바나흐 공간
Banach space수학에서, 특히 함수 해석에서, 바나흐 공간([banbanax]로 발음됨)은 완전한 규범 벡터 공간이다.따라서, 바나흐 공간은 벡터 길이와 벡터 사이의 거리를 계산할 수 있는 메트릭을 가진 벡터 공간이며, 코시 시퀀스가 항상 공간 내에서 잘 정의된 한계로 수렴한다는 점에서 완성됩니다.
바나흐 공간은 한스 한, 에두아르트 헬리와 [1]함께 1920~1922년 이 개념을 도입하고 체계적으로 연구한 폴란드 수학자 스테판 바나흐의 이름을 따왔다.모리스 르네 프레셰는 "바나흐 공간"이라는 용어를 처음 사용했고 바나흐는 "프레셰 공간"[2]이라는 용어를 만들었다.바나흐 공간은 원래 21세기 초에 힐베르트, 프레셰, 리즈에 의해 함수 공간에 대한 연구를 통해 성장했습니다.바나흐 공간은 함수 분석에서 중심 역할을 합니다.분석의 다른 영역에서는 연구 중인 공간이 Banach 공간인 경우가 많습니다.
정의.
A바나흐 공간은 완벽한normed 공간(X,‖ ⋅ ‖).normed 공간{\displaystyle(X,\ \cdot)).}은 pair[노트 1](X,‖ ⋅ ‖){\displaystyle(X,\ \cdot))} 스칼라장 K{\displaystyle \mathbb{K}에 대한 벡터 공간으로 구성된 X{X\displaystyle}}(어디 K{\displaystyle \mathbb{K}}. comm은오직 R{\displaystyle \mathbb{R}}또는 C{\displaystyle \mathbb{C}})같이 distinguished[주 2]규범‖⋅ ‖:X→ R.{\displaystyle\와 같이 \cdot\:X\to \mathbb{R}.}모든 표준처럼, 생태계가 번역 invariant[주 3]거리 함수 또는(규범)유도 정준 미터 법이라고 불리는 -LSB- n.에 의해 정의됨이다ote 4]
정의상 dddisplaystyled\cdot가완전메트릭인 경우 표준공간d은 Banach 공간입니다.또, ( 가 완전메트릭공간인 경우에는달리 설명하겠습니다.표준공간 X \의 표준공간style은 ( \cdotdisplaystyle \이 바나치공간일경우 완전표준이라고 불립니다.
L-반내 제품
X\ \X에 대해X X에 L-semi-inner 제품 、 ⟩⟩⟩⟩⟩ 、 ⟩⟩ ⟩⟩⟩⟩⟩⟩⟩⟩⟩⟩⟩⟩⟩⟩⟩⟩⟩⟩⟩⟩⟩⟩⟩⟩⟩⟩ 에랄, 이 조건을 충족하는 L-semi-inner 제품은 무한히 많을 수 있습니다.L-semi-inner 제품은 힐버트 공간을 다른 바나흐 공간과 근본적으로 구별하는 내부 제품의 일반화입니다.이는 모든 표준 공간(따라서 모든 Banach 공간)이 (이전) Hilbert 공간의 일반화라고 간주할 수 있음을 나타냅니다.
시리즈에 따른 특성화
벡터 공간 구조를 사용하면 일련의 벡터를 수렴하는 것과 코시 시퀀스의 동작을 연관시킬 수 있습니다.표준 X({X})는 XX})의 각 절대 수렴 시리즈가 X X로 수렴되는 경우에만 Banach 공간입니다.
토폴로지
표준공간 """ "" )의 d( X\ )는 X\ X의 표준메트릭 토폴로지 _})를 유도합니다여기서 이 토폴로지는 표준 또는 표준 유도 토폴로지라고 불립니다.특별히 지시되지 않는 한 모든 표준 공간은 자동으로 이 하우스도르프 토폴로지를 전송하는 것으로 간주됩니다.이 토폴로지에서는 모든 [4]바나흐 공간은 Baire 공간이지만 Banach가 아닌 표준 공간이 존재합니다.노름 (:( X , ) \ \ , \ \ , \ : left ( , \ _ { \ )\ \ \ 는 유도되는 토폴로지에 관한 연속 함수입니다.
x x\ X를 중심으로 한 r> (\ 0)의 오픈볼과 클로즈볼은 각각 세트입니다.
이 규범에 의해 유도되는 토폴로지는 ( d \ _를topology vector space(TVS; 토폴로지 벡터 공간)로 알려져 있습니다.이것은 정의상 덧셈과 스칼라 곱셈의 연산을 연속적으로 하는 토폴로지가 부여된 벡터 공간입니다.TVS , d (, \ _ {} \ )는 특정 유형의 토폴로지와 함께 벡터 공간일 뿐이라는 점이 강조되고 있습니다.즉, TVS로 간주되는 경우, 이 공간은 특정 표준 또는 메트릭(둘 다 "잊혀짐")과는 관련이 없습니다.
완전한 계량 가능한 벡터 토폴로지의 비교
The open mapping theorem implies that if are topologies on that make both and into complete metrizable TVS (for example, Banach or Fréchet 공백) 및 한쪽 토폴로지가 다른 쪽 토폴로지보다 가늘거나 거칠면 같아야 합니다(즉, " 또는 "가 "2 " (\\display \ \ \dispect_text[6]{\{}}} })예를 들어 ( , )및 , , p \ { ( , )}이 토폴로지가 { \ { }{\{\ { 및 }인 경우 그리고 이들 공간 중 하나가 볼의 서브셋이 열려 있는 경우q )→ {{:\{q}\right {R : (X,p )→ R _{ \mathbbb {R 동일하며 그 토폴로지가 됩니다.
완전성
완전한 규범과 동등한 규범
벡터 공간상의 두 가지 규범은 동일한 [7]위상을 유도하는 경우에만 동등하다고 불립니다.p와 qq가 벡터 X(\ X)의 두 가지 동등한 규범인 displaystyle(X,q)\displaystyle(\displaystyle)가 바나흐 공간인 경우에만)이 됩니다.바나흐 공간의 연속 노름 예시로 바나흐 공간의 주어진 [note 5][7]노름과 동일하지 않은 것을 보려면 이 각주를 참조하십시오.유한 차원 벡터 공간의 모든 규범은 동일하며 모든 유한 차원 규범 공간은 바나흐 [8]공간이다.
