} }.}$ The kernel ${\displaystyle \ker \varphi }$ has real codimension ${\displaystyle 1}$ in ${\displaystyle K_{\mathbb {R} },}$ where ${\displaystyle K_{\mathbb {R} }}$ has real codimension ${\displaystyle 1}$ in ${\displaystyle H_{\mathbb {R} },}$ and ${\displaystyle \left\langle f_{\varphi },K_{\mathbb {R} }\right\rangle _{\mathbb {R} }=0.}$ That is, ${\displaystyle f_{\varphi }}$ is perpendicular to ${\displaystyle K$$_{\mathb{R}}}}}$${\displaystyle {⟨}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}.}_{}}$ ${\displaystyle \left\langle \cdot \right\rangele _{\mathb {R}}}}}$에 대한 설명$$

듀얼 및 안티듀얼에 표준 주입

유도 선형 지도를 항이중으로 유도

$y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$을(를) 내부 제품의 선형 좌표에 배치하고$$ $변수{\displaystyle }$ h ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h\in H}$을(를) 반선형 좌표에 따라 다르게$$ 하여 정의된 맵은 다음과 같이 반선형 기능을 하게 된다.

이[1] 지도는 $H{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$element$,$ {\$displaystyle$ {H$}^{*}}$의 요소로서, $H$ ${\$$displaystyle$ $H$${\displaystyle {\stackrel{}{\}}}^{}}$의 연속적인 반듀얼 $공간$이다${\displaystyle {.}^{}}$

주사법도 ^[1]마찬가지야 리에즈 표현 정리(Riesz presentation orginal organization)와 관계된 힐베르트 공간의 기본 정리(Frinal organization)는 이 지도가 (따라서 비주사적)이라고 기술하고 있다. 따라서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 모든 반선형 기능은 이 형식으로 (특이하게) 작성될 수 있다$$.^[1]

${\displaystyle \mathrm{Cong}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$→ ${\displaystyle {\stackrel{}{}¯}^{}}$ ${\$인 경우$:$$H^{*}\to {\overline{H}^{*}}}}}$은(는) 위에서 정의된 표준$$ 반선반주체 등축계 $f{\displaystyle \stackrel{}{}\mapsto }$ ${\displaystyle f\stackrel{}{}}$ ↦ f ↦ f { f ${{\$이며, 그러면 다음과 같은 평등은 유지된다.

브래지어와 케트로 브라-켓 표기법 연장

Let ${\displaystyle \left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}\right)}$ be a Hilbert space and as before, let ${\displaystyle \langle y\, \,x\rangle _{H}:=\langle x,y\rangle _{H}.}$ Let

만족감을 주는 이물질적 반선반등계법이지

브라

벡터 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle h\in$ H$,}$을(를) 지정하면 $⟨{\displaystyle }$ h $displaystyle \langle h\, }$은(는) 연속 선형 기능인 ${\displaystyle h}$ h$${\$displaystyle \Phi$ h$\}$을(를) 나타내도록 한다$$.

so that this functional ${\displaystyle \langle h\, }$ is defined by ${\displaystyle g\mapsto \left\langle \,h\mid g\,\right\rangle _{H}.}$ This map was denoted by ${\displaystyle \left\langle h\mid \cdot \,\right\rangle }$ earlier in this article.

할당 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle h}$ $displaystyle h\mapsto \langle h}$은(는) 등축 반선형성 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$: ${\displaystyle \text{H}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$, ${\displaystyle \Phi ~:~$에 불과하다.$H\to H^{*},}$ which is why ${\displaystyle ~\langle cg+h\, ~=~{\overline {c}}\langle g\mid ~+~\langle h\, ~}$ holds for all ${\displaystyle g,h\in H}$ and all scalars ${\displaystyle c.}$$$ The result of plugging some given ${\displaystyle g\in H}$ into the functional ${\displaystyle \langle h\, }$ is the scalar ${\displaystyle \langle h\, \,g\rangle _{H}=\langle g,h\rangle _{H},}$ which may be denoted by ${\displaystyle \langle h\mid g\rangl$$e .}$^{[note 6]}

선형기능의 브라

연속적인 선형 기능 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ,$${\$displaystyle \psi \in$ H$^{*}$이 주어진 경우, given $⟨{\displaystyle }$⟨${\displaystyle }${ {\$displaystyle \langle \psi$ $\$$mid }}}$은(는$)$ $벡터{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {-}^{}}$ - ${\displaystyle {}^{}h}$ H ${\pi \-1}$을 나타내도록$$$$ 한다$.$

