파투 보조정리

수학에서 파투의 보조정리기는 일련의 함수의 열등함수에서 열등함수까지의 르베그 적분과 이러한 함수의 통합의 열등함수와의 관계에서 불평등을 설정한다. 보조정리기는 피에르 파투의 이름을 따서 명명되었다.

파투의 보조정리법은 파투-레베그 정리, 르베그 지배적인 수렴정리 등을 증명하는 데 사용할 수 있다.

표준문

다음에 나오는 B R${\displaystyle {{}_{}}_r}$ ${\displaystyle {0_{}}_{}}$ ${\$$}$$_{\geq$ 0$}}$은${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$, +${\displaystyle \mathrm{}}$] ${\displaystyle ]}${\$displaystyle [0,$ + ] $]$에 설정된 보렐의 {$${\$displaystystyledown$}을 의미한다$$.

파투의 보조정리기는 그것의 가정들이 거의 모든$$ 곳에서 $[\displaystyle \mu$}-을(를) 유지한다면 그대로 유지된다. In other words, it is enough that there is a null set ${\displaystyle N}$ such that the sequence ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ non-decreases for every ${\displaystyle {x\in X\setminus N}.}$ To see this, note that the integrals appearing in Fatou's lemma are unchanged if we change each function $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$에$.$

증명

파투의 보조정리에는 단조로운 융합정리가 필요없지만 후자를 이용하면 빠른 증거를 제시할 수 있다. 통합의 정의에서 직접 입증된 증거는 아래에 더 자세히 설명되어 있다.

각각의 경우 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n{}_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{inf}}$ ${\displaystyle \underset{}{k}}$ ${\displaystyle \underset{}{\ge n}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\$의 속성을 분석하는 것으로 입증은 시작된다$.$ 이를 통해 다음을 만족시킬 수 있다.

1. ${\displaystyle {시퀀스}_{}}{\displaystyle }${ ${\displaystyle {gn}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle {}_{}}$ n ${\$은(는) 어느 x에서나 점으로 표시되며
2. ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\$$\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ $∈$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ {\$displaystyle$ \$forall$n\$in$ \$mathb {N$

Since ${\displaystyle f(x)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }\inf _{k\geq n}f_{k}(x)=\lim _{n\to \infty }{g_{n}(x)}}$, we immediately see that f is measurable.

모노톤 컨버전스 정리를 통해

게다가

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}\lim _{n}g_{n}\,d\mu }$

모노톤 컨버전스 정리 및 속성(1)에 의해 한계와 적분을 상호 교환할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{X}f\,d\mu &=\lim _{n}\int _{X}g_{n}\,d\mu \\&=\liminf _{n}\int _{X}g_{n}\,d\mu \\&\leq \liminf _{n}\int _{X}f_{n}\,d\mu ,\end{aligned}}}$

여기서 마지막 단계는 특성(2)을 사용했다.

출처: "첫 번째 원칙"

모노톤 수렴 정리가 "숨겨져 있지 않다"는 것을 증명하기 위해, 아래의 증명은 여기에 확립된 것을 제외하고는 르베그 적분 성질을 전혀 사용하지 않는다.

Denote by ${\displaystyle \operatorname {SF} (f)}$ the set of simple ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-measurable functions ${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$ such that ${\displaystyle 0\leq s\leq$$$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의$$f$}.$

이제 우리는 주요 정리를 살펴본다.

증거가 완전하다.

엄격한 불평등의 예

공간 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 Borel al-algebra 및 Lebesgue 측정을 장착한다.

• 확률 공간의 예제: Let $S{\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle S=[0,1]}$은(는) 단위 간격을 나타낸다$$. $모든{\displaystyle }$ 자연수 n ${\displaystyle n}$에 대해 정의$$

${\displaystyle f_{n}(x)={\display{case}n&{\text{{}in (0,1/n),\\0&{\text{data.}}}\end{case}}$

• 균일한 수렴의 예: $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은(는) 모든 실수의 집합을 나타내도록$$ 한다. 정의

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{n}{n}}{{n}}{{n}}{{n}}}{{n}}}}}}{{n}}}}}}}}}}}}{\text{n}}}{\text{ndata.}}}\end{case}}$

이러한 시퀀스$({\displaystyle {fn}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {n\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ N ${\$${$$n\in${n$}}} \mathb{$$N}}}}}}$은(의존적으로 균일하게) Zero 함수(영합성)로 수렴하지만$$, ${\displaystyle {모든}_{}}$ $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\$f_${n$}에는 일체형이 있다$$.