완전한 기준과 완전한 메트릭
A미터 DX{X\displaystyle}X{X\displaystyle}에 기준을 모든 sca에 D(s), sy))이란 말예요. D(), y){\displaystyle D(sx,sy)=의 D(x, y)} 되다면 D{D\displaystyle}은 번역 invariant[주 3]고 완전히 균질에 의해 유도된 벡터 공간에{D\displaystyle}.lars {\ s 및 x , , { x , \ X} 。이 경우함수 "": ( , \ := (는 X에 규범적인 메트릭을 정의하고" stylex 에 의해 유도됩니다
,( ( ( ( ( (( X , \는 표준 공간이고and and induced induced induced induced induced induced induced induced induceddisplaydisplaydisplay induced induced induced induced and and and and and and and and and and)는 X에서 유도되는 토폴로지라고 합니다\X는 와 같습니다 D가 변환 불변인[note 3] (,는 (,)\ ,\ cdot \ )이 완전한 메트릭 [9]공간인 경우에만Banach 공간입니다D D가 변환 불변수가 아닌 ,(X{cdot \)}은Banach 공간이지만 ( 은 완전한 메트릭[10] 공간이 아닐 수 있습니다(예[note 6]: 각주 참조).대조적으로, Klee,[11][12][노트 7]의 정리도 모두 계량화 가능 위상 벡터 공간에, 한다면, any[노트 8]X{X\displaystyle}에 X에서 표준 위상τ{\displaystyle \tau},{X\displaystyle,} 다음(X,‖ ⋅ ‖)을 유발하는 완전한 미터 D{D\displaystyle}이 존재하는 것을 의미하기 적용된다. {\displaystyle(X,\ \cdot 는 Banach 공간입니다.
프레셰 공간은 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간이며, 그 위상은 어떤 변환 불변 완전 메트릭에 의해 유도된다.모든 바나흐 공간은 프레셰 공간이지만 반대로는 아니다. 실제로 노름이 연속 함수인 프레셰 공간(실수열 i R{\ \mathbb {N} \ )도 존재한다하지만, 모든 프레셰 공간의 위상은 규범의 일반화인 세미노름이라고 불리는 셀 수 있는 (필요하게 연속적인) 실제 값 지도 패밀리에 의해 유도된다.심지어 프레셰 공간은 계수 가능한 규범 패밀리에 의해 유도되는 위상을 가질 수 있지만(이러한 규범은 반드시 [note 9][13]연속적일 것이다), 그 위상은 어떤 하나의 규범에 의해 정의될 수 없기 때문에 바나흐/규범 공간이 될 수 없다.이러한 공간의 예로는 공간 C (), \ C}(가 있으며, 그 정의는 시험 함수 및 분포 공간에 관한 기사에서 찾을 수 있다.
완전한 표준 vs 완전한 토폴로지 벡터 공간
미터법 완전성 외에 또 다른 완전성의 개념이 있는데, 그것은 균일한 공간의 이론을 사용하는 완전 위상 벡터 공간(TVS) 또는 TV 완전성의 개념이다.특히 TV 완전성의 개념은 벡터 감산 및 벡터 공간이 부여되는 위상에만 의존하는 표준 균일성이라고 불리는 고유한 변환 불변 균일성을 사용합니다. 따라서 TV 완전성의 개념은 유도된 어떤 규범과도 독립적입니다."\ (측정할 수 없는 TV에도 적용됩니다)바나흐의 모든 공간은 완전한 TV입니다.또한, 노름 공간은 위상 벡터 공간으로서 완전한 경우에만 바나흐 공간이다(즉 완전함)이 위상 벡터 공간은 바나흐 공간이다.( , ){ ( X , \ 이 측정 가능한 토폴로지 벡터 공간(예를 들어 표준유도 토폴로지 등인 ," ) { (X , \ )}은 완전한 TV가 됩니다.이는 모든 )의 순서로 완전한 TV를 확인하는 것으로 충분합니다.le ( , \ 는 ( , ( , \ )로 합니다, 임의의 Cauchy nets의 일반적인 개념을 고려할 필요는 없습니다).
, ){( , \) }가 어떤 (아마도 알 수 없는) 노름에 의해 위상이 유도되는 토폴로지 벡터 공간인 (이러한 공간은 노름이라고 불리며 원점의 경계 볼록한 근방을 갖는 것이 특징임 , ( , \ )는 완전 벡토리컬이다.또는 X X에 표준 을 할당할 수 있는 에만 공백 또는 공백. 이 표준 ordisplaystyle X은 X)에서 토폴로지 \tau를 유도하고 ( \\cdot 를 바나흐 공간으로만듭니다.X{X\displaystyle}normable 있는 하우스 도르프 지역적으로 볼록 위상 벡터 공간 만일 강력한 이중 공간 Xb({\displaystyle X_{b}^{\prime}}은 바나흐 공간(Xb({\displaystyle X_{b}^{\prime}}은 공백이 있음을 나타낸다.에gX의 스페이스 X 토폴로지는 연속 듀얼 X의 듀얼 노름 유도 토폴로지의 일반화(\ X 입니다.자세한 내용은[note 10] 이 각주를 참조하십시오.X X가 측정 가능한 로컬 볼록 TV인 X X는 })가 Fréche-Uryson [15]공간인 에만 표준화할 수 있습니다.이는 로컬 볼록형 TV의 범주에서 바나흐 공간은 정확히 계량 가능한 동시에 계량 가능한 강한 이중 공간을 가진 완전한 공간임을 보여준다.
완료
모든 노름 공간은 바나흐 공간의 밀도 높은 벡터 부분 공간에 등각적으로 삽입될 수 있습니다. 여기서 바나흐 공간은 노름 공간의 완성이라고 불립니다.이 하우스도르프 완성은 등각 동형사상까지 독특하다.
