리프팅 이론

수학에서 리프팅 이론은 존 폰 노이만이 1931년부터 선구적인 논문을 통해 처음 소개되었는데, 이 논문에서 그는 알프레드 하르가 제기한 질문에 대답했다.^[1] 이 이론은 도로시 마하람(1958)^[2]과 알렉산드라 이오네스쿠 툴체아(1961)와 카시우스 이오네스쿠 툴체아(1961)에 의해 더욱 발전되었다.^[3] 리프팅 이론은 그것의 놀라운 적용에 의해 크게 동기 부여되었다. 1969년까지의 발전은 Ionescu Tulceas의 모노그래프에 묘사되었다.^[4] 리프팅 이론은 그 이후로 계속 발전하여 새로운 결과와 응용을 낳았다.

정의들

측정 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$ , $(X,\Sigma ,\mu )$ , $(X,\Sigma ,\mu )$ ) $(X,\Sigma ,\mu )$ 의 리프팅은 선형 $(X,\Sigma ,\mu )$ 및 곱셈 역이다.

T\colon L^{\inflt}(X,\Sigma ,\mu )\to {\mathcal {L}^{\inflt}(X,\Sigma ,\mu )

지도의

{\begin{case}{\mathcal {L}^{\nothy}(X,\Sigma ,\mu )\\f\mapsto [f]\case{}}}

where ${\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$ is the seminormed L^p space of measurable functions and $L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$ is its usual normed quotient. 즉, 모든 등가 등급 [f]의 측정 가능한 한계함수에서 리프팅은 무시해도 될 정도로 대표(이후 작성된 T([f], T[f] 또는 단순 Tf))를 기능한다.

T(r[f]+s[g])(p)=rT[f]+sT[g],\qquad \fall p\in X,r,s\in \mathbf {R} ;

[\displaystyle T(f]\times [g])(p)=T[f](p)\time T[g](p),\qquad \forall p\in X;}

T[1]=1.}

리프트는 연속 랜덤 변수가 주어진 조건부 확률 분포와 함수의 수준 집합에 대한 Lebesgue 측정의 섬유화와 같은 측정의 해체를 생성하는 데 사용된다.

리프트의 존재

정리. (X, σ, μ)가 완료되었다고 가정합시다.^[5] 그 다음 (X, μ, μ)은 조합이 X인 σ에 상호 분해되는 통합형 집합의 집합이 존재하는 경우에만 리프팅을 허용한다. 특히 (X, σ, μ)가 국소적 공간에 대한 σ-마인드^[6] 측정의 완료 또는 내부 정규 보렐 측정의 완료라면, (X, ,, μ)는 리프팅을 허용한다.

그 증거는 그 과정에서 셀 수 있는 체인과 마주칠 경우 Dob의 마팅게일 융복합 정리를 적용하면서, 더 큰 하위-알제브라까지 리프팅을 확장하는 것에 있다.

강한 리프트

(X, σ, μ)가 완성되었고 X가 완전히 규칙적인 하우스도르프 위상 τ τ ⊂ ⊂을 장착하여 무시해도 될 정도의 오픈 세트 컬렉션을 다시 무시할 수 있다고 가정하자 - (X, μ, μ)가 σ-마인 경우 또는 라돈 측정에서 나온 경우인 경우. 그 다음 μ(μ)의 지원은 가장 무시해도 되는 오픈 서브셋의 보완으로 정의할 수 있으며, 경계 연속함수의 수집_b C(X, μ)는 L ${\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$ , ${\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$ , $){\displaystyle {\mathcal{L}^{\infult }(X,\Sigma$ ,ma , $mu )$ 에 속한다 ${\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$

(X, σ, μ)를 위한 강한 리프팅은 리프팅이다.

[\displaystyle T:L^{\inful }(X,\Sigma ,\mu )\to {\mathcal{L}^{\inful }(X,\Sigma ,\mu )}

C_b(X, τ)의 모든 φ에 대해 Tφ = Supp(μ)에 φ. 이는 τ에서 모든 오픈세트 U에 대해 TU ≥(U ∩ Supp(μ))를 요구하는^[7] 것과 같다.

정리. ( (, μ)가 σ-완료되어 있고 τ가 계수 가능한 기초가 있다면 (X, ,, μ)는 강한 리프팅을 인정한다.

증명. T를₀ (X, σ, μ)와 {U₁, U₂, ...}의 리프팅이 되게 한다. τ의 카운트 가능한 기초가 된다. 무시할 수 있는 집합의 임의 지점 p에 대해

N:=\bigcup \nolimits _{n}\left\{p\in \mathrm {Supple}(\mu }):(T_{0}U_{n})(p)U_{n}(p)\right\}}

C^∞_b(X, μ)의 문자 on ((p)를 확장하는 L(X, μ, μ)에 T를_p 임의로 표시한다^[8]. 그런 다음 X의 p와 L^∞(X, σ, μ)의 [f]에 대해 다음을 정의한다.

[\displaystyle(T[f:={\begin{case}(T_{0}[f])(p)&p\notin N\\\T_{p}[f]&p\in N.\end}}}}}}

T는 원하는 강한 리프팅이다.

