곱셈 연산자

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연산자 이론에서 곱셈 연산자는 함수의 일부 벡터 공간에 대해 정의된 연산자 T이며_f 함수 φ에서의 값은 고정 함수 f에 의해 곱셈에 의해 주어진다.그것은

${\displaystyle T_{f}\varphi (x)=f(x)\varphi (x)\quad }$

T의_f 영역에 있는 모든 φ과 φ의 영역에 있는 모든 x에 대하여(f의 도메인과 동일함).

이러한 유형의 연산자는 구성 연산자와 대조를 이루는 경우가 많다.곱셈 연산자는 대각 행렬에 의해 주어진 연산자의 개념을 일반화한다.더 정확히 말하면, 연산자 이론의 결과 중 하나는 힐버트 공간의 모든 자기 적응 연산자가 L² 공간의 곱셈 연산자와 단위적으로 동등하다는 것을 기술하는 스펙트럼 정리다.

예

힐버트 공간 X = L[-1², 3]의 복합 값 사각형 통합 함수를 [-1, 3] 간격으로 고려하십시오.f(x) = x를² 사용하여 연산자를 정의하십시오.

${\displaystyle T_{f}\varphi (x)=x^{2}\varphi (x)\quad }$

X의 모든 기능에 대해.이 연산자는² X = L[-1, 3]의 도메인과 Norm 9의 도메인을 가진 자체 적응형 경계 선형 연산자가 될 것이다.그것의 스펙트럼은 간격 [0, 9] ([-1, 3]에 정의된 함수 x→x의² 범위)이 될 것이다.실제로, 어떤 복잡한 숫자 λ에 대해서도, 연산자 T_f - λ은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle(T_{f}-\lambda )(x)=(x^{2}-\lambda )\varphi(x).\cHB }$

λ이 [0, 9]에 있지 않으면, 그리고 그 역이 [0, 9]에 있지 않으면, 그리고 그 역이 되는 경우에만, 되돌릴 수 있다.

${\displaystyle(T_{f}-\lambda )^{-1}(\varphi )(x)={\frac {1}{x^{2}-\lambda }}\varphi (x),}$

또 다른 곱셈 연산자야

이것은 쉽게 일반화 되어 어떤 L공간에^p 있는 곱셈 연산자의 표준과 스펙트럼의 특성을 나타낼 수 있다.

참고 항목

• 번역 연산자
• 시프트 연산자
• 전송 연산자
• 스펙트럼 분해(기능분석)

메모들

참조

• Conway, J. B. (1990). A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 96. Springer Verlag. ISBN 0-387-97245-5.