보다 정확하게는 모든 표준 X {\X에 대해 Banach 와 T: (\ T Y가 존재하며 {\ T는 등각 이고 T T)는 밀도가 높습니다Z는 또 다른 Banach 공간입니다. XX)에서 Z Z의 조밀한 부분 집합으로 등각형이 하며 Z Z는 Y Y와 등각형이 됩니다 이 Banach Y(\ Y는 Haffus 스파의 완성입니다. X {{X의 메트릭 공간은X의 완료와 같습니다 벡터 공간 연산을에서로 확장한 {{ X의 완료는 때로 됩니다.
일반론
선형 연산자, 동형사상
X X와 Y Y가 동일한 필드K의 표준 공간인 모든 K 선형 맵 TY)의 은X(\to Y)로 됩니다.모든 선형 맵이 연속적인 것은 아닙니다.노름 X에서다른 노름 으로의 선형 매핑은X의 닫힌 단위 볼에 경계가 있는 경우에만 연속됩니다 벡터 B {{B는 연산자 노름이 주어질 수 있습니다.
Y Y Banach 공간의 경우 B는 이 기준에서 Banach 공간입니다.
XX})가 바나흐 인 경우 ) X {X)=X)}는 단치 바나흐 대수를 형성합니다. 곱셈 연산은 선형 맵의 합성에 의해 주어집니다.
X와 YY})가 규범 공간인 , T T와 그 역 - T이 으로 선형 T: (\ T Y가 존재하는 경우에는 동형 규범 공간이다.X 반사, 분리 가능 등)의 두 중 하나가 완전하면 다른 공간도 완전해집니다. T T가 등각인 경우 X {\ X와Y {\ Y의 개의 표준 XX와 Y Y는 등각형입니다두 개의 동형 공간 X와 의 (\Y)는등각 이 아닌 (\ X와 Y Y의 차이를 나타냅니다
연속 및 유계 선형 함수 및 세미노름
모든 연속 선형 연산자는 유계 선형 연산자이며, 규범화된 공간만 다루는 경우에는 그 반대도 참입니다.즉, 두 규범 공간 사이의 선형 연산자는 연속 함수인 경우에만 경계가 됩니다.따라서 특히 스칼라 필드( C는 정규 공간이기 때문에 정규 공간상의 선형 함수는 연속 선형 함수인 경우에만 유계 선형 함수이다.이를 통해 (아래와 같은) 연속성 관련 결과를 Banach 공간에 적용할 수 있습니다.경계성은 규범 공간 사이의 선형 지도에 대한 연속성과 동일하지만, "경계"라는 용어는 바나흐 공간을 주로 다룰 때 더 일반적으로 사용됩니다.
만약 f:X→ R{\displaystyle f:X\to \mathbb{R}}은 만일 f{\displaystyle f}한결같이 모든 X{X\displaystyle}에 연속적입니다 then[16]f{\displaystyle f}발신지에서 연속은 저가 산적 함수(노르마, 선형적이기 때문 기능, 또는 실질적인 선형 기능과 같은),,, 또한 만약에 f(. 0 만일 f:X→는 경우에는 0, ∞){\displaystyle f:X\to -LSB- 0,\infty)}은 절대적인 값 연속적이다=0{\displaystyle f(0)=0} 다음 f{\displaystyle f}, X.{\displays의 만일{)∈ X:f())<1}{\displaystyle\와 같이{x\in X:f())<>1\}}은 개방되어 부분 집합은 일어나는 연속적입니다.Xtyle.}[16][노트 11]그리고 만일 이 현실의 부분의 사실은 매우 중요한 것은 그 Hahn–Banach 정리를 적용하기 위해 직선형 기능 f{\displaystyle f}리 f{\displaystyle \operatorname{리}f}, ‖이 훌륭히 f‖)‖ f‖}와 현실 부분f\ =\ f\{\displaystyle)\operatorname{리}이 훌륭히 기록한 연속적입니다. f{\displf는 f, { f을 완전히 하므로 Han-Banach 정리가 종종 실제 선형 함수에 대해서만 언급됩니다.또한의 f는 f가 연속인 경우에만 연속됩니다. seminorm 는 f : X {\ p \이 (가) 하는 경우에만 연속 함수 f{\f이 f\ f} p 이 선형 ff와 p\p를 포함하는 마지막 문장은 Han-Banach 정리의 많은 버전에서 볼 수 있다.
기본 개념
2개의 노름 공간의 곱 × Y(\Y)는 규범적으로 노름을 갖추고 있지 않다.그러나 다음과 같은 몇 가지 동등한 규범이 일반적으로 사용됩니다.[17]
M M이 표준 X의 닫힌 선형 부분 공간인 몫 XX/에는 자연 표준이 있습니다.
X가 [18]완성되었을 때 X XM)은 바나치 공간입니다.X X에서 X으로 XX를 x으로 X({x를 하는 비율 맵은 선형이며, M { M,}인 경우를 제외하고 1,{1을 가집니다
XX})의 닫힌 선형 부분공간 M M은 M({M})이 투영경계 선형 P P M의 범위인 XX})의 부분공간이라고 한다.P의 커널 M({M과 P P의 합계에 ic P
X X와Y(\ Y가 Banach 공간이고 T가TT라고[18] 가정합니다.
고전적 공간
바나흐 공간의 기본 examples[19]:Lp}과 그들의 특별한 케이스, 시퀀스 공간 p{\displaystyle\ell ^{p}ℓ}은 스칼라 시퀀스가 N{\displaystyle \mathbb{N}에 의해}인덱스로 구성되어 있어요;이들에는, 우주 ℓ 1{\displaystyle\ell ^{1}}나는 p{\displaystyle L^{p}spaces을 포함한다. 의bsolutely summable sequence와 space {\\ }, c 0{\ 의 C ( (\c_최대 노름을 갖춘 콤팩트 하우스도르프 K \ K
그 Banach–Mazur 정리에 따르면, 매 바나흐 공간 같은 크기로. 일부 C(K)의 부분 공간에.{C(K)\displaystyle 동형이다.모든 분리 바나흐 공간 동안}[20]X,{X\displaystyle,}이 ℓ 1{\displaystyle\ell ^{1}의 폐쇄적인 부분 공간 M{M\displaystyle}은}가 X:)ℓ 1/M.{.[21]
임의의 힐베르트 공간은 바나흐 공간의 예로서 기능합니다.K , \= \ , \ 의 Hilbert H {\ H는 형식의 규범에 대해 완전합니다.