용도: 측정 분해

(X, σ, μ), (Y, φ, ν)는 σ-피니트 측정 공간(μ, ν 양)이며 π : X → Y는 측정이 가능한 지도라고 가정한다. ν에 관해서 μs를 따라 분해하는 것은 (X, σ)에 대한 양성 $Y\ni y\mapsto \lambda _{y}$ $σ-addive$ $조치$ 의 $Y\ni y\mapsto \lambda _{y}$ Y $Y\ni y\mapsto \lambda _{y}$ $Y\ni y\mapsto \lambda _{y}$ $Y\ni y\mapsto \lambda _{y}$ { { { { { { { { { { { ${$ { { { { { { ${$ { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { {

λ은_y y에 대한 $\pi ^{-1}(\{y\})$ $\pi ^{-1}(\{y\})$ - $\pi ^{-1}(\{y\})$ ( $\pi ^{-1}(\{y\})$ { $\pi ^{-1}(\{y\})$ $\pi ^{-1}(\{y\})$ ) ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{y\}})$ 섬유로 운반된다.

\{y\}\Phi \\;\mathrm {and} \;\lambda _{ybda _{y-}\reft(X\setminus \pi ^{-1(\{y\}\오른쪽)=0\qquad \forall y\in Y

μ-적분함수 f마다

\int \{X}f(p)\\mu(dp)=\int _{Y}\left(\int _\pi ^{-1}(p)(p)\,\lambda _{y}(dp)\nu(dy)\qad*

ν-거의 Y의 거의 모든 y에 대해 f는 integr-integrable_y, 함수

y\mapsto \int _{\pi ^{-1}(\{y\}})f(p)\,\podda _{y}(dp)

ν-integrated이며, 표시된 동등성(*)은 유지된다.

분해는 다양한 상황에서 존재하며, 증거는 다양하지만 거의 모든 것이 강한 리프트를 사용한다. 여기 다소 일반적인 결과가 있다. 그것의 짧은 증거는 일반적인 맛을 준다.

정리. X가 폴란드 공간이고^[9] Y가 분리 가능한 하우스도르프 공간이며, 둘 다 보렐 σ알게브라를 갖추고 있다고 가정하자. X와 π에서 μ는 fin-피니트 보렐 측정값으로 한다 : X → Y a, φ-측정가능 지도. 그 다음 Y에 대한 σ-피니트 보렐 측정치와 분해(*)가 존재한다. μ가 유한하면 μ를 푸시포워드^[10] μ로_∗ 하고, 그 다음 μ는_y 확률로 취할 수 있다.

증명. X의 광택성 때문에 X의 콤팩트한 하위 집합이 있는데, 이 하위 집합은 상호 불가분하며, 그 조합은 무시해도 좋을 정도의 보어를 가지고 있으며, 그 위에 π은 연속적이다. 이 관측은 X와 Y가 모두 콤팩트하고 π이 연속적이며 μ_∗ = μμ의 경우로 문제를 감소시킨다. ν에 따라 φ을 완성하고 (Y, ,, for)에 강한 리프팅 T를 고정한다. 한계 μ-측정 가능한 함수 f를 주어진다면, $\lfloor f\rfloor$ $\lfloor f\rfloor$ $\lfloor f\rfloor$ ${\displaystyle \lfloor$ f $\rfloor }$ 은 π(f μ)에 따른 조건부 기대, 즉 μ(f μ_∗)에 대한 π_∗(f μ)을^[11] 나타내도록 $\lfloor f\rfloor$ 한다. 그런 다음 Y의 모든 $\lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).$ 에 대해 $\lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).$ y $\lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).$ ( $\lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).$ ) $\lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).$ $\lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).$ ( $\lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).$ $\lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).$ $\lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).$ ) $\lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).$ ( $\lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).$ ) $\lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).$ . ${\displaystyle \lambda _{y}(f):$ $=T(\llloor f\rfloor )(y).$ $}}$ 이것이 해체를 정의한다는 것을 보여주는 $\lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).$ 것은 장부상의 문제로서 적절한 푸비니 정리에 관한 것이다. 리프팅의 강도가 어떻게 들어가는지 보려면 다음을 참고하십시오.

\lambda _{y}(f\cdot \varphi \circ \pi )=\varphi (y)\lambda _{y}(f)\qquad \forall y\in Y,\varphi \in C_{b}(Y),f\in L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )

그리고_b C(Y)에서 positive(y) = 1로 모든 양의 φ에 대해 최소치를 취한다. λ의_y 지원은 y보다 섬유에 있다는 것이 명백해진다.

