불연속 선형 지도

수학에서 선형 지도는 선형 공간의 대수적 구조를 보존하는 "단순"함수의 중요한 부류를 형성하며, 더 일반적인 함수에 대한 근사치로 자주 사용된다(선형 근사 참조).관련된 공간도 위상학적 공간(즉, 위상학적 벡터 공간)이라면 모든 선형 지도가 연속적인지 묻는 것이 타당하다.무한 차원 위상 벡터 공간(예: 무한 차원 규범 공간)에 정의된 지도의 경우, 대답은 일반적으로 no이다. 즉 불연속 선형 지도가 존재한다.정의의 영역이 완성되면 더 까다로워진다; 그러한 지도는 존재한다는 것을 증명할 수 있지만, 그 증거는 선택의 공리에 의존하고 있으며 명시적인 예를 제공하지 않는다.

유한차원 공간으로부터의 선형 지도는 항상 연속적이다.

X와 Y를 두 개의 표준 공간으로 하고 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$ X에서 Y까지 선형$$ 지도를 만든다.X가 유한한 차원일 경우, X에서 단위 벡터로 간주할 수 있는 기준$({\displaystyle e{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\$을 선택하십시오.그러면.

삼각형 불평등에 의해내버려 두는라는 사실을 이용해서어떤 C>0에 대해서는, 유한한 차원 공간의 어떤 두 가지 규범도 등가한다는 사실에서 따르는 것으로, 사람은 발견한다.따라서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은 경계 선형 연산자이므로 연속적이다.In fact, to see this, simply note that f is linear, and therefore ${\displaystyle \ f(x)-f(x')\ =\ f(x-x')\ \leq K\ x-x'\ }$ for some universal constant K.따라서 어떤ϵ>;0,{\displaystyle \epsilon>;0,}우리는δ ≤ ϵ/K{\displaystyle \delta \leq \epsilon /K}이 f(B(x, δ))⊆ B(f()), ϵ){\displaystyle f(B(x,\delta))\subseteq B(f()),\epsilon)}(B(x, δ){B(x,\delta)\displaystyle}와 B(f()), ϵ){\displaystyle B(f())선택할 수 있습니다.,\eps$일론 )}$은 연속성을 제공하는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$과 $f$ ( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x)}$ 주위에 표준화된 공이다$$.$$

X가 무한 차원이라면, 이 증거는 M이 존재한다는 보장이 없기 때문에 실패할 것이다.Y가 0 공간 {0}인 경우, X와 Y 사이의 유일한 지도는 사소한 연속인 제로 맵이다.다른 모든 경우에서 X가 무한 차원이고 Y가 0 공간이 아닐 때 X에서 Y까지의 불연속 지도를 찾을 수 있다.

구체적인 예

불연속 선형 지도의 예는 완전하지 않은 공간에서 구성하기 쉽다; 한계가 없는 선형 독립 벡터의 $모든$ Cauchy 시퀀스 e ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에는 ‖${\displaystyle T}$ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$)${\displaystyle }$‖ / ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ ${\displaystyle$ T$}$이 있다.$\ T(e_{i}\ /\ e_{i}\}}은($는) 구속 없이 성장한다$$.어떤 의미에서 선형 연산자는 공간에 "구멍"이 있기 때문에 연속성이 없다.

예를 들어, [0, 1] 간격의 실제 값 매끄러운 함수의 공간 X를 동일한 표준, 즉,

다음이 제공하는 포인트별 파생 모델 맵X에 정의되고 실제 값을 갖는 것은 선형이지만 연속성이 아니다.정말로, 그 순서를 생각해봐.$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 1${\displaystyle n\geq$ 1$.}$ 이$$ 시퀀스는 항상 0 함수에 균일하게 수렴되지만

$연속{\displaystyle }$ 지도가 유지되는$$ $T{\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle T}$(${\displaystyle 0}$) = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle T(f_{n})\t(0)=0}$ 대신 n →$$【\$displaystyle$ $n\to \infty$}}.T는 실제 값이며, 실제로 X에 대한 선형 함수(대수 이중 공간 X의^* 요소)라는 점에 유의한다.각 기능에 그 파생상품을 할당하는 선형 지도 X → X는 비슷하게 불연속적이다.파생상품사업자는 연속성이 없지만, 폐업한다는 점에 유의한다.