를 들어 공간 L^{2})는 힐베르트 공간 L2(\ L2})는 힐베르트 공간입니다.
Hardy 공간, Sobolev 공간은 L L 공간과 관련된 구조를 가진 Banach 공간의 예입니다.그것들은 분석, 조화 분석, 편미분 방정식의 여러 분야에서 중요하다.
바나흐 대수
바나흐 대수는 K 의 바나흐 \{ =\ 또는 K 의 대수 구조 \{C )이며 곱는 과 같습니다ab\ A는 연속적입니다. A.\ a a.\A.\displaystyle displaystyle a.\displaystyle a Adisplaystyle adisplaystyle A에 동등한 규범을 찾을 수 있습니다
예
- Banach 공간 (K )\ C ( )는 Banach 대수입니다.
- 디스크 A )(\A(\{D는 오픈 유닛 디스크 D (\ D에서 홀모형 함수와 닫힘 시 D .{\})를 갖추고 있습니다. 디스크 A는 C의 닫힌 하위 대수입니다. {\ C
- 위너 A)(\ A는 절대 수렴 푸리에 급수를 갖는 단위 원(\ 위의 함수 대수입니다.{\displaystyle 위의 를 푸리에 계수의 시퀀스에 관련짓는 맵을 통해 이 대수는 바나흐 대수 1 (), \)과 동형이며 여기서 곱은 시퀀스의 컨볼루션이다.
- 모든 Banach 에 대해X의 경계 선형 연산자의 B { B { X는 Banach 대수입니다.
- C*-algebra는 반직선 a a a를 갖는 복소수 Banach A(\\displaystyle a 힐베르트 H(\ H의 경계 선형 연산자 B (H는 C*-대수의 기본 예입니다.Gelfand-Naimark 정리에서는 모든 C*-대수가 일부 의 C*-하위 대수와 등각적으로 동형이라고 합니다} 콤팩트 공간(\ K 상의 복잡한 연속 함수의 C는 (\와 관련된 가환 C*-의 예입니다
이중 공간
X X가 표준 공간이고 가 기본 필드(실수 또는 복소수)인 연속 이중 공간은 X X에서 K로 연속 선형 매핑된 공간입니다.이 [22]글에서 연속 쌍수의 은 X ′ ( ,) { X } ( ) 입니다.K는 바나치 공간(절대값을 노름으로 사용)이므로 듀얼 {\(\ X는 모든 표준 공간 X}에 대해 바나치 공간입니다.
연속 선형 함수의 존재를 증명하는 주요 도구는 한-바나흐 정리이다.
특히, 노름 공간의 부분 공간상의 모든 연속 선형 함수는 [23]함수의 노름을 증가시키지 않고 공간 전체로 연속적으로 확장될 수 있다.중요한 특수한 경우는 다음과 같습니다.표준 X의 벡터(\X마다 X X에 선형 f f가 존재합니다.
x x가 벡터와 같지 않은 f(\ f에는 표준이 있어야 하며 x x의 함수라고 합니다.
한-바나흐 분리 정리에 따르면, 실제 바나흐 공간에서 비어있지 않은 두 개의 볼록한 집합은 닫힌 아핀 초평면으로 분리될 수 있다.오픈 볼록 세트는 엄밀하게 하이퍼플레인 한쪽에 있습니다.두 번째 볼록 세트는 다른 쪽에 있지만 하이퍼플레인에 [24]닿을 수 있습니다.
Banach X의 부분 S X는 S S의 범위가X(\ X로 하면 합계가 되고, S S는 S X)에서 연속 선형 함수만 소멸하면가 됩니다S는 {0 함수입니다. 이 등가는 Han-Banach 정리에 따릅니다.
두 문을 닫선형 subspaces M{M\displaystyle}과 N,{\displaystyle N,}의 만약 X{X\displaystyle}직접적인 합 다음 이중 X′}X의{X\displaystyle}M{M\displaystyle}과 N의 duals의 직접적인 합.{N\displaystyle}[25]만약 동형은{\displaystyle X^{\prime}. M})은의 닫힌 선형 부분 공간이며 의 M({M과 직교할 수 있습니다.
M {\ M}}은 듀얼의 닫힌 선형 부분 공간입니다.의쌍대({ M는 X / . X )는 M .{\ M과 동형입니다.
분리 가능한 Banach 공간의 듀얼은 분리할 수 없습니다.
X- X를 분리할 수 있는 위의 종합성 기준을 사용하여X.\ X에 가능한 총 서브셋이 존재함을 증명할 수 있습니다
취약한 토폴로지
Banach XX})의 약한 토폴로지는 XX})에서 가장 거친 토폴로지로 연속된 듀얼 X X}}}) 내의 모든 x({x^{\prime가 연속됩니다.따라서 표준 토폴로지는 약한 토폴로지보다 미세합니다.한-바나흐 분리 정리에 따르면 약한 위상은 하우스도르프이며, 바나흐 공간의 노름 닫힌 볼록 부분 집합도 [28]약하게 닫혀 있다.2개의 Banach X({X})와Y({Y}) 사이의 표준 연속 선형 맵도 약하게 연속됩니다. 즉, XX})의 토폴로지부터 Y Y})까지 연속적입니다
X X가 무한 차원일 연속적이지 않은 선형 맵이 존재합니다.X X에서 기본 K(\에 이르는 모든 선형 맵의 X X도토폴로지에서 X X와 구별하기 위해 대수적 이중 공간이라고 디스플레이 스타일 X)는 약한 토폴로지보다 미세하고 기능 해석에 많이 사용되지 않습니다.
듀얼 X 、 \ X^ { \ 에는 약한 토폴로지 X \ X^ { \ 보다 약한 토폴로지가 있습니다. 토폴로지는 X에서 가장 조잡한 토폴로지이며 모든 평가는 X 、 \ ^ { \ \ X ^ { \ \ mapstyle X 、 \ )。그것의 중요성은 바나흐-알라오글루 정리로부터 온다.