비부정성의 역할

다음₁ 예에서 알 수 있듯이 Fatou의 보조정리에는 함수 f₂, f, . .의 음의 부분에 관한 적절한 가정이 필요하다. S는 보렐 σ-알게브라와 르베그 측도(Lebesgue)로 반선[0,197]을 나타낸다. 모든 자연수에 대해 n 정의

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac{1}-{n1}{n}{n}{n}{n}}{\text{{}}{{n}}}}{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}{ntext{\text{n}{ndata.ndata.}}}\end{case}}$

이 시퀀스는 S에서 0 함수로 균일하게 수렴되고 한계치인 0은 한정된 수의 스텝에 도달한다: 모든 x ≥ 0에 대해, n > x일 경우, f_n(x) = 0. 그러나, 모든 함수_n f에는 적분 -1이 있다. 파투의 보조정리와는 달리 이 값은 엄격히 제한의 정수(0)보다 적다.

§ Extension 및 아래의 Fatou의 보조정리 변종에서 논의한 바와 같이, 문제는 아래로부터의 시퀀스에 균일한 통합이 가능한 바인딩이 없는 반면, 0은 위에서 바인딩된 균일화라는 것이다.

역파투 보조정리

f₁, f₂, . . . 측정 공간에 정의된 확장된 실제 값 측정 가능한 함수의 시퀀스가 되도록 한다(S,σ,μ). 모든 n에 대해 f f_n g와 같이 S에 음이 아닌 통합 가능한 함수 g가 있는 경우,

${\displaystyle \limsup _{n\to \int_{S}f_{n}\,d\mu \leq \int_{S}\limsup _{n\infty \n}\,d\mu .}$

참고: 여기서 g 통합은 g를 측정할 수 있고 and < ${\$

증거 스케치

We apply linearity of Lebesgue integral and Fatou's lemma to the sequence ${\displaystyle g-f_{n}.}$ Since ${\displaystyle \textstyle \int _{S}g\,d\mu <+\infty ,}$ this sequence is defined ${\displaystyle \mu }$-almost everywhere and non-negative.

Fatou의 보조정리 확장 및 변형

통합 가능한 하한

f₁, f₂, . . . 측정 공간에 정의된 확장된 실제 값 측정 가능한 함수의 시퀀스가 되도록 한다(S,σ,μ). 모든 n에 대해 f f_n -g와 같은 통합 가능한 함수 g가 S에 존재한다면,

${\displaystyle \int _{S}\liminf _{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\ft_{n}\int _{S}f_{n}\,d\mu .}$

증명

f_n + g가 준 비음성 시퀀스에 파투의 보조정리기를 바른다.

포인트와이즈 수렴

앞의 설정에서 시퀀스 f₁, f₂, . . .이 S의 거의 모든 곳에서 f μ-alm 함수로 점으로 수렴되는 경우,

${\d디스플레이 스타일 \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infit }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,}$

증명

f는 거의 모든 곳에서_n f 함수의 하한에 동의해야 하며, 0의 측정에 따른 통합 및 통합의 값은 적분 값에 영향을 미치지 않는다는 점에 유의한다.

측정의 수렴

마지막 주장은 또한 만약 시퀀스₁ f₂, f, . .가 함수 f로 측정되어 수렴된다면 유지된다.

증명

다음과 같은 부속이 있다.

${\displaystyle \lim_{k}\int_{S}f_{n_{k}\,d\mu =\liminf _{n\ft_{n}\int_{S}f_{n}\,d\mu .}$

이 부속도 f로 측정하여 수렴하기 때문에, 거의 모든 곳에 점으로 수렴되는 추가 부속이 존재하기 때문에, 파투의 보조정리 변형이 이 하위계열에 적용 가능하다.

다양한 척도를 가진 파투의 보조정리

파투의 레마(Lemma)의 위의 모든 진술에서, 단일 고정 측정 μ에 대해 통합을 실시했다. μ는_n 측정 가능한 공간(S,RCM)에 대한 일련의 측정값이라고 가정합시다(측정값의 수렴 참조).

