아스트로이드

아스트로이드(Astroid)는 특정한 수학적 곡선이다: 네 개의 쿠스를 가진 하이포시클로이드.구체적으로는 반지름의 4배에 달하는 고정된 원 안에서 굴러가면서 원 위의 점의 중심점이다.^[1]이중 생성에 의해 반지름의 4/3배인 고정된 원 안에서 굴러가면서 원의 점의 중심점이 되기도 한다.또한 각 축의 끝점을 유지하면서 이동하는 고정 길이의 선 세그먼트의 포락선으로 정의할 수 있다.그러므로 아르키메데스의 트라멜에 있는 움직이는 바의 봉투다.

그것의 현대적인 이름은 "별"이라는 그리스어에서 유래되었다.그것은 원래 "아스트로이스"의 형태로 1838년 조셉 요한 폰 리트로에 의해 제안되었다.^[2][3]곡선은 테트라쿠스피드(아직도 사용중), 큐보시클로이드(cubocycloid), 패러시클(paracycle) 등 다양한 이름을 가지고 있었다.그것은 타원의 방종과 형태가 거의 같다.

방정식

고정 원의 반지름이 a일 경우 방정식은 다음과^[4] 같이 주어진다.

${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\,}$

이것은 아스트로이드 또한 초자연적인 존재라는 것을 암시한다.

모수 방정식은

${\displaystyle {\sin t-}&x=a\cos ^{3}t={a \over 4}(3\cos t+\cos 3t),\\[6pt]&y=a\sin ^{a \over 4}(3\sin t-\sin 3t).\end{정렬}}}$

원점에 대한 페달 방정식은

${\displaystyle r^{2}=a^{2}-3p^{2},}$

윌웰 방정식은

${\displaystyle s={3a \over 4}\cos 2\varphi ,}$

그리고 체사로 방정식은

${\displaystyle R^{2}+4s^{2}={\frac {9a^{2}}{4}}.}$

극^[5] 방정식은

${\displaystyle r={\frac {a}{(\cos ^{2/3}\theta +\sin ^{2/3}\theta )^{3/2}}.}$

아스트로이드(Astroid)는 0종의 평면 대수곡선의 진짜 중심점이다.그것은^[6] 방정식을 가지고 있다.

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2}^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0.\,}$

그러므로 아스트로이드는 6도의 실제 대수 곡선이다.

다항식 유도

다항식 방정식은 라이프니츠의 방정식에서 기초 대수학으로 도출할 수 있다.

${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\,}$

양면 큐브:

${\displaystyle x^{6/3}+3x^{4/3}y^{2/3}+3x^{2/3}y^{4/3}+y^{6/3}=a^{6/3}\,}$

${\displaystyle x^{2}+3x^{2/3}y^{2/3}(x^{2/3}+y^{2/3})+y^{2}=a^{2}\,}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-a^{2}=-3x^{2/3}y^{2/3}(x^{2/3}+y^{2/3})\,}$

양면 다시 큐브:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}=-27x^{2}y^{2}(x^{2/3}+y^{2/3})^{3}^{3}\,}$

그러나 그 이후:

${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\,}$

그 뒤를 잇는다.

${\displaystyle(x^{2/3}+y^{2/3})^{3}=a^{2}.\,}$

따라서 다음과 같다.

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}=-27x^{2}y^{2}a^{2}\,}$

또는

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2}^{3}+27x^{2}y^{2}a^{2}=0.\,}$

메트릭 속성

동봉된^[7] 영역

${\displaystyle {\frac {3}{8}\pi a^{2}}$

곡선 길이

$(\displaystyle 6a}$

X 축 주위에 둘러싸인 영역의 회전 표면 볼륨.

${\displaystyle {\frac {32}{3}\pi a^{3}}$

X축에 대한 회전 표면적

${\displaystyle {\frac {12}{5}\pi a^{2}}$

특성.

아스트로이드에는 항성의 점인 실제 평면에 4개의 첨탑 특이점이 있다.무한대에는 2개의 복잡한 첨두 특이점이 있고, 4개의 복잡한 이중 점이 있어 총 10개의 특이점이 있다.

아스트로이드에 대한 이중 곡선은 방정식 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2y\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$. ${\$을(를) 갖는 십자가형 곡선이다.$$ 아스트로이드의 퇴행은 아스트로이드의 두 배나 큰 것이다.

아스트로이드에는 각 방향 방향에 접선이 하나만 있어 고슴도치의 본보기가 된다.^[8]

참고 항목

• 흉부외과(서브 하나가 있는 에피시클로이드)
• 네피로이드(쿠스 2개가 있는 에피시클로이드)
• 델토이드(쿠스 3개가 있는 하이포시클로이드)
• Stoner-Wohlfarts는 자석학에서 이 곡선을 사용했다.
• 스피로그래프

참조

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. pp. 4–5, 34–35, 173–174. ISBN 0-486-60288-5.
• Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 10–11. ISBN 0-14-011813-6.
• R.C. Yates (1952). "Astroid". A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. pp. 1 ff.

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 아스트로이드와 관련된 미디어가 있다.

• "Astroid", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Astroid". MathWorld.
• MacTutor History of Mathics 아카이브의 "Astroid"
• 놀라운 수학 형식 백과사전 "아스트로이드"
• 2dcurves.com에 대한 기사
• 특수 평면 곡선 시각 사전, 자 리
• 샨도르 카바이의 아스트로이드 막대, 울프램 데모 프로젝트.