바나흐-알라오글루 정리: X X를 정규 벡터 공간으로 .그러면 이중 공간의 닫힌 단위 볼 { X : x { B = \\ { x \ X : \ 1 \ right }은 약* 토폴로지에서 콤팩트합니다.
바나흐-알라오글루 정리는 콤팩트 하우스도르프 공간의 무한곱에 대한 티코노프의 정리를 사용하여 증명될 수 있다.X X가 분리 가능한 경우 의 B B})는 weak* [30]토폴로지의 미터화 가능 콤팩트입니다.
이중 공간의 예
0의 쌍은 c의 경계 선형 f에 대해 1 y과 등각적으로 동형입니다.그거
1의 쌍대({^{는 과 등형이다.르베그 p ([0 , )( { ^{p } ( [ , ] 의 쌍대는 1µp< 1 \ 1 \p \ 및 + 때 q( [ , )와 등각적으로 동형이다.
Hilbert H의 모든 y y \H에 대한 매핑
는연속 선형 {\ h 를 정의합니다.Riesz 표현정리는 H H의 모든 연속 선형 함수는 H 형식의 고유 정의된 yf_ 입니다. H y\ y H 는 H{\H } 에서 H 에 대한 반직선 등각분사입니다 H 스칼라가 실재할 경우 이 맵은 등각형상입니다.
K K가 콤팩트 하우스도르프 위상 공간일 , C의 MM은 부르바키([31]Bourbaki)의 의미에서 라돈 측정 공간이다.M(K의 부분 P {P는 질량 1확률 측도)의 음이 아닌 측정값으로 구성되며, M의 단위 볼(K)의 볼록 w* 닫힌 부분 집합이다.} ( ) { (K ) } . { K의 Dirac 입니다.W* 토폴로지를 탑재한의 Dirac 집합은K . { K}와 입니다
Banach-Stone 정리 - K K와 L L이 콤팩트 하우스도르프 공간이고CC(와 C가 동형인 K(\ L
결과는 Amir와[35] Cambern에 의해[34] C C(와 C( 의 승수 바나흐-마주르 거리가2 인 경우로 확장되었으며, 거리가 일 경우 정리가 더 이상 참이 아닙니다[36]
가환 대수C () ,\ C ( ) , \ K\ displaystyle K , \ }에서 최대 이상은 정확히K에 대한 Dirac 측정의 핵심입니다.
보다 일반적으로, 겔판드-마주르 정리에 의해, 단치환 바나흐 대수의 최대 이상은 집합으로서뿐만 아니라 위상 공간으로서, 즉 전자는 선체-커널 위상을, 후자는 w*-위상을 갖는 특성으로 식별될 수 있다.이 식별에서 최대 이상적인 공간은 A .\ A에서 단위 볼의 w* 콤팩트 서브셋으로 볼 수 있습니다.
정리 - K K가 콤팩트 하우스도르프 공간인 바나흐 C C의 최대 이상 공간(\는 K K. 동형입니다
콤팩트한 공간K에 대해 모든 단치환 Banach 대수가 CC( 인 것은 아닙니다 단,문장은C(K)\displaystyle CK)\ C()\displaystyle Bras의 작은 카테고리에 C(K)를 배치됩니다.가환 C*-대수에 대한 Gelfand의 표현정리에 따르면 모든 가환 단수 C*- A(\ A는 C C 공간과 [37]이다 .여기서 하우스도르프 공간K(\K)는 C*-대게브라 맥락에서A(\ A의 스펙트럼이라고도 불리는 최대 이상 공간입니다.
쌍방향
XX)가 표준 공간인 , X X의 (연속) X X를 쌍방향 또는 X X의 두 번째 듀얼이라고 합니다 모든 표준 X X에는 자연 지도가 있습니다.
This defines as a continuous linear functional on that is, an element of The map is a linear map from to As a consequence of the existence of a norming functional for every this map is isometric, thus injective.
For example, the dual of is identified with and the dual of is identified with the space of bounded scalar sequences. Under these identifications, is the inclusion map from to It is indeed isometric, but not onto.
If is surjective, then the normed space is called reflexive (see below). Being the dual of a normed space, the bidual is complete, therefore, every reflexive normed space is a Banach space.
Using the isometric embedding it is customary to consider a normed space as a subset of its bidual. When is a Banach space, it is viewed as a closed linear subspace of If is not reflexive, the unit ball of is a proper subset of the unit ball of The Goldstine theorem states that the unit ball of a normed space is weakly*-dense in the unit ball of the bidual. In other words, for every in the bidual, there exists a net in so that
The net may be replaced by a weakly*-convergent sequence when the dual is separable. On the other hand, elements of the bidual of that are not in cannot be weak*-limit of sequences in since is weakly sequentially complete.
Banach's theorems
Here are the main general results about Banach spaces that go back to the time of Banach's book (Banach (1932)) and are related to the Baire category theorem. According to this theorem, a complete metric space (such as a Banach space, a Fréchet space or an F-space) cannot be equal to a union of countably many closed subsets with empty interiors. Therefore, a Banach space cannot be the union of countably many closed subspaces, unless it is already equal to one of them; a Banach space with a countable Hamel basis is finite-dimensional.
Banach–Steinhaus Theorem — Let be a Banach space and be a normed vector space. Suppose that is a collection of continuous linear operators from to The uniform boundedness principle states that if for all in we have then
The Banach–Steinhaus theorem is not limited to Banach spaces. It can be extended for example to the case where is a Fréchet space, provided the conclusion is modified as follows: under the same hypothesis, there exists a neighborhood of in such that all in are uniformly bounded on
The Open Mapping Theorem — Let and be Banach spaces and be a surjective continuous linear operator, then is an open map.
Corollary — Every one-to-one bounded linear operator from a Banach space onto a Banach space is an isomorphism.
The First Isomorphism Theorem for Banach spaces — Suppose that and are Banach spaces and that Suppose further that the range of is closed in Then is isomorphic to
This result is a direct consequence of the preceding Banach isomorphism theorem and of the canonical factorization of bounded linear maps.
