리에즈 보조정리

리에스의 보조정리(Frigyes Riesz 이후)는 기능 분석의 보조정리(lema)이다.그것은 규범화된 벡터 공간의 서브 스페이스가 밀집되어 있음을 보증하는 (흔히 점검하기 쉬운) 조건을 명시한다.보조정리기는 Riesz 보조정리 또는 Riesz 불평등이라고도 불릴 수 있다.내부 제품 공간에 없을 때 정형성을 대신하는 것으로 볼 수 있다.

결과

리에스의 보조정리.X를 표준공간으로 하고, Y는 X의 닫힌 적절한 하위공간이고, α는 0 < α < 1의 실수가 된다.그 다음 X에 x = 1을 가진 X가 존재하며, Y의 모든 Y에 대해 x - y α가 존재한다.^[1]

비고 1.유한차원의 경우 평등을 달성할 수 있다.즉 d(x, Y) = 1. X의 치수가 유한할 때 단위 공 B ⊂ X는 콤팩트한 단위 규범의 x가 존재한다.또한 거리함수 d(· , Y)는 연속적이다.따라서 유닛 볼 B에 있는 그것의 이미지는 주장을 증명하는 실제 라인의 콤팩트한 부분집합이어야 한다.

비고 2.모든 경계 시퀀스의 공간 ℓ은_∞ 보조정리기가 α = 1을 지탱하지 않는다는 것을 보여준다.^{[further explanation needed]}

그 증거는 크라이스치히와 같은 기능분석 텍스트에서 찾을 수 있다.교수님의 온라인 증명서. 폴 개럿을 만날 수 있다.

어떤 결과

바나흐 공간에 작용하는 콤팩트 연산자의 스펙트럼 특성은 행렬의 특성과 유사하다.리에스의 보조정리법은 이 사실을 규명하는 데 필수적이다.

Riesz의 보조정리기는 모든 무한 차원 규범된 공간에 0 < α > x $|x_{n}-x_{m}|>\alpha$ - $|x_{n}-x_{m}|>\alpha$ $|x_{n}-x_{m}|>\alpha$ > $|x_{n}-x_{m}|>\alpha$ $x_{n}-x_{m} >\alpha$ 의 단위 벡터 {x_n}의 순서가 들어 있음을 $|x_{n}-x_{m}|>\alpha$ 보증한다.이는 무한 차원 바나흐 공간에서 특정 조치가 존재하지 않음을 보여주는 데 유용하다.또한 Riesz의 보조정리기는 Barnach 공간 X의 ID 연산자가 X가 유한한 경우에만 콤팩트하다는 것을 보여준다.^[2]

또한 유한 치수 표준 공간을 특성화하기 위해 이 보조정리기를 사용할 수 있다: X가 표준 벡터 공간인 경우, X의 닫힌 단위 볼이 작을 경우에만 X가 유한 치수인 것이다.

유한차원의 특성화

Riesz의 보조정리기는 무한 차원 규범 공간 X의 단위 볼이 결코 소형화되지 않는다는 것을 보여주기 위해 직접 적용할 수 있다.단위 구체에서 원소₁ x를 취한다.다음과 같은 방법으로 단위 구체에서 x를_n 선택한다.

{\displaystyle d(x_{n},

Y_{n-1}>\alpha }

의

d(x_n, Y_{n-1}) > \alpha

상수 0 < α < 1, 여기서_n−1 Y는 {x의₁ 선형 스팬이다.x_n−1} 및

d(x_{n},Y)=\inf _{y\in Y}|x_{n}-y|

d(x_{n},Y)=\inf _{y\in Y}|x_{n}-y|

d(x_{n},Y)=\inf _{y\in Y}|x_{n}-y|

Y

d(x_{n},Y)=\inf _{y\in Y}|x_{n}-y|

)

d(x_{n},Y)=\inf _{y\in Y}|x_{n}-y|

=

d(x_{n},Y)=\inf _{y\in Y}|x_{n}-y|

d(x_{n},Y)=\inf _{y\in Y}|x_{n}-y|

d(x_{n},Y)=\inf _{y\in Y}|x_{n}-y|

d(x_{n},Y)=\inf _{y\in Y}|x_{n}-y|

d(x_{n},Y)=\inf _{y\in Y}|x_{n}-y|

-

d(x_{n},Y)=\inf _{y\in Y}|x_{n}-y|

displaystyle d(x_{n},Y)=\inf _{y} x_{n}-y

분명히 {x_n}은(는) 수렴을 포함하지 않으며 유닛 볼의 비충격성이 뒤따른다.

보다 일반적으로 위상 벡터 공간 X가 국소적으로 압축되면 유한 치수다.이것의 반대도 사실이다.즉, 위상 벡터 공간이 유한한 치수라면 국소적으로 콤팩트하다.^[3]따라서 국소 콤팩트성은 유한-차원성의 특성을 나타낸다.이 고전적인 결과는 리에즈에게도 기인한다.짧은 증거는 다음과 같이 스케치할 수 있다:C를 0 ∈ X의 콤팩트한 동네가 되게 한다. 압축성에 의해 c, ... ... C가_n 있다₁.

