L공간p

수학에서 L 공간은^p 유한 차원 벡터 공간에 대한 p-노름의 자연 일반화를 사용하여 정의된 함수 공간입니다.부르바키 그룹(Bourbaki 1987)에 따르면 프리예스 리에즈(Riesz 1910)에 의해 처음 소개되었지만, 때때로 앙리 르베그(Dunford & Schwartz 1958, III.3)의 이름을 따서 르베그 공간이라고 불린다.L^p 공간은 함수 분석 및 위상 벡터 공간의 중요한 클래스를 형성합니다.측정 및 확률 공간의 수학적 분석에서 중요한 역할을 하기 때문에, 르베그 공간은 물리학, 통계학, 금융, 공학 및 기타 분야의 문제에 대한 이론적 논의에도 사용됩니다.

적용들

통계 정보

통계학에서 평균, 중위수, 표준편차와 같은 중심성향 및 통계분산 측정은 L 메트릭의 관점에서^p 정의되며, 중심성향 측정은 변동성 문제에 대한 해결책으로 특징지을 수 있다.

불이익 회귀에서 "L1 패널티"와 "L2 패널티"는 솔루션의 매개변수 값 벡터의 L 노름(절대값의 합) 또는¹ L² 노름(유클리드 길이) 중 하나를 벌칙하는 것을 의미한다.LASO와 같이 L1 패널티를 사용하는 기술은 많은 파라미터가 0인 경우 솔루션을 장려합니다.능선 회귀 분석과 같이 L2 패널티를 사용하는 기법은 대부분의 모수 값이 작은 솔루션을 장려합니다.탄성 네트 정규화에서는 파라미터 벡터의 L 노름과¹ L 노름의² 조합인 패널티 항이 사용됩니다.

하우스도르프젊은 불평등

1≤ p≤ 2와 .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion는 실수 직선(또는 주기적인 기능을 위해, 푸리에 시리즈를 참조하십시오)에 대한 푸리에 변환, Lq(R)(또는 Lp(T)에 각각)ℓq에,{Lp(R)매핑 됩니다.디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/p+1/q=1이다. Riesz–의 이 결과다.토린 보간 정리이며 하우스도르프-를 사용하여 정밀하게 작성됩니다.젊은 불평등.

반면 p > 2일 경우 푸리에 변환은 L에^q 매핑되지 않습니다.

힐베르트 공간

힐베르트 공간은 양자역학에서 확률적 미적분에 이르기까지 많은 응용 분야에서 중심이다.공간² L과 공간 θ는² 둘 다 힐베르트 공간입니다.실제로, 힐베르트 기저 E, 즉 L 또는 임의의 힐베르트 공간의² 최대 직교 정규 부분 집합을 선택함으로써, 모든 힐베르트 공간이 δ²(E)와 등각적으로 동형인 것을 알 수 있다. 즉, 즉, 타입 δ의² 힐베르트 공간이다.

유한 차원에서의 p-노름

n차원 실벡터 공간ⁿ R에서 벡터 x = (x₁, x₂, ..., x_n)의 길이는 보통 유클리드 노름에 의해 주어진다.

두 점 x와 y 사이의 유클리드 거리는 두 점 사이의 직선의 길이 x - y입니다.많은 상황에서 유클리드 거리는 주어진 공간에서의 실제 거리를 포착하기에 불충분하다.이에 대한 유추는 그리드 거리 계획의 택시 운전자에 의해 제안되며, 택시 운전자는 목적지에 대한 직선 길이가 아니라 도로가 서로 직교하거나 평행하다는 점을 고려한 직선 거리 관점에서 거리를 측정해야 한다.p-norms의 클래스는 이 두 가지 예를 일반화하고 수학, 물리학 및 컴퓨터 과학의 많은 부분에서 응용할 수 있습니다.

정의.

실수 p ≤ 1의 경우 x의 p-norm 또는 L-norm은^p 다음과 같이 정의된다.

절대값 막대는 p가 축소된 형태의 짝수 분자를 가진 유리수이고 x가 실수 집합 또는 그 하위 집합 중 하나에서 추출된 경우 드롭될 수 있습니다.

위에서 본 유클리드 노름은 이 부류에 속하며 2-노름이며 1-노름은 직선 거리에 해당하는 노름입니다.

L 노름 또는 최대 노름(또는 균일한 노름)은^∞ p → µ에 대한 L 노름의^p 한계이다.이 제한은 다음 정의에 해당합니다.

'L-infinity' 참조.

모든 p ≤ 1에 대해 위에서 정의한 p-노름과 최대 노름은 "길이 함수"(또는 노름)의 특성을 실제로 만족시킨다.

• 0 벡터만 길이가 0입니다.
• 벡터의 길이는 스칼라에 의한 곱셈과 관련하여 양의 균질하다(양의 균질성).
• 두 벡터의 합계의 길이가 벡터 길이의 합보다 크지 않습니다(부등식).

