리에즈 보조정리

Riesz's lemma

리에스의 보조정리(Frigyes Riesz 이후)는 기능 분석의 보조정리(lema)이다.그것은 규범화된 벡터 공간의 서브 스페이스밀집되어 있음을 보증하는 (흔히 점검하기 쉬운) 조건을 명시한다.보조정리기는 Riesz 보조정리 또는 Riesz 불평등이라고도 불릴 수 있다.내부 제품 공간에 없을 때 정형성을 대신하는 것으로 볼 수 있다.

결과

리에스의 보조정리.X를 표준공간으로 하고, YX의 닫힌 적절한 하위공간이고, α는 0 < α < 1의 실수가 된다.그 다음 X에 x = 1을 가진 X가 존재하며, Y의 모든 Y에 대해 x - y α가 존재한다.[1]

비고 1.유한차원의 경우 평등을 달성할 수 있다.d(x, Y) = 1. X의 치수가 유한할 때 단위 공 BX는 콤팩트한 단위 규범의 x가 존재한다.또한 거리함수 d(· , Y)는 연속적이다.따라서 유닛 볼 B에 있는 그것의 이미지는 주장을 증명하는 실제 라인의 콤팩트한 부분집합이어야 한다.

비고 2.모든 경계 시퀀스의 공간 ℓ은 보조정리기가 α = 1을 지탱하지 않는다는 것을 보여준다.[further explanation needed]

그 증거는 크라이스치히와 같은 기능분석 텍스트에서 찾을 수 있다.교수님의 온라인 증명서. 폴 개럿을 만날 수 있다.

어떤 결과

바나흐 공간에 작용하는 콤팩트 연산자의 스펙트럼 특성은 행렬의 특성과 유사하다.리에스의 보조정리법은 이 사실을 규명하는 데 필수적이다.

Riesz의 보조정리기는 모든 무한 차원 규범된 공간에 0 < α > x - > 의 단위 벡터 {xn}의 순서가 들어 있음을 보증한다.이는 무한 차원 바나흐 공간에서 특정 조치가 존재하지 않음을 보여주는 데 유용하다.또한 Riesz의 보조정리기는 Barnach 공간 X의 ID 연산자가 X가 유한한 경우에만 콤팩트하다는 것을 보여준다.[2]

또한 유한 치수 표준 공간을 특성화하기 위해 이 보조정리기를 사용할 수 있다: X가 표준 벡터 공간인 경우, X의 닫힌 단위 볼이 작을 경우에만 X가 유한 치수인 것이다.

유한차원의 특성화

Riesz의 보조정리기는 무한 차원 규범 공간 X단위 볼결코 소형화되지 않는다는 것을 보여주기 위해 직접 적용할 수 있다.단위 구체에서 원소1 x를 취한다.다음과 같은 방법으로 단위 구체에서 xn 선택한다.

상수 0 < α < 1, 여기n−1 Y는 {x1 선형 스팬이다.xn−1} 및 Y)= -

분명히 {xn}은(는) 수렴을 포함하지 않으며 유닛 볼의 비충격성이 뒤따른다.

보다 일반적으로 위상 벡터 공간 X국소적으로 압축되면 유한 치수다.이것의 반대도 사실이다.즉, 위상 벡터 공간이 유한한 치수라면 국소적으로 콤팩트하다.[3]따라서 국소 콤팩트성은 유한-차원성의 특성을 나타낸다.이 고전적인 결과는 리에즈에게도 기인한다.짧은 증거는 다음과 같이 스케치할 수 있다:C를 0 ∈ X의 콤팩트한 동네가 되게 한다. 압축성에 의해 c, ... ... Cn 있다1.

우리는 {ci}이(가) 확장하는 유한 치수 하위 공간 Y가 X로 밀도 또는 동등하게 그 닫힘이 X라고 주장한다.XC의 스칼라 배수의 조합이기 때문에, C y Y. 자, 유도를 통해

m마다그러나 콤팩트 세트는 경계가 있으므로 CY의 폐쇄에 있다.이것이 그 결과를 증명한다.Han-Banach Organization에 기초한 다른 증거를 보려면 을 참조하십시오.[4]

참고 항목

참조

  1. ^ Rynne, Bryan P.; Youngson, Martin A. (2008). Linear Functional Analysis (2nd ed.). London: Springer. p. 47. ISBN 978-1848000049.
  2. ^ 크라이스치히 (1978년, 정리 2.5-3, 2.5-5)
  3. ^ "Locally compact topological vector spaces". 24 May 2011.
  4. ^ https://www.emis.de/journals/PM/51f2/pm51f205.pdf
  • Kreyszig, Erwin (1978), Introductory functional analysis with applications, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50731-8