다지관 분류

수학, 구체적으로는 기하학, 위상학에서 다지관의 분류는 기본 문제인데, 이 문제들은 많이 알려져 있고, 많은 개방형 문제들이 남아 있다.

주요 테마

개요

저차원 다지관은 기하학적 구조에 의해 분류되고, 고차원 다지관은 대수적으로, 수술 이론에 의해 분류된다.

"낮은 치수"는 4까지의 치수를 의미하고, "높은 치수"는 5 이상의 치수를 의미한다.치수 4의 경우는 "낮은 치수" 행동을 부드럽게 나타내므로(그러나 토폴로지로는 그렇지 않음) 경계 사례로, "낮은" 것과 "높은" 치수에 대한 논의를 참조한다.

다양한 범주의 다지관은 서로 다른 분류들을 산출한다; 이것들은 "구조"의 개념에 의해 관련된다. 그리고 더 많은 일반 범주는 더 나은 이론을 가지고 있다.
양의 곡면성은 제약되고, 음의 곡면성은 일반적이다.
고차원 다지관의 추상적인 분류는 효과적이지 않다: 두 개의 다지관(예를 들어, CW 콤플렉스로 표시됨)을 감안할 때, 그것들이 이형인지 여부를 판단할 알고리즘이 없다.

다양한 카테고리 및 추가 구조

공식적으로 다지관을 분류하는 것은 물체를 이등형성까지 분류하는 것이다."manifold"라는 개념과 "다지관 사이의 지도"라는 개념에는 여러 가지 다른 개념들이 있는데, 각 개념은 서로 다른 범주와 다른 분류 문제를 산출한다.

이러한 범주는 건망증이 심한 펑커에 의해 관련된다. 예를 들어, 서로 다른 다지관 역시 위상학적 다지관이며, 다른 지도 역시 연속적이기 때문에 펑터 ${\mbox{Diff}}\to {\mbox{Top}}$ → ${\$ 가 있다 ${\mbox{Diff}}\to {\mbox{Top}}$

이러한 요소들은 일반적으로 일대일 또는 그 이상도 아니다. 이러한 실패는 일반적으로 다음과 같이 "구조"의 측면에서 언급된다. ${\mbox{Diff}}\to {\mbox{Top}}$ → ${\mbox{Diff}}\to {\mbox{Top}}$ ${\$ mbox ${Top$ }}}의 영상에 있는 위상학적 다지관은 "다른 구조를 채택한다"고 하며 ${\mbox{Diff}}\to {\mbox{Top}}$ , 주어진 위상 다지관 위에 있는 섬유는 "기존 위상 다지관의 차별화 가능한 구조"라고 한다.

따라서 두 가지 범주를 주어지는 자연문항은 다음과 같다.

특정 유형의 어떤 다지관이 추가 구조를 수용하는가?
추가 구조를 인정하면 몇 개 인정하느냐.

더 정확히 말하면, 추가 구조물 세트의 구조는 무엇인가?

더 일반적인 범주에서, 이 구조 집합은 더 많은 구조를 가지고 있다: Diff에서는 단순한 집합이지만, Top에서는 집합체, 그리고 functorial적으로는 그렇다.

이들 구조물 중 다수가 G-구조체인데, 문제는 구조물 그룹의 축소다.가장 익숙한 예는 방향성이다: 어떤 다지관은 방향성이 있고, 어떤 다지관은 방향성이 없고, 어떤 다지관은 방향성이 2가지임을 인정한다.

열거 대 불변수

분류에는 두 가지 일반적인 방법이 있다: 명시적으로, 열거에 의해, 또는 불변성의 관점에서 암묵적으로.

예를 들어, 방향성이 있는 표면의 경우, 표면의 분류는 $n\geq 0$ 을 n $n\geq 0$ 0 $[\displaystyle n\geq 0}$ tori의 $n\geq 0$ 연결 합으로 열거하며, 이를 분류하는 불변량은 속 또는 오일러 특성이다.

다지관에는 다음과 같은 다양한 불변성 물질이 있다.

점 집합 위상
- 콤팩트
- 연결성
고전 대수 위상
기하학적 위상
- 일반 불변성(방향성, 특성 클래스 및 특성 번호)
- 단순 호모토피(Reidemeister 비틀림)
- 수술 이론

비범한 (공)호몰로지 같은 현대의 대수학적 위상(코보디즘 이론 너머)은 다지관의 분류에 거의 사용되지 않는데, 이러한 불변성들은 동종-상속성(homotophy-invariant)이기 때문에 호모토피 타입 이상의 미세한 분류에는 도움이 되지 않기 때문이다.

