양의 선형 함수

수학에서 더 구체적으로 기능 분석에서 순서 벡터 공간$({\displaystyle V}$, ${\displaystyle \le }$ )${\displaystyle (V,\leq )}$의 양의 선형 기능은 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 선형 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이므로 모든 양성 요소 v${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{elements}}$ ${\displaystyle \mathrm{V}}$${\displaystyle }$, ${\displaystystyle V,$ v $for{\displaystyle }$ 0${\displaystyle }$, ${\$$in V}$에 $해당$된다.$v\geq$ 0$,}$이(가) 그것을 쥐고 있다.

즉, 양의 선형 기능은 양의 원소에 대해 음이 아닌 값을 취하도록 보장된다.양의 선형 함수의 중요성은 리에츠-마르코프-카쿠타니 표현 정리 같은 결과에 있다.

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 복잡한 벡터 공간인$$ 경우 모든 $v{\displaystyle }$≥ ${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle v\geq$ 0$,}$${\displaystyle (v}$ ) ${\displaystyle f(v)}$이(가) 실제인$$ 것으로 가정한다.$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 부분적으로$$ 순서가 지정된 자체 승인 요소의 하위 공간을 가진 C*-algebra인 경우처럼, 때로는 부분 순서가 하위 공간 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W\subseteq$ V$,}$에만 배치되고$$ 부분 순서가${\displaystyle }$V ,$${\$displaystytype$ V$,$ {\displaystytime V}의 일부 양성으로 확장되지 않는 경우가 있다$$.${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$은(는) 표기법 남용으로 $W$${\displaystyle }$, ${\displaystyle W}$의 양의 요소다.^{[clarification needed]}This implies that for a C*-algebra, a positive linear functional sends any ${\displaystyle x\in V}$ equal to ${\displaystyle s^{\ast }s}$ for some ${\displaystyle s\in V}$ to a real number, which is equal to its complex conjugate, and therefore all positive linear functionals preserve the self-adjointness of$그러한{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ x$.}$$$ 이 특성은 C*-알지브라에 있는 양의 선형 함수를 내부 제품과 연관시키기 위해 GNS 구조에서 이용된다.

모든 양의 선형 함수의 연속성을 위한 충분한 조건

모든 양의 선형 형태가 필연적으로 연속되는 순서의 위상학적 벡터 공간에는 비교적 큰 종류가 있다.^[1]여기에는 순차적으로 완성된 위상 벡터 래치가 모두 포함된다.^[1]

Theorem Let ${\displaystyle X}$ be an Ordered topological vector space with positive cone ${\displaystyle C\subseteq X}$ and let ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ denote the family of all bounded subsets of ${\displaystyle X.}$ Then each of the following conditions i$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 양의 선형 기능이 연속적이라는$$ 것을 보장하기에 충분하다.

1. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$에는 비어 있지 않은 위상학적 내부($X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}).$^[1]
2. ${\displaystyle }$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는$)$ 완전하고 측정 가능하며 X${\displaystyle }$= ${\displaystyle C}$ - ${\displaystyle$ X$=C-C$.$}$^[1]
3. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 선천적이고 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은(는) 반완성 엄격한 $B{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$cone$$ $in{\displaystyle }$ X${\displaystyle .}$ ${\displaystystyle X.}$
4. ${\displaystyle X}$ is the inductive limit of a family ${\displaystyle \left(X_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ of ordered Fréchet spaces with respect to a family of positive linear maps where ${\displaystyle X_{\alpha }=C_{\alpha }-C_{\alpha }}$ for all ${\displa$$ystyle \alpha \in A,}$ 여기서$$ $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$은(는) $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$의 양의 원뿔이다${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}}$

연속 포지티브 확장

다음의 정리는 H. 바우어(H. Bauer)가 독자적으로, 나미오카(Namioka)^[1]에게 기인한다.

