동형사상

커피 머그컵과 도넛(토러스)의 연속 변형으로 동형성을 나타냅니다.그러나 두 공간이 동형이어야 하는 연속적인 변형이 있을 필요는 없습니다. 연속적인 역함수를 가진 연속적인 매핑만 있을 뿐입니다.

위상수학에서, 동형, 위상 동형, 또는 이원 함수는 연속적인 역함수를 갖는 위상 공간 사이의 연속 함수이다.동형사상은 위상 공간의 범주에 있는 동형사상으로, 즉 주어진 공간의 모든 위상 특성을 보존하는 매핑입니다.동형성을 갖는 두 공간을 동형성이라고 하며, 위상학적 관점에서는 동일하다.동형사상이라는 단어는 ^[1]^[2]앙리 푸앵카레가 1895년에 수학에 도입한 그리스어 μμοοο(동일 또는 동일) =와 μοοο(동일 또는 동일) = 형태 또는 형태에서 유래했다.

대략적으로 말하면, 위상 공간은 기하학적 물체이며, 동형사상은 물체를 새로운 모양으로 연속적으로 뻗고 구부리는 것이다.따라서 정사각형과 원은 서로 동형이지만 구와 토러스는 아니다.단, 이 설명은 오해를 일으킬 수 있습니다.점으로의 선 변형과 같은 일부 연속 변형은 동형이 아닙니다.삼엽상 매듭과 원 사이의 동형상처럼 일부 동형상은 연속적인 변형이 아니다.

자주 반복되는 수학적인 농담은 위상학자들은 커피 컵과 ^[3]도넛을 구별할 수 없다는 것이다. 왜냐하면 충분히 유연한 도넛은 컵 손잡이에 도넛 구멍을 유지하면서 보조개를 만들고 점진적으로 확대함으로써 커피 컵의 형태로 모양을 바꿀 수 있기 때문이다.

정의.

두 위상 공간 사이의 $f:X\to Y$ f : X $f:X\to Y$ {\ $displaystyle$ f $:X\to$ Y $}$ 는 $f:X\to Y$ 다음과 같은 성질을 가진 경우 동형사상이 된다.

$f$ {\ $displaystyle$ f $}$ 는 $f$ (1대1 및 그 위에) 바이젝션입니다.
$\displaystyle$ f는 연속적입니다 $f$ .
$f^{-1}$ f - $({$ f $^{-1})$ 은 $f^{-1}$ $연속형$ 입니다 $({displaystyle$ f $}$ 는 $f$ 개방형 매핑).

동형사상은 때때로 2차 함수라고 불린다.이러한 기능이 존재하는 경우 X $(style$ X $)$ 와 $X$ Y $(style$ Y $)$ 는 $Y$ 동형입니다.자기 동형사상은 위상공간에서 자기 자신으로의 동형사상이다."동형적이 되는 것"은 위상 공간에서의 등가 관계이다.그것의 동등성 클래스는 동형성 클래스라고 불린다.

예

삼엽상 매듭은 고체 토러스와 동형이지만 R에서는³ 동위원소가 아니다.연속 매핑이 항상 변형으로 실현되는 것은 아닙니다.

