확률 분포
카니아다키스 지수 분포(또는 γ-지수 분포)는 적절한 제약 조건에서 카니아다키스 엔트로피의 최대화에서 발생 하는 확률 분포입니다.이것은 Kaniadakis 분포 의 한 예입니다. γ-지수는 카니아다키스 엔트로피가 표준 볼츠만-기브스 엔트로피 [1] 섀넌 엔트로피의 일반화와 같은 방식으로 지수 분포 를 일반화하는 것입니다. 유형 I의 γ-지수 분포는 γ-감마 분포 의 특정한 경우이고, 유형 II의 γ-지수 분포는 γ-Weibull 분포 의 특정한 경우입니다.
제1종 확률밀도함수 타입 I의 카니아다키스 γ-지수 분포는 멱함수 꼬리를 나타내는 카니아다키스 γ-통계 에서 나타나는 통계 분포 클래스의 일부입니다. 이 분포에는 다음 과 같은 확률 밀도 [2]
f κ ( x ) = ( 1 − κ 2 ) β 해외의 κ ( − β x ) \displaystyle f_{_{\kappa }}(x)=(1-\kappa ^{2})\display \exp_{\kappa }(-\kappa x) x ≥ 0 displaystyle x geq 유효 κ displaystyle leq kappa 1 } Kaniadakis 엔트로피와 관련된 엔트로피 지수 β \ \ beta 0 매개 변수로 알려져 있습니다. 지수 분포 는 π → 0 .{{displaystyle \kappa \rightarrow .}
누적분포함수 타입 I의 γ-지수 분포의 누적 분포 함수는 다음과 같이 주어진다.
F κ ( x ) = 1 − ( 1 + κ 2 β 2 x 2 + κ 2 β x ) 해외의 k ( − β x ) \displaystyle F_{\kappa }(x)=1-{\Big (}{\sqrt {1+\kappa ^{2}\capa ^{2}}+\kappa ^{2}}\exp _{k}({-\capa x)}} x ≥ 0 displaystyle \geq } 누적 지수 분포 는 고전적 한계 κ → 0 displaystyle \kappa \rightarrow }
특성. 모멘트, 기대값 및 분산 I형의 γ-지수 분포는 다음과 같이 주어진[2] 차수 { displaystyle \in \mathbb {N}
E [ X m ] = 1 − κ 2 ∏ n = 0 m + 1 [ 1 − ( 2 n − m − 1 ) κ ] m ! β m {\displaystyle \operatorname {E} [X^{m}]=displayfrac {1-\kappa ^{2}}{\frac _{n=0}^{m+1}[1-(2n-m-1)\kappa ]}{\frac {m! }{\colon ^{m}}}} 여기 κ x displaystyle f_{\kappa x) m 1 1 displaystyle m 1 /\kappa
기대는 다음과 같이 정의됩니다.
E [ X ] = 1 β 1 − κ 2 1 − 4 κ 2 {\frac{1-\kappa^{2}}{{1-\kappa^{2}}{displaystyle \operatorname{E}[X]={\kappa}{1-4\kappa^{2}}}} 분산은 다음과 같습니다.
바르 [ X ] = σ κ 2 = 1 β 2 2 ( 1 − 4 κ 2 ) 2 − ( 1 − κ 2 ) 2 ( 1 − 9 κ 2 ) ( 1 − 4 κ 2 ) 2 ( 1 − 9 κ 2 ) \"표시 스타일 \operator name {Var} [X]=\sigma_{\kappa }^{2}}=sigmafrac {1}{\kappa ^{2}}{\frac {2(1-4\kappa ^{2})^{2}}-(1-9\kappa ^2}}{2}}{(1-4\kappa)}}{1-{kappa}}}{2}}{kappa 쿠르토시스 I형의 γ-지수 분포의 첨도는 다음과 같이 계산될 수 있습니다.
커트 [ X ] = E [ [ X − 1 β 1 − κ 2 1 − 4 κ 2 ] 4 σ κ 4 ] \"표시 스타일 \operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[{\fracleft[X-{\frac{1}{\kappa^{2}}{1-4\kappa^{2}}\right]^{4}}{\kappa}{\kappa}}{\right}}} 따라서 유형 I 분포의 γ-지수 분포의 첨도는 다음과 같이 제공됩니다.