추상적으로 말하면, 이것은 R이 p-norm과 함께 바나흐 공간임을 의미한다ⁿ.이 Banach 공간은 L-space^p overⁿ R입니다.

p-norms 간의 관계

두 점 사이의 그리드 거리 또는 직선 거리('맨하탄 거리'라고도 함)는 두 점 사이의 선분 길이(유클리드 또는 "까마귀가 나는" 거리)보다 결코 짧지 않습니다.형식적으로, 이것은 벡터의 유클리드 노름이 그 1-노름에 의해 제한된다는 것을 의미한다.

이 사실은 주어진 벡터 x의 p-norm x가 p:

반대 방향의 경우 1-노름과 2-노름 사이의 다음과 같은 관계가 알려져 있습니다.

이 부등식은 기초 벡터 공간의 차원 n에 따라 달라지며 코시-슈바르츠 부등식에서 직접 나타난다.

일반적으로 δ의ⁿ 벡터의 경우 0 < r < p:

이것은 Hölder의 불평등의 결과이다.

0 < p < 1 의 경우

nⁿ > 1에 대한 R의 공식은

는 0 < p < 1에 대해 절대적으로 균일한 함수를 정의합니다.다만, 그 결과 생성되는 함수는, 부가법적이지 않기 때문에, 노름을 정의하지 않습니다.반면에 공식은는 절대 균질성을 상실하는 대신 부가함수를 정의합니다.단, 도 p의 균질한 F-노름을 정의합니다.

따라서 함수는

에 메트릭을 정의합니다.메트릭 공간(Rⁿ, d_p)은 "로_n^p 표시됩니다.

이 메트릭에서 원점 주위의 p 단위 볼 B는_n^p "오목"이지만, 메트릭_p d에 의해 R에 정의된ⁿ 위상은 R의 일반적인ⁿ 벡터 공간 위상이며, 따라서 θ는_n^p 국소 볼록 위상 벡터 공간이다.이 정성문을 넘어 θ의_n^p 볼록성 결여를 측정하는 정량적 방법은 C(n)에_p 의해 p 단위 볼의 복수 CB가_n^p B와_n¹ 동일한_n^p B의 볼록한 선체를 포함하도록 최소 상수 C를 나타낸다.고정 p < 1에 대해

는 다음에 정의된 무한차원 시퀀스 공간 θ가^p 국소적으로 ^{[citation needed]}볼록하지 않음을 나타냅니다.

p = 0인 경우

norm₀₀ 노름과 " 노름(따옴표 포함)이라는 함수가 있습니다.

θ₀ 노름의 수학적 정의는 바나흐의 선형 연산 이론에 의해 확립되었습니다.시퀀스의 공간에는 F-norm에 의해 제공되는 완전한 메트릭토폴로지가 있어요

이것은 Stefan Rolewicz가 Metric ^[1]Linear Spaces에서 논의한 것이다.γ-규격₀ 공간은 함수해석, 확률론, 조화해석 등에서 연구된다.

또 다른 함수는 David Donoho에 의해 "norm"이라고₀ 불리고 있습니다.이 함수는 적절한 노름이 아님을 경고하는 따옴표입니다.이 함수는 벡터 x의 0이 아닌 엔트리의 수입니다.많은 저자가 따옴표를 생략함으로써 용어를 남용하고 있습니다.0 = 0을 정의하면⁰ x의 0 "표준"은 다음과 같습니다.

이것은 균질하지 않기 때문에 표준이 아니다.예를 들어, 벡터 x를 양의 상수로 스케일링해도 "규범"은 변경되지 않습니다.수학적 노름으로서의 이러한 결함에도 불구하고, 0이 아닌 계수 "노름"은 과학적 계산, 정보 이론 및 통계에서 사용되며, 신호 처리 및 계산 고조파 분석의 압축 감지에서 두드러지게 사용됩니다.표준이 아님에도 불구하고, 해밍 거리로 알려진 관련 메트릭은 거리에 동질성이 필요하지 않기 때문에 유효한 거리이다.

무한 차원 및 δ^p 공간에서의 p-norm

시퀀스^p 공간 »

p-norm은 무한히 많은 성분(시퀀스)을 갖는 벡터까지 확장될 수 있으며, 이는 공간 θ를^p 산출한다.여기에는 다음과 같은 특수한 경우가 포함됩니다.

• θ는¹ 급수가 절대적으로 수렴하는 수열의 공간이다.
• 힐베르트 공간인 제곱합 수열의 공간인 θ와²
• θ는^∞ 유계 시퀀스의 공간입니다.

수열의 공간은 좌표별 가산 및 스칼라 곱셈 좌표를 적용하여 자연스러운 벡터 공간 구조를 갖습니다.벡터 합과 실(또는 복소수)의 무한 시퀀스에 대한 스칼라 작용은 명시적으로 다음과 같이 주어진다.

p-norm을 정의합니다.