Corollary — If a Banach space is the internal direct sum of closed subspaces then is isomorphic to
This is another consequence of Banach's isomorphism theorem, applied to the continuous bijection from onto sending to the sum
The Closed Graph Theorem — Let be a linear mapping between Banach spaces. The graph of is closed in if and only if is continuous.
Reflexivity
The normed space is called reflexive when the natural map
Theorem — If is a reflexive Banach space, every closed subspace of and every quotient space of are reflexive.
This is a consequence of the Hahn–Banach theorem. Further, by the open mapping theorem, if there is a bounded linear operator from the Banach space onto the Banach space then is reflexive.
Theorem — If is a Banach space, then is reflexive if and only if is reflexive.
Corollary — Let be a reflexive Banach space. Then is separable if and only if is separable.
Indeed, if the dual of a Banach space is separable, then is separable. If is reflexive and separable, then the dual of is separable, so is separable.
Theorem — Suppose that are normed spaces and that Then is reflexive if and only if each is reflexive.
Hilbert spaces are reflexive. The spaces are reflexive when More generally, uniformly convex spaces are reflexive, by the Milman–Pettis theorem. The spaces are not reflexive. In these examples of non-reflexive spaces the bidual is "much larger" than Namely, under the natural isometric embedding of into given by the Hahn–Banach theorem, the quotient is infinite-dimensional, and even nonseparable. However, Robert C. James has constructed an example[38] of a non-reflexive space, usually called "the James space" and denoted by [39] such that the quotient is one-dimensional. Furthermore, this space is isometrically isomorphic to its bidual.
Theorem — A Banach space is reflexive if and only if its unit ball is compact in the weak topology.
When is reflexive, it follows that all closed and bounded convex subsets of are weakly compact. In a Hilbert space the weak compactness of the unit ball is very often used in the following way: every bounded sequence in has weakly convergent subsequences.
Weak compactness of the unit ball provides a tool for finding solutions in reflexive spaces to certain optimization problems. For example, every convex continuous function on the unit ball of a reflexive space attains its minimum at some point in
As a special case of the preceding result, when is a reflexive space over every continuous linear functional in attains its maximum on the unit ball of The following theorem of Robert C. James provides a converse statement.
James' Theorem — For a Banach space the following two properties are equivalent:
- is reflexive.
- for all in there exists with so that
The theorem can be extended to give a characterization of weakly compact convex sets.
On every non-reflexive Banach space there exist continuous linear functionals that are not norm-attaining. However, the Bishop–Phelps theorem[40] states that norm-attaining functionals are norm dense in the dual of
Weak convergences of sequences
A sequence in a Banach space is weakly convergent to a vector if converges to for every continuous linear functional in the dual The sequence is a weakly Cauchy sequence if converges to a scalar limit for every in A sequence in the dual is weakly* convergent to a functional if converges to for every in Weakly Cauchy sequences, weakly convergent and weakly* convergent sequences are norm bounded, as a consequence of the Banach–Steinhaus theorem.
When the sequence in is a weakly Cauchy sequence, the limit above defines a bounded linear functional on the dual that is, an element of the bidual of and is the limit of in the weak*-topology of the bidual. The Banach space is weakly sequentially complete if every weakly Cauchy sequence is weakly convergent in It follows from the preceding discussion that reflexive spaces are weakly sequentially complete.
Theorem [41] — For every measure the space is weakly sequentially complete.
An orthonormal sequence in a Hilbert space is a simple example of a weakly convergent sequence, with limit equal to the vector. The unit vector basis of for or of is another example of a weakly null sequence, that is, a sequence that converges weakly to For every weakly null sequence in a Banach space, there exists a sequence of convex combinations of vectors from the given sequence that is norm-converging to [42]
The unit vector basis of is not weakly Cauchy. Weakly Cauchy sequences in are weakly convergent, since -spaces are weakly sequentially complete. Actually, weakly convergent sequences in are norm convergent.[43] This means that satisfies Schur's property.
Results involving the basis
Weakly Cauchy sequences and the basis are the opposite cases of the dichotomy established in the following deep result of H. P. Rosenthal.[44]
Theorem[45] — Let be a bounded sequence in a Banach space. Either has a weakly Cauchy subsequence, or it admits a subsequence equivalent to the standard unit vector basis of
A complement to this result is due to Odell and Rosenthal (1975).
Theorem[46] — Let be a separable Banach space. The following are equivalent:
- The space does not contain a closed subspace isomorphic to
- Every element of the bidual is the weak*-limit of a sequence in
By the Goldstine theorem, every element of the unit ball of is weak*-limit of a net in the unit ball of When does not contain every element of is weak*-limit of a sequence in the unit ball of [47]
When the Banach space is separable, the unit ball of the dual equipped with the weak*-topology, is a metrizable compact space [30] and every element in the bidual defines a bounded function on :
This function is continuous for the compact topology of if and only if is actually in considered as subset of Assume in addition for the rest of the paragraph that does not contain By the preceding result of Odell and Rosenthal, the function is the pointwise limit on of a sequence of continuous functions on it is therefore a first Baire class function on The unit ball of the bidual is a pointwise compact subset of the first Baire class on [48]
Sequences, weak and weak* compactness
When is separable, the unit ball of the dual is weak*-compact by the Banach–Alaoglu theorem and metrizable for the weak* topology,[30] hence every bounded sequence in the dual has weakly* convergent subsequences. This applies to separable reflexive spaces, but more is true in this case, as stated below.
The weak topology of a Banach space is metrizable if and only if is finite-dimensional.[49] If the dual is separable, the weak topology of the unit ball of is metrizable. This applies in particular to separable reflexive Banach spaces. Although the weak topology of the unit ball is not metrizable in general, one can characterize weak compactness using sequences.
Eberlein–Šmulian theorem[50] — A set in a Banach space is relatively weakly compact if and only if every sequence in has a weakly convergent subsequence.
A Banach space is reflexive if and only if each bounded sequence in has a weakly convergent subsequence.[51]
A weakly compact subset in is norm-compact. Indeed, every sequence in has weakly convergent subsequences by Eberlein–Šmulian, that are norm convergent by the Schur property of
Schauder bases
A Schauder basis in a Banach space is a sequence of vectors in with the property that for every vector there exist uniquely defined scalars depending on such that
Banach spaces with a Schauder basis are necessarily separable, because the countable set of finite linear combinations with rational coefficients (say) is dense.