여기서 도메인이 완전하지 않다는 사실이 중요하다.완전한 공간의 불연속 연산자는 조금 더 많은 작업을 필요로 한다.

비건설적 예

이성보다 벡터 공간으로서의 실수에 대한 대수적 근거를 하멜(Hamel basis)이라고 한다(일부 저자들은 벡터 공간의 대수적 기초를 의미하기 위해 이 용어를 더 넓은 의미로 사용한다는 점에 유의한다).$1$과 ▼ ${\displaystyle \pi$ $\}$이라고 하는 커밋할 수 없는 두 숫자는 선형 독립적이라는 점에 유의하십시오.One may find a Hamel basis containing them, and define a map ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to R}$ so that ${\displaystyle f(\pi )=0,}$ f acts as the identity on the rest of the Hamel basis, and extend to all of ${\displaystyle \mathbb {R} }$ by linearity.{r_n}_n을(를) $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$에 수렴하는 모든 합리들의 순서가 되게 하라$.$ 그러면 림_n f(r_n) = π, 그러나 $)$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle f(\pi )=0$. {\displaysty f(\pi )=0.$}$ 구성별로$$ f는 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$R{\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {R}$}을(를) 위에 선형이지만 연속하지는 않는다.$$f도 측정할 수 없다는 점에 유의하십시오. 가법 실제 함수는 측정할 수 있는 경우에만 선형이므로 그러한 모든 기능에 대해 Vitali 집합이 있다.f의 구축은 선택의 공리에 의존한다.

이 예는 무한정 규범된 공간에 불연속 선형 지도의 존재에 관한 일반적인 정리(코도메인이 사소한 것이 아닌 한)로 확장될 수 있다.

일반존재정리

불연속 선형 지도는 공간이 완성되더라도 더 일반적으로 존재한다는 것이 증명될 수 있다.^{[clarification needed]}$K{\displaystyle }$ 필드 위에 X와 Y가 정규화된 공간을 두고 K${\displaystyle }$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ $또는$ K = ${\displaystyle C\mathbb{}.}$ ${\displaystyle$ K$=\mathb {C}.}$ X가 무한 차원이고 Y가 0 공간이 아니라고 가정한다$$.X에서 K까지의 불연속 선형 지도 f를 찾을 것이며, 이는 $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 공식에 의해 주어진 X에서 Y까지의 불연속 선형 지도 g의 존재를 암시할 것이다$$. $여기$서 y ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle y_{0}$은 Y의 임의의 비영점 벡터다.

만약 X가 무한 차원이라면, 연속적이지 않은 선형 기능의 존재를 보여주기 위해 경계되지 않은 f를 구성하는 것이다.이를 위해 X에서 선형 독립 벡터의 시퀀스(e_n)(_n${\displaystyle }$n ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n\geq$ 1$\})$를 고려하십시오.정의

각 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$…$${\$displaystyle n=1,2,\ldots }$ X의 벡터 공간 기준으로 이 선형 독립 벡터의 순서를 완료하고$$, 다른 벡터의 T를 0으로 정의한다.그렇게 정의된 T는 X의 선형 지도로 고유하게 확장되며, 경계가 뚜렷하지 않기 때문에 연속성이 없다.

어떤 선형 독립 벡터 세트가 기본으로 완성될 수 있다는 사실을 사용함으로써, 우리는 선택 공리를 암묵적으로 사용했는데, 이는 이전 절에서 구체적인 예시에는 필요하지 않았다.

선택 공리의 역할

위에서 지적한 바와 같이, 선택의 공리(AC)는 불연속 선형 지도의 일반적 존재 정리에 사용된다.사실 완전한 도메인을 가진 불연속 선형 지도(예: Banach space)의 건설적인 예는 없다.분석에서 그것은 보통 일하는 수학자들에 의해 실행되기 때문에 선택 공리는 항상 사용된다(ZFC 세트 이론의 공리임). 따라서 분석가에게는 모든 무한 차원 위상 벡터 공간이 불연속 선형 지도를 인정한다.