할당 ${\displaystyle \psi }$ $↦$ ${\displaystyle ⟨}$ { ${\displaystyle \{}$ { ${$ {\$displaystyle$ \$psi$ \$mapsto \langle$\psi $\mid }}$은(는) 등축 ${\displaystyle {\mathrm{반선형성}}^{}:{}^{}}$ - ${\displaystyle 1{}^{}}$:${\displaystyle {}^{}}$H ${\displaystyle ,}$ →$$H , {\$displaystyle$\Phi ^{-$1}:~:~:~!$$H^{*}\to H,}$ which is why ${\displaystyle ~\langle c\psi +\phi \mid ~=~{\overline {c}}\langle \psi \mid ~+~\langle \phi \mid ~}$ holds for all ${\displaystyle \phi ,\psi \in H^{*}}$ and all scalars ${\displaystyle c.}$

벡터 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \langle \psi \in H}$의 정의 조건은 기술적으로는 정확하지만 보기 흉할 정도로 동일하지 않다$$.

which is why the notation ${\displaystyle \left\langle \psi \mid g\right\rangle }$ is used in place of ${\displaystyle \left\langle \,\langle \psi \mid \,\mid g\right\rangle _{H}=\left\langle g,\,\langle \psi \mid \right\rangle _{H}.}$ The defining condition becomes

케츠

주어진 벡터 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle g\in H}$에 대해 표기 g ${\displaystyle \,g\angle$ }은$($는)$$g {\$displaystyle g}$을(를) 나타내는 데 사용된다$$. 즉,

${\displaystyle 할당}$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ g ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle g\mapsto \,g\angle }$은(는) ID 맵 ${\displaystyle {Id}_{}}$ :${\displaystyle {}_{}H}$→ ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle \operatorname {Id} _{H:$$H\to H,}$ which is why ${\displaystyle ~\mid cg+h\rangle ~=~c\mid g\rangle ~+~\mid h\rangle ~}$ holds for all ${\displaystyle g,h\in H}$ and all scalars ${\displaystyle c.}$

The notation ${\displaystyle \langle h\mid g\rangle }$ and ${\displaystyle \langle \psi \mid g\rangle }$ is used in place of ${\displaystyle \left\langle h\mid \,\mid g\rangle \,\right\rangle _{H}~=~\left\langle \mid g\rangle ,h\right\rangle _{H}}$ and $$${\displaystyle {⟨}_{}}$ ${\displaystyle {\psi }_{}}$g${\displaystyle {}_{}}$g g $g$ ${\displaystyle {\psi }_{}}$ ${\displaystyle {\mid }_{}}$ ${\displaystyle {\mid }_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ g h h ${\displaystyle {}_{}}$ h${\displaystyle {}_{}}$h \ \ \ \ \ \ \ \ $\psi \mid \langle$ \$mid \,\mid g\angle$\, \$langle$\,$\ respectively$ \ respectively \ respectively$$$$\ respectively \ respectively \ respectively \ respectively $\{H},\$langle \$langle$ \ $respectively$ \ \ \ \ _ \ \ \ \ \ As expected, ${\displaystyle ~\langle \psi \mid g\rangle =\psi g~}$ and ${\displaystyle ~\langle h\mid g\rangle ~}$ really is just the scalar ${\displaystyle ~\langle h\mid g\rangle _{H}~=~\langle g,h\rangle _{H}.$$}$

연결 및 전치점

${\displaystyle A}$: ${\displaystyle H}$→ Z ${\디스플레이 스타일$ A$:$$H\to Z}$ be a continuous linear operator between Hilbert spaces ${\displaystyle \left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}\right)}$ and ${\displaystyle \left(Z,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{Z}\right).$$}$ As before, let ${\displaystyle \langle y\mid x\rangle _{H}:=\langle x,y\rangle _{H}}$ and ${\displaystyle \langle y\mid x\rangle _{Z}:=\langle x,y\rangle _{Z}.$$}$

다음을 가리킴

다음을 만족시키는 통상적인 이물질 반선반등계:

