풀백(차동 지오메트리)

Pullback (differential geometry)

φ : M N매끄러운 다지관 M과 N 사이매끄러운 지도라고 가정한다. 다음 N의 1-폼 공간(동탄 묶음 부분선형 공간)에서 M의 1-폼 공간까지 연결된 선형 지도가 있다.이 선형 지도는 풀백(byby)으로 알려져 있으며, φ 의해 자주 표기된다.보다 일반적으로 N에 있는 공변량 텐서 필드(특히 모든 차동 형태)는 φ사용하여 M으로 되돌릴 수 있다.

지도 φ차이점형일 때, 풀백은 푸시포워드(pushforward)와 함께 N에서 M으로 또는 그 반대로 텐서 필드를 변환하는 데 사용될 수 있다.특히 φRn Rn 개방형 하위 집합 사이의 차이점이라면(아마도 다지관 M의 서로 다른 차트 사이) 풀백과 푸시포워드는 주제에 대한 더 전통적인(조정자에 의존하는) 접근방법에 사용되는 공변량역변량 텐서의 변환 특성을 설명한다.null

풀백 뒤의 생각은 본질적으로 한 기능의 사전 구성 개념이다.그러나 이 아이디어를 여러 가지 다른 맥락에서 결합함으로써 상당히 정교한 풀백 연산을 구성할 수 있다.이 글은 가장 간단한 작업부터 시작해서 좀 더 정교한 작업을 만드는 데 사용한다.대략적으로 말해서, 풀백 메커니즘(사전 구성을 사용)은 차동 기하학의 여러 구조물을 반대편 펑커로 바꾼다.null

부드러운 기능과 부드러운 맵의 풀백

φ : M N을 (매끄러운) 다지관 M과 N 사이의 매끄러운 지도로 하고, f : N RN의 매끄러운 함수라고 가정한다.그러면 f by φ풀백 (φf)(x) = f(φ)에 의해 정의된 m의 부드러운 함수 φf이다.마찬가지로, 만약 fN오픈 세트 U에서 매끄러운 함수라면, 같은 공식은 M의 오픈 세트 φ−1(U)에서 매끄러운 함수를 정의한다.(셰브 언어에서 풀백은 매끄러운 함수φ에서 M의 φ으로 매끄러운 함수의 φ에 의한 직접적인 영상에 이르는 형태론을 정의한다.)

보다 일반적으로 f : N → AN에서 다른 다지관 A로 가는 매끄러운 지도라면, ff(x) = f(() M에서 A로 매끄러운 지도다.null

번들 및 섹션 풀백

만일 E가 N과 φ 위에 있는 벡터 번들(또는 실제로 어떤 섬유 번들)이라면 : M N은 매끄러운 지도라면 풀백 번들 φE M의 x 에 있는 섬유 번들(또는* 섬유 번들)이 ( givenE)x = Eφ(x) 의해 주어지는 M 에 있는 벡터 번들(또는 섬유 번들)이다.

이 상황에서 사전 구성은 E: sN대한 E의 섹션인 경우, 풀백 섹션 φs = sφM에 대한 φE 섹션이다.

다중 선 형태의 풀백

렛트 φ: VW는 벡터 공간 V와 W 사이의 선형 지도(즉, φ은 L(V, W)의 원소로서, 또한 Hom(V, W)을 나타내며, Let let

W에 다중선 형태(텐서 - 텐서 장과 혼동하지 않는 것으로도 알려져 있음 - 순위(0, s)이며, 여기서 s는 제품에서 W의 인자 수입니다. 다음 F by Ⅱ의 풀백 ⅡF는 F를 Ⅱ와 사전 합성하여 정의된 V 상의 다선형이다.보다 정확히 말하면, V에서 벡터1 v, v2, ..., V에서s V, φF는 공식으로 정의된다.

V에 다선형이야따라서 φ은 W의 다선형 형태에서 V의 다선형 형태까지 (선형) 연산자다.특별한 경우로서, 만약 F가 W의 선형 형태(또는 (0,1)-텐서)이기 때문 F가 W의 요소인 경우, W의 이중 공간 isF V의 요소인 만큼, 따라서 φ에 의한 풀백은 선형 지도 φ 자체와 반대 방향으로 작용하는 이중 공간 사이의 선형 지도를 정의한다.

From a tensorial point of view, it is natural to try to extend the notion of pullback to tensors of arbitrary rank, i.e., to multilinear maps on W taking values in a tensor product of r copies of W, i.e., WW ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. However, elements of such a tensor product do not pull back naturally: instead there is a pushforward operation from VV ⊗ ⋅⋅⋅ V to WW ⊗ ⋅ by by by by by by by by by by by by.

