편리한 벡터 공간

수학에서 편리한 벡터 공간은 국소적으로 볼록한 벡터 공간으로 매우 온화한 완전성 조건을 만족한다.

전통적인 미분학은 유한차원 벡터 공간 분석과 바나흐 공간에 효과적이다.바나흐 공간을 넘어서면 어려움이 발생하기 시작한다.^{[Note 1]} 특히 연속 선형 매핑의 구성은 바나흐 공간의 수준에서 연속적인 선형 매핑 공간의 모든 호환 가능한 토폴로지를 위해 공동으로 연속되는 것을 중단한다.

편리한 벡터 공간 간의 매핑은 부드러운 곡선에 부드러운 곡선을 매핑하면$$ 부드러운 편이나 $∞{\$ C$^{\infuly }}}}}.$이는 $편리$한 벡터 공간의 c${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ets${\$ c$^{\inflt }-$open$$ 하위 집합 사이의 매끄러운 매핑에 대한 데카르트 폐쇄 범주로 이어진다(아래 속성 6 참조).매끄러운 지도에 상응하는 미적분을 편리한 미적분이라고 한다.다른 합리적 개념의 차별성보다 약하며, 적용하기는 쉽지만, 연속적이지 않은 매끄러운 매핑이 있다(주 1 참조).이런 유형의 미적분만으로는 방정식을^{[Note 2]} 푸는 데 유용하지 않다.

$∞{\$ c$^{\inful }}$ -토폴로지$$

$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$을(를) 로컬 볼록 벡터 공간이 되도록 하십시오$$.${\displaystyle c\mathbb{}}$ : R →${\displaystyle E}$ ${\displaystyle c:\mathb {R} \to E}$을(를) 평활이라고 부르거나, 모든 파생상품이 존재하고 연속적인 경우$$ $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{\inflt$}}}라고$$ 한다${\displaystyle .}$$C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$, ${\displaystyle E}$) ${\displaystyle C^{\infit }(\mathb {R},E)}$을(를) 매끄러운 곡선의 공간이 되게$$ 하라.부드러운 곡선의 집합이 $E{\displaystyle }$, ${\displaystyle E}$의 국부적으로 볼록한 위상에 전적으로 의존하는 것은 아니라는 것을 보여줄 수 있다. 자세한 내용은 [KM], 2.11을 참조한다.$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$에 대한 다음 매핑 집합에 대한 최종 토폴로지가 일치한다$$. [KM], 2.13을 참조하십시오.

• ${\displaystyle C^{\put }(\mathb {R},E).}$
• The set of all Lipschitz curves (so that ${\displaystyle \left\{{\dfrac {c(t)-c(s)}{t-s}}:t\neq s{,} t , s \leq C\right\}}$ is bounded in ${\displaystyle E,}$ for each ${\displaystyle C}$).
• The set of injections ${\displaystyle E_{B}\to E}$ where ${\displaystyle B}$ runs through all bounded absolutely convex subsets in ${\displaystyle E,}$ and where ${\displaystyle E_{B}}$ is the linear span of ${\displaystyle B}$ equipped with the Minkowski functional ${\displaystyle$$=\inf\{\lambda >0:x\in \lambda B\}.$$}$
• The set of all Mackey convergent sequences ${\displaystyle x_{n}\to x}$ (there exists a sequence ${\displaystyle 0<\lambda _{n}\to \infty }$ with ${\displaystyle \lambda _{n}\left(x_{n}-x\right)}$ bounded).

이 위상은 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$에서 $c{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\$displaystyle $c$$^{\infit }}$ -topology라고 하며, 결과$$ 위상학적 공간에 $대해$ c ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ c$^{\infit }E}$라고 쓴다.일반적으로 (예를 들어 실선에 콤팩트하게 지지되는 부드러운 기능의 공간$$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D})$ 주어진 국소 볼록 위상보다 미세하며, 추가가 더 이상 공동으로 지속되지 않기 때문에 벡터 공간 위상이 아니다.즉, $c{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ $D$) ${\displaystyle \times }$ (${\displaystyle c{}^{}}$ ∞ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle (c{}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ D${\displaystyle }$) . ${\displaystyle c^{\infit$ }(D$\time$ D$)\neq$\reft $(c^{\ft$ }$D\right)\time$\reftime $\refteftefteft$ \refteft \refteft$$\$reftefteft$ \refteftefteft$.$$}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ E ${\displaystyle c^{\infit }E}$보다 더 강한 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 모든 국소 볼록 위상 중 가장$$ 우수한 것은 주어진$$ 국소 볼록 위상 위상(local volcus topology)의 선천성이다.$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$이(가) 프리셰트 공간인 경우 $c{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$e${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle E}$.$${\$displaystyle$ c$^{\fty }E=E.$$}$

