다지관 밀도

수학, 특히 미분 기하학에서 밀도는 본질적인 방법으로 통합될 수 있는 가변적인 다지관의 공간적으로 변화하는 수량이다.추상적으로 밀도는 밀도 묶음이라 불리는 특정 선다발의 한 부분이다.x에서 밀도 번들의 요소는 x에서 n의 주어진 접선 벡터에 의해 확장되는 병렬로토프에 볼륨을 할당하는 함수다.

운영적 관점에서 밀도는 좌표 변화에서 자코비안 결정요인의 절대값과 곱해지는 좌표 차트의 함수 모음입니다.밀도는 s-density로 일반화할 수 있으며, s-dises는 좌표표표현에 야코비안 결정요인의 절대값의 s-번째 검정력을 곱한다.지향성 다지관에서는 M의 n-폼으로 1-덴티티를 표준적으로 식별할 수 있다.방향성이 없는 다지관에서는 밀도다발이 M의 방향다발과 TM의^∗ n번째 외부 제품다발의 텐서 제품이기 때문에 이 식별을 할 수 없다(가성다지관 참조).

동기(벡터 공간의 결함)

일반적으로 n차원 벡터 공간 V에서 벡터 v₁, ..., v에_n 의해 생성된 병렬로토프에 대한 "볼륨"의 자연적인 개념은 존재하지 않는다.단, 함수 μ를 정의하고자 하는 경우 : V × ... × 그러한 병렬로토프에 볼륨을 할당하는 V → R.는 다음 특성을 만족해야 한다.

• 벡터 v_k 중 하나에 any ∈ R을 곱한 경우에는 부피에 λ을 곱해야 한다.
• 벡터 v₁, ..., v_j−1, v, v_j+1, ...의_n 선형 조합이 벡터 v에_j 추가되면 볼륨은 불변성을 유지해야 한다.

이 조건들은 V에 대한 번역-불변량 측정에 의해 μ가 주어진다는 문구와 동등하며, μ는 다음과 같이 다시 인화될 수 있다.

${\displaystyle \mu(Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\왼쪽 \det A\right \mu(v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL}(V).}$

그러한 모든 매핑 μ : V × ... × V → R을 벡터 공간 V의 밀도라고 한다.(v₁, ..., v_n)가 V의 기본이라면, μ(v₁, ..., v_n)를 고정하면 μ가 완전히 고정된다는 점에 유의하십시오. V에 있는 모든 밀도의 설정된 Vol(V)이 1차원 벡터 공간을 형성한다는 점에 유의하십시오.V의 n-폼 Ω은 다음과 같이 V의 밀도 Ω을 정의한다.

${\displaystyle \omega(v_{1},\ldots,v_{n}):= \omega(v_{1},\ldots,v_{n}}.}$

벡터 공간의 방향

모든 함수의 OR(V) 설정 o : V × ... × 만족하는 V → R

${\displaystyle o(Av_{1},\ldots ,Av_{n}}=\operatorname {sign}(\det A)o(\detail A)o(v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL}(V)})}$

1차원 벡터 공간을 형성하며, V에 대한 방향은 o(v₁, ..., v_n) = 모든 선형₁ 독립 v, ..., v_n. V에 대한 비제로 n-폼 Ω은 o o o o Or(V)와 같은 o o o o o o Or(V)의 두 요소 중 하나이다.

${\displaystyle o(v_{1},\ldots,v_{n}) \omega(v_{1},\ldots,v_{n}),}$

그리고 그 반대로 모든 o ∈ Or(V)와 모든 밀도 μ ∈ Vol(V)은 다음과 같이 V에 n-form Ω을 정의한다.

${\displaystyle \omega(v_{1},\ldots,v_{n})=o(v_{1},\ldots,v_{n})\mu(v_{1},\ldots,v_{n}).}$

텐서 제품 공간 측면에서,

${\displaystyle \operatorname {Or}(V)\otimes \operatorname {Vol}=\bigwedge ^{n}V^{*},\quad \operatorname {V}=\Or}\otimes \bigwedge ^{n}V^{*}}}}}}}$

벡터공간의 s-점수

V의 s-density는 함수 μ : V × ... × V → R 이렇게 해서

${\displaystyle \mu(Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\왼쪽 \det A\right ^{s}\mu(v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL}(V).}$

s-density는 밀도와 마찬가지로 1차원 벡터 공간 Vol^s(V)을 형성하며, V의 n-폼 Ω은 V의 s-밀도 Ω을 정의한다.

${\displaystyle \omega ^{s}(v_{1},\ldots ,v_{n}):= \omega(v_{1},\ldots ,v_{n} ^{s}.}$

s-₁ 및 s-density₂ μs와₁ μs의₂ 산물은 a (s+s₁₂)-밀도 μs를 형성한다.