코보르디즘 그룹(한 점의 보르디즘 그룹)은 계산되지만, 공간의 보르디즘 그룹( $MO_{*}(M)$ $MO_{*}(M)$ $MO_{*}(M)$ ( $MO_{*}(M)$ ) $MO_{*}(M)$ 등 $MO_{*}(M)$ 은 일반적으로 계산되지 않는다.

포인트 세트

포인트 세트 분류는 기본이다. 일반적으로 포인트 세트 가정을 수정한 다음 해당 등급의 다지관을 연구한다.다지관의 가장 자주 분류되는 등급은 폐쇄형, 연결형 다지관이다.

다지관은 균질(어떤 경계에서 벗어나도)하기 때문에 치수 및 경계 대 내부를 제외하고 국부적인 점 집합 불변성이 없으며, 가장 많이 사용되는 글로벌 점 집합 속성은 콤팩트함과 연결성이다.이러한 조합의 기존 명칭은 다음과 같다.

콤팩트 다지관은 경계가 있는 콤팩트 다지관이며, 반드시 연결되지는 않는다.
닫힌 다지관은 경계가 없는 콤팩트 다지관이며, 반드시 연결되지는 않는다.
개방 다지관은 경계가 없는 다지관(필수적으로 연결되지 않은 다지관)이며, 컴팩트한 구성품이 없다.

예를 들어 $[0,1]$ [ $[0,1]$ $[0,1]$ $[0,1]$ $[0,1]$ 은(는) 콤팩트 매니폴드 $[0,1]$ , $S^{1}$ 1 ${\$ 은 $S^{1}$ $($ 는) 닫힌 매니폴드, $(0,1)$ ( $(0,1)$ 1 $(0,1)$ ) ${\displaystyle (0,$ 1)은 열린 $[0,1)$ 매니폴드 $(0,1)$ , [0 $,$ $[0,1)$ 은 이러한 $것이 아니다$ .

계산성

오일러 특성은 동역학적 불변성이므로 CW 구조로 계산하면 효과적으로 계산할 수 있으므로 2-매니폴드는 동역학적으로 분류된다.

특성 등급과 특성 번호는 해당 일반화된 호몰로지 불변성이지만, 다지관을 더 높은 차원에서 분류하지는 않는다(이들은 완전한 불변성의 집합은 아니다). 예를 들어 방향성 3-매니폴드는 평행할 수 있다(저차원 위상에서의 Steenrod의 정리), 따라서 모든 특성 등급은 사라진다.더 높은 차원에서는 특성 클래스가 일반적으로 사라지지 않으며 유용하지만 완전한 데이터는 제공하지 않는다.

치수 4 이상의 다지관은 효과적으로 분류할 수 없다. CW 복합체 또는 핸들베이드로 표시되는 두 개의 n-매니폴드( $n\geq 4$ $n\geq 4$ 4 $[\displaystyn n\geq 4$ 를 고려할 때, 그것들이 이형인지(동형, 차이형)인지를 판별하는 알고리즘이 없다.이것은 그룹에 대한 단어의 문제, 또는 더 정확히 말하면, 사소한 문제(그룹에 대한 유한한 제시를 감안할 때, 그것은 사소한 그룹인가?)의 불능성 때문이다.어떤 집단의 유한한 표시도 2-복합체로서 실현될 수 있으며, 4-매니폴드(또는 그 이상)의 2-스켈레톤으로 실현될 수 있다.따라서 분류는커녕 주어진 고차원 다지관의 기본 그룹도 계산할 수 없다.

이러한 비효과적인 것은 수술 이론이 다지관을 동형성까지 분류하지 않는 근본적인 이유다.Instead, for any fixed manifold M it classifies pairs $(N,f)$ with N a manifold and $f\colon N\to M$ a homotopy equivalence, two such pairs, $(N,f)$ and $(N',f')$ , being regarded as equivalent if there exist a hom어모르퍼시즘 $h\colon N\to N'$ $h\colon N\to N'$ : $h\colon N\to N'$ → $h\colon N\to N'$ $h\colon N\to N'$ ${\$ h\ $colon$ N\ $to N'}$ 및 호모토피 $f'h\sim f\colon N\to M$ h $f'h\sim f\colon N\to M$ $f'h\sim f\colon N\to M$ : N $f'h\sim f\colon N\to M$ → $f'h\sim f\colon N\to M$ $[\displaystyle f'h\sim f\colon$ N $\to M$

양의 곡면성이 제약되고 음의 곡면성이 일반적임

리만 기하학에서 많은 고전적인 이론들은 양의 곡률을 가진 다지관이 제약된다는 것을 보여주는데, 가장 극적으로 1/4로 고정된 구체정리가 그것이다.반대로 음의 곡면성은 일반적이다. 예를 들어 치수 $n\geq 3$ $n\geq 3$ $n\geq 3$ 의 $다지관$ 에서는 음의 $Ricci$ 곡면성을 가진 $메트릭$ 을 허용한다 $n\geq 3$ $.$

이러한 현상은 표면의 경우 이미 명백하다: 양의 곡률(구면 및 투영면)을 가진 단일 방향성(및 방향성이 없는 단일) 닫힌 표면이 있고, 마찬가지로 곡률 제로(토러스 및 클라인 병)의 경우, 상위 속성의 모든 표면은 음의 곡률 측정 기준만 허용한다.