편리한 벡터 공간

국부적으로 볼록한 벡터 $공간{\displaystyle }$ E ${\displaystyle E}$이(가) 다음과 같은 조건(c ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\$완전성$$) 중 하나가 유지되면 편리한 벡터 공간이라고 한다$$. [KM], 2.14 참조.

• $c{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}R}$, ${\displaystyle E\mathbb{}}$) ${\displaystyle c\in C^{\infit }(\mathb${${\displaystyle R}$$}$ ,$E)}$에 대해$$ (Remann-) 적분${\displaystyle {}_{}^{}}$integral ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ (${\displaystyle }$t${\displaystyle }$) ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}c(t)\$$dt$$}$이 E$\}$에 있다$$.
• $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 모든 Lipschitz 곡선은 로컬로 Riemann 통합이 가능하다$$.
• Any scalar wise${\displaystyle C^{\infty }}$ curve is ${\displaystyle C^{\infty }}$: A curve ${\displaystyle c:\mathbb {R} \to E}$ is smooth if and only if the composition ${\displaystyle \lambda \circ c:t\mapsto \lambda (c(t))}$ is in ${\displa$$ystyle C^{\infully$$$$}(\mathb {R},\$mathb {R},\$mathb$ {$R})$ $e$ ${\displaystyle {}^{}}$da {\displaystyle $\lambda$\$in$ $E$$^{*}}}}}$에 $대한{\displaystyle }$ 모든 연속 선형 함수의 이중 $E{\displaystyle {}^{}}$$∗{\dispected$.
  • 동등하게, 모든 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$′ ${\$에 대해, 모든 경계 선형 함수의 이중$.$
  • 동등하게, 모든${\displaystyle \lambda }$ V$${\$displaystyle \lambda \in$V$\}$에 대해, $여기$서 V ${\displaystyle$V}은 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ E$}$에서 경계 하위$$ 집합을 인식하는 $E{\displaystyle {}^{}}$′ ${\$ E$'$의 하위 집합이다$$. $[$KM], 5.12를 참조하십시오.
• Any Mackey-Cauchy-sequence (i.e., ${\displaystyle t_{nm}(x-x_{m})\to 0}$ for some ${\displaystyle t_{nm}\to \infty }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ converges in ${\displaystyle E}$.이것은 눈에 띄게 가벼운 완전성 요구 사항이다.
• $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 절대 볼록으로 경계된 경우, ${\displaystyle E_{}}$ B$${\$displaystyle E_{B}$는 Banach 공간이다.
• $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:\mathb {R} \to E}$이(가) 스칼라 와이즈 ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle$ ${\text$$}^{$$Lip}}:{k$$}$인 경우$,$ > 1 ${\displaystylek$에 ${\displaystyle {\text{대해<img alt="f" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" papago-attr-id="158">}}^{}}$${\$$}{{{{{{{{{{}}}.$
• $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle$ f$:\mathb {R} \to E}$이(가) 스칼라 현명한 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{\nft }}}$인 경우 $f$ ${\displaystyle$ $f$$}$은(는) $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystystyle$ 0$\}$에서 서로 다를 수 있다$$.

여기서 매핑 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:\mathb {R} \to E}$ \to E}을$($를) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$displaystyle {\$$Lip}^{k}}}($를) $주문$하는 모든 파생상품이 존재하며$$ $로컬$로 R$${\$displaystystyle \mathb {R}$에 있는 경우$$ Lipz)라고 한다$$$.$

원활한 매핑

$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$ $및$ F ${\displaystyle F}$을(를) 편리한 벡터 공간으로 하고$$, $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U\subseteq E}$을(를) $c{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\$ c$^{\infit}-}-$open으로$$ 한다.매핑 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$→ F ${\displaystyle f:$$U\to F}$ is called smooth or ${\displaystyle C^{\infty }}$, if the composition ${\displaystyle f\circ c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,F)}$ for all ${\displaystyle c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,U)}$. See [KM], 3.11.