여기서, 복잡성이 발생합니다.즉, 오른쪽의 급수가 항상 수렴하는 것은 아니기 때문에, 예를 들면, 1개만으로 이루어진 시퀀스(1, 1, 1, ...)는, 1µp < 1)에 대해서 무한 p-노름을 갖게 됩니다.그리고 공간^p θ는 p-norm이 유한하도록 실수(또는 복소수)의 모든 무한 시퀀스의 집합으로 정의된다.

p가 증가할수록 집합 grows가^p 커지는 것을 확인할 수 있다.예를 들어 시퀀스는

, , 에는 없지만 시리즈로서 p > 1 의 경우는 for^1p 에 있습니다.는 p = 1(조화 계열)에 대해서는 분산되지만 p > 1에 대해서는 수렴됩니다.

또한 Supremum을 사용하여 γ-norm을 정의합니다.

모든 경계 시퀀스의 대응하는 공간 θ^∞.알고^[2] 보니 오른쪽이 유한하거나 왼쪽이 무한인 경우.이 때문에, 「1^p」 「p」 「」의 스페이스에 대해 설명합니다.

이와 같이 θ에^p 정의된 p-norm은 노름이며, θ는 이 노름과^p 함께 바나흐 공간이다.완전 일반^p L 공간은 아래와 같이 벡터를 고려하여 최종 또는 무한히 많은 성분뿐만 아니라 "임의적으로 많은 성분", 즉 함수를 사용하여 구한다.p-norm을 정의하기 위해 합계 대신 적분이 사용됩니다.

일반 µ-공간^p

위의 정의와 완전히 유사하게 일반 인덱스 $세트{\displaystyle }$ I$($ 1$<\displaystyle$ 1$\leq$ p <\$infty$ 위의 공간 ${\displaystyle p^{}}$p ($I )$를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

여기서 오른쪽의 컨버전스는 셀 수 있는 수의 서밋만이0이 아님을 의미합니다(「무조건 컨버전스」도 참조).표준으로 공간 ${\displaystyle p^{}}$p (${\displaystyle I}$) {$display$ \$ell$^ {$p}(I)}$ 은$$ 바나흐 공간이 됩니다.내가$$n개의$요소$로 $유한$한 $경우$, 이 구조는 위에서 정의한 $\displaystyle$p-norm을$$사용하여 R을 산출한다ⁿ.I ${\displaystyle$ I$}$가 무한대일 $경우{\displaystyle }$, 이는 위에서 정의한 시퀀스 공간 ${\displaystyle {\delta }^{}}$p {\$displaystyle \ell$^{$p}$입니다.$셀$ 수 없는 $I의$경우$$, 이것은 분리할 수 없는 Banach ${\displaystyle {공간}^{}}$이며,$$δ p \ $displaystyle \ell$^{$p$$}$ - ^[3]sequence 공간의 로컬 볼록 직접 한계로 볼 수 있습니다.

p)2에 대해서, ⋅은 ‖{\displaystyle p=2,}‖ 2{\displaystyle\와 같이 \,\cdot \,\_{2}}-norm은 심지어 유도에 의한 정준 내적 ⟨ ⋅,⋅ ⟩,{\displaystyle\langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle,}를 호출한 .mw-parser-output .vanchor&gt은 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}Euclidean 내적을 뜻하는. 그 ‖)‖ 2)⟨ x)⟩{\displaystyle)\mathbf{)}\와 같이 말이다.${2}=snargrt {displaystyle \mathbf {x},\mathbf$${$$x}$ \$rangle }}$은(는) 모든 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$x에 대해 유지됩니다$.$ {\$displaystyle \mathbf${x$}$ .} 이$$ 내적은 편광 항등식을 사용하여 노름으로 표현할 수 있습니다.$§$에서는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.\ $displaystyle \ell$ $^{2$}

한편, 모든 사각 적분 함수로 구성된 측정 공간${\displaystyle }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \delta ,}$μ ${\displaystyle )}$과 관련된 $공간$ ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}X,}$μ $)({displaystyle$ L$^{2}(X,\mu}),$$$\$displaystyle(X,\Sigma,\mu)$의 경우, 다음과 같습니다.

이제 $대소문자{\displaystyle }$ p $=$。{ $displaystyle$ p=\$infty }$를 정의할 수 있습니다.

^{[nb 1]} 모든 x에 대해 ^{[nb 2][4]}

인덱스 $세트{\displaystyle }$ I$(\displaystyle$ I$)$는 이산 θ-대수 및 카운트 측도를 제공하여 측정 공간으로 전환할 수 있습니다.그러면 공간 ${\displaystyle p^{}p}$ ( I$$) { $displaystyle \ell$^ {$p$} ( I$)$는 보다$$ 일반적인 $L{\displaystyle {}^{}}$ { $displaystyle$ L^ {$p}$ - 공간의$$ 특수한 경우일 뿐입니다(아래 참조).