반면에 1970년에는 로버트 M. 솔로베이는 모든 실물을 측정할 수 있는 세트 이론의 모델을 전시했다.^[1]이는 불연속적인 선형 실제 함수가 없음을 시사한다.분명히 AC는 모델에 들어 있지 않다.

솔로베이의 결과는 모든 무한차원 벡터 공간이 불연속 선형 지도를 인정한다고 가정할 필요는 없으며, 보다 구성주의적 관점을 채택한 분석학교가 있다는 것을 보여준다.예를 들어 H. G. Garnir는 소위 "꿈의 공간"(규범화된 공간에 대한 모든 선형 지도가 연속적인 위상 벡터 공간)을 검색하면서 ZF + DC + BP(의존적인 선택은 약화된 형태고 Baire 속성은 강한 AC의 부정)를 닫힌 그래프 정리를 증명하는 공리로 채택하도록 유도되었다.es, 무엇보다도, F-space에서 TVS까지의 선형 지도가 연속적이라는 것이다.구성주의의 극단으로 가면, 모든 기능이 연속(이는 표현 가능한 기능만 함수로 간주되는 구성주의 용어에서 이해된다)라고 하는 세이틴의 정리가 있다.^[2]그러한 입장은 소수의 일하는 수학자들만이 쥐고 있다.

결론은 불연속 선형 지도의 존재는 AC에 의존한다는 것이다; 완전한 공간에 불연속 선형 지도가 없다는 것은 AC가 없는 집합 이론과 일치한다.특히, 파생상품과 같은 어떤 콘크리트 구조도 완전한 공간의 모든 곳에 불연속 선형 지도를 정의하는 데 성공할 수 없다.

폐쇄 연산자

자연적으로 발생하는 많은 선형 불연속 연산자는 닫히는데, 이는 연속 연산자의 특성 중 일부를 공유하는 연산자의 한 종류다.주어진 공간에 어떤 선형 연산자가 닫히는지 묻는 것이 타당하다.폐쇄형 그래프 정리는 완전한 영역의 모든 곳에 정의된 폐쇄형 운영자가 연속적이기 때문에 불연속 폐쇄형 운영자를 얻기 위해서는 모든 곳에서 정의되지 않은 운영자를 허용해야 한다고 주장한다.

To be more concrete, let ${\displaystyle T}$ be a map from ${\displaystyle X}$ to ${\displaystyle Y}$ with domain ${\displaystyle \operatorname {Dom} (T),}$ written ${\displaystyle T:\operatorname {Dom} (T)\subseteq X\to Y.}$ We don't lose much if we replace X by the closur${\displaystyle \mathrm{dom}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle }$T${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \operatorname {Dom}(T)$의 e$.$$}$ 즉$$, 도처에 정의되어 있지 않은 연구 사업자에 대해서는 일반성의 손실 없이 밀도 있게 정의된 사업자에 대한 주의를 제한할 수 있다.

$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 그래프 $graph{\displaystyle \mathrm{}(T}$) ${\displaystyle \Gamma(T)}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle X\time Y,}$에서 닫히면 T close라고 부른다$$.Otherwise, consider its closure ${\displaystyle {\overline {\Gamma (T)}}}$ in ${\displaystyle X\times Y.}$ If ${\displaystyle {\overline {\Gamma (T)}}}$ is itself the graph of some operator ${\displaystyle {\overline {T}},}$ ${\displaystyle T}$ is called closable, a$ND{\displaystyle \stackrel{}{}}$ T$'{\$은(는) $T{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ T$.}$의 폐쇄라고 불린다$$.