참조

^ von Neumann, John (1931). "Algebraische Repräsentanten der Funktionen "bis auf eine Menge vom Maße Null"". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in German). 1931 (165): 109–115. doi:10.1515/crll.1931.165.109. MR 1581278.
^ Maharam, Dorothy (1958). "On a theorem of von Neumann". Proceedings of the American Mathematical Society. 9 (6): 987–994. doi:10.2307/2033342. JSTOR 2033342. MR 0105479.
^ Ionescu Tulcea, Alexandra; Ionescu Tulcea, Cassius (1961). "On the lifting property. I." Journal of Mathematical Analysis and Applications. 3 (3): 537–546. doi:10.1016/0022-247X(61)90075-0. MR 0150256.
^ Ionescu Tulcea, Alexandra; Ionescu Tulcea, Cassius (1969). Topics in the theory of lifting. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 48. New York: Springer-Verlag. MR 0276438. OCLC 851370324.
^ 부분 집합 N ⊂ X는 무시할 수 있는 σ 집합의 부분 집합에서 σ에 있는 모든 통합 가능 집합과 교차할 경우 국소적으로 무시할 수 있다. (X, σ, μ)는 국소적으로 무시할 수 있고 σ에 속할 경우 완성된다.
^ 즉, σ의 유한한 측정 집합인 통합 가능한 집합의 집합이 존재하며, 이 집합은 기본 집합 X를 포함한다.
^ U, Supp(μ)은 지표 함수로 식별된다.
^ 단수대수의 문자는 단위를 1로 매핑하는 계수 필드의 값을 갖는 승수 선형 함수다.
^ 토폴로지가 완전한 미터법에서 나온다면 분리 가능한 공간은 폴란드어다. 현 상황에서는 X가 서슬린, 즉 광택이 나는 공간의 연속적인 하우스도르프 이미지라고 요구해도 충분할 것이다.
^ μ 이하 μ의 푸시포워드 μμ의_∗ μμ는 μ 아래의 μ의 이미지로도 불리며 μ $\nu (A):=\mu \left(\pi ^{-1}(A)\right)$ $\nu (A):=\mu \left(\pi ^{-1}(A)\right)$ $\nu (A):=\mu \left(\pi ^{-1}(A)\right)$ A $\nu (A):=\mu \left(\pi ^{-1}(A)\right)$ : μ( $\nu (A):=\mu \left(\pi ^{-1}(A)\right)$ ) ${\$ ): $\nu (A):=\mu \left(\pi ^{-1}(A)\right)$ 로 정의한 φ의 측정값이다. $=\mu \left(\pi ^{-1}(A)\right$ )}의 A에 $\nu (A):=\mu \left(\pi ^{{-1}}(A)\right)$ 대한 $\$ mu \left.
^ fμ는 μ에 대해 농도 f를 갖는 측정값이다.

[1] von Neumann, John (1931). "Algebraische Repräsentanten der Funktionen "bis auf eine Menge vom Maße Null"". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in German). 1931 (165): 109–115. doi:10.1515/crll.1931.165.109. MR 1581278.

[2] Maharam, Dorothy (1958). "On a theorem of von Neumann". Proceedings of the American Mathematical Society. 9 (6): 987–994. doi:10.2307/2033342. JSTOR 2033342. MR 0105479.

[3] Ionescu Tulcea, Alexandra; Ionescu Tulcea, Cassius (1961). "On the lifting property. I." Journal of Mathematical Analysis and Applications. 3 (3): 537–546. doi:10.1016/0022-247X(61)90075-0. MR 0150256.

[4] Ionescu Tulcea, Alexandra; Ionescu Tulcea, Cassius (1969). Topics in the theory of lifting. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 48. New York: Springer-Verlag. MR 0276438. OCLC 851370324.

[5] 부분 집합 N ⊂ X는 무시할 수 있는 σ 집합의 부분 집합에서 σ에 있는 모든 통합 가능 집합과 교차할 경우 국소적으로 무시할 수 있다. (X, σ, μ)는 국소적으로 무시할 수 있고 σ에 속할 경우 완성된다.

[6] 즉, σ의 유한한 측정 집합인 통합 가능한 집합의 집합이 존재하며, 이 집합은 기본 집합 X를 포함한다.

[7] U, Supp(μ)은 지표 함수로 식별된다.

[character-8] 단수대수의 문자는 단위를 1로 매핑하는 계수 필드의 값을 갖는 승수 선형 함수다.

[9] 토폴로지가 완전한 미터법에서 나온다면 분리 가능한 공간은 폴란드어다. 현 상황에서는 X가 서슬린, 즉 광택이 나는 공간의 연속적인 하우스도르프 이미지라고 요구해도 충분할 것이다.

[10] μ 이하 μ의 푸시포워드 μμ의_∗ μμ는 μ 아래의 μ의 이미지로도 불리며 μ $\nu (A):=\mu \left(\pi ^{-1}(A)\right)$ $\nu (A):=\mu \left(\pi ^{-1}(A)\right)$ $\nu (A):=\mu \left(\pi ^{-1}(A)\right)$ A $\nu (A):=\mu \left(\pi ^{-1}(A)\right)$ : μ( $\nu (A):=\mu \left(\pi ^{-1}(A)\right)$ ) ${\$ ): $\nu (A):=\mu \left(\pi ^{-1}(A)\right)$ 로 정의한 φ의 측정값이다. $=\mu \left(\pi ^{-1}(A)\right$ )}의 A에 $\nu (A):=\mu \left(\pi ^{{-1}}(A)\right)$ 대한 $\$ mu \left.

[11] μ는 μ에 대해 농도 f를 갖는 측정값이다.

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