일반화 평균

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수학에서 일반화 평균(또는 Otto ^[1]Hölder의 검정력 평균 또는 Hölder 평균)은 숫자 집합을 집계하기 위한 함수 집합이다.여기에는 피타고라스 평균(산술, 기하학 및 조화 평균)이 포함됩니다.

정의.

p가 0이 아닌 $실수$이고 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle x_{}}$n(\$displaystyle x_{1},\dots,x_{n})$이 양의 실수일 경우 이들 양의 실수 p를 갖는 일반화 평균 또는 검정력 평균은 다음과 같습니다.^[2]

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots,x_{n}=\leftflac\frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}x_{p}\right)^{1}/{p}}.}$$

(p-norm 참조).p = 0의 경우 기하 평균(아래에서 입증되었듯이 지수가 0에 근접한 평균의 한계)과 동일하게 설정합니다.

$${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots,x_{n})=\left(\display_{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}.}$$

또한 일련의 양의 무게_i w에 대해 가중 전력 평균을 다음과 ^[2]같이 정의한다.

$${\displaystyle M_{p}(x_{1}\dots,x_{n}=\leftfrac {sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{p}{\sum _{i=1}^{n_{i}}}{\w_{i}}}\sum_{{{{n}}}\right)^{1}/{{p}}\f}$$

$${\displaystyle M_{0}(x_{1}\dots,x_{n})=\left(\display_{i=1}^{n}x_{i}\right)^1/\sum_{i=1}^{n}w_{i}(\right)}.}$$

가중되지 않은 평균은 모든_i w = 1 설정에 해당합니다.

특수한 경우

a = x₁ = M_∞ 및 b = x₂ = M인_−∞ n = 2에 대해 지정된 사례 중 일부를 시각적으로 나타낸 것:

조화 평균, H = M₋₁(a, b),

기하 평균, G = M₀(a, b)

산술 평균, A = M₁(a, b)

2차 평균, Q = M₂(a, b)

p의 몇 가지 특정 값은 고유한 이름을 ^[3]가진 특수한 경우를 산출합니다.

최소의

${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots,x_{n})=\lim _{p}(x_{1},\dots,x_{n})=\min\{x1},\displaystyle,x_{n}}\lim _{p}$

조화 평균

$({displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots,x_{n})=param frac {n}{\frac {1}{x_{1}}+\param +{\frac {1}{x_{n}}}}}}}}}}}}}$

기하 평균

${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots,x_{n})=\lim _{p}(x_{1},\dots,x_{n})=sqrt[{n}\cdot \cdot \cdot x_{n}}}}}}$

산술 평균

${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots,x_{n})=flac {x_{1}+\flac +x_{n}}{n}}}$

평균 제곱근
또는 2차^[4][5] 평균

$({displaystyle M_{2}(x_{1},\dots,x_{n})={frac {x_{1}^{2}+\flac +x_{n}^{n}}}})$

입방 평균

${\displaystyle M_{3}(x_{1},\dots,x_{n})=sqrt[{3}{\frac {x_{1}^3}+\frac +x_{n}^3}}{n}}}}}}$

최대치

$\displaystyle M_{+\infty }(x_{1},\dots,x_{n})=\lim_{p}(x_{1},\dots,x_{n})=\max\{x_1},\displaystyle,x_{n}\}}.$

$\underset{}{\mathrm{im}}$ p $\underset{}{\to }$ $\underset{}{}{}_{}$ $M_{}$ p $=$ ${}_{}$ { $textstyle \lim$_ {$p\to$ 0$}M_{p$}= $M_{0}}$의 $\underset{}{증명}$ 지수 함수를 사용하여 M의 정의를_p 다시 작성할 수 있습니다.

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},x_{n})=\exp(\ln {left(\sum _i=1}^{n}w_{i}x_{p}\right)=\exp{1/p}\exp(\left={i})_{i}}}{p}}\오른쪽)}}$$

한계 p → 0에서, 우리는 지수 함수의 인수에 로피탈의 법칙을 적용할 수 있다.p에 대한 분자와 분모를 구분하면,

$${{displaystyle}\lim _{p\to 0}{frac {left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{p}\오른쪽)p/&=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}\&=\ln {left(\lp _ {i=1}^{n}x_{i}}{w_{i}}\right}\end {aligned}}}}$$

지수 함수의 연속성에 의해, 우리는 다시 위의 관계에 대입하여 얻을 수 있다.

$$\displaystyle _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots,x_{n}=\exp {left(\ln _i=1}{n_{i}^{w_{i}}\right)=\exp _{i=1}{n_{i}{n_{i}{i}{i}}{w}{i}}{w}{i}{i}}}{i}}{i}{i}}{i}{i}}{i}}{i}}}}}{i}}{$$