It follows from the Banach–Steinhaus theorem that the linear mappings are uniformly bounded by some constant Let denote the coordinate functionals which assign to every in the coordinate of in the above expansion. They are called biorthogonal functionals. When the basis vectors have norm the coordinate functionals have norm in the dual of
Most classical separable spaces have explicit bases. The Haar system is a basis for The trigonometric system is a basis in when The Schauder system is a basis in the space [52] The question of whether the disk algebra has a basis[53] remained open for more than forty years, until Bočkarev showed in 1974 that admits a basis constructed from the Franklin system.[54]
Since every vector in a Banach space with a basis is the limit of with of finite rank and uniformly bounded, the space satisfies the bounded approximation property. The first example by Enflo of a space failing the approximation property was at the same time the first example of a separable Banach space without a Schauder basis.[55]
Robert C. James characterized reflexivity in Banach spaces with a basis: the space with a Schauder basis is reflexive if and only if the basis is both shrinking and boundedly complete.[56] In this case, the biorthogonal functionals form a basis of the dual of
Tensor product
Let and be two -vector spaces. The tensor product of and is a -vector space with a bilinear mapping which has the following universal property:
- If is any bilinear mapping into a -vector space then there exists a unique linear mapping such that
The image under of a couple in is denoted by and called a simple tensor. Every element in is a finite sum of such simple tensors.
There are various norms that can be placed on the tensor product of the underlying vector spaces, amongst others the projective cross norm and injective cross norm introduced by A. Grothendieck in 1955.[57]
In general, the tensor product of complete spaces is not complete again. When working with Banach spaces, it is customary to say that the projective tensor product[58] of two Banach spaces and is the completion of the algebraic tensor product equipped with the projective tensor norm, and similarly for the injective tensor product[59] Grothendieck proved in particular that[60]
Tensor products and the approximation property
Let be a Banach space. The tensor product is identified isometrically with the closure in of the set of finite rank operators. When has the approximation property, this closure coincides with the space of compact operators on
For every Banach space there is a natural norm linear map
Grothendieck conjectured that and must be different whenever and are infinite-dimensional Banach spaces. This was disproved by Gilles Pisier in 1983.[62] Pisier constructed an infinite-dimensional Banach space such that and are equal. Furthermore, just as Enflo's example, this space is a "hand-made" space that fails to have the approximation property. On the other hand, Szankowski proved that the classical space does not have the approximation property.[63]
Some classification results
Characterizations of Hilbert space among Banach spaces
A necessary and sufficient condition for the norm of a Banach space to be associated to an inner product is the parallelogram identity:
Parallelogram identity — for all
It follows, for example, that the Lebesgue space is a Hilbert space only when If this identity is satisfied, the associated inner product is given by the polarization identity. In the case of real scalars, this gives:
For complex scalars, defining the inner product so as to be -linear in antilinear in the polarization identity gives:
To see that the parallelogram law is sufficient, one observes in the real case that is symmetric, and in the complex case, that it satisfies the Hermitian symmetry property and The parallelogram law implies that is additive in It follows that it is linear over the rationals, thus linear by continuity.
Several characterizations of spaces isomorphic (rather than isometric) to Hilbert spaces are available. The parallelogram law can be extended to more than two vectors, and weakened by the introduction of a two-sided inequality with a constant : Kwapień proved that if
Lindenstrauss and Tzafriri proved that a Banach space in which every closed linear subspace is complemented (that is, is the range of a bounded linear projection) is isomorphic to a Hilbert space.[65] The proof rests upon Dvoretzky's theorem about Euclidean sections of high-dimensional centrally symmetric convex bodies. In other words, Dvoretzky's theorem states that for every integer any finite-dimensional normed space, with dimension sufficiently large compared to contains subspaces nearly isometric to the -dimensional Euclidean space.
The next result gives the solution of the so-called homogeneous space problem. An infinite-dimensional Banach space is said to be homogeneous if it is isomorphic to all its infinite-dimensional closed subspaces. A Banach space isomorphic to is homogeneous, and Banach asked for the converse.[66]
Theorem[67] — A Banach space isomorphic to all its infinite-dimensional closed subspaces is isomorphic to a separable Hilbert space.
An infinite-dimensional Banach space is hereditarily indecomposable when no subspace of it can be isomorphic to the direct sum of two infinite-dimensional Banach spaces. The Gowers dichotomy theorem[67] asserts that every infinite-dimensional Banach space contains, either a subspace with unconditional basis, or a hereditarily indecomposable subspace and in particular, is not isomorphic to its closed hyperplanes.[68] If is homogeneous, it must therefore have an unconditional basis. It follows then from the partial solution obtained by Komorowski and Tomczak–Jaegermann, for spaces with an unconditional basis,[69] that is isomorphic to
Metric classification
If is an isometry from the Banach space onto the Banach space (where both and are vector spaces over ), then the Mazur–Ulam theorem states that must be an affine transformation. In particular, if this is maps the zero of to the zero of then must be linear. This result implies that the metric in Banach spaces, and more generally in normed spaces, completely captures their linear structure.
Topological classification
Finite dimensional Banach spaces are homeomorphic as topological spaces, if and only if they have the same dimension as real vector spaces.
Anderson–Kadec theorem (1965–66) proves[70] that any two infinite-dimensional separable Banach spaces are homeomorphic as topological spaces. Kadec's theorem was extended by Torunczyk, who proved[71] that any two Banach spaces are homeomorphic if and only if they have the same density character, the minimum cardinality of a dense subset.
Spaces of continuous functions
When two compact Hausdorff spaces and are homeomorphic, the Banach spaces and are isometric. Conversely, when is not homeomorphic to the (multiplicative) Banach–Mazur distance between and must be greater than or equal to see above the results by Amir and Cambern. Although uncountable compact metric spaces can have different homeomorphy types, one has the following result due to Milutin:[72]
Theorem[73] — Let be an uncountable compact metric space. Then is isomorphic to
The situation is different for countably infinite compact Hausdorff spaces. Every countably infinite compact is homeomorphic to some closed interval of ordinal numbers
Examples
Glossary of symbols for the table below:
- denotes the field of real numbers or complex numbers
- is a compact Hausdorff space.