${\displaystyle \mu _{n}(E)\to \mu(E))에 ~\all E\in {\mathcal {F}.}$

그렇다면_n, f 비 음의 통합 가능한 함수와 f가 그들의 점괘 한계보다 낮은 경우, 우리는

${\디스플레이 스타일 \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infit }\int _{S}f_{n}\,d\mu _{n}.}$

증명

우리는 여기서 좀 더 강한 것을 증명할 것이다. 즉, 우리는n f가 S의 부분집합 E의 거의 모든 곳에 μ-알로 수렴할 수 있도록 할 것이다. 우리는 그것을 보여주기 위해 노력한다. $\d 디스플레이 스타일 \int _{E}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infit }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}\,}$ 내버려두다 ${\displaystyle K}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ E ${\displaystyle f{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle K=\{x\in$ E $f_{n}(x)\rightarrow f(x$ 그 다음 μ(E-K)=0 및 ${\displaystyle \int \{E}f\,d\mu =\int _{E}f_{n}\,d\mu =\int _{E-K}f_{n}\,d\mu ~\all n\in \mathb {N}}}$ 따라서 E를 E-K로 대체하면 f가n E의 점괘 f로 수렴된다고 가정할 수 있다. 다음으로, 간단한 기능에 대해 φ 우리는 ${\디스플레이 스타일 \int _{E}\phi \,d\mu =\lim _{n\to \infit }\int _{E}\phi \,d\mu _{n}.}$ 따라서, 르베그 적분(Lebesgue Integrity)의 정의에 의해, 만약 φ이 f보다 작거나 같은 음이 아닌 단순함수라면, 그 다음이라는 것을 보여주기에 충분하다. ${\displaystyle \int _{E}\pi \,d\mu \leq \liminf _{n\f_{n}\ft \,d\mu _{n}}}}}$ a를 φ의 최소 비 음수 값이 되도록 한다. 정의 ${\displaystyle A=\{x\in E \phi(x)>a\}}$ first E${\displaystyle {}_{}\mu }$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle \mu }$ =${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu$=\$flt$}. 그 μ(A)는 무한정 존재해야 한다$.$ $\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu \leq M\mu (A),}$ 여기서 M은 해당 φ에 도달하는 (필요적으로 유한한) 최대값이다. 다음으로, 우리는 정의한다. ${\displaystyle A_{n}=\{x\in E f_{k}(x)]a~\\all k\geq n\}}$ 우리는 그것을 가지고 있다. ${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{n}\Rightarrow \mu(\bigcup _{n}A_{n}})=\inflt.}$ 그러나 A는n 함수의 중첩된 증가 순서로, 따라서 μ 미만의 연속성에 의해, ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$→${\displaystyle \underset{}{\mathrm{}}}$μ ${\displaystyle \underset{}{}(A_{}}$n )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle \lim _{n\오른쪽$ 화살표 $\infit }\mu$(A_{$n})=\infit$ $.\}.$ 그러므로, ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$→${\displaystyle \underset{}{\mathrm{}}{\mu n}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{A}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\mu s}}$ =${\displaystyle \mathrm{}}$μs =${\displaystyle }$μs${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \inft }\mu _{n}($A_{$n})=\mu(A_{n})=\inft$ 동시에 ${\displaystyle \int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}\geq a\mu _{n}(A_{n})\Rightarrow \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}=\infty =\int _{E}\phi \,d\mu ,}$ 이 사건에서 그 주장을 증명하는 것. 남은 경우는 < ${\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu <\inflt }.$ 우리는 그 μ(A)가 유한해야 한다 위와 같이 φ의 최대값을 M으로 나타내고 ε>0을 수정한다. 정의 $[\displaystyle A_{n}=\{x\in E f_{k}(x)](1-\epsilon )\phi(x)~\all k\geq n\}.}$ 그n 다음 A는 조합이 A를 포함하는 집합의 내포 증가 시퀀스다. 따라서 A-A는n 교차점이 비어 있는 집합의 감소 순서다. A는 측정이 유한하므로(이 때문에 두 가지 경우를 따로 고려해야 했다) $\displaystyle \lim _{n\오른쪽 화살표 \infit }\mu(A-A_{n})=0.}$ 따라서, 다음과 같은 것이 존재한다. $\displaystyle \mu(A-A_{k})<\epsilon ,~\all k\geq n.}$ 그러므로, 그 이후부터. ${\displaystyle \lim _{n\to \ft }\mu_{n}(A-A_{k})=\mu(A-A_{k}),}$ 다음과 같은 N이 존재한다. $\displaystyle \mu _{k}(A-A_{k})<\epsilon ,~\all k\geq N.}$ 따라서 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k\geq N}$의 경우 ${\displaystyle \int _{E}f_{k}\,d\mu_{k}f_{k}\,d\mu_{k}},d\mu_{k}\epsilon (1-\epsilon )\int _{A_{k}}\pi \d\mu_{k}.}$ 동시에 ${\displaystyle \int _{E}\pi \,d\mu \,{k}=\int _{A_{k}=\nt _{k}}}\phi \,d_{k}+\int _{A-A_{k}}}}\pi \,d\pi _{k}.}$ 그러므로 ${\displaystyle (1-\epsilon )\int _{A_{k}\pi \,d\mu \{k}\geq (1-\epsilon )\int _{E}\d\pi \{A-A_{k}}\pi \d\pi \.}$ 이러한 불평등을 결합하면 다음과 같은 것을 준다. ${\displaystyle \int _{E}f_{k}\,d\mu _{k}\geq (1-\epsilon )\int _{E}\phi \,d\mu _{k}-\int _{A-A_{k}}\phi \,d\mu _{k}\geq \int _{E}\phi \,d\mu _{k}-\epsilon \left(\int _{E}\phi \,d\mu _{k}+M\right).}$ 따라서 ε을 0으로 보내고 임신을 n으로 하면, 우리는 그것을 얻는다. ${\displaystyle \liminf _{n\f_{n}\int _{E}f_{n}\,d\mu _{k}\geq \int _{E}\pi \,d\mu ,}$ 증빙서류를 완성하는 것.