반면 다른 그러한 개방된 간격(a, b){\textstyle(a,b)}는 실수를 R}{\textstyle \mathbf{R}에 지키는<>b{\textstyle a<, b}.(이 경우bicontinuous 전방 매핑 f( 주어진다))1+1b− x{\textstyle f())={\frac{1}{a-x}}+{\frac{1}{b-x}}는 − x초기 조향 순간}homeomorphic 있다. mappings는 $tan$ $또는 arg$ tanh 함수의 스케일링 및 변환 버전으로 제공됩니다).
유닛 디스크가 유닛 사각형으로 변형될 수 있으므로 유닛 ${\textstyle D^{2}}$ $(\$ D $^{2})$ 와 ${\textstyle D^{2}}$ 유닛 사각형 R은² 동형입니다.사각형에서 디스크로의 바이콘티넨셜 매핑의 예로는 극좌표에서 ( $(\rho ,\theta )\mapsto \left({\frac {\rho }{\max(|\cos \theta |,|\sin \theta |)}},\theta \right)$ " $(\rho ,\theta )\mapsto \left({\frac {\rho }{\max(|\cos \theta |,|\sin \theta |)}},\theta \right)$ ( " $(\rho ,\theta )\mapsto \left({\frac {\rho }{\max(|\cos \theta |,|\sin \theta |)}},\theta \right)$ ( $"$ , $(\rho ,\theta )\mapsto \left({\frac {\rho }{\max(|\cos \theta |,|\sin \theta |)}},\theta \right)$ $(\rho ,\theta )\mapsto \left({\frac {\rho }{\max(|\cos \theta |,|\sin \theta |)}},\theta \right)$ ( $(\rho ,\theta )\mapsto \left({\frac {\rho }{\max(|\cos \theta |,|\sin \theta |)}},\theta \right)$ " $),$ ( \ $rho$ , \ $theta )\ mapsto left$ ( { \ $frac$ \ $rho$ , \ $ta )$ 이 있습니다 $.$
미분 가능한 함수의 그래프는 함수의 영역과 동형이다.
곡선의 미분 가능한 매개변수화는 매개변수화 영역과 곡선 사이의 동형성이다.
다양체의 차트는 다양체의 열린 부분집합과 유클리드 공간의 열린 부분집합 사이의 동형사상이다.
입체 투영법은 단일 점이 제거된 R의³ 단위 구와 R의 모든² 점 집합(2차원 평면) 사이의 동형성이다.
G{\ $displaystyle$ G $}$ 가 $G$ 토폴로지 그룹인 $경우$ , 그 반전 $x\mapsto x^{-1}$ x - $x\mapsto x^{-1}$ {\ $displaystyle$ x\ $mapsto$ x $^{-1}$ 은 $x\mapsto x^{-1}$ 동형사상입니다.또, $x\in G$ 의 x ${\$ $x\in G$ (\ $displaystyle x\in$ G)에 대해서, 왼쪽 $y\mapsto xy$ y ${\$ $xy$ (\ $displaystyle$ y $\mapsto$ xy), $y\mapsto yx$ 변환 y $y\mapsto yx$ $y\mapsto yx$ x $y\mapsto yx$ $displaystyle$ y $\mapsto$ $yx$ $)$ 및 내부 자기 동형 $y\mapsto xyx^{-1}$ $y\mapsto xyx^{-1}$ - 1 $($ 는 $y\mapsto xyx^{-1}$ 동형입니다.

비예시

R과^mⁿ R은 mµn에 대해 동형이 아니다.
단위원은 유클리드² R의 부분공간으로 콤팩트하지만 실선은 콤팩트하지 않기 때문에 유클리드 실선은 R의² 부분공간으로서 단위원과 동형상이 아니다.
1차원 간격 $[0,1]$ [ $]({displaystyle [0,1])$ $(0,1)$ 및 $[0,1]$ ( $)({displaystyle (0,1)})$ 은 $(0,1)$ 연속적인 분사를 수행할 ^[4]수 없으므로 동형이 아닙니다.

메모들

세 번째 요건인 ${\textstyle f^{-1}}$ f - ${\textstyle f^{-1}}$ (\ $textyle$ f $^{-1})$ 은 ${\textstyle f^{-1}}$ ${\textstyle f^{-1}}$ 이어야 한다. ${\textstyle f(\phi )=(\cos \phi ,\sin \phi )}$ 를 들어 함수 ${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$ f : ${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$ [ ${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$ , ${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$ ${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$ ] ${\textstyle f(\phi )=(\cos \phi ,\sin \phi )}$ ${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$ 1 ( \ $textstyle$ f : [ $0$ , $2$ \ $pi$ ) \ $to$ S^ { $1$ } ( ${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$ R ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ \ $textstyle$ \ $mathbb { R$ } ^ {2 $}$ $=$ ( ${\textstyle f(\phi )=(\cos \phi ,\sin \phi )}$ $textstyle f$ : [ ${\textstyle f(\phi )=(\cos \phi ,\sin \phi )}$ , ${\textstyle f(\phi )=(\cos \phi ,\sin \phi )}$ } \ $ph$ ) \ cos \ cos \ cos \ cos \ cos \ cos \ cos \ $ph$ （ ph ） ${\textstyle f(\phi )=(\cos \phi ,\sin \phi )}$ 。이 함수는 생물적이고 연속적이지만 동형사상은 아닙니다( ${\textstyle S^{1}}$ 1 $(\$ S $^{1})$ 은 ${\textstyle S^{1}}$ 콤팩트하지만 ${\textstyle [0,2\pi )}$ [ ${\textstyle [0,2\pi )}$ $†](\$ textstyle $[0,2\pi])$ 는 ${\textstyle [0,2\pi )}$ 아닙니다). $({$ $textstyle$ $f^{-1$ ${\textstyle (1,0)}$ 은 포인트 ${\textstyle (1,0)}$ , ${\textstyle (1,0)}$ ${\textstyle (1,0)}$ $)$ 에서 연속적이지 않습니다. $(\$ $textstyle$ ${\textstyle (1,0)}$ f $^{-1$ ${\textstyle 0}$ 은 ${\textstyle f^{-1}}$ ${\textstyle (1,0)}$ 포인트 (1 $0$ $)$ 에 ${\textstyle (1,0)}$ , 이 포인트의 모든 근방에는 2에 ${\textstyle 2\pi ,}$ 포인트도 포함되어 있기 ${\textstyle 2\pi ,}$ 입니다 $.$ $style$ 2 $\pi ,}$ 단 ${\textstyle 2\pi ,}$ , 그 사이에 있는 숫자에 매핑되는 포인트는 인근 ^[5]밖에 있습니다.

