리 그룹-리 대수 통신

수학에서 Lie group-Lie 대수적 대응은 Lie group을 Lie 대수학 또는 그 반대로 대응시킬 수 있도록 하며, 그러한 관계의 조건을 연구한다. 서로 이형적인 거짓말 집단은 서로 이형적인 리알헤브라를 가지고 있지만, 그 반대가 반드시 사실인 것은 아니다. 분명한 한 가지 예는 ${\displaystyle {}^{}}$ $n{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$각각 실제 좌표 공간과 원 그룹 참조)으로 서로 이형성이지만 Lie 알헤브라는 서로 이형성이다. 그러나 단순히 연결된 리 집단으로 우리의 주의를 제한함으로써, 리 집단-리 대수적 대응은 일대일로 될 것이다.^[1]

이 글에서 거짓말 그룹은 진짜 거짓말 그룹을 가리킨다. 복합 및 p-adic 사례에 대해서는 복합 Lie 그룹 및 p-adic Lie 그룹을 참조하십시오. 이 글에서 다지관(특히 눕는 그룹)은 두 번째로 셀 수 있는 것으로 가정한다. 특히 다지관은 최대 카운트할 수 있는 많은 연결 구성요소를 가지고 있다.

기본 사항

Lie 그룹의 Lie 대수학

Lie 그룹 G의 Lie 대수학의 구성을 이해할 수 있는 방법은 다양하다. 한 가지 접근방식은 좌변량 벡터 필드를 사용한다. G에서 벡터 필드 X는 G에서 임의의 g에 대해 h를 사용할 경우 왼쪽 번역에서 불변이라고 한다.

${\displaystyle (dL_{g})(X_{h}=X_{gh}})$

여기서 $L{\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L_{g}:$$G\to G}$은(는) $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L_{g}(x)=gx}$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ L ${\displaystyle g_{}}$)${\displaystyle }$: T ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (dL_{g})$로 정의된다.$T_{h}G\to T_{gh}G}$는 접선 공간 사이의 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$의 차등이다.

${\displaystyle \mathrm{Lee}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$을(를) G의 모든 좌변환 변이 벡터 필드의 집합으로 설정하십시오$$. 그것은 진짜 벡터 공간이다. 또한, 그것은 Li-bracket 아래에서 닫힌다. 즉$,{\displaystyle }$ [${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$] ${\displaystyle [X,Y]}$은(는) X, Y일 경우 좌변환 불변이다$$. 따라서 ${\displaystyle \mathrm{Lie}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$은 G에 있는 모든 벡터 필드의 Lie 대수학의 Lie 하위 대수로서 G의 Lie 대수라고 불린다. 좌상변위 벡터장의 공간은 다음과 같이 식별하여 보다 구체적으로 이해할 수 있다:좌상변위 벡터장을 주어 좌상변위 벡터장을 주어 그 가치를 정상에서 취할 수 있고, 정체에 접선 벡터를 주어 좌상변위 벡터장으로 확장할 수 있다. 이 서신은 양방향 모두 일대일이고, 또한 비굴하다. 따라서 Lie 대수학은 ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ G ${\displaystyle T_{e}G}$에서 X와 Y의 대괄호와 정체성의 접선공간으로 생각할 수 있으며, 이들을 좌상변환 벡터장까지 확장하여 벡터장의 대괄호를 취하여 그 결과를 정격으로 평가할 수 있다$$.

또한 ID 요소에서 지원을 받는 G에 대한 분포의 Hopf 대수 대수 원시 요소의 Lie 대수로서$$ ${\displaystyle \mathrm{Lie}}$⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle G}$ $){\displaystyle \operatorname {Lie} (G)$의 또 다른 화신이 있다. 이에 대해서는 아래 #관련 구성을 참조하십시오.

매트릭스 리 그룹

G가 닫힌 부분군 정리에 의해 GL(n;C)의 닫힌 부분군이며 따라서 Lie 그룹이라고 가정한다. 그렇다면 G의 Lie 대수학은 다음과^[2][3] 같이 계산될 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Lie}(G)=\left\{X\in M(n;\mathb {C} )\mid e^{tX}\in G{\text{{}\in }}모든 }t\in \mathb {R}\right\}}.}$

예를 들어, 이 기준을 사용하여 클래식 콤팩트 그룹의 대응 관계를 설정할 수 있다(cf. 아래의 "컴팩트 거짓말 그룹"의 표).