정리:^[1]Let ${\displaystyle X}$ be an ordered topological vector space (TVS) with positive cone ${\displaystyle C,}$ let ${\displaystyle M}$ be a vector subspace of ${\displaystyle E,}$ and let ${\displaystyle f}$ be a linear form on ${\displaystyle M.}$ Then ${\displaystyle f}$ has an extension to a continuous positive linear form on ${\displaystyle X}$ if and only if there exists some convex neighborhood ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle 0}$ in ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ is bounded above on ${\displaystyle M\cap (U-C).$$}$

Corollary:[1]긍정적인 원뿔 C와 X{X\displaystyle} 정돈된 위상 벡터 공간자,{C\displaystyle}모든 연속 positiv 만약 C∩ M{C\cap M\displaystyle}C의 내부 점을 포함하 E.{\displaystyle E.}의 M{M\displaystyle} 벡터 부분 공간자{\displaystyle C,}.나는 e$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 inear 형식은 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X.}$에 연속적인 양의 선형 형식으로 확장되어$$ 있음

Corollary:[1]긍정적인 원뿔 C와 X{X\displaystyle} 정돈된 벡터 공간, E의 M{M\displaystyle} 벡터 부분 공간,{\displaystyle E,}와 M.{M.\displaystyle}에 f{\displaystyle f} 선형 형태 그리고 f{\displaystyle f}에 대한 확장명을 가집시다{\displaystyle C,}자. ositive linear form on ${\displaystyle X}$ if and only if there exists some convex absorbing subset ${\displaystyle W}$ in ${\displaystyle X}$ containing the origin of ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ is bounded above on ${\displaystyle M\cap (W-C)$$.}$

증명: $가장{\displaystyle }$ 우수한 로컬 볼록 위상 $X$$$${\displaystyle W}$을(를) $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$. ${\displaystyle 0\in X.}$의 근방에 포함시키기만 하면 된다.

예

$V{\displaystyle }$, ${\displaystyle V,}$의 예로서 양적 요소가 확실한 행렬인 복잡한 사각 행렬의 C*-algebra를 고려하십시오.이 C*-알지브라에 정의된 추적 함수는 양의 함수로서, 모든 양의 정의 매트릭스의 고유값이 양의 값이기 때문에 그 추적은 양의 기능이다.

Consider the Riesz space ${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathrm {c} }(X)}$ of all continuous complex-valued functions of compact support on a locally compact Hausdorff space ${\displaystyle X.}$ Consider a Borel regular measure ${\displaystyle \mu }$ on ${\displaystyle X,}$ and a functional ${\displaystyle \psi }$$$다음에 의해 정의된$$ ${\displaystyle \reason }$

그러면 이 기능은 양수(양수함수의 정수)이다.더욱이 이 공간에 대한 어떤 양의 기능도 리에츠-마르코프-카쿠타니 표현 정리에서와 같이 이러한 형태를 가지고 있다.

양의 선형 함수(C*-알게브라)

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을${\displaystyle \mathrm{(}}$를) $ID$ 1. {\$displaystyle 1.}$Let$$ $M{\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ M^{+}을(를) $가진$ $C$$*-$algebra(더 일반적으로 C*-algebra $A{\displaystyle }$ ${\displaysty A}$의 연산자 시스템$)$로 두자$$($Let{\displaystyle }$ M${\displaystyle .}$ ${\displaystystystystystym.$

$M$ ${\displaystyle M$${\displaystyle \}}$의 선형 함수 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho },$$$${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$. {\$displaystyle \rho (a)\geq$ 0$,}$이($가$) $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ M + . ${\displaystystyle a^{+}$에 대해$$ 양수라고 $한다$.$}$

정리.{$${\$displaystyle M$}의 선형 함수 $\rho {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \rho$$$$}$이(가) 경계되고$$ $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho \Vert }$ = ${\displaystyle \mathrm{\rho }}$( 1${\displaystyle }$) .$${\$displaysty \rho \=\rho($1)인 경우에만$$ 양수가 된다$.$$}$^[2]

카우치-슈바르츠 불평등

If ${\displaystyle \rho }$ is a positive linear functional on a C*-algebra ${\displaystyle A,}$ then one may define a semidefinite sesquilinear form on ${\displaystyle A}$ by ${\displaystyle \langle a,b\rangle =\rho (b^{\ast }a).$$}$ 그러므로$$ 카우치-슈워즈 불평등으로부터 우리는

참고 항목

• 양원소
• 양의 선형 연산자

참조

참고 문헌 목록

• 카디슨, 리처드, 알헤브라스 오퍼레이터 이론의 기초, 볼. I : 미국수학회의 초등이론.ISBN 978-0821808191
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.