동형사상은 위상 공간의 범주에 있는 동형사상입니다.이와 같이, 두 개의 동형사상의 구성은 다시 동형사상이며, 모든 ${\textstyle X\to X}$ X $→$ ${\textstyle X\to X}$ (\ $textstyle$ X\ $to$ X)의 ${\textstyle X\to X}$ 집합은 종종 ${\textstyle {\text{Homeo}}(X)}$ 호메오 ( $X)$ 라고 불리는 그룹을 형성한다. $Homeo}(X$ 이 그룹에는 콤팩트 오픈토폴로지와 같은 토폴로지를 지정할 수 있습니다.이 토폴로지는 특정 전제 하에 토폴로지 ^[6]그룹으로 간주됩니다.

어떤 목적에서는 동형성 그룹이 너무 크지만 등방성 관계를 통해 이 그룹을 매핑 클래스 그룹으로 환원할 수 있다.

마찬가지로 카테고리 이론에서 보통처럼, 동형인 두 개의 공간이 주어지면, 그들 사이의 동형사상 ${\textstyle {\text{Homeo}}(X,Y),}$ 인 ${\textstyle {\text{Homeo}}(X,Y),}$ Y ${\textstyle {\text{Homeo}}(X,Y),}$ \ $textstyle\text$ {text $}$ $호메오}(X,Y)$ 는 ${\textstyle {\text{Homeo}}(X,Y),}$ $)\textstyle\text$ {text $}$ 의 비틀림입니다. $호메오}(X)}$ 및 ${\textstyle {\text{Homeo}}(X)}$ $)\textstyle\text{$ $호메오}(Y$ 및 X $(\displaystyle$ X $)$ 와 $X$ Y $(\displaystyle$ Y $Y$ $X$ 의 특정 동형성을 통해 3세트가 모두 식별됩니다.

특성.

두 동형 공간은 동일한 위상 특성을 공유합니다.예를 들어 한쪽이 콤팩트하면 다른 쪽도 마찬가지고 한쪽이 연결되어 있으면 다른 쪽도 마찬가지고 한쪽이 하우스도르프라면 다른 쪽도 마찬가지입니다.그들의 호모토피와 호몰로지 그룹은 일치합니다.그러나 이는 메트릭을 통해 정의된 속성으로 확장되지 않습니다. 한쪽이 완전하고 다른 한쪽이 완전하지 않더라도 동형인 메트릭 공간이 있습니다.
동형사상은 개방형 매핑과 닫힌 매핑을 동시에 말합니다. 즉, 열린 집합을 열린 집합에 매핑하고 닫힌 집합을 닫힌 집합에 매핑합니다.
$S1의$ 자기동형상({displaystyle $S^{1})$ 은 $S^{1}$ $D^{2}$ $D^{2}$ 전체의 자기동형상({displaystyle D $^{2}})$ 으로 확장할 수 있습니다.