매끄러운 미적분학의 주요 특성

1. 프레셰트 공간에 대한 지도의 경우 이러한 부드러움의 개념은 다른 모든 합리적인 정의와 일치한다.$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 이것은$$ 1967년 보만이 입증한 비교정리다.자세한 내용은 [KM], 3.4를 참조하십시오.

2. 다중선 매핑은 경계([KM], 5.5)인 경우에만 매끄럽다.

${\displaystyle 3}$. $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \supseteq }$ ${\displaystyle U}$→ F ${\displaystyle f:$${\displaystyle E}$$\supseteq U\to F}$은(는) 파생 모델 $d{\displaystyle :}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle E}$→ F ${\displaystyle df:$$U\time E\to F}$이(가) 매끄러우며, $d{\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$→ ${\displaystyle L}$(${\displaystyle E}$, F )${\displaystyle df:$$L{\displaystyle }$$($${\displaystyle E}$$,F)$에 대한 U$\$to L(E$,F$)}은$$(는) L${\displaystyle (E}$, F${\displaystyle }$) ${\displaystyle L(E,F)}$은(는) 경계 서브셋에 대한 균일한 수렴 토폴로지와 함께 모든 경계 선형 매핑의 공간을 나타낸다$$. [KM] 3.18을 참조하십시오.

4. 체인 룰은 유지([KM], 3.18).

5. The space ${\displaystyle C^{\infty }(U,F)}$ of all smooth mappings ${\displaystyle U\to F}$ is again a convenient vector space where the structure is given by the following injection, where ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ carries the topology of compact con각 파생상품에서 개별적으로 검증한다. [KM], 3.11 및 3.7을 참조한다.

${\displaystyle C^{\infty }(U,F)\to \prod _{c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,U),\ell \in F^{*}}C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\quad f\mapsto (\ell \circ f\circ c)_{c,\ell }\,.}$

6. 기하급수적 법칙은 다음을 지탱한다([KM, 3.12].$∞{\$ $-개방형$ V${\displaystyle f}$ F$${\$displaystyle$ V$\subseteq F}$의 경우 다음$$ 매핑은 편리한 벡터 공간의 선형 차이점 유형이다.

${\displaystyle C^{\infit }(U,C^{\infit }(V,G))\cong C^{\infit }(U\time V,G),\qquad f\mapsto g,\qquad f(u)=g(u,v)}$

이것은 변동 미적분학의 주요 가정이다.여기 정리되어 있다.이 재산은 (Steenrod 1967)에서 차용한 편리한 이름의 원천이다.

7. 부드러운 균일 경계 정리([KM], 정리 5.26.선형 매핑 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle V}$, G${\displaystyle }$) ${\displaystyle f:$$E\to C^{\fully$}($V,G)}$은(는) ${\displaystyle {evv}_{}}$ v${\displaystyle {}_{}f}$f :${\displaystyle V}$ → ${\displaystyle G}${\$displaystyle \operatorname {ev} _{v}\circle$ f$:$$V\to G}$은(는) 각 ${\displaystyle v\in V}$에 대해 부드럽다$$$.$

8. 다음과 같은 표준적인 매핑이 매끄럽다.이는 단순한 범주형 추론에 의한 지수법칙에서 따르며, [KM], 3.13을 참조한다.