C\subset \bigcup _{i=1}^{n}\;\왼쪽(c_{i}+{\frac{1}{2}}C\right)

우리는 {c_i}이(가) 확장하는 유한 치수 하위 공간 Y가 X로 밀도 또는 동등하게 그 닫힘이 X라고 주장한다.X는 C의 스칼라 배수의 조합이기 때문에, C y Y. 자, 유도를 통해

C\subset Y+{\frac {1}{2^{m}}C

매 m마다그러나 콤팩트 세트는 경계가 있으므로 C는 Y의 폐쇄에 있다.이것이 그 결과를 증명한다.Han-Banach Organization에 기초한 다른 증거를 보려면 을 참조하십시오.^[4]

참고 항목

F. 리에스의 정리

참조

^ Rynne, Bryan P.; Youngson, Martin A. (2008). Linear Functional Analysis (2nd ed.). London: Springer. p. 47. ISBN 978-1848000049.
^ 크라이스치히 (1978년, 정리 2.5-3, 2.5-5)
^ "Locally compact topological vector spaces". 24 May 2011.
^ https://www.emis.de/journals/PM/51f2/pm51f205.pdf

Kreyszig, Erwin (1978), Introductory functional analysis with applications, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50731-8

[1] Rynne, Bryan P.; Youngson, Martin A. (2008). Linear Functional Analysis (2nd ed.). London: Springer. p. 47. ISBN 978-1848000049.

[2] 크라이스치히 (1978년, 정리 2.5-3, 2.5-5)

[3] "Locally compact topological vector spaces". 24 May 2011.

[4] ttps://www.emis.de/journals/PM/51f2/pm51f205.pdf

[1]

[2]

[3]

[4]

v t 공간 주제 차단
바나흐 공간의 유형	아스플룬드 바나흐(목록) 바나흐 격자 그로텐디크 힐버트(내부 제품 공간) 양극화 정체성) (폴리노멀리) 반사적 리에츠 L-세미인너 제품 (B) 엄밀히 균일) 볼록 균일하게 매끈매끈함 (주치적) 투영)텐서 제품(힐버트 공간)
바나흐 공간:	바렐라드 F-공간 프레셰트(테임) 국소 볼록(세미나미/밍코스키 기능) 맥키 정규화(일반) 콰시노르메드 고정관념
함수 공간 위상	이중 이중 공간(이중 정규) 연산자 울트라위크 약한(극) 운영자) 강한(극성) 운영자) 울트라스트롱 균일 수렴
선형 연산자	조정 이린린(형식) 운영자 sesquilinar) (Un)경계됨 닫힌 컴팩트(힐버트 공간) (분산)연속 조밀하게 정의됨 프레드홀름(커널) 운영자) 힐베르트슈미트 함수(양수) 사이비-모노톤 정상 핵 자수성가 완전 단수형 트레이스 클래스 전치하다 유니타리
연산자 이론	바나흐 알헤브라스 C알제브라스 연산자 공간 스펙트럼(C-알지브라) 반경) 스펙트럼 이론(ODEs) 스펙트럼 정리) 극분해 단수 값 분해
정리	앤더슨-케이덱 바나흐알라오글루 바나흐-마주르 바나흐-삭스 Barnach-Schauder(개방 매핑) 바나흐-슈타인하우스 (통일된 경계) 베셀의 부등식 카우치-슈바르츠 불평등 닫힌 그래프 폐쇄 범위 에베를린-슈물리안 프로이트스펙트럼 겔판-마주르 겔판-나이마르크 골드스틴 한-바나흐(하이퍼플레인 분리) 카쿠타니 고정점 크레인-밀만 로모노소프의 불변 아공간 맥키아렌스 마주르의 보조정리 M. 리에즈 확장 파르세발의 정체 리에즈 보조정리 리에즈 표현 로빈슨우르세스쿠 슈워더 고정점
분석	추상 위너 공간 바나흐 다지관 보따리를 싸다 보크너 공간 볼록 시리즈 프리셰트 공간의 차별화 파생상품(프레셰트) 가토 기능적 단형의 준) 통합(보치너) 던퍼드 겔판-페티스 규제의 팰리-위너 약한) 기능성 미적분(보렐) 연속의 홀로모픽) 측정(레베그) 투영 값 벡터) 약하게/강하게 측정할 수 있는 기능
세트 종류	절대 볼록스 흡수. 아핀 균형/순환 경계 볼록스 볼록콘(하위 세트) 볼록 시리즈 관련 (cs, lcs)-닫힘, (cs, bcs)-완전, (하위) 이상 볼록, (Hx), (Hx) 선형 원뿔(하위 세트) 방사상 방사형 볼록/별 모양 대칭 조노토프
하위 집합/작업 설정	아핀 선체 (상대) 대수 내부(핵심) 경계점 볼록 선체 극한점 실내 선형스팬 민코스키 덧셈 극지 (Quasi) 상대 인테리어
예	절대 연속성 AC $(\displaystyle ba(\Sigma )}$ c 스페이스 바나흐 좌표 BK Besov B $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ , $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ ( $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ ) $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ 비른바움-올리츠 경계변동 BV B스 스페이스페이스 K 콤팩트 하우스도르프가 있는 연속 C(K) 하디^p H 힐베르트 H Morrey-Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ , $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ( $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ) ${\displaystyle$ L $^{\lambda ,p}(\Oomega )}$ ℓ^p (ℓ^{${\infty }$}) L^p( $∞{\$ L $^{\inflt })}$ 가중치 있는 슈워츠 $S\left(\mathbf {R} ^{n}\right)$ ( R $S\left(\mathbf {R} ^{n}\right)$ ) ${\$ 세갈-바르그만 F 소볼레프^k,p W (소볼레프 불평등) 트리벨-리조킨 Wiener amalgam $W(X,L^{p})$ ( $W(X,L^{p})$ , $W(X,L^{p})$ $W(X,L^{p})$ ) $W(X,L^{p}})$
적용들	미분 연산자 유한요소법 양자역학의 수학적 공식화 일반 미분 방정식(ODE) 유효숫자

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