$\underset{}{lim}$ p $\underset{}{\to }$ $\underset{}{\mathrm{\infty }}$ $\underset{}{}{}_{}$ $p_{}$ ${}_{}$ ${}_{}$ ${\$ { $textstyle \lim$_ {$p\to$ \infty } $M_{p$} $→$ $M_{\$$infty$$$}} $\underset{}{및}$ $\underset{}{lim}$ p ${}_{}$ -$\underset{}{\mathrm{}}{}_{}$ $M_{}$ -${\$ {$textstyle$ \$lim$_ {$p\to$-\infty }$M_{p$ }의 $\underset{}{증명}$

(아마도 용어를 다시 붙여 조합한 후) ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle {}_{}}$ \ $display x_{1}$ \ $geq$\ $dots$\ $geq x_{n$ 이라고 $가정$합니다.

$${\displaystyle {p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots,x_{n})&=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _i=1}{n}w_{i}x_{p}\right)&{p}\end { aligned}}$$

$M$${\displaystyle {}_{}}$-$$ { $display style$ M _ { - \ $infty }$ } ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{1{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{M{}_{}{}_{}}{}}$µ (${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{}{}_{}\frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$, ${\displaystyle {\mathrm{...}}_{}}$ ,${\displaystyle \frac{x{}_{}}{}{}_{}\frac{n_{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ .$${ \ $display style$ M _ { \ $infty$} ( x$_$ { 1 , \ $infty$ } ( x _ 1 )$=$ { display $style$ M _ { $n }$ } m$m$ m ${\displaystyle {}_{}}$ m${\displaystyle {}_{}}$m 。$}$

특성.

${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle x_{}}$n(\$style$ x_${1},\dots,x_{n})$을 양의 실수의 연속이라고 $가정$하고 다음 속성을 유지합니다.^[1]

1. ${\displaystyle min}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1, ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle x_{}}$n )${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$p ( ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle x_{}}$n )${\displaystyle max}$max ( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle ...}$, ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ $){$ $displaystyle \min$($x$_ {1} , x$_$ { $n$) \$leq M$_ { $p$} ( $x _$ { n$}$ ) $\ leq$ \ $max$ ( x _ { n } , { $nots$)
   일반화 평균은 항상 x 값 중 가장 작은 값과 가장 큰 값 사이에 있습니다.
2. $displaystyle M_{p}(x_{$=$M_{p$}(P$(x_{$1},\$dots,x_{$n$\}),$ $여기$서$$P ${\displaystyle$ P$$$}$는 치환 연산자입니다.
   각 일반화 평균은 인수의 대칭 함수이며, 일반화 평균의 인수를 허용해도 값은 변경되지 않습니다.
3. ${\displaystyle M_{}}$p ( ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x_{}}$n ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle b{}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$p ( ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$) { $displaystyle M_{p}(bx_{n$}) =$$b$\cdot M_{$p}($x_{1},\dots,x_{$n$\}).$
   대부분의 수단과 마찬가지로 일반화 평균은 인수₁ x, ${\displaystyle ...,}$ x의_n 균질함수이다.즉, b가 양의 실수일 경우, ${\displaystyle b}$x ${\displaystyle x_{}}$ x ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ { $style$ b$\cdot x_{1},\dots,b\cdot x_n}$는 일반화 평균의 b배와₁ 같다.
4. $k$$M_{p}\left [M_{p}(x_{1},\dots,x_{$k}),$M_{p}(x_{k+1}),\dots,M_{$p}($x_{n-1)\cdot$ k$+1$},\$dots,\cdots_{x})$
   준산술 평균과 마찬가지로 평균의 계산은 동일한 크기의 하위 블록의 계산으로 나눌 수 있다.이를 통해 필요에 따라 분할 및 정복 알고리즘을 사용하여 평균을 계산할 수 있습니다.

일반화 평균 부등식

두 개의 서로 다른 양수 a와^[6] b의 최대(a, b) > 평균 제곱근(RMS) 또는 2차 평균(QM) > 산술 평균(AM) > 기하 평균(GM) > 조화 평균(HM) > 최소(a, b)라는 단어가 없는 기하학적 증명

일반적으로 p < q일 경우

$$\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots,x_{n})}$$

부등식은 p와 q의 실제 값과 양의 무한대 값에 대해 참입니다.

모든 진짜 p에 대해서 사실에서 비롯된다.

$${\displaystyle\frac\partial p}M_{p}(x_{1},\dots,x_{n})\geq 0}$$

특히 {-1, 0, 1)의 p에 대해 일반화 평균 부등식은 산술적 및 기하학적 평균의 부등식뿐만 아니라 부등식을 의미한다.

힘의 증명은 불평등을 의미한다.

우리는 가중치가 불평등을 의미함을 증명할 것이다. 입증의 목적을 위해 우리는 일반성의 손실 없이 다음을 가정할 것이다.

$${\displaystyle {displaystyle}w_{i}\in [0,1]\sum _ {i=1}^{n}w_{i}=1\end{aligned}}$$

w = 1/n으로_i 치환하면 무가중력 평균에 대한 증명을 쉽게 얻을 수 있습니다.