${\displaystyle {\begin{aigned}&\operatorname {ev} :C^{\nothy}(E,F)\time E\to F,\text{ev}}(f,x)=f(x)\\[6pt]&\operatorname {ins} :E\to C^{\infit }(F,E\times F),\quad {\text{ins}}(x)=(x,y)\[6pt]&(\quad )^{\quadge }:C^{\infit }(E, C^{\infit }(F,G))\to C^{\infit }(E\time F,G)\[6pt]&(\quad )^{\vee }:C^{\infty }(E\times F,G)\to C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))\\[6pt]&\operatorname {comp} :C^{\infty }(F,G)\times C^{\infty }(E,F)\to C^{\infty }(E,G)\\[6pt]&C^{\fully }(\quad ,\quad ):C^{\infty }(F,F_{1})\times C^{\infty }(E_{1},E)\to C^{\infty }(C^{\infty }(E,F),C^{\infty }(E_{1},F_{1})),\quad (f,g)\mapsto (h\mapsto f\circ h\circ g)\\[6pt]&\prod :\prod C^{\infty }(E_{i},F_{i}\to C^{\infit }\왼쪽(\prod E_{i},\prod F_{i}\오른쪽)\end{aigned}}}}}$

관련 편리한 캘컬리

원활한 매핑의 편리한 미적분은 [Frölicher, 1981], [Kriegl 1982, 1983]에서 처음으로 나타났다.편리한 미적분학(Having properties 6 및 7)도 다음을 위해 존재한다.

• 실제 분석 매핑(Kriegl, Michor, 1990; [KM], II장 참조).
• 홀로모르프 매핑(Kriegl, Nell, 1985; [KM], II장 참조).홀로모피의 개념은 [판타피에, 1930-33]의 개념이다.
• Beurling 유형과 Loumie-type의 Denjoy Carleman 초라디바일을 구별할 수 있는 기능의 많은 클래스 [Kriegl, Michaor, Rainer, 2009, 2011, 2015].
• 일부 어댑테이션 기능을 사용하여 ${\displaystyle {\mathrm{Lip}}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ [FK].
• 더 많은 적응을 통해, ${\displaystyle {심지어}^{}}$ C k ,${\displaystyle {\alpha }^{}}${\$displaystyle C^{k$,\$alpha$}}($즉{\displaystyle }$,$$k {\$displaystyle$k} -th$$ 파생상품은 $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle$ \$alpha }$) ([Faure, 1989], [Faure, Thes Gene Genve, 1991])]를 포함한 Höd.

편리한 벡터 공간의 해당 개념은 이러한 모든 이론에 대해 동일하다.

응용 프로그램:유한 치수 다지관 사이의 매핑 다지관

편리한 미적분학의 기하학적 법칙 6은 매핑의 다양성에 대한 기본적인 사실들에 대한 매우 간단한 증거를 허용한다.$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 및 $N$ ${\displaystyle N}$을(를) M ${\displaystyle M}$이(가) 소형인 유한 치수 매끄러운 매니폴드로 두십시오$$.$N{\displaystyle }$ ${\$ $N}$에 보조 Riemann $미터법{\displaystyle \stackrel{}{}}$ g${\$${\g$$}$을(를$)$ 사용하고 $있으며{\displaystyle \stackrel{}{}}$$,$ 다음 다이어그램에 Riemanian 지수 매핑이 설명되어$$ 있다${\displaystyle \stackrel{}{.}}$

그것은 다음과 같이$$ 모든 매끄러운 ${\displaystyle \mathrm{매핑}}$ $M{\displaystyle }$→ N $→$N {\$displaystyle$ M$\$to N$}$의 공간 $C{\displaystyle {}^{}}$$n$ (M , N ${\displaystyle {}^{}\mathrm{displaystyle}}$ $C^{\infit }(M,N)$에 $대한$ 차트 지도를 유도한다.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle M}$, N${\displaystyle }$) ${\displaystyle f\in C^{\innflt$ $\}($$M,N)}$에 중심을 둔 차트는 다음과 같다.

${\displaystyle u_{f:C^{{\inful }(M,N)\supset U_{f}=\{g:(f,g)(M)\subset V^{N\times N}\\\tilde {U}{f}\subset \Gamma(f^{*}TN),}}}$

${\displaystyle u_{f}(g)=(\pi _{N},\exp ^{\bar{g})^{-1}\circ(f,g),\quad u_{f(x)=(x)=(\exp _{f(x)^{-1}(x),}}}}}$

${\displaystyle (u_{f})^{-1(s)=\exp _{f}{g}\bar{g}\caps s,\qquad \quad (u_{f})^{1}(s)=\exp _{f(x)}^{\bar{g}}}**}}$

이제 기본적인 사실들은 쉽게 따라온다.풀백 벡터 번들 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle$ f$^{*}$을(를) 축소하는 중$TN}$과 지수법 6을 적용하면 차이점형성이 나타난다.