커트 [ X ] = 9 ( 1 − κ 2 ) ( 1200 κ 14 − 6123 κ 12 + 562 κ 10 + 1539 κ 8 − 544 κ 6 + 143 κ 4 − 18 κ 2 + 1 ) β 4 σ κ 4 ( 1 − 4 κ 2 ) 4 ( 3600 κ 8 − 4369 κ 6 + 819 κ 4 − 51 κ 2 + 1 ) 위해서 0 ≤ κ < 1 / 5 \displaystyle \operatorname {Kurt} [X] = displayfrac {9(1-\kappa ^{2})(display\kappa ^{14}-6123\kappa ^{12}+562\kappa ^{10}+1539\kappa ^{8}-544\kappa ^{4}-18kappa ^{4}{kappa\kappa}{4}\kappa\kappa\kappa}{4\kappa ^2}
또는
커트 [ X ] = 9 ( 9 κ 2 − 1 ) 2 ( κ 2 − 1 ) ( 1200 κ 14 − 6123 κ 12 + 562 κ 10 + 1539 κ 8 − 544 κ 6 + 143 κ 4 − 18 κ 2 + 1 ) β 2 ( 1 − 4 κ 2 ) 2 ( 9 κ 6 + 13 κ 4 − 5 κ 2 + 1 ) ( 3600 κ 8 − 4369 κ 6 + 819 κ 4 − 51 κ 2 + 1 ) 위해서 0 ≤ κ < 1 / 5 \displaystyle \operatorname {Kurt} [X]=displayfrac {9(9\kappa ^{2}-1)^{2}(\kappa ^{14}-6123\kappa ^{12}+562\kappa ^{10}+1539\kappa ^{8}-544\kappa ^{4}{2}\kappa{2}\kappa^{2}\kappa\kappa^{2}\kappa}\kappa\kappa} {\text{for}\colon 0\leq \kappa < 1/5}
일반 지수 분포 의 첨도는 한계 κ → 0 displaystyle \kappa \rightarrow }
왜도 I형의 γ-지수 분포의 왜도는 다음과 같이 계산될 수 있습니다.
스큐 [ X ] = E [ [ X − 1 β 1 − κ 2 1 − 4 κ 2 ] 3 σ κ 3 ] \displaystyle \operatorname {Skew} [X]=\operatorname {E} \left[{\fracleft[X-{\frac{1}{\cappa^{2}}{1-4\kappa^{2}}}\right]^{3}{\kappa}}{\right}}} 따라서, I형 분포의 γ-지수 분포 의 왜도는 다음과 같이 제공됩니다.
슈 [ X ] = 2 ( 1 − κ 2 ) ( 144 κ 8 + 23 κ 6 + 27 κ 4 − 6 κ 2 + 1 ) β 3 σ κ 3 ( 4 κ 2 − 1 ) 3 ( 144 κ 4 − 25 κ 2 + 1 ) 위해서 0 ≤ κ < 1 / 4 표시 스타일 \operator name {Shew} [X] = displayfrac {2(1-\kappa ^{2})(display\kappa ^{8}+23\kappa ^{6}+27\kappa ^{4}-6\kappa ^{2}+1}{\kappa ^{3}(4\kappa ^{2})\kappa {\text1}\kappa {\kappa}\kappa}{\kappa}{\kappa}\k
일반 지수 분포 의 첨도는 한계 κ → 0 displaystyle \kappa \rightarrow }
II형 확률밀도함수 타입 II의 카니아다키스 γ-지수 분포는 멱함수 꼬리를 나타내지만 제약 조건 이 다른 카니아다키스 γ-통계 에서 나타나는 통계 분포 클래스의 일부이기도 합니다. 이 분포는 α = 1 displaystyle \alpha 1 [2] 카니아다키스 γ-Weibull 분포의 특정한 경우입니다.
f κ ( x ) = β 1 + κ 2 β 2 x 2 해외의 κ ( − β x ) \displaystyle f_{_{\kappa }(x)=displayfrac{\sqrt {1+\kappa ^{2}}\exp _{\kappa }(-\kappa x)} x ≥ 0 displaystyle x geq 유효 κ displaystyle leq kappa 1 } Kaniadakis 엔트로피와 관련된 엔트로피 지수 β \ \ beta 0 매개 변수로 알려져 있습니다.