동형성

만약

${\displaystyle f:G\to H}$

리 집단 동형성, 그 다음 정체성 요소에서의 차이

${\displaystyle df=df_{e}:\operatorname {Lie}(G)\to \operatorname {Lie}(H)}$

리 대수 동형성(Brackets go to brackets to brackets)이며, 다음과 같은 특성을 가지고 있다.

• ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle d}$ f${\displaystyle }$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle =}$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle X))}$ ${\displaystyle \exp(df(X)=f(\exp)($X$)},$ 여기서 "exp"는 지수(expensive map)이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Lie}(\ker(f))$$=\ker(df)}$^[4].
• f의 이미지가 닫힌 경우${\displaystyle <sup\; class="reference"\; id="cite\_ref-5"><a\; href="\#cite\_note-5">[5]</a></sup>\mathrm{Lie}}$ lie${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{im}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$) =${\displaystyle \mathrm{im}}$ ⁡ ( ) = im ${\displaystyle }$(${\displaystyle d}$ f${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Lie}(\operatorname {im})(f)$$=\operatorname {im} (df)}$과^[6](와) 첫 번째 이형성 정리 보유: f는 Lie 그룹의 이형성을 유도한다.

  ${\displaystyle G/\ker(f)\to \operatorname {im}(f).}$

• 체인 규칙은 유지된다: $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ H ${\displaystyle f:$$G\to H}$ 및$$ $G{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ K ${\displaystyle g:$$H\to K}$은(는) Lie group homomorphism이고, $다음$은 d${\displaystyle (g}$ ${\displaystyle \circ }$ f${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle g}$ )${\displaystyle \circ }$ (d ${\displaystyle f}$ )${\displaystyle d(g\circ f)=(dg)\circle (df)}$이다$.$

는 리 군의 H는 닫힌 subgroup[7]G특히 다음}리 ⁡(G){\displaystyle \operatorname{리}(G)의 리 subalgebra}. 또한, f, f는 몰입 교육과 그렇게 GH. 예를 들어 되기 위해 잠입형(리)서브 그룹으로 알려져injective은, G/ker ⁡(f)⁡(H){\displaystyle \operatorname{리}(H) 누우세요. {$\displaystyle G/\ker(f)}$는 H의 몰입된 하위 그룹이다$$. f가 굴절적이면 f는 하위 그룹이고, 게다가 G가 작으면 f는 구조 그룹의 커널과 함께 주요 번들이다. (Ehresmann의 보조정리)

기타 속성

Let $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ G$=G_{1}\time \cdots \time G_{r}}$은(는) Lie 그룹의 직접 산물이며 ${\displaystyle p_{}}$:${\displaystyle G}$ → ${\displaystyle {Gi}_{}}$ ${\$$G\to G_{i}}$ 투영$$. 그런 다음 d ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle \mathrm{Lie}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{Lie}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle {Gi}_{}}$) ${\displaystyle dp_{i}:\operatorname {Lie}(G)\to \operatorname {Lie}(G_{i})$에 표준$$ 식별 정보를 제공한다.

${\displaystyle \operatorname {Lie}(G_{1}\times \cdots \times G_{r}=\operatorname {Lie}(G_{1})\plus \cdots \oplus \opplus \operatorname {Lie}(G_{r}).}$

If ${\displaystyle H,H'}$ are Lie subgroups of a Lie group, then ${\displaystyle \operatorname {Lie} (H\cap H')=\operatorname {Lie} (H)\cap \operatorname {Lie} (H').}$

