프레드홀름 커널

수학에서 프레드홀름 커널은 바나흐 공간의 특정 유형의 커널로 바나흐 공간의 핵 운영자와 연관된다.이들은 프레드홀름 적분 방정식과 프레드홀름 연산자의 사상을 추상화한 것으로 프레드홀름 이론의 연구 대상 중 하나이다.프레드홀름 알맹이는 에릭 이바르 프레드홀름을 기리기 위해 이름 지어졌다.프레드홀름 알맹이의 추상적인 이론의 대부분은 알렉산더 그로텐디크에 의해 개발되어 1955년에 출판되었다.

정의

B는 임의의 바나흐 공간이고, B는 그것의^* 이중, 즉 B의 경계 선형 함수의 공간이다.텐서 $제품{\displaystyle {}^{}}$ B ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle$ B$^{*}\otimes B}$은(는) 표준에 따라 완료됨

${\displaystyle \Vert _{\pi }=\inf \sum \{\{i\}}}^{*}\Vert \Vert e_{i}}}$

모든 유한한 표현을 최대로 사용하는 경우

${\displaystyle X=\sum _{\i\}e_{i}^{*}\otimes e_{i}\in B^{*}\otimes B}$

이 규범 하에서 완성은 흔히 다음과 같이 표시된다.

${\displaystyle B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}}{\pi }B}$

그리고 투영적인 위상학적 텐서 제품이라고 불린다.이 공간의 원소를 프레드홀름 알맹이라고 한다.

특성.

모든 프레드홀름 커널은 그 형태로 표현되어 있다.

${\displaystyle X=\sum _{\i\}\lambda _{i}e_{i}^{*}\otimes e_{i}}}}$

with ${\displaystyle e_{i}\in B}$ and ${\displaystyle e_{i}^{*}\in B^{*}}$ such that ${\displaystyle \Vert e_{i}\Vert =\Vert e_{i}^{*}\Vert =1}$ and

$\displaystyle \sum _{\i\}\vert \{i}\vert <\inful.\,}$

이러한 각 커널과 연관된 선형 연산자

${\displaystyle {\mathcal{L}_{X}:B\to B}$

표준적인 표현이 있는

${\displaystyle {\mathcal{L}_{X}f=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*(f)e_{i}.\,}$

모든 Fredholm 커널과 연관된 것은 트레이스(trace)로 정의되며,

${\displaystyle {\mbox}X=\sum _{\i\}}\lambda _{i}e_^{*(e_{i})\,}$

p-파우더블 낟알

프레드홀름 알맹이는 다음과 같은 경우에 p-summable이라고 한다.

$\displaystyle \sum _{\i\}\vert \{p}{p}}{p}}}$

프레드홀름 커널은 q가 p-summable한 모든 p에 0< 1 ${\displaystyle 0<p\leq 1}$의 최소치라면 q 순서가 있다고 한다.

바나흐 공간의 핵 운영자

연산자 L : B→B는 X_X = $B{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}{}^{}{\stackrel{}{}}_{}}$ ^ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ $^$ ${\displaystyle B_{}}$ {\$displaystyle$ B$^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B}$이 있는 경우 원자력 연산자라고 한다. 이러한 연산자는 P-summable이며 X이면 q의 순서라고 한다.일반적으로 그러한 원자력 사업자와 관련된 X가 둘 이상 있을 수 있으므로, 그 추적이 고유하게 정의되어 있지 않다.그러나 q ≤ 2/3의 순서라면, 그로텐디크의 정리에 의해 주어진 것과 같이 독특한 흔적이 있다.

그로텐디크의 정리

$L{\displaystyle \mathcal{}}$: ${\displaystyle B}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal{L$}일 경우$:$$B\to B}$은(는) $q{\displaystyle q\mathrm{}}$ 2${\displaystyle }$/ 3 ${\displaystyle q\leq 2/3}$의 오더 연산자로, 추적은$$ 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle {\mbox{Tr}{\mathcal{L}=\sum _{\i\}\rho_{i}}}}$

여기서 $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 고유값이며$,$ 나아가 프레드홀름 결정요인

${\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}\오른쪽)=\prod _{i}\left(1-\rho _{i}z\right)}}$

z의 전체 함수다.공식

${\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}\오른쪽)=\exp {\mbox{Tr}\log \left(1-z{\mathcal {L}\오른쪽)}$

홀드도 있다.마지막으로 $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 어떤 복합 값 매개변수 w, 즉 L${\displaystyle }$= ${\displaystyle L_{}}$ w ${\$에 의해 매개변수화가 일부 도메인에서 홀로모르픽인 경우

${\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}_{w}\오른쪽)}$

같은 영역에서 홀로모픽형이다.

예

중요한 예로는 도메인 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ C ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$k}}$에 걸친 홀로모르픽 함수의 바나흐 공간이다$.$ 이 공간에서는 모든 핵 연산자가 순서가 0이므로 추적 등급이다.

핵공간

원자력 사업자의 생각은 프레셰트 공간에 적응할 수 있다.핵 공간은 임의의 바나흐 공간에 대한 모든 경계 지도가 핵인 프레셰트 공간이다.

참조

• Grothendieck A (1955). "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Mem. Amer. Math. Soc. 16.
• Grothendieck A (1956). "La théorie de Fredholm". Bull. Soc. Math. France. 84: 319–84. doi:10.24033/bsmf.1476.
• B.V. Khvedelidze, G.L. Litvinov (2001) [1994], "Fredholm kernel", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Fréchet M (November 1932). "On the Behavior of the nth Iterate of a Fredholm Kernel as n Becomes Infinite". Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 18 (11): 671–3. doi:10.1073/pnas.18.11.671. PMC 1076308. PMID 16577494.