지수 분포 는 π → 0 .{{displaystyle \kappa \rightarrow .}
누적분포함수 타입 II의 γ-지수 분포의 누적 분포 함수는 다음과 같습니다.
F κ ( x ) = 1 − 해외의 k ( − β x ) \"표시 스타일 F_{\kappa}(x)=1-\exp_{k}({-\capa x)}} x ≥ 0 displaystyle \geq } 누적 지수 분포 는 고전적 한계 κ → 0 displaystyle \kappa \rightarrow }
특성. 모멘트, 기대값 및 분산 II형의 γ-지수 분포는 다음과 같이 주어진[2] 차수 1 γ displaystyle 1/\kappa}
E [ X m ] = β − m m ! ∏ n = 0 m [ 1 − ( 2 n − m ) κ ] {\displaystyle \operator name {E} [X^{m}]=displayfrac{timeout^{-m}m! }{\cisco _{n=0}^{m}[1-(2n-m)\kappa ]}}} 기대값과 분산은 다음과 같습니다.
E [ X ] = 1 β 1 1 − κ 2 {\displaystyle \operatorname {E} [X]=displayfrac {1}{\frac {1}{1-\kappa ^{2}}}} 바르 [ X ] = σ κ 2 = 1 β 2 1 + 2 κ 4 ( 1 − 4 κ 2 ) ( 1 − κ 2 ) 2 표시 스타일 \operatorname {Var} [X]=\sigma_{\kappa }^{2}=sigmafrac {1}{\cappa ^{2}}{\frac {1+2\kappa ^{4}}{(1-4\kappa ^2})}{1-\kappa ^{2}}}}} 모드는 다음과 같습니다.
x 모드 = 1 κ β 2 ( 1 − κ 2 ) {\displaystyle x_{\textrm {mode}}=tftfrac {1}{\kappa \sqrt {2(1-\kappa ^{2}}}}}}} 쿠르토시스 II형의 γ-지수 분포의 첨도는 다음과 같이 계산될 수 있습니다.
커트 [ X ] = E [ ( X − 1 β 1 1 − κ 2 σ κ ) 4 ] \displaystyle \operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[\left\frac {X-{\frac {1}{\kappa ^{2}}{\frac {1}{1-\kappa ^{2}}}{\right)^{4}} 따라서 유형 II 분포의 γ-지수 분포의 첨도는 다음과 같이 제공됩니다.
커트 [ X ] = 3 ( 72 κ 10 − 360 κ 8 − 44 κ 6 − 32 κ 4 + 7 κ 2 − 3 ) β 4 σ κ 4 ( κ 2 − 1 ) 4 ( 576 κ 6 − 244 κ 4 + 29 κ 2 − 1 ) 위해서 0 ≤ κ < 1 / 4 표시 스타일 \operator name {Kurt} [X] = displayfrac {3(72\kappa ^{10}-360\kappa ^{8}-44\kappa ^{6}-32\kappa ^{4}+7\kappa ^{2}-3}{\kappa ^{4}\kappa ^{4}(\kappa ^{2-1}){24}\kappa\kappa에 대해 또는
커트 [ X ] = 3 ( 72 κ 10 − 360 κ 8 − 44 κ 6 − 32 κ 4 + 7 κ 2 − 3 ) ( 4 κ 2 − 1 ) − 1 ( 2 κ 4 + 1 ) 2 ( 144 κ 4 − 25 κ 2 + 1 ) 위해서 0 ≤ κ < 1 / 4 \"표시 스타일 \operatorname {Kurt} [X] \kafrac {3(72\kappa ^{10}-360\kappa ^{8}-44\kappa ^{6}-32\kappa ^{4}-7\kappa ^{2}-3}{(4\kappa ^{4}-1)}{(2\kappa^{4}\kappa\kappa\kapa\kapa\kapa\kapa\kapa\text}{1}\kapa 왜도 II형의 γ-지수 분포의 왜도는 다음과 같이 계산될 수 있습니다.