부선 정의

$모든$ $z{\displaystyle }$$$${\displaystyle \in }$ Z${\displaystyle }$, ${\$$displaystyle$ z$\in$ Z$,}$에 대해 스칼라 값${\displaystyle 맵}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle (}$ A${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ) {$$Z {\$displaystyle$z(\$cdot )\rangele _{$Z}에$$^{[note 7]} 의해 정의됨$$

is a continuous linear functional on ${\displaystyle H}$ and so by the Riesz representation theorem, there exists a unique vector in ${\displaystyle H,}$ denoted by ${\displaystyle A^{*}z,}$ such that ${\displaystyle \langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}=\$$left\langle A^{*}z\mid$ \cdot \,\$right\rangele$ _${H}$ 또는$$ 동등하게 다음과 같이.

할당 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ∗ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\{}^{}}$z {\$displaystyle z\mapsto$ A^{*}$z}$ 따라서$$${\displaystyle {}^{}}A{\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→${\displaystyle H}$ ${\displaystyle$ $A$$^{*}:$$\to$ $H$$}$라는 함수를 유도한다.$정의$ 조건이 다음과 같은 H$\to$ Z$}$

부선 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$: ${\displaystyle Z}$→ H ${\displaystyle A^{*}:Z\to H}$는 반드시 연속(동등하게, 경계된) 선형 연산자다.

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 표준 내측 제품과 유한 $치수$이고 M$${\$displaystyle M$}이$$(가) 표준 직교 기준과 관련하여$$ $A{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $A}$의 변환 매트릭스인 경우 $M{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $M$${\displaystyle \stackrel{}{{}^{}}}$의$$결합은 $M{\displaystyle \stackrel{}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{T\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle$ {\{$M^{T}$를 대체한다.${\displaystyle {\}\}\}\}\}\}\}\}}^{}}$은(는) 부선 $A$의 변환 매트릭스${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ A$^{*}$이다.$}$

보조점은 전치점이다.

$또한{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$:${\displaystyle H}$ → ${\displaystyle Z}$, ${\displaystyle A:$의 전치 또는 대수적 연대를 정의할 수도 있다.$지도$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$$$${\displaystyle {\ast }^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$$Z^{*}\to H^{*}}$ 연속 선형 함수 ${\displaystyle {}^{}}$ $Z{\displaystyle {}^{}\ast }$ ${\$ Z$^{*}}$을(를) 전송하여$$ 정의함$$

where ${\displaystyle \psi \circ A}$ is always a continuous linear functional on ${\displaystyle H.}$ It satisfies ${\displaystyle \ A\ =\left\ {}^{t}A\right\ }$ (this is true more generally, when ${\displaystyle H}$ and ${\displaystyle Z}$ are merely normed spaces).^[4]

부선 $A{\displaystyle {}^{}{\ast }^{}}$ : ${\displaystyle Z}$→ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A^{*}:Z\to H}$는 ${\displaystyle {}^{}}$ t A${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$→ H ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$$Z^{*}\to$ H$^{*}$ 리에즈 표현 정리를 사용하여$$^[2] $Z{\displaystyle {}^{}}$ ∗${\$ Z$^{*}$가 있는 $Z{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle Z$$}$와 $H$가 H$$$∗$ . {\$displaystyle$ H$^{*}}}}$를 식별하는 $경우$

명시적으로, 수반과 바꿔 놓다 사이의 관계: 있다.

${\displaystyle{}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*}}.$

(Adjoint-transpose)

이것은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

모든 $z{\displaystyle z}$Z , ${\displaystyle$ z$\in$ Z$}$이(가) 동일한 좌$$/우측 측면(Adjoint-transformation)은 내부 제품 측면에서 다시 작성할 수 있다.

where as before, ${\displaystyle \langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}}$ denotes the continuous linear functional on ${\displaystyle H}$ defined by ${\displaystyle g\mapsto \langle z\mid Ag\rangle _{Z}.$$}$^{[note 7]}

자가 적응, 정상 및 단일 운영자에 대한 설명

${\displaystyle Z}$= H ${\displaystyle$ Z$=$라고 가정하십시오.$H}$과(와) $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$= ${\displaystyle {\phi }_{}}$ Z${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle \Phi :=\Phi _{H}=\Phi _{Z}}$ Let$$ $A{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle H}$ ${\displaystystyle A:$$H\to H}$은(는) 연속 선형 연산자(즉, 경계)이다$$.