G를 연결된 Lie 그룹이 되게 하라. H가 Lie 그룹인 경우, 모든 Lie 그룹 동형상${\displaystyle }f{\displaystyle }$ :${\displaystyle G}$ → ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle$ f$:$$G\to H}$ is uniquely determined by its differential ${\displaystyle df}$. Precisely, there is the exponential map ${\displaystyle \exp :\operatorname {Lie} (G)\to G}$ (and one for H) such that ${\displaystyle f(\exp(X))$$=\exp(df(X))}$ 및$$ G가 연결되어 있으므로 f를 고유하게 결정한다.^[8] 일반적으로 U가 연결된 위상학군 G에서 ID 요소의 이웃인 경우, ${\$n}{n}}{$n}}}$는 열린(헨스 닫힌) 하위군이기 때문에 G와 일치한다. 자, ${\displaystyle \exp }$: ${\displaystyle \mathrm{Lie}}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle }$G${\displaystyle }$) → ${\displaystyle G}${\$displaystyle \exp$:\$operatorname {Lie}(G)\to$ G$}$는 제로벡터 근방에서 아이덴티티 요소의 근방에 이르는 국부적 동형성을 정의한다$$. For example, if G is the Lie group of invertible real square matrices of size n (general linear group), then ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$ is the Lie algebra of real square matrices of size n and ${\textstyle \exp(X)=e^{X}=\sum _{0}^{\infty }{X^{j}/j!$$}}$.

통신문

리 그룹과 리 알헤브라의 대응은 다음과 같은 세 가지 주요 결과를 포함한다.

• 거짓말의 세 번째 정리: 모든 유한차원 리얼 리 대수학은 단순하게 연결된 몇몇 리 그룹의 리 대수다.^[9]
• 동형체 정리: If ${\displaystyle \phi :\operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (H)}$ is a Lie algebra homomorphism and if G is simply connected, then there exists a (unique) Lie group homomorphism ${\displaystyle f:$$G\to H}($예$$: $\varphi {\displaystyle }$= ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi =df$^[10]
• 부분군-부분군-부분군 정리: G가 Lie 그룹이고 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이($가) Lie의$Lie 하위 그룹$($필수적으로 $닫히지$ 않음$)$ H가 Lie 대수 h ${\$의 Lie 하위 그룹 H와 연결된 고유한 하위 그룹(필수적으로 닫히지 않음)이 있다$.$^[11]

서신의 두 번째 부분에서는 G가 단순히 연결되어 있다는 가정을 생략할 수 없다. 예를 들어 SO(3)와 SU(2)의 리알헤브라는 이형성이지만,^[12] SO(3)가 SU(2)에 해당하는 동형성은 없다.^[13] 오히려 동형성은 단순하게 연결된 그룹 SU(2)에서 단순하게 연결된 그룹 SO(3)^[14]로 이어진다. 만약 G와 H가 단순히 연결되어 있고 이형성 리알헤브라를 가지고 있다면, 위의 결과는 G와 H가 이형성이라는 것을 보여줄 수 있다.^[15] f를 구성하는 한 가지 방법은 베이커-캠프벨-하우스도르프 공식을 사용하는 것이다.^[16]

리의 세 번째 정리 증명

아마도 위의 첫 번째 결과에 대한 가장 우아한 증거는 아도의 정리를 사용하는 것으로서, 어떤 유한차원 리 대수학(어떤 특징의 분야에 걸쳐도)은 리 대수 g $l{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\$의 리 하위 대수학이라고 말한다. The proof goes as follows: by Ado's theorem, we assume ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )=\operatorname {Lie} (GL_{n}(\mathbb {R} ))}$ is a Lie subalgebra. Let G be the subgroup of ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$ generated by ${\displaystyle e^{\mathfrak {g}}}$ and let ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$ be a simply connected covering of G; it is not hard to show that ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$ is a Lie group and th표지 지도에는 Lie 집단 동형성이 있다. $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$= ${\displaystyle T\mathfrak{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$= g ${\$이$($가)므로 이것으로 증명서가 완성된다.

예: $리{\displaystyle \mathfrak{}}$ 대수 g${\displaystyle }$= 리${\displaystyle \mathrm{lie}}$ (${\displaystyle G}$ ) $displaystyle {\$mathfrak{$g}=\operatorname {Lie}(G)}$의 각 원소 X는 리 대수 동형성을 일으킨다.

