상수 정규화

Normalizing constant

상수 정상화의 개념은 확률 이론수학의 다양한 다른 영역에서 발생한다. 정규화 상수는 확률 함수를 총 확률이 1인 확률 밀도 함수로 줄이기 위해 사용된다.

정의

확률론에서 정규화 상수는 어느 곳에서나 음이 아닌 함수를 곱해야 하는 상수로, 그래프의 아래 영역은 1, 예를 들어 확률밀도함수 또는 확률질량함수로 만든다.[1][2]

단순 가우스 함수에서 시작하면

우리는 해당 가우스 적분을 가지고 있다.

이제 후자의 역수 값을 전자에 대한 정규화 상수로 사용하여 함수 () 을(를) 다음과 같이 정의하면

일체형이 유닛이 되도록.

그러면 함수 ( ) 확률밀도함수다.[3] 이것은 표준 정규 분포의 밀도다. ( 경우 표준은 기대값이 0이고 분산이 1임을 의미한다.)

그리고 상수 {\{1\pi\}}}}은 ( x){\ p( 정규화 상수 입니다

마찬가지로

결과적으로

모든 음이 아닌 정수의 집합에 대한 확률 질량 함수.[4] 이것은 포아송 분포의 확률 질량 함수로서 기대 값 λ이다.

확률밀도함수가 다양한 매개변수의 함수인 경우, 또한 정규화 상수가 된다. 볼츠만 분포에 대한 파라메트리화된 정규화 상수는 통계 역학에서 중심적인 역할을 한다. 그런 맥락에서 정상화 상수를 파티션 함수라고 한다.

베이즈 정리

Bayes의 정리는 후확률 측정은 이전 확률 측정과 우도 함수의 산물에 비례한다고 말한다. 비례하는 것은 전체 공간에 측정치 1을 할당하기 위해 정규화 상수로 곱하거나 나누어야 함을 의미한다. 즉, 확률 측정을 얻기 위해. 간단한 개별적인 사례에서

어디 P(귀무가설)은 사전 확률은 가설, 소여의 P(DH0)은 조건부 확률은 가설,지만 주어진 데이터가 그 가설(또는 해당 매개 변수)은 소여의 가능성 알려진 것은 사실이다;P(H0D)은 사후 확률은 가설 사실. P(D)sho 데이터를 주어진 것은 사실입니다.uld 데이터를 생성할 확률은 되지만 그 자체로는 계산하기 어렵기 때문에 이 관계를 설명할 수 있는 다른 방법은 비례성의 하나이다.

P(H D)는 확률이기 때문에 가능한 모든 가설(상호 배타적)에 대한 합은 1이어야 하며, 이는 다음과 같은 결론을 도출한다.

이 경우 값의 역수

정규화 상수.[5] 합계를 적분으로 대체함으로써 헤아릴 수 없이 많은 가설에서 헤아릴 수 없이 많은 가설로 확장될 수 있다.

구체성의 경우, 실용적 목적을 위해 정규화 상수를 추정하는 방법이 많다. 방법으로는 브리지 샘플링 기법, 순진한 몬테카를로 추정기, 일반화된 조화 평균 추정기, 중요도 샘플링이 있다.[6]

비확률론적 용도

레전드르 다항식은 [- 1, 1] 구간에 대한 균일한 측도와 1에서 값이 1이 되도록 정규화된 점에 관하여 직교성이 특징이다. 다항식을 곱하여 1에서 값이 1이 되도록 하는 상수는 정규화 상수다.

정형외과적 함수는 다음과 같이 정규화된다.

일부 내부 제품 <f, g>에 관해서.

상수 1/2진수2쌍곡선 삼각형의 인접 및 반대편의 길이로부터 쌍곡선 함수의 cosh와 sinh를 설정하는데 사용된다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 앨라배마 대학의 연속 분포.
  2. ^ 펠러, 1968년, 페이지 22.
  3. ^ 펠러, 1968년, 페이지 174.
  4. ^ 펠러, 1968, 페이지 156.
  5. ^ 펠러, 1968, 페이지 124.
  6. ^ Gronau, Quentin (2020). "bridgesampling: An R Package for Estimating Normalizing Constants" (PDF). The Comprehensive R Archive Network. Retrieved September 11, 2021.

참조