L^p 공간 및 Lebegue 적분

L^p 공간은$$p\$displaystyle$p의$$ 절대값의 $제곱$이 르베그 적분 가능한 측정 가능한 함수의 공간으로 정의할 수 있으며, 여기에서 거의 모든 곳에서 일치하는 함수가 식별된다.보다 일반적으로는 1 µp < µ 및 (S, δ, μ)를 측정공간으로 한다.S에서 C 또는 R까지 측정 가능한 모든 함수의 집합으로, p번째 거듭제곱까지 절대값이 유한 적분 또는 동등하게 다음과 같은 값을 갖는 것을 고려한다.

이러한 함수 집합은 다음과 같은 자연 연산을 갖는 벡터 공간을 형성합니다.

모든 스칼라 µ에 대해.

두 p번째 전력 적분 가능 함수의 합이 다시 p번째 전력 적분 가능 함수가 된다는 것은 부등식에서 나온 것이다.

(이는 p$1$의 $t{\displaystyle }$ )$$ t p \$displaystyle$t \ $mapsto$ t^ { $p$의 $볼록함$에서 비롯됩니다).

사실, 더 많은 것이 사실이다.민코프스키의 부등식은 삼각형 부등식이 _p·을 유지한다고 말한다. 따라서 p-제곱 적분함수의 집합은 함수 ·_p와 함께 ${\displaystyle \mathrm{반정규}}$ 벡터 공간이며${\displaystyle ,}$L${\displaystyle {}^{}}$p (${\displaystyle }$S , ${\displaystyle \mu }$ ) \$display$ style { $L$} { L } {{$p$} (S , \ $mu )$로 나타난다.

p = δ의 경우, $공간{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ L${\displaystyle {}^{}\delta }$( ${\displaystyle S}$ ,${\displaystyle }$μ$$) {\$displaystyle {L}^{\infty$}($S$, \$mu )$은 거의 모든 곳에서 경계된 측정 가능한 함수의 공간이며, (μ(X)00일 때) 절대값의 필수 우위이다.

^{[nb 3]}

이산적인 경우와 마찬가지로 f l^∞ L(S, μ) l^q L(S, μ) l L(μ) l L(S, μ) < L(S, μ)이 존재하는 경우

${\displaystyle L^{}}$ p${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle S}$ ,${\displaystyle }$μ$$) { $style$\ $mathcal${$L$} ^{ $p }$ ( S , \$mu$ )는$$ 표준적인 방법으로 표준 벡터 공간으로 만들 수 있습니다. p-norm이 0인 함수의 부분 공간에 대한 몫 공간을 취하기만 하면 됩니다.측정 가능한 함수 f에 대해 f =_p 0이 거의 모든 곳에서 f = 0인 경우에만 부분 공간이 p에 의존하지 않습니다.

몫 공간에서는 f = g이면 f와 g의 두 가지 함수가 식별된다.결과적으로 정규 벡터 공간은 정의상 다음과 같다.

일반적으로 이 프로세스는 되돌릴 수 없습니다$.$${\displaystyle L^{}}$p {\$displaystyle$ L$^{p$에 N의$$각 코셋을 $나타내는{\displaystyle \mathcal{}}$ "$canonical$$"$을 일관되게 정의할$$수 있는 방법은 없습니다.단, L represent {\displaystyle $L^{\infty$에 $대해서$는 이러한 복구를 가능하게 하는 이론이 있습니다.

기초 측정 공간 S를 이해하면 L(S, μ)은^p L(μ) 또는 L로^p 약칭되는^p 경우가 많다.

1 p p , , 、 L ( S , μ )는^p 바나흐 공간입니다.L이 완전하다는 사실은^p 종종 Riesz-Fischer 정리라고 불리며, 르베게 적분에 대한 수렴 이론을 사용하여 증명될 수 있다.

위의 정의는 보흐네르 공간으로 일반화된다.

특수한 경우

θ^p 공간과² 마찬가지로 L은 L 공간 중 유일한^p 힐베르트 공간이다.복잡한 경우, L 위의 내부² 곱은 다음과 같이 정의된다.

추가적인 내부 곱 구조는 푸리에 급수 및 양자 역학과 같은 응용 프로그램을 통해 보다 풍부한 이론을 가능하게 합니다.L의² 함수는 때로는 제곱적분함수, 제곱적분함수 또는 제곱적분함수라고 불리기도 하지만, 때로는 리만 적분함수(Titchmarsh 1976)와 같은 다른 의미에서 제곱적분함수를 위해 예약되기도 한다.