${\displaystyle \mathb {R} \to {\mathfrak {g},\,t\mapsto tX.}$

Lie의 세 번째 정리로서, ${\displaystyle \mathrm{Lie}}$ ${\displaystyle }$( R${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= T ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathbb{}}$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$T_{0}\mathb {R} =\mathb {R}$}과$$ exp가 정체성이기 때문에 이 동형성은 G의 일부 몰입형 부분군 H에 대한$$ Lie 그룹 동형성 $R{\displaystyle \mathbb{}}$→ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathb {R} \to H}$의 차이다. X에 의해 생성되는 1-모수 부분군이라고 불리는 이 Lie group homomorphism은 정확하게 지수 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (t}$ ${\displaystyle X}$) ${\displaysty t\mapsto \exp(tX)}$과 그 이미지 H이다. 앞의 내용은 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$과(와) G의 1-모수 부분군 집합 사이에 표준적 생체실험적 대응성이 있다고 요약할 수 있다.^[17]

동형체 정리 증빙

Lie 집단-Lie 대수적 대응(동형성 정리)의 두 번째 부분을 증명하기 위한 하나의 접근법은 홀의 책 5.7절에서와 같이 베이커-캠벨-하우스도르프 공식을 사용하는 것이다.^[18] 구체적으로, Lie ${\displaystyle }$(${\displaystyle G}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm{Lie}}$ ⁡ ( )에서 Lie$$${\displaystyle }$ (H$)$ {\$displaystyle$$$\$operatorname$ {$Lie}$ (G$)}$에서 Lie${\displaystyle )}$ ($)$ {\$displaysty \operatorname$ {$Lie}$ ($H)$까지 Lie :${\displaystyle G}$→ H ${\displaystysty f:}$을 정의할 수 있다$.$$공식$에 의한 G$\to H}$ 지역$$(즉, 정체성의 근처)

${\displaystyle f(e^{X})=e^{\pi(X)}}$

여기서 $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$ ${\$는 G에 대한 지수 지도로$$, ID 근처에 역이 정의되어 있다. 우리는 지금 f가 지역동형주의라고 주장한다. Thus, given two elements near the identity ${\displaystyle e^{X}}$ and ${\displaystyle e^{Y}}$ (with X and Y small), we consider their product ${\displaystyle e^{X}e^{Y}}$. According to the Baker–Campbell–Hausdorff formula, we have ${\displaystyle e^{X}e^{$$Y}=e^{Z$ 어디에

${\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{1}:{2}}[X,Y]+{\frac {1}{1}{12}}}[X,Y]]+\cdots ,}$

X와 Y를 포함하는 반복 정류자로 표현된 다른 용어를 나타내는$$${\displaystyle }$indicating ${\displaystyle \cdots }$과(와) 함께. 그러므로

${\displaystyle f\left(e^{X}e^{Y}\right)=f\left(e^{Z}\right)=e^{\phi (Z)}=e^{\phi (X)+\phi (Y)+{\frac {1}{2}}[\phi (X),\phi (Y)]+{\frac {1}{12}}[\phi (X),[\phi (X),\phi (Y)]]+\cdots },}$

왜냐하면 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$은(는) Lie 대수 동형이기 때문이다. 이번에도 Baker-Campbell-Hausdorff 공식을 사용하여 H그룹에 대해 이 마지막 표현은 $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\varphi }^{}}$( X${\displaystyle {}^{}}$) e ${\displaystyle {\varphi }^{}}$ ${\displaystyle {(Y}^{}}$) ${\$ e$^{\pi (X)e^{\pi (Y)}}}}}$가 되고$,$ 따라서 우리는 이 식을 가지고 있다.

${\displaystyle f\left(e^{X}e^{Y}\right)=e^{\pi(X)}e^{\pi(Y)}=f\left(e^{X}\right)f\left(e^{e^){Y}\right).}$

따라서 적어도 X와 Y가 충분히 작을 때 f는 동형성 특성을 갖는다. 기하급수적인 지도가 G의 정체성의 작은 동네에서만 불가역적이기 때문에, 그리고 베이커-캠벨-하우스도르프 공식은 X와 Y가 작을 경우에만 보유하기 때문에, 이 주장은 단지 국부적임을 강조할 필요가 있다. G가 단순히 연결되어 있다는 가정은 아직 사용되지 않았다.

논쟁의 다음 단계는 f를 지역적 동질성에서 글로벌 동질성으로 확장하는 것이다. 확장자는 경로를 따라 f를 정의한 다음 G의 단순한 연결성을 사용하여 정의가 경로 선택과 무관하다는 것을 보여줌으로써 이루어진다.