반대 부호의 평균 간 부등식 등가

지수 p와 q가 고정되는 검정력 평균 사이의 평균을 가정합니다.

$$\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{p}\오른쪽)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{q}\오른쪽)^1/q}$$

$$\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}^{p}}\right)^1/p}\geq \left(\sum _i=1}^{n}{x_{i}^q}}{\frac {x_{i}^1/q}}}\right)$$

양쪽을 -1의 거듭제곱으로 올립니다(양수 실에서는 함수가 크게 감소합니다).

$$\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\right)^{-1/p}=\flac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_p}}\frac{1/right}\p}\p}\le 왼쪽$$

지수 -p와 -q를 가진 평균에 대한 부등식을 얻고, 동일한 추론을 거꾸로 사용할 수 있으므로 부등식이 동등하다는 것을 증명할 수 있으며, 이는 이후의 일부 증명에서 사용될 것이다.

기하 평균

q > 0 및 음이 아닌 가중치가 1인 경우 다음과 같은 부등식이 유지됩니다.

$$\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{-q}\leq \leq _{i=1}^{w_{i}\leq \left (\sum _i=1}^{n}^{n}^{i}^{i}^{i}^{i}^{i}^{i}^{i}^{i}^{i}^{i}^{-q}^{i}^{i}^{i}^{-}^{-}^{-}^{-}^{}$$

이 증명은 로그가 오목하다는 사실을 이용하여 옌센의 부등식에서 나온 것이다.

$${\displaystyle \log \n1}^{i}^{n}^{w_{i}=\sum _{i}^{n}w_{i}\log x_{i}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}$$

지수함수를 양변에 적용하고 엄격하게 증가하는 함수로 부등식의 부호를 보존하는 것을 관찰함으로써 우리는 얻을 수 있다.

$$\displaystyle _{i=1}^{n}x_{i}^w_{i}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}$$

x의_i q제곱을 취하면 양의 q와의 부등식에 대해 끝납니다. 음의 경우도 마찬가지입니다.

두 검정력 평균 간의 불평등

우리는 모든 p < q에 대해 다음과 같은 부등식이 유지된다는 것을 증명해야 한다.

$$\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{q}\right)^1/q}$$

$$\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{p}\right)^{i=1}^{n}x_{i}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}^{i}x_{i}^{i}^{q}^{i}^{i}^{i}\right)$$

양의 p와 q의 증명은 다음과 같습니다.다음₊ 함수를 정의합니다. f₊ : $=$ R f ( ${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {x\frac{}{}}^{}}$ $q$p { $displaystyle$ f$(x$) =$x^{\frac$ {q$\}\{$p$}}.$ f는 멱함수이므로 두 번째 도함수가 됩니다.

$${\displaystyle f'(x)=\leftfrac {q}{p}\right}\frac {q}-1\right}x^{\frac {q}{p}}-2}$$

이것을 사용하면 젠센의 부등식을 얻을 수 있습니다.

$${\displaystyle {displaystyle }f\left(\sum _{i=1}^{p}\right)&\leq \sum _{n}{n}w_{i}f(x_{i}^{p}\left(\sum_i}^{n}^{i}_i}{i}_i}_i}\left)$$

$$\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{q}\right)^1/q}$$

앞에서 설명한 동등성을 사용하여 각각 -q와 -p로 대체함으로써 음의 p와 q에 대한 부등식을 증명할 수 있다.

일반화 f-평균

검정력 평균은 일반화된 f-평균으로 더 일반화 될 수 있다.

$${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots,x_{n})=f^{-1}\leftsum{\frac {1}{n}\cdot \sum _{i}{f(x_{i})}}\right)}$$

f(x) = log(x)의 한계를 사용하지 않고 기하 평균을 다룹니다.검정력 평균은 f(x^p) = x에 대해 구합니다.

적용들

신호 처리

멱평균은 작은 p에 대해서는 작은 신호값으로 시프트하고 큰 p에 대해서는 큰 신호값을 강조하는 비선형 이동평균에 대응한다.라고 불리는 이동 산술 평균의 효율적인 구현이 주어졌을 때smooth다음과 같은 해스켈 코드에 따라 이동력 평균을 구현할 수 있습니다.

전원 스무스 :: 유동적인 a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a] 전원 스무스 매끄러운 p = 지도 (** 수신자 p) . 매끄러운 . 지도 (**p) 

• 큰 p의 경우 정류된 신호의 엔벨로프 검출기 역할을 할 수 있습니다.
• 작은 p의 경우 질량 스펙트럼의 기준선 검출기 역할을 할 수 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 산술-기하 평균
• 평균
• 헤론 평균
• 산술 평균과 기하 평균의 부등식
• 레머의 의미 – 파워와 관련된 평균이기도 합니다.
• 민코프스키 거리
• 준산술 평균 – 위에서 언급한 일반화 f-평균의 다른 이름
• 평균 제곱근

메모들

참고 자료 및 추가 자료

• P. S. Bullen:수단과 그들의 불평등 핸드북.네덜란드, 도르트레흐트: Kluwer, 2003, 제3장 (파워 수단), 페이지 175-265

외부 링크

• MathWorld에서의 검정력 평균
• 일반화 평균 예제
• PlanetMath에서의 일반화 평균의 증명