${\displaystyle C^{\f^{{}}}(\mathb {R}),\감마(M;f^{*}TN)=\Mathb {R}\time M;\operatorname {pr_{*}{*f^{}TN).}$

모든 차트 변경 매핑은 부드러운 곡선을 부드러운 곡선에 매핑하므로(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{\inflit$ $\}).$

${\displaystyle{\f_{1}}}{1}\ni s\mapsto(\pi _{N}\exp ^{{N}\bar {g})\ccccc s\cccirceso(\pi _{n}}\expi ^{{{{1}}}}}}}c\c.}$

따라서 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle M}$, N$){\displaystyle C^{\infit }(M,N)}}$는 프레셰트 공간을 모델로 한 매끄러운 다지관이다$$.이 다지관의 모든 부드러운 곡선의 공간은 다음과 같다.

${\displaystyle C^{\n}(\mathb {R}), C^{\nf(M,N))\cong C^{\n(\mathb {R}\time M,N)}$

부드러운 곡선을 눈에 띄게 매끄러운 곡선에 매핑하기 때문에 구성,

$C^{\displaystyle C^{\n(P,M)\times C^{\n(M,N)\to C^{\n(P,N),\qquad(f,g)\mapsto g\circ f,}}$

매끈매끈매끈하다차트 구조의 결과로, 매핑 다지관의 접선 번들은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \pi _{C^{\infit }(M,N)}=C^{\infit }(M,\pi _{N}):TC^{\infit }(M,N)=C^{\infit }}(M,TN)\to C^{\infit }(M,N).$

일반 리 그룹

$Let{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$은(는) 편리한 벡터 공간을 모델로 한 연결된 부드러운 Lie 그룹으로, Lie 대수 g${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathfrak{g}=$가 되도록 한다.$T_{e}G$ 곱셈과 역행은 다음과 같이 표시된다.

$\displaystyle \mu :G\time G\to G,\quad \mu (x,y)=x.y.y.=\mu _{x}(y)=\mu ^{y}(x),\qquad \nu :G\to G,\nu(x)=x^{-1}.}$

일반 리 그룹의 개념은 원래 프리쳇 리 그룹에 대한 오모리 외 연구 때문이며, J. 밀너에 의해 약화되고 투명해진 다음 편리한 리 그룹에게 넘겨졌다; [KM], 38.4 참조.

다음 두 조건이 지속되는 경우 Lie 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 정규 그룹이라고 한다$$.

• For each smooth curve ${\displaystyle X\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {g}})}$ in the Lie algebra there exists a smooth curve ${\displaystyle g\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,G)}$ in the Lie group whose right logarithmic derivative is ${\displaystyle X}$. It turn out that${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$은(는) 있는 경우 초기 값 $g{\displaystyle }$ (${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle$ g$(0)}$에 의해 고유하게 결정된다$.$그것은

${\displaystyle g(0)=e,\qquad \cHB _{t}g(t)=T_{e}(\mu ^{g(t)}X(t)=X(t.g)(t)}$

g ${\displaystyle g}$이(가) 위에 필요한$$ 곡선 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 고유한 솔루션인$$ 경우, 우리는 이를 가리킨다.

${\displaystyle \operatorname {evol} _{G}^{r(X)=g(1),\quad \operatorname {Evol} _{G}^{r}(X)(t):g(t)=\operatorname {eol} _{G}^{r}(tX).}$

• 매끄럽게 하려면 다음과 같은 매핑이 필요하다.

${\displaystyle \operatorname {evol} _{G}^{r:C^{\npty }(\mathb {R},{\mathfak {g})\to G.}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(${\displaystyle 가}$) 리 대수에서 일정한 곡선인 경우, ${\displaystyle {\mathrm{진화}}_{}^{}}$ G ${\displaystyle {}_{}^{}}$⁡(${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\exp }^{}}$ ${\displaystyle G^{}}$ ${\displaystyle (}$X )${\displaystyle \operatorname {evol} _{G}^{r}(X)=\exp ^{G}(X)}}}}}}}$은 그룹 지수 매핑이다$$.