거짓말 그룹 표현

Lie 통신의 특별한 경우는 Lie 집단의 유한차원 표현과 관련 Lie 대수학의 표현 사이의 대응이다.

일반 선형 그룹 G ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle GL_{n}(\mathb {C}$)은$$ (실제) Lie 그룹 및 모든 Lie 그룹 동형상이다.

${\displaystyle \pi :G\to GL_{n}(\mathb {C} )}$

Lie 그룹 G의 표현이라고 불린다. 차동

${\displaystyle d\pi :{\mathfrak {g}\to {\mathfrak {gl}_{n}(\mathb {C}),}$

그 때 Lie 대수적 동형상이라고 불리는 Lie 대수적 동형상이다. (차등 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle d\pi }$은(는) $단순히{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \pi$}으로 표시되기도$$ 한다.)$$

동형체 정리(위에서 Lie-Lie 대수 서신의 일부로 언급)는 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) $단순히{\displaystyle \mathfrak{}}$ 연결된 Lie 그룹이고$$ Lie 대수학이 g ${\$인 경우$,$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}${\$displaystyle${\$mathfak{g}}}$의 모든 표현은 G의 표현에서 나온다고$$ 말한다. G가 단순히 연결되어 있다는 가정은 필수적이다. 예를 들어 단순히 연결되지 않은 회전 그룹 SO(3)를 생각해 보십시오. 각 차원에는 리 대수학의 불가해한 표현이 하나 있지만, 리 대수학의 홀수차원 표현만이 집단의 표현에서 나온다.^[19] (이 관찰은 양자역학에서 정수 스핀과 반정수의 스핀의 구별과 관련이 있다.) 한편, 그룹 SU(2)는 단순히 Lie 대수학과 SO(3)의 대수학과 이형성(異形性)으로 연결되어 있기 때문에, SO(3)의 Lie 대수학의 모든 표현은 SU(2)의 표현을 낳는다.

부선 표현

An example of a Lie group representation is the adjoint representation of a Lie group G; each element g in a Lie group G defines an automorphism of G by conjugation: ${\displaystyle c_{g}(h)=ghg^{-1}}$; the differential ${\displaystyle dc_{g}}$ is then an automorphism of the Lie algebra ${\displaystyle \mathfrak{g}}$${\displaystyle {\mathfrak{g$ 이 방법으로 ${\displaystyle \mathrm{우리}}$는 Ad${\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ G ${\displaystyle L}$( ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$, g ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$라고 하는 표현을 얻는다$.$ The corresponding Lie algebra homomorphism ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$ is called the adjoint representation of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ and is denoted by ${\displaystyle \operatorname {ad} }$. One can show ${\d$$isplaystyle \operatorname {ad}(X)(Y)=[X,Y$ 특히 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 Lie 브래킷이 G에 대한 그룹법에 의해 결정된다는$$ 것을 암시한다.

By Lie's third theorem, there exists a subgroup ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$ of ${\displaystyle GL({\mathfrak {g}})}$ whose Lie algebra is ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$. (${\displaystyle \operatorname {Int} ({\math$$프락{g})}}$은(는) 일반적으로 닫힌 부분군이 아니며, 물에 잠긴 부분군만 해당) $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 부선 그룹이라고 하며$,$^[20] G가 연결되면 정확한 순서에 맞게 된다.

${\displaystyle 0\to Z(G)\to G\xrightarrow {\operatorname {Ad} \operatorname {Int}({\mathfrak {g})\to 0}$

여기서 $Z{\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle Z(G)}$은 G의 중심이다$$. G의 중심이 분리되어 있으면 여기에서 Ad는 커버 맵이다.

G를 연결된 Lie 그룹이 되게 하라. 그런 다음 G의 모든 G에 ${\displaystyle 대해}$${\displaystyle }$멈춤(${\displaystyle \mathrm{Ad}g}$(${\displaystyle \mathrm{g}}$ ) =$$1 {\$displaystyle \det(\operatorname$ {$Ad}(g)=1$}인 경우에만 G가 불변하다.^[21]

다지관 X에 작용하는 G를 리 그룹으로 하고_x, X에 점 X의 스태빌라이저로 한다. ${\displaystyle \mathrm{Let}}$ $\rho {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$: G${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mapsto }$ g ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rho (x):$$G\to$ X$,\,g\mapsto g\cdot$ x$\}.$ 그러면

• ${\displaystyle \operatorname {Lie}(G_{x})=\ker(d\rho(x):T_{e}G\to T_{x}X).}$
• If the orbit ${\displaystyle G\cdot x}$ is locally closed, then the orbit is a submanifold of X and ${\displaystyle T_{x}(G\cdot x)=\operatorname {im} (d\rho (x):$$T_{e}G\to T_{x}X)}$^[22].