3-매니폴드의 경우와 유사하게, 8개의 기하학 중에서 쌍곡선을 제외한 모든 것은 상당히 제한적이다.

치수별 개요

치수 0과 1은 사소한 것이다.
저차원 다지관(치수 2 및 3)은 지오메트리를 허용한다.
중간 치수 다지관(차원 4는 다르게)은 이국적인 현상을 나타낸다.
고차원 다지관(차원 5 이상, 보다 상이하게, 차원 4 이상)은 수술 이론에 의해 분류된다.

따라서 치수 4의 구별 가능한 다지관은 가장 복잡하다. 즉, 기하학적으로 (하위 차원과 마찬가지로) 기하학적으로 분류되지 않으며(높은 차원이나 위상학적으로) 수술에 의해 분류되지 않으며, 특이한 현상을 보이며, 가장 두드러지게 R에⁴ 무한히 많은 이국적인 다양한 구조물을 나타낸다.특히 일반화된 푸앵카레 추측이 남아 있는 유일한 공개 사례는 차별화 가능한 4마니폴드다.

고차원 다지관에 대한 저차원적 관점을 취하면서 기하학적 다양성의 다양한 개념(3차원처럼 기하학적 조각으로 자르고, 연성 다지관으로 자르는 등)에 대해 "어떤 고차원 다지관이 기하학적 형상이 가능한가?"라고 물을 수 있다.차원 4 이상에서 모든 다지관이 기하학적으로 가능한 것은 아니지만 흥미로운 수업이다.

반대로 저차원 다지관에 대한 고차원적 관점을 취하면서 '저차원 다지관에 대한 수술은 어떻게 예측하는가'라는 질문을 던질 수 있는데, '저차원 다지관에 대한 수술이 효과가 있다면 저차원 다지관은 어떤 모습일까'라는 뜻이다.그러면 실제 저차원 다지관의 이론을 고차원 다지관의 저차원 아날로그와 비교해 볼 수 있고, 저차원 다지관이 "예상대로" 행동하는지 알 수 있다: 어떤 방식으로 고차원 다지관처럼 행동하는지(그러나 다른 이유로, 또는 다른 증거를 통해) 그리고 어떤 방식으로 비정상적인가?

치수 0 및 1: 사소한

0차원 다지관, 즉 점으로 연결된 독특한 다지관이 있으며, 분리된 0차원 다지관은 가디날리티에 따라 분류되는 이산형 집합에 불과하다.그들은 기하학이 없고, 그들의 연구는 결합학이다.

경계 없이 연결된 1차원 다지관은 원(소형일 경우) 또는 실선(소형일 경우)이다.단, 1차원 다지관의 지도는 비교 영역이다. 아래를 참조한다.^{[citation needed]}

치수 2 및 3: 지오메트리 가능

연결된 모든 폐쇄형 2차원 다지관(표면)은 균일화 정리에 의해 일정한 곡률 지표를 허용한다.이러한 곡선에는 3가지(양, 0, 음)가 있다.이것은 고전적인 결과로서, 그리고 언급했듯이 쉬운 것이다(완전한 균일화 정리는 미묘하다.모든 방향성 표면은 리만 표면이나 복잡한 대수곡선으로 간주될 수 있기 때문에 표면의 연구는 복잡한 분석 및 대수 기하학과 깊이 연관되어 있다.표면의 분류가 고전적이지만 표면의 지도는 활성 영역이다. 아래를 참조하십시오.

모든 닫힌 3차원 다지관은 기하학적 추측에 의해 기하학적 형상이 가능한 조각으로 잘라질 수 있으며, 8개의 기하학적 형상이 있다.이것은 최근의 결과고 꽤 어렵다.그 증거(푸앵카레 추측의 해결책)는 위상학이 아니라 분석적이다.

차원 4: 이국적인

4차원 다지관은 가장 특이한 것으로 (하위 치수와 같이) 기하학적으로 볼 수 없고, 수술은 위상학적으로 효과가 있지만 차별화되지는 않는다.