따라서 모든 곳에 정의되어 있지 않은 선형 연산자에 대해 질문해야 할 당연한 질문은 닫을 수 있느냐 하는 것이다.답은 "꼭"은 아니다. 실제로 모든 무한 차원 규범화된 공간은 닫힐 수 없는 선형 연산자를 허용한다.위에서 고찰한 불연속 연산자의 경우와 같이, 증명에는 선택의 공리가 필요하며, 일반적으로 비건설적이기도 하지만, X가 완전하지 않으면 시공 가능한 예가 있다.

사실$$ 그래프가 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ Y${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$\time Y.}$을(를) 모두 닫은 선형 연산자의 예도 있다.Let X be the space of polynomial functions from [0,1] to ${\displaystyle \mathbb {R} }$ and Y the space of polynomial functions from [2,3] to ${\displaystyle \mathbb {R} }$. They are subspaces of C([0,1]) and C([2,3]) respectively, and so normed spaces.[0,1]의 다항 함수 x x p(x)를 [2,3]의 동일한 함수로 가져오는 연산자 T를 정의한다.스톤-바이어스트라스 정리의 결과, 이 연산자의 그래프는 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ Y${\displaystyle }$, ${\displaystyle X\time$ Y$,}$로 밀도가 높기 때문에$$, 이는 일종의 최대 불연속 선형 지도(어디에서도 연속함수)를 제공한다.X는 구성 가능한 지도가 있을 때 반드시 그렇듯이 여기서 완성되지 않는다는 점에 유의하십시오.

이중 공간에 대한 영향

위상 벡터 공간의 이중 공간은 공간으로부터 기초 영역으로 연속적인 선형 지도의 집합이다.따라서 일부 선형 지도가 무한 차원 규범된 공간에 대해 연속적으로 나타나지 않는 것은 이러한 공간의 경우 대수적 이중 공간과 적절한 부분집합인 연속 이중 공간을 구별할 필요가 있음을 의미한다.유한차원 공간과 비교했을 때 무한차원 공간 분석을 할 때 추가적인 주의가 필요하다는 사실을 보여준다.

정규화된 공간 이상

규범된 공간에 불연속 선형 지도의 존재에 대한 주장은 모든 측정 가능한 위상 벡터 공간, 특히 모든 프레셰트 공간에 일반화될 수 있지만, 모든 기능이 연속적일 정도로 무한 차원 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간이 존재한다.^[3]한편, 국소적으로 볼록한 모든 공간에 적용되는 한-바나흐 정리는 많은 연속적인 선형 함수의 존재를 보장하며, 따라서 큰 이중 공간의 존재를 보장한다.사실, 모든 볼록 세트에서 민코프스키 게이지는 연속적인 선형 기능을 연관시킨다.결론은 볼록한 세트가 적은 공간은 기능성이 적으며, 최악의 경우 공간은 기능성이 제로인 경우를 제외하고는 기능성이 전혀 없을 수 있다는 것이다.는0${\displaystyle {}^{}}$<p${\displaystyle }$< 1, ${\displaystyle$ L$^{p}(\mathb {R},dx)}$공간의$$ 경우로, 이 공간은 0 < < 1,${\displaystyle$ 0$><p<1,})$이다.여기에 실제 라인에 Lebesgue 측정이 표시된다는 점에 유의하십시오.< <$>[\displaystyle$ 0][\displaystyle $0<p<1}]$의 다른$$ L ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ 공백이 있으며, 이중 공백은 서로 비교가 되지 않는다.

또 다른 그러한 예는 퀘이시노름(Quasinorm)이 주어지는 단위 간격의 실제 값 측정 가능한 함수의 공간이다.

이 비로컬 볼록한 공간은 사소한 이중 공간을 가지고 있다.

더 많은 일반 공간을 고려할 수 있다.예를 들어 완전한 분리 가능한 메트릭 그룹 사이에 동형성이 존재한다는 것도 비구조적으로 나타날 수 있다.

참고 항목

• 가장 미세한 국소 볼록 위상
• 하위선형함수

참조

• 콘스탄틴 코스타라, 두미트루 포파, 스프링거, 2003년 기능분석 연습.ISBN 1-4020-1560-7.
• Schechter, Eric, Handbook of Analysis and Foundations, Academic Press, 1997.ISBN 0-12-622760-8