스큐 [ X ] = E [ [ X − 1 β 1 1 − κ 2 ] 3 σ κ 3 ] \displaystyle \operatorname {Skew} [X]=\operatorname {E} \left[{\fracleft[X-{\frac{1}{\frac{1-\kappa^{2}}\right]^{3}}{\frac{\kappa}}{\right}} 따라서 유형 II 분포의 γ-지수 분포의 왜도는 다음과 같이 제공됩니다.
스큐 [ X ] = − 2 ( 15 κ 6 + 6 κ 4 + 2 κ 2 + 1 ) β 3 σ κ 3 ( κ 2 − 1 ) 3 ( 36 κ 4 − 13 κ 2 + 1 ) 위해서 0 ≤ κ < 1 / 3 표시 스타일 \operatorname {Skew} [X]=-{\frac {2(15\kappa ^{6}+6\kappa ^{4}+2\kappa ^{2}+1}{\kappa ^{3}\kappa ^{3}(\kappa ^{4}-1)^{3}(\kappa ^{4}-13\kappa ^{2})\kappa의 텍스트에 대해 \frac {\frac {\frac {\kappa ^{2}\f
또는
스큐 [ X ] = 2 ( 15 κ 6 + 6 κ 4 + 2 κ 2 + 1 ) ( 1 − 9 κ 2 ) ( 2 κ 4 + 1 ) 1 − 4 κ 2 1 + 2 κ 4 위해서 0 ≤ κ < 1 / 3 \"표시 스타일 \operatorname {Skew} [X]={2(15\kappa ^{6}+6\kappa ^{4}+2\kappa ^{2}}{(1-9\kappa ^{2})}{\kappa ^{4}+1}}}{\sqrtext{\kappa {\kappa ^2}{3}\kappa {\kappa}\kappa {\kappa}\kapa}\kapa}\kapa {\kapa
일반 지수 분포 의 왜도는 한계 κ → 0 displaystyle \kappa \rightarrow }
분위수 분위수 는 다음 식에 의해 주어집니다.
x 정량의 ( F κ ) = β − 1 인 κ ( 1 1 − F κ ) \displaystyle x_{\textrm {quantile}}(F_{\kappa})=\display ^{-1}{\kappa}{\Bigg(}{\frac {1}{\kappa}}}{\Bigg)}}}
0 F ≤ 1 displaystyle \leq {\kappa leq }
x 중앙값 ( F κ ) = β − 1 인 κ ( 2 ) \displaystyle x_{\textrm {median}}(F_{\kappa})=\display ^{-1}\display_{\kappa}(2)
로렌츠 곡선 II형의 γ-지수 분포와 관련된 로렌츠 곡선은 [2]
L κ ( F κ ) = 1 + 1 − κ 2 κ ( 1 − F κ ) 1 + κ − 1 + κ 2 κ ( 1 − F κ ) 1 − κ 표시({style{\mathcal {L}}_{\kappa}(F_{\kappa})=1+{\frac {1-\kappa}{2\kappa}}^{1+\kappa}}(1-F_{\kappa})^1+{\kappa}}(1-F_{\kappa}){\kappa}} 지니계수는
G κ = 2 + κ 2 4 − κ 2 {\kappa}=displaystyle \operator name {G}_{\kappa ^{2}}{4-\kappa ^{2}}}}
점근 거동 유형 II의 γ-지수 분포는 [2] 점근적 으로 동작합니다.
림 x → + ∞ f κ ( x ) ∼ κ − 1 ( 2 κ β ) − 1 / κ x ( − 1 − κ ) / κ \"표시 스타일 \lim _{x\to +\infty}f_{\kappa }(x)\sim \kappa ^{-1}(2\kappa \kappa )^{-1/\kappa }x^{(-1-\kappa)/\kappa }} 림 x → 0 + f κ ( x ) = β {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f_{\kappa}(x)=\displaystyle } 적용들 γ-지수 분포는 다음과 같은 여러 영역에 적용되었습니다.