비공식 토론

스트레칭, 벤딩, 절단 및 접착의 직관적인 기준은 올바르게 적용하기 위해 일정량의 연습이 필요합니다. 예를 들어 선분을 점으로 변형하는 것은 허용되지 않는다는 것은 위의 설명에서 알 수 없습니다.따라서 중요한 것은 위에 주어진 공식적인 정의라는 것을 깨닫는 것이다.예를 들어, 이 경우 선분은 무한히 많은 점을 소유하기 때문에 단일 점을 포함한 한정된 수의 점만 포함하는 집합으로는 분사에 넣을 수 없습니다.

이러한 동형사상의 특성화는 종종 연속 변형으로 정의되는 호모토피 개념과 혼동을 일으키지만, 한 공간에서 다른 공간으로가 아니라 한 함수로 정의된다.동형사상의 경우, 연속적인 변형을 상상하는 것은 공간 X의 어떤 점이 Y의 어떤 점에 해당하는지 추적하기 위한 정신적 도구이다. 즉, X가 변형될 때 그 점을 따라가기만 하면 된다.호모토피의 경우, 한 맵에서 다른 맵으로의 연속적인 변형이 필수적이며, 또한 관련된 맵 중 어느 것도 일대일 또는 그 위에 있을 필요가 없기 때문에 덜 제한적이다.호모토피는 공간에 대한 관계를 이끌어냅니다. 호모토피 동등성입니다.

동형사상을 시각화하는 것과 관련된 변형 종류의 이름이 있다.X상의 아이덴티티 맵과 X에서 Y까지의 동형사상 사이의 아이소토피입니다(절단 및 리플루가 필요한 경우를 제외).

「」를 참조해 주세요.

국소 동형 – 각 점 근처에서 되돌릴 수 있는 수학적 함수
미분형성 – 매끄러운 다양체의 동형성; 매끄러운 역분사를 가진 매끄러운 분사
균일한 동형성 – 균일한 연속 동형성은 균일한 공간 간의 동형성이다.
등각 동형성은 미터법 공간 사이의 동형이다.
동형군
덴 트위스트
동형사상(그래프 이론) – 그래프 이론의 개념(그래프 세분화와 밀접하게 관련됨)
호모토피 번호아이소토피 – 두 개의 연속 기능 사이의 연속 변형
맵핑 클래스 그룹– 토폴로지 자기동형 그룹의 아이소토피 클래스
푸앵카레 추측 - 기하학적 위상 정리
보편적 동형사상

레퍼런스

^ "Analysis Situs selon Poincaré (1895)". serge.mehl.free.fr. Archived from the original on 11 June 2016. Retrieved 29 April 2018.
^ Gamelin, T. W.; Greene, R. E. (1999). Introduction to Topology. Courier. p. 67.
^ Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems. Texts in Applied Mathematics. Vol. 18. Springer. p. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.
^ "Continuous bijection from (0,1) to [0,1]". Mathematics Stack Exchange. 2011-06-01. Retrieved 2019-04-02.
^ 배이셀래, Jussi:Topologia I, Limes RY 1999, 페이지 63ISBN 951-745-184-9.
^ Dijkstra, Jan J. (1 December 2005). "On Homeomorphism Groups and the Compact-Open Topology" (PDF). The American Mathematical Monthly. 112 (10): 910. doi:10.2307/30037630. Archived (PDF) from the original on 16 September 2016.

외부 링크

"Homeomorphism", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] "Analysis Situs selon Poincaré (1895)". serge.mehl.free.fr. Archived from the original on 11 June 2016. Retrieved 29 April 2018.

[2] Gamelin, T. W.; Greene, R. E. (1999). Introduction to Topology. Courier. p. 67.

[3] Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems. Texts in Applied Mathematics. Vol. 18. Springer. p. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.

[4] "Continuous bijection from (0,1) to [0,1]". Mathematics Stack Exchange. 2011-06-01. Retrieved 2019-04-02.

[5] 배이셀래, Jussi:Topologia I, Limes RY 1999, 페이지 63ISBN 951-745-184-9.

[6] Dijkstra, Jan J. (1 December 2005). "On Homeomorphism Groups and the Compact-Open Topology" (PDF). The American Mathematical Monthly. 112 (10): 910. doi:10.2307/30037630. Archived (PDF) from the original on 16 September 2016.

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