복소수 함수를 사용할 경우 공간^∞ L은 점별 곱셈과 공역화를 갖는 교환 C*대수입니다.모든 시그마 유한한 것을 포함한 많은 측정 공간의 경우, 이것은 사실 교환 폰 노이만 대수이다.L의^∞ 원소는 임의의^p L공간상의 유계연산자를 곱셈으로 정의한다.

1 p p ≤ 1 1 are , , 、 S = N일 때 μ^p 공간은 L 공간의 특수한^p 경우이다. 보다 일반적으로 계수 측정과 함께 집합 S를 고려할 경우 결과^p L 공간은 ( (S)로^p 표시된다.예를 들어 공간 θ^p(Z)는 정수에 의해 색인화된 모든 시퀀스의 공간이며, 이러한 공간에 p-norm을 정의할 때 모든 정수를 합한다.여기서 n은^p n개의 요소를 가진 집합인 공간 θ(n)는 위에서ⁿ 정의한 바와 같이 p-norm과 함께 R입니다.임의의 힐베르트 공간으로서 모든 공간² L은 적절한 δ²(I)에 대해 선형 등각이다.여기서 집합 I의 카디널리티는 이 특정² L에 대한 임의의 힐베르트 기저의 카디널리티이다.

L 공간의 속성^p

이중 공간

1 < p < θ에 대한 L(μ)의^p 이중 공간(모든 연속 선형 함수의 바나흐 공간)은 L(μ)과^q 자연 동형성을 가지며, 여기서 q는 1/p + 1/q = 1(즉 q = p/p - 1)이다.이 동형사상은 g l^q L(μ)을 다음과 같이 정의된 함수 ( (g_p)^∗ the L^p(μ)과 관련짓는다.

$모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$†${\displaystyle {}^{}{L}^{}}$ ${\displaystyle p}$ (μ$)$ {$displaystyle$ f$\in$ L$^{p}(\mu)}$에 대해

δ_p(g)가 잘 정의되고 연속적이라는 사실은 쾰더의 부등식에서 비롯된다.δ^q : L(μ) → L^p(^∗μ)은 쾰더 부등식의 극단에 의한 등각인 선형 매핑이다_p.또한 (예를 들어, 라돈-니코다름 정리를^[5] 통해) G l^p L(μ)^∗이 다음과 같이 표현될 수 있다는 것을 보여줄 수 있다. 즉, θ가_p 위에 있다는 것이다.θ는_p 위에 있고 등각적이므로 바나흐 공간의 동형이다.이 (등각) 동형성을 염두에 두고 L은 L의 이중^p 바나흐 공간이라고 간단히 말할^q 수 있습니다.

1 < p < δ에 대하여 공간^p L(μ)은 반사적이다.θ를_p 위와 같이 하고 θ_q : L^p(μ) → L^q(μ)^∗로 한다.θ를_q θ의_p 역의 전치(또는 인접)로 합성하여 얻은 L(μ)에서^pp L(μ)^∗∗까지의 지도를 보자.

이 맵은 L(μ)의^p 표준 내장 J와 쌍방향에 일치한다.또, 지도_p j는 등각선상에 2개의 구성으로 되어 있어 반사성을 증명한다.

S의 측정값 μ가 시그마-크롬이면 L(μ)의¹ 쌍대는 L(μ)과^∞ 등각적으로 동형이다(더 정확히는 p=1에 대응하는 지도θ는₁ L(μ)에서^∞1 L(μ)^∗까지의 등각이다).

L의^∞ 쌍수는 더 미묘하다.L(μ)^∗의^∞ 원소는 μ에 대해 절대적으로 연속적인 S에 대한 유계 부호 최종 첨가 측정으로 식별할 수 있다.자세한 내용은 공간을 참조하십시오.만약 우리가 선택 공리를 가정한다면, 이 공간은 몇몇 사소한 경우를 제외하고는 L(μ)보다¹ 훨씬 크다.그러나, Saharon Shelah는 θ의^∞ 쌍수가 ^[6]θ인¹ 체르멜로-프랭켈 집합론(ZF + DC + "실수의 모든 부분 집합은 바이어 특성을 가진다")의 비교적 일관된 확장이 있다는 것을 증명했다.

내장

구어체적으로 1 p p < q , 1 1 、 L(S, μ)은^p 보다 국소적으로 단수인 함수를 포함하고, L(S, μ)의 요소는^q 보다 넓게 전개할 수 있다.하프 라인(0, θ)에 대한 르베그 측정을 고려합니다.L의¹ 연속 함수는 0에 가깝게 폭발할 수 있지만 무한대를 향해 충분히 빨리 붕괴해야 합니다.한편, L의 연속^∞ 기능은 전혀 붕괴할 필요가 없지만, 폭발은 허용되지 않는다.정확한 기술적 결과는 다음과 같습니다.^[7]0 < p < q >라고 합니다.그 후, 다음과 같이 입력합니다.