암석 [3] 양자 이론에서 플랑크의 복사 [4] 이용 한 물리적 분석에서; 역문제 에서, γ-지수 분포는 강력한 [5] 네트워크 [6] 참고 항목 레퍼런스 ^ Kaniadakis, G. (2001). "Non-linear kinetics underlying generalized statistics" . Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications . 296 (3–4): 405–425. arXiv :cond-mat/0103467 doi :10.1016/S0378-4371(01)00184-4 . S2CID 44275064 . ^ a b c d e f Kaniadakis, G. (2021-01-01). "New power-law tailed distributions emerging in κ-statistics (a)" . Europhysics Letters . 133 (1): 10002. arXiv :2203.01743 doi :10.1209/0295-5075/133/10002 . ISSN 0295-5075 . S2CID 234144356 . ^ Oreste, Pierpaolo; Spagnoli, Giovanni (2018-04-03). "Statistical analysis of some main geomechanical formulations evaluated with the Kaniadakis exponential law" . Geomechanics and Geoengineering . 13 (2): 139–145. doi :10.1080/17486025.2017.1373201 . ISSN 1748-6025 . S2CID 133860553 . ^ Ourabah, Kamel; Tribeche, Mouloud (2014). "Planck radiation law and Einstein coefficients reexamined in Kaniadakis κ statistics" . Physical Review E . 89 (6): 062130. doi :10.1103/PhysRevE.89.062130 . ISSN 1539-3755 . PMID 25019747 . ^ da Silva, Sérgio Luiz E. F.; dos Santos Lima, Gustavo Z.; Volpe, Ernani V.; de Araújo, João M.; Corso, Gilberto (2021). "Robust approaches for inverse problems based on Tsallis and Kaniadakis generalised statistics" . The European Physical Journal Plus . 136 (5): 518. doi :10.1140/epjp/s13360-021-01521-w . ISSN 2190-5444 . S2CID 236575441 . ^ Macedo-Filho, A.; Moreira, D.A.; Silva, R.; da Silva, Luciano R. (2013). "Maximum entropy principle for Kaniadakis statistics and networks" . Physics Letters A . 377 (12): 842–846. doi :10.1016/j.physleta.2013.01.032 외부 링크 
![{\displaystyle {\frac {1-\kappa ^{2}}{\prod _{n=0}^{m+1}[1-(2n-m-1)\kappa ]}}{\frac {m!}{\beta ^{m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b31ebbd8fa218348c52728c90079bb482cc5dc)
모멘트를 갖는다.![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{m}]={\frac {1-\kappa ^{2}}{\prod _{n=0}^{m+1}[1-(2n-m-1)\kappa ]}}{\frac {m!}{\beta ^{m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb953208069cfc3106ac4e7877a042c667c49a0)
0
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{\beta }}{\frac {1-\kappa ^{2}}{1-4\kappa ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17febfb141d534578001370d61e08270c7ac9dd0)
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\sigma _{\kappa }^{2}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\frac {2(1-4\kappa ^{2})^{2}-(1-\kappa ^{2})^{2}(1-9\kappa ^{2})}{(1-4\kappa ^{2})^{2}(1-9\kappa ^{2})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da847e6975f6c85367d8c1d8f66a50fc53e44bad)
![{\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[{\frac {\left[X-{\frac {1}{\beta }}{\frac {1-\kappa ^{2}}{1-4\kappa ^{2}}}\right]^{4}}{\sigma _{\kappa }^{4}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de85db334b22632b0808099a99007f71485b4fa)
![{\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {9(1-\kappa ^{2})(1200\kappa ^{14}-6123\kappa ^{12}+562\kappa ^{10}+1539\kappa ^{8}-544\kappa ^{6}+143\kappa ^{4}-18\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{4}\sigma _{\kappa }^{4}(1-4\kappa ^{2})^{4}(3600\kappa ^{8}-4369\kappa ^{6}+819\kappa ^{4}-51\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a11b3bbe6e7dd8291f5af87a1d7c165d81a46aa)