${\displaystyle \mu(v_{1},\ldots ,v_{n}):=\mu _{1}(v_{1},\ldots ,v_{n})\mu _{2}(v_{1},\ldots ,v_{n}).}$

텐서 제품 공간의 관점에서 이 사실은 다음과 같이 말할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Vol} ^s_{1}(V)\otimes \operatorname {Vol} ^{s_{2}}(V)=\operatorname {Vol} ^{s_{1}+s_{2}}(V).}$

정의

형식적으로는 다른 다지관 M의 s-밀도다발 Vol^s(M)을 관련다발구축에 의해 획득하여 1차원 그룹표현에 얽히게 된다.

${\displaystyle \rho (A)=\왼쪽 \det A\right ^{-s},\quad A\in \operatorname {GL}(n)}$

M의 프레임 다발을 가진 일반 선형 그룹의.

결과 라인 번들은 s-denity의 번들로 알려져 있으며, 다음과 같이 표시된다.

${\displaystyle \left \Lambda \right \{M}^{s}=\left \Lambda \right ^{s}(TM)}$

1밀도는 단순히 밀도라고도 한다.

보다 일반적으로, 관련 번들 구조는 또한 M의 벡터 번들 E로부터 밀도를 구성할 수 있게 한다.

세부적으로 (U_α,1963_α)이 M에 대한 좌표 차트의 지도책이라면, ${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle M_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$}^{s$}}}}}}$의 로컬 사소한 부분화와 연관되어 있다.

${\displaystyle t_{\alpha }:\왼쪽 \Lambda \right _{M}^{M}}}{U_{\alpha }}}\phi _{\alpha }}}\times \mathb {R}}}}}}}}}}}}}$

관련 GL(1)-코크라이클이 만족하는 오픈 커버 U에_α 종속된다.

${\displaystyle t_{\displaystyle \cHB_}=\왼쪽 \det(d\phi _{\phodes _{\phi _{\phodes }^{-1}\right ^{-s}.}$

통합

밀도는 다지관의 통합 이론에 중요한 역할을 한다.실제로 밀도의 정의는 좌표 변화 하에서 측정 dx가 어떻게 변화하느냐에 따라 동기가 부여된다(Folland 1999, 섹션 11.4, 페이지 361-362).

좌표도 U에서_α 지원되는 1-밀도 ƒ에 따라 적분은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \int _{U_{\alpha }\int _{\fi_{\alpha }}t_{\alpha }}\circle f\pi _{\alpha }^{-1}d\mu }$

여기서 후자의 적분은 R에ⁿ 대한 르베그 측정에 관한 것이다.Jacobian 변수의 변경과 함께 1-지수에 대한 변환 법칙은 서로 다른 좌표 차트의 중복에 대한 호환성을 보장하며, 따라서 압축적으로 지원되는 일반 1-밀도의 적분은 통합 논거의 분할에 의해 정의될 수 있다.따라서 1-상태는 다지관의 방향을 정하거나 방향성을 정하지 않아도 되는 볼륨 형태의 개념을 일반화한 것이다.Riesz-Markov-Kakutani 표현 정리를 이용하여$$ ${\displaystyle \lambda \mathrm{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 분포 부분으로서 라돈 측정의 일반 이론을 더 일반적으로 개발할 수 있다.

The set of 1/p-densities such that ${\displaystyle \phi _{p}=\left(\int \phi ^{p}\right)^{1/p}<\infty }$ is a normed linear space whose completion ${\displaystyle L^{p}(M)}$ is called the intrinsic L^p space of M.

관습

일부 영역, 특히 정합성 기하학에서는 다른 가중치 관행이 사용된다. s-denity의 번들은 대신 문자와 연관된다.

$\displaystyle \rho (A)=\왼쪽 \det A\right ^{-s/n}.}$

예를 들어, 이 규칙을 통해 1-이 아닌 n-이지를 통합한다.또한 이러한 관습에서, 등정 메트릭은 무게 2의 텐서 밀도로 식별된다.

특성.

• ${\displaystyle \lambda \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 듀얼 벡터 번들은 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle M_{}^{}}$- s ${\$이다$.$
• 텐서 밀도는 텐서 묶음을 가진 밀도 번들의 텐서 생산물의 부분이다.

참조

• Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-20062-8.
• Folland, Gerald B. (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (Second ed.), ISBN 978-0-471-31716-6, provides a brief discussion of densities in the last section.{{citation}}: CS1 maint : 포스트스크립트(링크)
• Nicolaescu, Liviu I. (1996), Lectures on the geometry of manifolds, River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-2836-1, MR 1435504
• Lee, John M (2003), Introduction to Smooth Manifolds, Springer-Verlag