1. L^q(S, μ) l^p L(S, μ)은 S가 유한하지만 임의로 큰 측정 세트를 포함하지 않는 경우에만 해당된다.
2. L(S, μ) l^q L(S, μ)은 S가 0이 아닌 임의의 소량 측정 세트를 포함하지 않는 경우에만 해당됩니다^p.

어느 조건도 르베그 측도의 실제 라인에 적합하지 않습니다.어느 경우든 동일연산자가 제1의 경우 L에서^qp L로^p, 제2의 경우 L에서 L로, 제2의^q 경우 L에서 L로 이어지는 유계선형 맵인 경우에는 삽입이 연속적이다.(이는 닫힌 그래프 정리와 L 공간의^p 성질에 따른 결과이다.)실제로, 영역 S가 유한 측도를 갖는다면, Hölder의 부등식을 사용하여 다음과 같은 명시적 계산을 할 수 있다.

로 이어지다

위의 부등식에서 나타나는 상수는 항등식^q I: L(S, μ) → L^p(S, μ)의 연산자 노름이 정확히 다음과 같다는 점에서 최적이다.

f = 1μ-거의 모든 곳에서 정확하게 균등성이 달성되는 경우.

고밀도 서브스페이스

이 항에서는, 1 「p<」라고 상정하고 있습니다.

(S, δ, μ)를 측정공간으로 한다.S 위의 적분 가능한 단순 함수 f는 형태 중 하나이다.

여기서_j a는 스칼라이고, A_j ∈ has has has finite finite finite finite finite finite 、 1 $（$ \ $displaystyle$ {$}_{$$A_$${$j$}$）는$$ 집합 $j$의 지시 함수이며, j = 1, ..., n의 경우, 적분 가능한 단순 함수의 벡터 공간은 L(s)로^p 조밀하고,

S가 정상 위상 공간이고 δ 그 보렐 δ–대수, 즉 열린 집합을 포함하는 S의 부분 집합 중 가장 작은 δ–대수인 경우 더 많은 것을 말할 수 있다.

V s S가 μ(V) < ∞ μ μ μ μ μ μ μ a ∈ σ contained contained μ 0 suppose suppose suppose suppose suppose suppose suppose suppose 0 0 suppose suppose suppose suppose suppose suppose suppose suppose suppose suppose suppose suppose with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with

따라서 연속 Urysoon 함수 0 ≤ 1 1 1이 S에 존재하며, 이는 F에 1이고 S u U에 0이다.

만약 S가 유한한 측정값을 갖는 열린 집합의 증가 시퀀스_n(V)로 커버될 수 있다면, p-적분 가능한 연속 함수의 공간은 L(S, δ, μ)로^p 조밀하다.보다 정확하게는 열린 집합_n V의 바깥쪽으로 사라지는 유계 연속 함수를 사용할 수 있다.

이는 특히 S^d = R일 때 그리고 μ가 르베그 측정값일 때 적용된다.연속적이고 콤팩트하게 지원되는 함수의 공간은 L(R^d)로^p 조밀하다.마찬가지로, 적분 가능한 단계 함수의 공간은 L(R^d)에서^p 조밀하다. 이 공간은 d = 1일 때 유계 구간의 지시자 함수의 선형 범위이며, d = 2일 때 유계 구간의 곱이다.

L(R^d)에서^p 일반 기능의 몇 가지 특성은 먼저 연속적이고 콤팩트하게 지원되는 기능(때로는 단계 기능)에 대해 증명된 후 모든 기능에 밀도로 확장된다.예를 들어, 다음과 같은 의미에서^d L(R) 상에서^p 번역이 계속된다는 것이 증명됩니다.

어디에

L^p(0 < p < 1)

(S, δ, μ)를 측정공간으로 한다.만약 0 < p < 1이면, L^p(μ)은 위와 같이 정의될 수 있다: 이것은 다음과 같은 측정 가능한 함수 f의 벡터 공간이다.

앞에서와 같이, 우리는 p-norm f_p =_p N( f ^1/p)을 도입할 수 있지만, 이 경우 ·는_p 삼각 부등식을 만족시키지 못하고, 단지 준 정규만을 정의한다.a, b ality 0에 유효한 부등식(a + ^pb) a^p a + b는^p 다음을 의미한다. (Rudin 1991, 1 1.47)

그래서 그 기능은는 L(μ)에^p 대한 메트릭입니다.그 결과 메트릭스페이스가 완성됩니다.검증은 p † 1의 경우와 비슷합니다.

이 설정에서^p L은 역 민코프스키 부등식, 즉 L의^p u에 대한 부등식을 만족한다.

이 결과는 클락슨의 부등식을 증명하는 데 사용될 수 있으며, 클락슨은 1 < p < †에 대한 공간^p L의 균일한 볼록성을 확립하는 데 사용된다(Adams & Fournier 2003).