국소학적으로 4마니폴드는 수술에 따라 분류되기 때문에 "어떤 (위상학적으로) 4마니폴드는 다른 구조를 인정하는가, 그런 것에 대해서는 얼마나 많은 다른 구조가 존재하는가"라는 '차별적인 구조'라는 관점에서 구분할 수 있는 분류 질문을 표현한다.

4마니폴드는 종종 많은 특이한 다른 구조들을 인정하는데, 가장 놀라운 것은 R에⁴ 있는 무한히 많은 이국적인 다른 구조들을 인정한다는 것이다.마찬가지로, 구별이 가능한 4마니폴드만이 일반화된 푸앵카레 추측의 유일한 공개 사례다.

차원 5 이상: 수술

치수 5 이상(및 4차원)에서 다지관은 수술 이론에 의해 분류된다.

휘트니 트릭은 2+1 치수(2공백 1회)가 필요하므로 수술 이론의 휘트니 디스크 2개는 2+2+1=5 치수가 필요하다.

치수 5의 이유는 치수 5 이상에서 휘트니 트릭이 중간 치수에서 작동하기 때문이다: 일반적으로 두 개의 휘트니 디스크가 치수 5 이상에서 일반 위치( $2+2<5$ + 2 $2+2<5$ < 5 $<\디스플레이$ 스타일 $2+2<5}))$ 로 교차하지 않는다.차원 4에서는 위트니 디스크 2개의 교차점을 카슨 핸들을 통해 해결할 수 있으며, 위상은 위상적으로 작동하지만 차이가 없다. 자세한 내용은 기하학적 토폴로지를 참조하십시오. 치수에 대한 상세 내역에 대한 치수.

좀 더 미묘하게, 차원 5는 2보다 더 많은 코디멘션을 가지고 있기 때문에 컷오프가 된다: 코디멘션이 2일 때는 매듭 이론을 접하지만, 2일 이상일 때는 임베딩 이론이 functors의 미적분학을 통해 추적 가능하다.이것은 아래에서 더 자세히 논의된다.

다지관 사이의 지도

범주 이론의 관점에서, 다지관의 분류는 범주를 이해하는 한 부분이다: 그것은 대상을 분류하는 것이다.또 다른 질문은 다지관의 지도를 다양한 등가점까지 분류하는 것으로, 이 영역에는 많은 결과와 공개질문이 있다.

지도에서 "낮은 치수"의 적절한 개념은 어떤 목적을 위한 "저차원 다지관의 자체 지도"와 다른 목적을 위한 "낮은 코디멘션"이다.

저차원 셀프맵시

1차원: 원의 동형성
2차원: 클래스 그룹과 토렐리 그룹 매핑

낮은 코디네이션

다지관의 분류와 유사하게 높은 코디네이션(2개 이상의 의미)에서는 임베딩이 수술에 의해 분류되는 반면, 낮은 코디네이션이나 상대적인 차원에서는 경직되고 기하학적이며, 중간(코디멘션 2)에서는 어려운 이국론(코디네이션 이론)을 가지고 있다.

2보다 큰 코디네이션에서 임베딩은 수술 이론에 따라 분류된다.
특히 1차원 다지관을 3차원 다지관에 내장한 코디멘션 2에서는 매듭 이론을 가지고 있다.
코디멘션 1에서 코디멘션 1을 내장하면 다지관이 분리되며, 이것들은 트랙터블이다.
코디멘션 0에서 코디멘션 0(적절한)몰입은 피복공간으로 대수학적으로 분류되며, 이것들은 보다 자연스럽게 서브메이드로 생각된다.
상대적 차원에서는 콤팩트한 도메인을 가진 물체는 (대칭 0 = 상대적 차원 0에서와 마찬가지로) 섬유다발이며, 대수적으로 분류된다.

높은 치수

특히 지형학적으로 흥미로운 등급의 지도에는 임베딩, 임포션, 잠수정이 포함된다.

기하학적으로 흥미로운 것은 등축과 등축적 몰입이다.

임베딩 및 임베딩의 기본적인 결과는 다음과 같다.

이러한 지도를 연구하는 주요 도구는 다음과 같다.

그로모프의 h-원칙
미적분학

지도는 다음과 같이 분류할 수 있다.

마티아스 크렉은 거미줄에 이르는 차이점형태를 다음과 같이 분류했다.

M. Kreck, Bordism of differentials Bull.아머. 수학.Soc. 제8권, 제5권(1976년), 제759-761호.
M. Kreck, 차이점형식의 보르디즘과 관련된 주제, Springer 렉트.참고 1069(1984)

참고 항목

홀노미 그룹의 버거 분류.

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