${\displaystyle A}$: H${\displaystyle }$→ H ${\displaystyle A:$$H\to H}$은(는) $자체{\displaystyle }$ 적응형, 정상형 또는 단일 형체인지 여부는 ${\displaystyle {}^{}}$으로 A ${\displaystyle A}$이(가) 해당 조정과 관련된 특정 정의 조건을 충족하는지$$ 여부에 달려 있으며, 기본적으로 ${\displaystyle {}^{}}$ : ${\displaystyle {}^{}{\ast }^{}}$→ H ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}{t}A:$$H^{*}\}\to$ H$^{*}}}}$의 전치$(transpose$)는 연속적인 선형 함수 $사이$의 지도이므로$$, 이러한$$ 정의 조건은 결과적으로 선형 함수 측면에서 완전히 다시 표현될 수 있으며, 이제 하위섹션의 나머지 부분에서도 자세히 설명될 것이다. 관련된 선형 함수는 $H{\displaystyle }$ {\$displaystyle H}$에서 가능한$$ 가장 단순한 연속 선형 함수로, 내부 제품 ${\displaystyle ⟨}$${\displaystyle }$⋅ ${\displaystyle \backslash }$ \ ${\displaystyle \backslash }$ ${\displaystyle \backslash }$ \$\langle \,\cdot \mid \cdot \,$ \$rangele{\displaystyle }$$$} on$$ H${\displaystyle }$, ${\\\\\displaystystyle H}$ 및 일부$$ 벡터에 정의될 수 있다. ${\displaystyle h\in H.}$ These "elementary ${\displaystyle A}$-induced" continuous linear functionals are ${\displaystyle \left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle }$ and ${\displaystyle \langle h\mid A(\cdot )\rangle }$^{[note 7]} where

자가 승인 연산자

연속 선형 연산자 $A{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle H}$ ${\디스플레이 스타일$ A$:$$H\to H}$을(를) 자체 적응이라고 한다$$. $즉{\displaystyle }$, A${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle A=A^{*}}}$을(를) 사용하면$$ 다음과 같은 경우에만 이러한 현상이 발생한다.

이 평등을 다음과 같은 두 가지 형태로 다시 작성할 수 있는 경우:

표기법과 정의를 풀면 앞서 언급한 "${\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ - 유도된$$" 연속 선형 함수의 관점에서 자기 성직 연산자의 다음과 같은 특성이 생성된다. ${\displaystyle A}$ is self-adjoint if and only if for all ${\displaystyle z\in H,}$ the linear functional ${\displaystyle \langle z\mid A(\cdot )\rangle }$^{[note 7]} is equal to the linear functional ${\displaystyle \langle Az\mid \cdot \,\rangle }$; that is, if and only if

${\displaystyle \langle Az\mid \cdot \,\langle z\mid A(\cdot )\rangele \quad {\text{wh}모든 }$

(자체 적응 기능)

정상 연산자

연속 선형 연산자 $A{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle H}$ ${\디스플레이 스타일$ A$:$${\displaystyle \mathrm{A<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; AA^\{*\}=A^\{*\}A,\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/b4c6ec178495ca510dfbaeefef7f5bb702543e50"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:12.826ex;\; height:2.676ex;"\; papago-attr-id="1035">}}$$$A to = A${\displaystyle {}^{}}$} A , $displaystyle AA^{*}=A^{*}A$, 모든 z , h$$${\displaystyle \in }H{\displaystyle }$, ${\displaystyle z,$ h\${\displaystyle \mathrm{in}}$ H$,}$에 $대해서$만 발생하는 경우 H\$to$ $H$$}$는 정상이라고 한다.

(Adjoint-transport)를 사용하고 표기법과 정의를 풀면 연속 선형^{[proof 2]} 함수의 내부 생산물 측면에서 정상 연산자의 다음과 같은 특성이 발생한다. ${\displaystyle A}$은(는) 다음과 같은 경우에만 일반 연산자임$$

${\displaystyle \left\langle \,\left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle \mid \left\langle Az\mid \cdot \,\right\rangle \,\right\rangle _{H^{*}}~=~\left\langle \,\left\langle h A(\cdot )\right\rangle \mid \left\langle z\mid A(\cdot )\right\rangle \,\right\rangle _{H^{*}}\quad {\text{ for all }}z,h\in H.}$

(정규성 함수)