0 < p <1 의 공간^p L 은 F 공간입니다.이 공간에서는 벡터 공간 연산이 연속되는 완전한 변환 불변 메트릭을 허용합니다.또한 대소문자 p 1 1과 같이 국소적으로 한정되어 있습니다.대부분의 합리적인 측정 공간에 대해 국소적으로 볼록하지 않은 F 공간의 원형 사례입니다. θ^p 또는^p L([0, 1])에서 0 함수를 포함하는 모든 열린 볼록 집합은 p-준규범에 대해 경계가 없습니다. 따라서 0 벡터는 볼록 근방의 기본 시스템을 가지고 있지 않습니다.특히, 측정 공간 S가 유한 양의 측정값의 분리된 측정값 집합의 무한 패밀리를 포함할 경우, 이는 사실이다.

L([0, 1)에서^p 비어 있지 않은 볼록 열린 집합은 전체 공간(Rudin 1991, § 1.47)이다.따라서 L([0, 1)에는 0이^p 아닌 선형 함수가 없습니다. 이중 공간은 0 공간입니다.자연수에 대한 계수 측정(배열 공간^p L(μ) = θ^p 생성)의 경우, θ에^p 대한 경계 선형 함수는 정확히 θ에¹ 대한 경계 선형 함수, 즉 θ에^∞ 있는 배열에 의해 주어진 함수이다.에는^p 사소하지 않은 볼록 오픈세트가 포함되어 있습니다만, 토폴로지의 기초가 되는 충분한 오픈세트가 없습니다.

선형 함수가 없는 상황은 분석을 수행할 목적으로 매우 바람직하지 않습니다.R에 대한ⁿ 르베그 측정의 경우, 0 < p < 1에 대해 L로^p 작업하는 것이 아니라, 가능한 한 Hardy 공간^p H로 작업하는 것이 일반적이다. 이는 점끼리 구별할 수 있는 선형 함수를 상당히 많이 가지고 있기 때문이다.그러나 Han-Banach 정리는 여전히 p < 1에 대해 H에서^p 실패한다(Duren 1970, § 7.5).

L⁰, 측정 가능한 함수의 공간

(S, δ, μ) 위의 측정 가능한 함수의 (등가 등급) 벡터 공간은 L(S, δ, μ)로⁰ 표시된다(Kalton, Peck 및 Roberts 1984).정의상 모든 L을^p 포함하며 측정 컨버전스 토폴로지를 갖추고 있습니다.μ가 확률 측도일 때(즉, μ(S) = 1) 이 수렴 모드를 확률에서 수렴이라고 합니다.

이 설명은 μ가 유한할 때 더 쉽다.μ가 (S, δ)에 대한 유한 측도일 경우 0 함수는 다음과 같은 근린계 측정을 위한 수렴을 허용한다.

토폴로지는 형식의 임의의 메트릭 d로 정의할 수 있습니다.

여기서 θ는 [0, θ]에서 연속 오목하고 비변화이며, t > 0일 때 θ(0) = 0, θ(t) > 0이다(예: θ(t) = min(t, 1)).이러한 메트릭을 L의⁰ 경우 Levy-metric이라고 합니다.이 메트릭에서는 공간⁰ L이 완전합니다(또한 F 공간입니다).공간⁰ L은 일반적으로 국소적으로 한정되지 않으며 국소적으로 볼록하지 않습니다.

R에 대한ⁿ 무한 르베그 측도의 경우, 근린 기본 시스템의 정의는 다음과 같이 수정될 수 있다.

결과 공간⁰ L(Rⁿ, δ)은 임의의 양의 δ–적분 밀도 g에 대해 L(Rⁿ, g(x) d((x)와⁰ 위상 벡터 공간으로서 일치한다.

일반화와 확장

약한^p L

(S, δ, μ)를 측정공간으로 하고, f는 S에 실수값 또는 복소값을 갖는 측정가능함수이다.f의 분포 함수는 t ≤ 0에 대해 다음과 같이 정의됩니다.

f가 L(S, μ)에^p 있고, p가 1µp < θ인 p일 경우, 마르코프 부등식에 의해,

함수 f는 모든 t > 0이 되는 상수 C > 0이 있으면 공간 약^p L(S, μ) 또는 L^p,w(S, μ)에 있다고 한다.

이 부등식에 대한 가장 좋은 상수 C는 f의 L-노름이며^p,w, 다음과 같이 표시됩니다.

약한^p L은 로렌츠 공간^p,∞ L과 일치하므로, 이 표기법은 그것들을 나타내기 위해서도 사용됩니다.

삼각 부등식이 유지되지 않기 때문에 L-노름은^p,w 진정한 표준이 아닙니다.단, L(S, μ)의^p f에 대해서는

특히^p L(S, μ) l^p,w L(S, μ)이다.

사실, 한 사람은

권력 1/p를 끌어올리고 t1에서 우세를 점하는 것.