조건부 기대를 위한 파투의 보조정리

확률론에서, 표기법의 변경에 의해, 위의 ${\displaystyle 버전}$의 파투의 보조마사는 확률공간에 정의된 무작위 변수₁ X, ${\displaystyle F}$₂, .$$.의 시퀀스$(\Oba$에 적용 가능하다$.$ 또 조건부 기대감에 대한 버전도 있다.

표준 버전

Let X₁, X₂, . . . be a sequence of non-negative random variables on a probability space ${\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ and let ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}}$ be a sub-σ-algebra. 그러면

${\displaystyle \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big }\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n} {\mathcal {G}}]}$ almost surely.

참고: 음이 아닌 랜덤 변수에 대한 조건부 기대는 항상 잘 정의되며, 유한 기대는 필요하지 않다.

증명

표기법 변경 외에도 위의 파투의 보조정리 표준 버전의 증명과 매우 유사하지만 조건부 기대치에 대한 단조로운 수렴 정리를 적용해야 한다.

X는 X의_n 한계를 나타내도록 하라. 모든 자연수 k에 대해 랜덤 변수를 점으로 정의

${\displaystyle Y_{k}=\inf _{n\geq k}X_{n}.}$

그런 다음 Y₁, Y₂, . 시퀀스가 증가하여 X로 점으로 수렴한다. k ≤ n의 경우 Y_k ≤ X가_n 있기 때문에

${\displaystyle \mathbb{E}}$[ ${\displaystyle {}_{}}$ k ${\displaystyle G{}_{}\mathcal{}}$ ${\displaystyle ]\le }$ ${\displaystyle {}_{}}$ [ ${\displaystyle X{}_{}\mathcal{}}$ n G ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {E} [Y_{k} {\mathcal{G}]\leq \mathb {E}[X_{n} {\mathcal {G}]}$은(는) 거의$$ 확실하다.

조건부 기대의 단조로움으로, 따라서.

${\displaystyle \mathbb{E}}$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle G{}_{}\mathcal{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \underset{}{inf}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$ n ${\displaystyle \underset{}{\ge }}$ k ${\displaystyle \underset{}{E}}$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle G{}_{}\mathcal{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {E} [Y_{k} {\mathcal {G}]\leq \inf _{n\gq k}\mathb {E} [X_{n}}${\$mathcal}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ 거의 확실하다$$.