그럼에도 불구하고 φ이 변위불능일 경우 역함수 φ에−1 의해 푸시포워드를 사용하여 풀백을 정의할 수 있다.이 두 가지 구조를 결합하면 모든 순위(r, s)의 텐서(r, s)에 대해 변환 불가능한 선형 지도를 따라 푸시포워드 작동이 발생한다.null

등각 벡터 및 1-폼 풀백

φ : MN매끄러운 다지관 사이의 매끄러운 지도가 되도록 한다.그 다음에 φ, φ*, 또는 차등분M접선 번들 TM에서 풀백 번들 φTN* 이르는 벡터 번들 형태론(Mover M)이다.따라서 φ* 전치ofTN에서** M코탄젠트 번들TM까지의* 번들 맵이다.

이제 αTN*부분(N의 1 형태)이라고 가정하고, α를 α와 αback의 풀백 부분을 얻기 위해 φ으로** 프리컴포즈한다고 가정한다.이 조에 위의 번들 맵(지점)을 적용하면 α의 풀백(pullback)이 발생하는데, 이 α는 M에 정의된 1 형태 α이다*.

X in M 및 X in TMx 경우null

(공변량) 텐서 필드의 풀백

이전 섹션의 구성은 자연수 s에 대해 순위(0,s)의 텐서 번들로 즉시 일반화된다: 다지관 N의 a(0,s) 텐서 필드는 N의 텐서 번들의 한 섹션이며, N의 y는 다지선 s-폼의 공간이다.

M에서 N까지의 매끄러운 지도 φ의 (점괘) 차이에 해당하는 φ을 취함으로써, 다선형식의 풀백을 섹션의 풀백과 결합하여 M에서 풀백(0,s) 텐서 필드를 산출할 수 있다.보다 정확히 말하면 S가 N의 (0,s)-텐서 필드인 경우, S풀백은 다음에 의해 정의된 (0,s)-텐서 필드인 M의 (0*,s)

X in M 및 X inj TMx 경우null

디퍼렌셜 폼 풀백

공변량 텐서장 풀백의 특별한 중요한 경우는 미분형 풀백이다.α가 차동 k-폼인 경우, 즉 TN에서 k-폼을 교대하는 (섬유화) 외부 번들 tTk*N의 섹션인 경우, α의 풀백은 이전 절과 동일한 공식으로 정의된 M의 차동 k-폼이다.

X in M 및 X inj TMx 경우null

미분형 풀백은 두 가지 특성을 가지고 있어 매우 유용하다.null

  1. N에서 미분형 αβ를 형성한다는 점에서 쐐기 제품과 호환된다.
  2. 외부 파생 모델과 호환된다: αN의 미분 형태인 경우

차등형식에 의한 풀백

다지관 사이의 지도 φ차이점형성, 즉 매끄러운 역성을 갖는 경우, 1형식뿐만 아니라 벡터장에 대해서도 풀백(pullback)을 정의할 수 있으며, 따라서 확장적으로 다지관의 임의 혼합 텐서장에 대해서도 풀백(pullback)을 정의할 수 있다.선형 지도

역전하여 줄 수 있다

그런 다음 일반 혼합 텐서 장은 텐서 번들의 텐서 제품 분해에 따라 and과−1 φ을 사용하여 TN과 TN* 복사본으로 변환한다.M = N이면 풀백과 푸시포워드는 매니폴드 M에 있는 텐서의 변환 특성을 설명한다.전통적인 용어로 풀백은 텐서 공변량 지수의 변환 특성을 기술한다. 반대로, 반대편 지수의 변환은 푸시포워드에 의해 주어진다.null

자동화에 의한 풀백

φ이 다지관 M에서 그 자체로 차이점형일 때 앞 부분의 구성은 표현-이론적 해석을 가진다.이 경우에 파생상품 은 GL(TM, φTM*)의 한 부분이다.이것은 일반 선형 그룹 GL(m) (여기서 m = dim M)의 표현에 의해 M의 프레임 번들 GL(M)과 관련된 모든 번들의 섹션에 풀백 작용을 유도한다.

풀백 및 리 파생 모델

Lie 파생 모델을 참조하십시오.선행 아이디어를 M의 벡터 필드에 의해 정의된 지역 1-모수 차이점형성 그룹에 적용하고, 매개변수에 대해 차별화함으로써, 관련 번들에 대한 Lie 파생상품의 개념을 얻는다.null

연결부 풀백(공변성 파생 모델)

만일 ∇이 N에 대한 벡터 번들 E연결(또는 공변량 파생상품)이고 φM에서 N에 이르는 매끄러운 지도라면, φE 풀백 연결부 φ∇이 있으며, 이는 다음과 같은 조건에 의해 고유하게 결정된다.

참고 항목

참조

  • 1.5절과 1.6절Jost, Jürgen (2002). Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2.참조한다.
  • Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X. 섹션 1.7 및 2.3을 참조하십시오.