거의 모든 곳에서 두 함수가 같은 μ이면 두 함수는 같다는 규칙에 따라 공간^p,w L이 완성된다(Grafakos 2004).

임의의 0 < r < p 식에 대해서

L-norm에^p,w 필적합니다.또한 p > 1의 경우, 이 식은 r = 1일 때 규범을 정의합니다.따라서 p > 1의 경우 약한^p L 공간은 Banach 공간(Grafakos 2004)입니다.

L-공간을^p,w 사용하는 주요 결과는 Marcinkiewicz 보간 정리이며, 이는 고조파 분석과 단일 적분 연구에 광범위하게 적용된다.

가중치^p L 공간

이전과 같이 측정공간(S, δ, μ)을 고려한다.w : S → [a, θ], a > 0을 측정 가능한 함수라고 하자.w-가중치^p L 공간은 L(S, w dμ)로^p 정의되며, 여기서 w dμ는 다음에 의해 정의된 측정치 θ를 의미한다.

또는, 라돈-니코딤 유도체의 관점에서 w = dµ/dμ L(S, w dμ)에 대한^p 규범은 명시적으로 다음과 같다.

L(S, w dμ)은^p L(S, dμ)과 같으므로^p L-공간으로서^p 가중공간은 특별한 것이 없다.조화 분석(Grafakos 2004년)에 여러 결과에 대해 1을<>를 하지만 그들은 자연 체계;그들은 예를 들어Muckenhoupt 정리에 표시됩니다., p<>∞ 고전적인 힐베르트 변환 Lp(T, λ)이 T와 르베그 측정 λ은 단 위원을 나타낸다에 정의되어 있습니다;전(비선형)Hardy–Littlewood 최대 사업자 Lp(Rn에 경계를 이루고 있다., λ cm이다.Muckenhoupt의 정리는 힐버트 변환이 L(T, w dλ)에서 경계를^p 유지하고 L(Rⁿ, w dλ)에서^p 최대 연산자를 유지하도록 가중치 w를 기술한다.

다지관의^p L 공간

밀도를 사용하여 다지관의 고유 L^p 공간이라고 불리는 다지관상의 공간^p L(M)을 정의할 수도 있다.

벡터 값 L^p 공간

측정 공간(X, δ, μ) 및 국소 볼록 공간 E가 주어졌을 때, p-적분 가능한 E-값 함수의 공간을 여러 가지 방법으로 정의할 수도 있다.이들 중 가장 일반적인 것은 보치너와 페티스의 적분 가능 함수의 공간이다.로컬 볼록공간의 텐서 곱을 사용하여 각각 ${\displaystyle L_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}X,\delta }$,${\displaystyle }$μ)${\$ ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle L_${\mu$}^{p}\left(X,\Sigma,\mu$\right$)\$$otimes{\displaystyle {}_{}^{}}$ _${\pi$${\displaystyle {}_{}^{}}$$}E}$ 및$$ ${\displaystyle L_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}(X,}$ ${\displaystyle {\mu }_{})}$로 $정의$할 수 있습니다${\displaystyle .{}_{}}$$⊗$ {$displaystyle$ \$otimes _$ { \ pi$$$$} $and$${\displaystyle {}_{}}$、 $（$ \$displaystyle$ \$otimes$_ { \ $varepsilon$} ） ${\displaystyle {the}_{}}$ 、 （ \ displaystyle \otimes _ { \ varepsilon } ）${\displaystyle {}_{}}$the the 、 the convex convex convex convex spaces spaces spacesE가 핵 공간일 때, 그로텐디크는 이 두 구조가 구별할 수 없다는 것을 보여주었다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

• 를 클릭합니다Adams, Robert A.; Fournier, John F. (2003), Sobolev Spaces (Second ed.), Academic Press, ISBN 978-0-12-044143-3.
• 를 클릭합니다Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9.
• 를 클릭합니다DiBenedetto, Emmanuele (2002), Real analysis, Birkhäuser, ISBN 3-7643-4231-5.
• 를 클릭합니다Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linear operators, volume I, Wiley-Interscience.
• Duren, P. (1970), Theory of H^p-Spaces, New York: Academic Press
• 를 클릭합니다Grafakos, Loukas (2004), Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson Education, Inc., pp. 253–257, ISBN 0-13-035399-X.
• 를 클릭합니다Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and abstract analysis, Springer-Verlag.
• Kalton, Nigel J.; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984), An F-space sampler, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 89, Cambridge: Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511662447, ISBN 0-521-27585-7, MR 0808777
• Riesz, Frigyes (1910), "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen", Mathematische Annalen, 69 (4): 449–497, doi:10.1007/BF01457637, S2CID 120242933
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
• Titchmarsh, EC (1976), The theory of functions, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853349-8

외부 링크

• "Lebesgue space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• L스페이스가 완전하다는^p 증거