정리.각 콤팩트 $매니폴드{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$에 대해 차이점형 그룹 ${\displaystyle \mathrm{Diff}}$ ${\displaystyle (M}$) ${\displaystyle \operatorname {Diff}(M)}$은 일반 Lie 그룹이다$.$그것의 Lie 대수학 은 $M{\displaystyle }$${\$$displaystyle$$mathfak{X}(M)}$의 모든 매끄러운 벡터장 중 $공간{\displaystyle \mathfrak{}}$ X${\displaystyle }$($)$이며, 일반적인 브래킷의 음은 Lie bracket으로 한다.

증명: 차이점형성 그룹 ${\displaystyle \mathrm{Diff}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle M}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \operatorname {Diff}$ ($M$$)}$은 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$($,$ ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle C^{\inft }}}}}}$의 오픈 서브셋이므로 부드러운 다지관이다$.$그때 f(,)−1 f(,)− 1()){\displaystyle f(t,\)^{)}())}f(t, f(t,)− 1())) 돌아선 x{\displaystyle f(t,f(t,\quad)^ 내재된 방정식을 만족시키 Inversion:Diff에 만약 t→ f(,){\displaystyle t\to f(t,\)}은 매끈매끈한 곡선 ⁡(M){\displaystyle \operatorname{Diff}(M)}, 부드럽다.{$-1}(x$$x}$ 따라서 유한 치수 암묵 함수 정리로는${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$, x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$↦ f${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$,${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- 1 (${\displaystyle {}^{}x}$) ${\displaystyle (t,x)\mapsto f(t,\ )^{-1}(x)}$이 부드럽다$$.그래서 부드러운 곡선을 부드러운 곡선에 배치하고, 따라서 반전도 부드럽다.$X{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ $X$$(t,$$x$$)}$을(를) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ M$}($${\displaystyle C\mathbb{}{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle R\mathfrak{}}$, X${\displaystyle }$( M${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ C$^{\inflt }(\mathb {R},{\$mathb {$X})(M))$에 시간 의존적인 벡터 필드가 되도록$$ 한다.그런 $다음{\displaystyle \mathbb{}}$ R${\displaystyle }$× ${\displaystyle M}${\displaystyle $\operatorname {Fl}$R ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\displaystyle \partial _{t}\time X}$의 흐름 연산자 ${\displaystyle \mathrm{Fl}}$ ${\$$displaystyle \mathb {R} \times M}$을 통해 진화 연산자를 유도한다$$.

${\displaystyle \operatorname {Fl} _{s}(t,x)=(t+s,\operatorname {Evol}(X)(t,x)}}$

일반적인 미분 방정식을 만족시키는 것

${\displaystyle \partial _{t}\operatorname {Evol}(X)(t,x)=X(t,\operatorname {Evol}(X)(t,x))).}$

Given a smooth curve in the Lie algebra, ${\displaystyle X(s,t,x)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{2},{\mathfrak {X}}(M))}$, then the solution of the ordinary differential equation depends smoothly also on the further variable ${\displaystyle s}$, thus ${$$\displaystyle \operatorname {evol} _{\operatorname {Diff}(M)^{r}}}}}$은(는) 시간 의존적인 벡터 필드의 부드러운 곡선을 차이점 유형의 부드러운 곡선으로 매핑한다$$.QED.

임베딩의 주요 번들

For finite dimensional manifolds ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle N}$ with ${\displaystyle M}$ compact, the space ${\displaystyle \operatorname {Emb} (M,N)}$ of all smooth embeddings of ${\displaystyle M}$ into ${\displaystyle N}$, is open in ${\displaystyle$$C^{\flt$}($M,N$ 그래서 매끄러운 다지관이다.차이점형 그룹 ${\displaystyle \mathrm{Diff}}$ diff${\displaystyle (M}$) ${\displaystyle \operatorname {Diff}(M)}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{Emb}}$ ${\displaystyle (M}$, ${\displaystyle N)}$ ${\displaysty \operatorname {Emb}(M,N)$에서 오른쪽부터 자유롭고 부드럽게 작동한다$.$

Theorem: ${\displaystyle \operatorname {Emb} (M,N)\to \operatorname {Emb} (M,N)/\operatorname {Diff} (M)}$ is a principal fiber bundle with structure group ${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$.