왜냐하면 예외적인 확률 0 집합의 계수 가능한 결합은 다시 null 집합이기 때문이다. X의 정의, Y의_k 포인트와 같은 한계로서 그것의 표현, 조건부 기대치에 대한 단조로운 수렴 정리, 마지막 불평등, 그리고 한계의 정의 등을 이용하여, 거의 확실하게 그것을 따른다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbb{E}{\Bigl[}\liminf_{n\to \infty}X_{n}\,{\Big}\,{\mathcal{G}}{\Bigr]}&, =\mathbb{E}[X{\mathcal{G}}]=\mathbb{E}{\Bigl[}\lim_{k\to \infty}Y_{k}\,{\Big}\,{\mathcal{G}}{\Bigr]}=\lim _{\inftyk\to}\mathbb{E}[Y_{k}{\mathcal{G}}]\\&, \leq \lim _{\inftyk\to}\inf _{kn\geq}\mathbb{E}는 경우에는 X_.{n}{\mathcal {G}]=\liminf _{n\to \infit }\,\mathb {E}[X_{n} {\mathcal {G}]\end{정렬}}}$

균일하게 통합 가능한 음극 부품으로 확장

Let X₁, X₂, . . . be a sequence of random variables on a probability space ${\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ and let ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}}$ be a sub-σ-algebra. 음극이 있는 경우

${\displaystyle X_{n}^{-}=\max\{-X_{n},0\},\qquad n\in {\mathb {N}},}$

조건부 기대와 관련하여, uniformly > 0에 대해 다음과 같은 c > 0이 존재한다는 점에서 균일하게 통합할 수 있다.

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\, \,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon ,\qquad {\text{for all }}n\in \mathbb {N} ,\,{\text{almost surely}}}$,

그때

${\displaystyle \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big }\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n} {\mathcal {G}}]}$ almost surely.

참고: 설정 위치

${\displaystyle X:=\liminf _{n\to \infit }X_{n}}$

만족시키다

${\displaystyle \mathb {E}[\max\{X,0\}\, \,{mathcal {G}]=\inflat ,}$

불평등의 왼쪽은 플러스 무한으로 간주된다. 부정적인 부분의 조건부 기대 또한 무한대일 수 있기 때문에 이 집합에서는 하한에 대한 조건부 기대치가 잘 정의되지 않을 수 있다.

증명

ε > 0으로 하자. 조건부 기대치에 대한 통일된 통합성 때문에 다음과 같은 c > 0이 존재한다.

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\, \,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon \qquad {\text{for all }}n\in \mathbb {N} ,\,{\text{almost surely}}.}$

이후

${\displaystyle X+c\leq \liminf _{n\to \infit }(X_{n}+c)^{+}}}$

여기서 x⁺ :=max{x,0}는 실제 x의 긍정적인 부분, 조건부 기대(또는 위의 관습)의 단조화 및 조건부 기대의 표준 버전을 의미한다.

${\displaystyle \mathbb {E} [X\, \,{\mathcal {G}}]+c\leq \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+}\,{\Big }\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb$${E} [(X_{n}+c)^{+}\, \,{\mathcal{G}}}}$ 거의$$ 확실하다.

이후

${\displaystyle (X_{n}+c)^{+}=(X_{n}+c)+(X_{n}+c)^{-}}\leq X_{n}+X_{n}^{-1}_{X_{n}^{n}^{-}}c\},},},},}$

우리는 가지고 있다.

${\displaystyle \mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\, \,{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}\, \,{\mathcal {G}}]+c+\varepsilon }$ almost surely,

이 때문에

${\displaystyle \mathbb {E} [X\, \,{\mathcal {G}}]\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [X_{n}\, \,{\mathcal {G}}]+\varepsilon }$ almost surely.

이는 그 주장을 내포하고 있다.

참조

• Carothers, N. L. (2000). Real Analysis. New York: Cambridge University Press. pp. 321–22. ISBN 0-521-49756-6.
• Royden, H. L. (1988). Real Analysis (3rd ed.). London: Collier Macmillan. ISBN 0-02-404151-3.
• Weir, Alan J. (1973). "The Convergence Theorems". Lebesgue Integration and Measure. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 93–118. ISBN 0-521-08728-7.