- are real numbers with that are Hölder conjugates, meaning that they satisfy and thus also
- is a -algebra of sets.
- is an algebra of sets (for spaces only requiring finite additivity, such as the ba space).
- is a measure with variation A positive measure is a real-valued positive set function defined on a -algebra which is countably additive.
Classical Banach spaces | ||||||
Dual space | Reflexive | weakly sequentially complete | Norm | Notes | ||
---|---|---|---|---|---|---|
Yes | Yes | Euclidean space | ||||
Yes | Yes | |||||
Yes | Yes | |||||
Yes | Yes | |||||
No | Yes | |||||
No | No | |||||
No | No | |||||
No | No | Isomorphic but not isometric to | ||||
No | Yes | Isometrically isomorphic to | ||||
No | Yes | Isometrically isomorphic to | ||||
No | No | Isometrically isomorphic to | ||||
No | No | Isometrically isomorphic to | ||||
No | No | |||||
No | No | |||||
? | No | Yes | ||||
? | No | Yes | A closed subspace of | |||
? | No | Yes | A closed subspace of | |||
Yes | Yes | |||||
No | Yes | The dual is if is -finite. | ||||
? | No | Yes | is the total variation of | |||
? | No | Yes | consists of functions such that | |||
No | Yes | Isomorphic to the Sobolev space | ||||
No | No | Isomorphic to essentially by Taylor's theorem. |
Derivatives
Several concepts of a derivative may be defined on a Banach space. See the articles on the Fréchet derivative and the Gateaux derivative for details. The Fréchet derivative allows for an extension of the concept of a total derivative to Banach spaces. The Gateaux derivative allows for an extension of a directional derivative to locally convex topological vector spaces. Fréchet differentiability is a stronger condition than Gateaux differentiability. The quasi-derivative is another generalization of directional derivative that implies a stronger condition than Gateaux differentiability, but a weaker condition than Fréchet differentiability.
Generalizations
Several important spaces in functional analysis, for instance the space of all infinitely often differentiable functions or the space of all distributions on are complete but are not normed vector spaces and hence not Banach spaces. In Fréchet spaces one still has a complete metric, while LF-spaces are complete uniform vector spaces arising as limits of Fréchet spaces.
See also
- Space (mathematics) – Mathematical set with some added structure
- Fréchet space – A locally convex topological vector space that is also a complete metric space
- Hardy space – Concept within complex analysis
- Hilbert space – Generalization of Euclidean space allowing infinite dimensions
- L-semi-inner product – Generalization of inner products that applies to all normed spaces
- space – Function spaces generalizing finite-dimensional p norm spaces
- Sobolev space – Vector space of functions in mathematics
- Banach lattice
- Banach manifold – Manifold modeled on Banach spaces
- Distortion problem
- Interpolation space
- Locally convex topological vector space – A vector space with a topology defined by convex open sets
- Smith space
- Topological vector space – Vector space with a notion of nearness
Notes
- ^ It is common to read " is a normed space" instead of the more technically correct but (usually) pedantic " is a normed space," especially if the norm is well known (for example, such as with spaces) or when there is no particular need to choose any one (equivalent) norm over any other (especially in the more abstract theory of topological vector spaces), in which case this norm (if needed) is often automatically assumed to be denoted by However, in situations where emphasis is placed on the norm, it is common to see written instead of The technically correct definition of normed spaces as pairs may also become important in the context of category theory where the distinction between the categories of normed spaces, normable spaces, metric spaces, TVSs, topological spaces, etc. is usually important.
- ^ This means that if the norm is replaced with a different norm then is not the same normed space as even if the norms are equivalent. However, equivalence of norms on a given vector space does form an equivalence relation.
- ^ a b c A metric on a vector space is said to be translation invariant if for all vectors This happens if and only if for all vectors A metric that is induced by a norm is always translation invariant.
- ^ Because for all it is always true that for all So the order of and in this definition does not matter.
- ^ Let denote the Banach space of continuous functions with the supremum norm and let denote the topology on induced by The vector space can be identified (via the inclusion map) as a proper dense vector subspace of the space which satisfies for all Let denote the restriction of the L1-norm to which makes this map a norm on (in general, the restriction of any norm to any vector subspace will necessarily again be a norm). The normed space is not a Banach space since its completion is the proper superset Because holds on the map is continuous. Despite this, the norm is not equivalent to the norm (because is complete but is not).
- ^ The normed space is a Banach space where the absolute value is a norm on the real line that induces the usual Euclidean topology on Define a metric on by for all Just like 's induced metric, the metric also induces the usual Euclidean topology on However, is not a complete metric because the sequence defined by is a -Cauchy sequence but it does not converge to any point of As a consequence of not converging, this -Cauchy sequence cannot be a Cauchy sequence in (that is, it is not a Cauchy sequence with respect to the norm ) because if it was -Cauchy, then the fact that is a Banach space would imply that it converges (a contradiction).Narici & Beckenstein 2011, pp. 47–51
- ^ The statement of the theorem is: Let be any metric on a vector space such that the topology induced by on makes into a topological vector space. If is a complete metric space then is a complete topological vector space.
- ^ This metric is not assumed to be translation-invariant. So in particular, this metric does not even have to be induced by a norm.
- ^ A norm (or seminorm) on a topological vector space is continuous if and only if the topology that induces on is coarser than (meaning, ), which happens if and only if there exists some open ball in (such as maybe for example) that is open in
- ^ denotes the continuous dual space of When is endowed with the strong dual space topology, also called the topology of uniform convergence on bounded subsets of then this is indicated by writing (sometimes, the subscript is used instead of ). When is a normed space with norm then this topology is equal to the topology on induced by the dual norm. In this way, the strong topology is a generalization of the usual dual norm-induced topology on
- ^ The fact that being open implies that is continuous simplifies proving continuity because this means that it suffices to show that is open for and at (where ) rather than showing this for all real and all
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