이 특성화의 왼손은 또한 $⟨{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ A ${\displaystyle {\stackrel{}{h}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mid }}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{A}}_{}}$ z ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle H_{}{=}_{}}$ A ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {\mid }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\\langle Ah\mid Az\right\rangle}}}}{{{{}}}}}}}$와 같다.$H}=\left\langle Az\mid Ah\right\rangle _{H}.}$ The continuous linear functionals ${\displaystyle \left\langle h\mid A(\cdot )\right\rangle }$ and ${\displaystyle \left\langle z\mid A(\cdot )\right\rangle }$ are defined as above.^{[note 7]} In other words, if it happens to be the case that the assignment ${\displaystyle \left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle ~\mapsto ~\left\langle h A(\cdot )\right\rangle }$ is well-defined (or alternatively, if ${\displaystyle \left\langle h A(\c$$dot )\right\rangle ~\mapsto ~\left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle }$ is well-defined) where ${\displaystyle h}$ ranges over ${\displaystyle H}$, which happens (for instance) if ${\displaystyle A}$ is injective, then ${\displaystyle A}$ is a normal operator if and only if this assignment preserves the inner prod$H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$. ${\displaystyle$ H$^{*}}$에 uct on H ∗.

모든 자가 적합성 경계 선형 연산자가 정상이라는 사실은 $A{\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {\ast }^{}}$= ${\displaystyle A}$∗ = A ^ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \ast }$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$∗. ${\displaystyle A^{*}=A}$의 양쪽으로 직접$$ 대체함으로써 쉽게 나타난다.$AA^{*}}}$ 이 같은$$ 사실은 동등성(자기 적응성 함수)을 (정규성 함수)의 어느 한쪽으로 직접 대체한 것에서도 바로 뒤따른다.

또는 복잡한 힐버트 공간의 경우 연속 선형 연산자 $A{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle A$$}$은(는) 모든 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{every<img\; alt="A"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.743ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="1073">}}$ =${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A{\Vert }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ‖ ‖${\displaystyle }${ { { { { $\\\$$^{*$$z\right\$$$$}$인 경우에만 정상 $연산자$다^[2].

유니터리 연산자

반전성 경계 선형 연산자 $A{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ H ${\displaystyle A:$$H\to H}$은(는) 역이 부선일 경우 단일하다고 한다$$. ${\displaystyle A^{-1}=A^{*}.}$ By using (Adjoint-transpose), this is seen to be equivalent to ${\displaystyle \Phi \circ A^{-1}={}^{t}A\circ \Phi .}$ Unraveling notation and definitions, it follows that ${\displaystyle A}$ is unitary if and only if

경계가 있는 변위성 선형 $연산자{\displaystyle A}$: ${\displaystyle H}$ → H ${\displaystyle$ A$:$$H\to H}$ is unitary if and only if ${\displaystyle A^{*}A=\operatorname {Id} _{H}}$ (or equivalently, ${\displaystyle {}^{t}A\circ \Phi \circ A=\Phi }$) produces another (well-known) characterization: an invertible bounded linear map ${\displaystyle A}$ is unitary if and only if

${\displaystyle A}$: H${\displaystyle }$→ H ${\displaystyle A:$$H\to H}$은(따라서 특히 바이어싱), 이는 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$A : ${\displaystyle {}^{}}$ → ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{t}A:$$H^{*}\to H^{*}}}$ 이 사실은$$ 또한 위의 특성에서$$ 벡터 z${\displaystyle z}$ H ${\displaystyle z\in H}$를 ${\displaystyle A}$ z ${\displaystyle$ $Az$$}$ $또는$ A${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$, {\$displaystystyle$ A$^{-1}z$로 대체하여$$ 더 많은 평등을 산출할 수 있다$.$ 마찬가지로 ${\displaystyle \cdot }$ ${\$$displaystyle$ $\,\$$cdot$ $\,}$은(는) $A{\displaystyle (\cdot }$ )$${\$displaystyle$$$A(\$cdot$$$)}${\displaystyle {}^{}}또는{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{A}}^{}}$ - 1${\displaystyle (\cdot )}$로 $교체$할 수 있다$$$.$$}$

참고 항목

• 힐버트 공간의 기본 정리
• 매트릭스 계수 – 매트릭스 표현과 관련된 특수 그룹의 함수

인용구

메모들

교정쇄

참고 문헌 목록

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