Proof: One uses again an auxiliary Riemannian metric ${\displaystyle {\bar {g}}}$ on ${\displaystyle N}$. Given ${\displaystyle f\in \operatorname {Emb} (M,N)}$, view ${\displaystyle f(M)}$ as a submanifold of ${\displaystyle N}$, and split the restriction of the tangent bundle${\displaystyle TN}$ to ${\displaystyle f(M)}$ into the subbundle normal to ${\displaystyle f(M)}$ and tangential to ${\displaystyle f(M)}$ as ${\displaystyle TN _{f(M)}=\operatorname {Nor} (f(M))\oplus Tf(M)}$. Choose a tubular neighborhood

${\displaystyle p_{f(M)}:\operatorname {Nor}(f(M)\supset W_{f(M)}\to f(M).}$

${\displaystyle g}$: M${\displaystyle }$→ N ${\displaystyle g:$$M\to N}$은(는) $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{1}$- $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 가깝고$$$,$ 그러면

${\displaystyle \phi (g):=f^{-1}\circ \,p_{f(M)}\circ \,g\in \operatorname {Diff} (M)\quad {\text{and}}\quad g\circ \,\phi (g)^{-1}\in \Gamma (f^{*}W_{f(M)})\subset \Gamma (f^{*}\operatorname {Nor} (f(M))).}$

이것은 필요한 국소 분할이다.QED

추가 애플리케이션

형상공간 및 차이점형 집단의 기하학적 구조를 이용한 적용에 대한 개요는 [Bauer, Bruveris, Michor, 2014]에서 확인할 수 있다.

메모들

참조

• 바우어, M, 브루베리스, M, 미코르, P.W.형상공간 및 차이점형성 그룹의 기하학적 구조 개요.수학적 이미징 및 비전 저널, 50, 1-2, 60-97, 2014. (arXiv:1305.11500)
• 보만, J.: 한 변수의 함수 및 그 구성의 차이성, Mathematica Scandinavia vol. 20 (1967), 249–268.
• 파우레, C.-A.:C. R. 아카드, 보만 서운 테오렘 드 보만Sci, Paris, vol. 309 (1989), 1003–1006.
• 파우레, C.-A.:Theri de la differentation dans les espaces convables, This, Université de Geneve, 1991.
• 프롤리셔, A:응용 프로그램 리스는 에스피세스와 프레셰트, C. R. 아카드를 포함한다.Sci. Paris, 제293권 (1981), 125–127.
• [FK] 프롤리셔, A, 크리글, A.:선형 공간 및 분화 이론.Pure and Applied Mathematics, J. Wiley, Chichester, 1988.
• 크리글, A:Die richtigen Raume für 분석 임 Unendlich – Dimensionalen, Monatshefte für Mathik 94 (1982) 109–124.
• 크리글, A:Eine Kartesisch abgeschlosene Kategetori glatter Abbildungen zwischen은 Monatshefte für Mathik 95 (1983) 287–309를 믿고 있다.
• [KM] 크리글, A, Michor, P.W.글로벌 분석의 편리한 설정.수학 조사 및 모노그래프, 권: 53, 미국 수학 협회, 프로비던스, 1997. (pdf)
• 크리글, A, Michor, P. W., 레이너, A:비 아시아 분석적 Denjoy-Carleman 차별화 매핑, Journal of Functional Analysis, vol. 256(2009), 3510–3544. (arXiv:0804.295)
• 크리글, A, Michor, P. W., 레이너, A:quasanalytic Denjoy-Carleman의 서로 다른 매핑, Journal of Functional Analysis, vol. 261(2011), 1799–1834. (arXiv:0909.562)
• 크리글, A, Michor, P. W., 레이너, A:Beurling과 Loumieu 타입의 Denjoy-Carleman 차별화 가능한 매핑을 위한 편리한 설정.레비스타 마테마티카 컴플루텐스(2015년).doi:10.1007/s13163-014-0167-1(arXiv:1111.1819)
• 미코르, P.W. : 지도와 도형의 다양성.(ArXiv:1505.02359)
• Steenrod, N. E.:위상학적 공간에 대한 편리한 범주, 미시간 수학 저널, 제14권(1967), 133–152.