![{\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {9(9\kappa ^{2}-1)^{2}(\kappa ^{2}-1)(1200\kappa ^{14}-6123\kappa ^{12}+562\kappa ^{10}+1539\kappa ^{8}-544\kappa ^{6}+143\kappa ^{4}-18\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{2}(1-4\kappa ^{2})^{2}(9\kappa ^{6}+13\kappa ^{4}-5\kappa ^{2}+1)(3600\kappa ^{8}-4369\kappa ^{6}+819\kappa ^{4}-51\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da28d319130866c64fe98987bc1d905e59577946)
![{\displaystyle \operatorname {Skew} [X]=\operatorname {E} \left[{\frac {\left[X-{\frac {1}{\beta }}{\frac {1-\kappa ^{2}}{1-4\kappa ^{2}}}\right]^{3}}{\sigma _{\kappa }^{3}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d90ae1c68b966c3253997907f1197b2a1eb89c0)
![{\displaystyle \operatorname {Shew} [X]={\frac {2(1-\kappa ^{2})(144\kappa ^{8}+23\kappa ^{6}+27\kappa ^{4}-6\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{3}\sigma _{\kappa }^{3}(4\kappa ^{2}-1)^{3}(144\kappa ^{4}-25\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1cb51524bf6f856479de35e52eadef3a8b2b872)
![{\displaystyle {\frac {\beta ^{-m}m!}{\prod _{n=0}^{m}[1-(2n-m)\kappa ]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50731c4b30d27a7f1c39184fc048cc6ea2b33325)
모멘트를 갖습니다.![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{m}]={\frac {\beta ^{-m}m!}{\prod _{n=0}^{m}[1-(2n-m)\kappa ]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34034196a337439400b83dec44b13ab5246b95e4)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{1-\kappa ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6faec3f67d4843cc9266769cc632860bab58d30)
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\sigma _{\kappa }^{2}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\frac {1+2\kappa ^{4}}{(1-4\kappa ^{2})(1-\kappa ^{2})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bc538a7ef44afc3f5655e08d01776f3668104b4)
![{\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-{\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{1-\kappa ^{2}}}}{\sigma _{\kappa }}}\right)^{4}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b39bdd060d69a14364d4b9fb1dc54cc0ea9c1f2)
![{\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {3(72\kappa ^{10}-360\kappa ^{8}-44\kappa ^{6}-32\kappa ^{4}+7\kappa ^{2}-3)}{\beta ^{4}\sigma _{\kappa }^{4}(\kappa ^{2}-1)^{4}(576\kappa ^{6}-244\kappa ^{4}+29\kappa ^{2}-1)}}\quad {\text{ for }}\quad 0\leq \kappa <1/4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04d3b511be8af0f416e9a46c01c829e6270d155)
![{\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {3(72\kappa ^{10}-360\kappa ^{8}-44\kappa ^{6}-32\kappa ^{4}+7\kappa ^{2}-3)}{(4\kappa ^{2}-1)^{-1}(2\kappa ^{4}+1)^{2}(144\kappa ^{4}-25\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{ for }}\quad 0\leq \kappa <1/4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf23f87018b9a924829ec4d39eb332d2de9bfb2)
![{\displaystyle \operatorname {Skew} [X]=\operatorname {E} \left[{\frac {\left[X-{\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{1-\kappa ^{2}}}\right]^{3}}{\sigma _{\kappa }^{3}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fdc38888bba9cc5fb9c7c5424d94c8b9051ba6e)
![{\displaystyle \operatorname {Skew} [X]=-{\frac {2(15\kappa ^{6}+6\kappa ^{4}+2\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{3}\sigma _{\kappa }^{3}(\kappa ^{2}-1)^{3}(36\kappa ^{4}-13\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/538d8b210c3fec39fcaf8127517815054805c405)
![{\displaystyle \operatorname {Skew} [X]={\frac {2(15\kappa ^{6}+6\kappa ^{4}+2\kappa ^{2}+1)}{(1-9\kappa ^{2})(2\kappa ^{4}+1)}}{\sqrt {\frac {1-4\kappa ^{2}}{1+2\kappa ^{4}}}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4f2db45a8df6e1b85e5cc79e01c8b1c48641dee)