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ 또는$$ G의 부분 집합 A의 경우 다음과 같이 하십시오.

${\displaystyle{\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}=\{X\in {\mathfrak {g}\mid \operatorname {ad}(a)X=0{\text}(a)}}{\text{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle Z_{G}(A)=\{g\in G\mid \operatorname {Ad}(g)a=0{\text{또는 }}ga=ag{\text{{}}}}모든 }a{\context{}}}}}}}}}}$

A의 Lie 대수 중앙집중화기와 Lie 그룹 중앙집중화기가 되다 그런 다음 ${\displaystyle \mathrm{Lie}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle Z}$ G${\displaystyle {}_{}}$( A${\displaystyle }$)${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}{g}_{\mathfrak{}}}$ ( ${\displaystyle A}$) = z g ${\displaystyle \operatorname {Lie}(Z_{G}(A))={\mathfrak{z}_{\mathfrak{g$

If H is a closed connected subgroup of G, then H is normal if and only if ${\displaystyle \operatorname {Lie} (H)}$ is an ideal and in such a case ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G/H)=\operatorname {Lie} (G)/\operatorname {Lie} (H)}$.

아벨리안 리 집단

G를 연결된 Lie 그룹이 되게 하라. G 중심부의 Lie 대수학은 G(cf. 이전 §)의 Lie 대수학의 중심이기 때문에 G는 자신의 Lie 대수학이 아벨 대수일 경우에만 아벨리안이다.

G가 아벨리안이라면 지수 맵 ${\displaystyle \exp }$: ${\displaystyle g}$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \exp :{\mathfak{g}\to G}$는 허탈적인 집단 동형상이다.^[23] The kernel of it is a discrete group (since the dimension is zero) called the integer lattice of G and is denoted by ${\displaystyle \Gamma }$. By the first isomorphism theorem, ${\displaystyle \exp }$ induces the isomorphism ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\Gamma \to G}$.

경직성 인수에 의해 연결된 Lie 그룹$$ G의 기본 그룹 ${\displaystyle {\pi \mathrm{}}_{}}$1${\displaystyle }$( G$$) {\$displaystyle \pi _{1}($G)}은 $G$의${\displaystyle \stackrel{}{}}$G$$~ {\$displaystyle${\$widetilde{G}}}$을 포괄하는 단순 연결부의 중심 부분군이다. 즉, G는 중앙 확장에 적합하다.

${\displaystyle 1\to \pi _{1}(G)\to {\widetilde{G}{p}{\\}to 1.}$

Equivalently, given a Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ and a simply connected Lie group ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$ whose Lie algebra is ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, there is a one-to-one correspondence between quotients of ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$ by discr중심 부분군 및 연결된 Lie 그룹은 Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$mathfak{g}}을$($를) 가지고 있다$.$

복잡한 경우에는 복합 토리가 중요하다. 이 항목은 복합 거짓말 그룹을 참조하십시오.

컴팩트 거짓말 그룹

G는 중심이 유한한 연결된 Lie 그룹이 되게 하라. 그렇다면 다음과 같다.

• G는 콤팩트하다.
• (Weyl) G${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$을(를) 간단히 연결한 것이 콤팩트하다.
• 조정 그룹 ${\displaystyle \mathrm{Int}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$ {\$mathfrak{g}}$이(가) 콤팩트하다.
• 폐쇄 하위그룹으로$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \hookrightarrow }$ O${\displaystyle }$(${\displaystyle n\mathbb{}}$, ${\displaystyle R}$) ${\displaystyle G\hookrightarrow O(n,\mathb {R}$)가 내장되어 있다.
• $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 킬링 양식은 음수확정이다$$.
• $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {$g}$의 각 X에 대해$$${\displaystyle \mathrm{ad}}$ ad${\displaystyle (}$X${\displaystyle }$)${\displaystyle \operatorname {ad}(X)}$은(는) 대각선이 가능하고 0 또는 순수하게 가상의 고유값을 갖는다.
• $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 불변 내제품이 있다$.$

선행 조건의 등가성은 G가 유한한 중심을 가지고 있다는 가정 하에서만 유지된다는 것을 강조하는 것이 중요하다. 따라서 예를 들어 G가 유한 중심과 콤팩트하면 범용 커버 $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ~${\$도 콤팩트하다$$. 분명히 G가 무한한 중심을 갖는 경우, 예를 들어 $G{\displaystyle }$= S ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$$1}.$ 위의 마지막 세 가지 조건은 순전히 리 대수학이다.

컴팩트 리 그룹	관련 리 대수학 복잡화	루트 시스템
SU(n+1) $#\displaystyle =\왼쪽\{A\in M_{n+1}(\mathb {C})\mid {\overline {A}^{\mathrm {T}}}A=I,\det(A)=1\right\}}}}}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}(n+1,\mathb {C})}$ ${\displaystyle =\{X\in M_{n+1}(\mathb {C})\mid \operatorname {tr}X=0\}}$	An
SO(2n+1) $#\displaystyle =\왼쪽\{A\in M_{2n+1}(\mathb {R} )\mid A^{\mathrm {T}}}A=I,\det(A)=1\right\}}}}}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}(2n+1,\mathb {C})}$ ${\displaystyle =\왼쪽\{X\in M_{2n+1}(\mathb {C})\mid X^{\mathrm {T}}+X=0\right\}}}}$	Bn
Sp(n) $#\displaystyle =\왼쪽\{A\in U(2n)\mid A^{\mathrm {T}}JA=J\rigin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}(n,\mathb {C} )}$ ${\displaystyle =\좌측\{X\in M_{2n}(\mathb {C})\mid X^{{\mathrm {T}}}}J+JX=0\우측\}}}}}$	Cn
SO(2n) $#\displaystyle =\왼쪽\{A\in M_{2n}(\mathb {R} )\mid A^{\mathrm {T}}}A=I,\det(A)=1\right\}}}}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}(2n,\mathb {C})}$ ${\displaystyle =\왼쪽\{X\in M_{2n}(\mathb {C} )\mid X^{\mathrm {T}}+X=0\right\}}}}$	Dn

G가 컴팩트한 Lie 그룹인 경우

${\displaystyle H^{k}({\mathfrak {g};\mathb {R} )=H_{\text{d.R}(G)}$

여기서 왼쪽은 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 Lie 대수학 코호몰로지이고 오른쪽은 G의 de Rham 코호몰로지(강력, 이것은 G의 어떤 미분형도 평균 논거에 의해 좌불변으로 만들 수 있다는 사실의 결과)이다.

관련 구성

G를 거짓말 그룹으로 하자. G의 관련 Lie 대수 ${\displaystyle \mathrm{Lie}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$을(를) 대안으로 다음과 같이 정의할 수 있다. $A{\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle A(G)}$을(를) G에 대한 분포의 대수(convolution에 의해 주어진 곱셈과 함께 ID 요소에서 지지한다. ${\displaystyle A}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle A(G)}$은 사실 Hopf 대수학이다. G의 리 대수는 그 g)리 ⁡(G))P(A(G)){\displaystyle{\mathfrak{g}}=\operatorname{리}(G)=P(A(G))}, Milnor–Moore 정리까지 한(G){A(G)\displaystyle}.[24]에서 원시적인 요소의 리 대수, 정준 유질 동상 U(g))은 A(G){\displaystyle U({\mathfrak{g}})=A(G.)}$$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\${$g$$}$과(와)$(G$ )의 범용포함 $대수$ 사이$.$

참고 항목

• 콤팩트 리 대수
• 밀너-모어 정리
• 형식군
• 말체프 리 대수
• 선형대수군 분포

인용구

참조

외부 링크

• Math 261A Lie 그룹 및 Lie Algebras에 대한 참고 사항
• Popov, V.L. (2001) [1994], "Lie algebra of an analytic group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Akhil Mathew의 블로그 게시물인 특성 제로에서의 형식적 거짓말 이론