균질함수

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수학에서, 균질함수는 만약 모든 인수가 스칼라로 곱된다면, 그 값은 동질성의 정도 또는 단순히 정도라고 불리는 이 스칼라의 몇 가지 거듭제곱을 곱하는 것과 같은 여러 변수의 함수이다. 즉, k가 정수라면, n 변수의 f는 k의 동질함수이다.

${\displaystyle f(sx_{1},\ldots,sx_{n}=s^{k}f(x_{1},\ldots,x_{n}}}$

각 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $,$ {\$displaystyle x_{1$},\$ldots,x_{n}$ 및$$ $s{\displaystyle 0}$ 0$.$ {\$displaystyle$ s$\neq$ 0$.}$에 대해 지정합니다.

예를 들어, 차수 k의 균질 다항식은 차수 k의 균질 함수를 정의합니다.

위의 정의는 도메인 및 코드 도메인이 필드 F 위의 벡터 공간인 함수${\displaystyle (\mathrm{함수}}$ f : V$$ ${\displaystyle W}$ {$displaystyle$f:})로 확장됩니다.$2개$의 F-벡터 공간 사이의 V\$to$W는$$ 다음과 같은 경우$k$도(\$displaystyle$ k$)$의 균질함

$\displaystyle f(s\mathbf {v})=s^{k}f(\mathbf {v})}$

(1)

$0$이 아닌 모든 s${\displaystyle f}$F {\$displaystyle$ s$\in$ F$}$ $및$ v${\displaystyle v}$V .$${\$displaystyle$ v$\in$ V .\displaystyle v\in V$$} 이$$ 정의는 도메인이 V가 아닌 V의 원뿔인 함수, 즉 v ${\displaystyle \in }$${\displaystyle C}$ {\$displaystyle \mathbf {\in$} C$}$ ${\displaystyle C}$가 $의미$하는 것으로 일반화되어 있습니다${\displaystyle .}$0이 아닌 스칼라

몇 개의 실변수와 실벡터 공간의 함수의 경우, 위의 동일성만 0,\$displaystyle s>$ 0,\을 하고 임의의 실수 k를 균질성의 정도로 허용함으로써 양의 균질성이라고 불리는 약간 더 일반적인 형태의 동질성이 고려되는 경우가 많다.모든 균일한 실함수는 확실히 균질하다.그 반대는 사실이 아니지만, (정수도의 경우) 주어진 점 근처에서 함수의 동작을 고려함으로써 두 종류의 동질성을 구별할 수 없다는 점에서 국소적으로 참입니다.

실제 벡터 공간에 대한 노름은 균질하지 않은 양의 균질 함수의 예입니다.특별한 경우는 실수의 절대치입니다.같은 정도의 두 균질 다항식의 몫은 0도의 균질 함수의 예를 제시합니다.이 예는 투영적 스킴의 정의에 기초하고 있습니다.

정의들

균질 함수의 개념은 원래 여러 실제 변수의 함수를 위해 도입되었다.19세기 말 벡터 공간의 정의와 함께 변수 값의 튜플이 좌표 벡터로 간주될 수 있기 때문에 벡터 공간 사이의 함수로 자연스럽게 확장되었다.이 기사에 기술되어 있는 것은 보다 일반적인 견해입니다.

일반적으로 사용되는 정의는 두 가지가 있습니다.일반적인 값은 임의의 필드의 벡터 공간에 대해 작동하며 정수인 균질성의 정도로 제한됩니다.

두 번째 방법은 실수 필드 또는 더 일반적으로 순서 필드 상에서 작업하는 것으로 가정합니다.이 정의는 정의에서 발생하는 스케일 인자를 양의 값으로 제한하고, 따라서 양의 균질성이라고 하며, 혼동의 위험이 없을 때 종종 조건적 양의 값을 생략한다.양의 균질성은 더 많은 함수를 균질성으로 간주합니다.예를 들어, 절대값과 모든 규범은 확실히 균질하지 않은 균질함수이다.

스케일링 계수를 실제 양의 값으로 제한함으로써 균질성의 정도가 임의의 실수인 균질함수도 고려할 수 있다.

일반균질성

V와 W를 필드 F 위의 두 벡터 공간이라고 합니다.V의 선형 원뿔은 V의 서브셋 C이며, 모든 $x{\displaystyle }$ $(\displaystyle$ x\$in$ C$)$ 및$$ 모든 0 $이외$의 s$displaystyle$ x$\$$in$ F$)$에 대해 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x}$}$$C(\$displaystyle s$$\in$ C$)$가 $됩니다{\displaystyle }$$.$

V에서 W까지의 균질함수 f는 V에서 W까지의 부분함수로, 그 영역으로서 선형 원뿔 C를 가지며, 다음을 만족한다.

${\displaystyle f(sx)=s^{k}f(x)}$

일부 정수 k, $every{\displaystyle }$ x${\displaystyle c}$ C$,$ \$displaystyle$ x$\in$ C$,$ \$displaystyle{\displaystyle }$ x$\$ F.\$displaystyle$ s$\in$ F$.$의 경우 정수 k는 균질도 또는 단순히 f의 도라고 불립니다.

k도의 균질함수의 대표적인 예는 k도의 균질다항식으로 정의된 함수이다.두 개의 균질 다항식의 몫으로 정의되는 유리 함수는 균질 함수이다; 그 정도는 분자와 분모의 차이다; 정의의 원추는 분모의 값이 0이 아닌 점들의 선형 원뿔이다.

균질 함수는 V에서 W까지의 균질 함수 f는 V와 W의 투영 사이에 잘 정의된 함수를 정의하기 때문에 투영 기하학에서 기본적인 역할을 한다.도수 0의 균질 유리 함수(동일한 도수의 두 균질 다항식의 몫으로 정의되는 함수)는 투영 체계 Proj 구성에 필수적인 역할을 한다.

양의 균질성

실수 또는 보다 일반적으로 순서 있는 필드에 대해 작업할 때, 일반적으로 양의 균질성을 고려하는 것이 편리하며, 정의는 앞의 섹션의 정의와 완전히 동일하며 선형 원뿔 및 균질 함수의 정의에서 "non zero s"는 "s > 0"으로 대체된다.

이 변경은 양의 실염기를 갖는 지수를 잘 정의하기 때문에 (긍정적으로) 실수를 차수로 하는 균질함수를 고려할 수 있다.

정수 차수의 경우에도 균질하지 않고 확실히 균질한 유용한 함수가 많이 있습니다.이것은 특히 절대값 함수와 규범의 경우로, 모두 1등급과 확실히 균질하다.${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$0이면 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x-}$ -${\displaystyle }$x {\$displaystyle -x = x$ \$neq$ -$x$$$$}$이므로${\displaystyle }$균질하지 않다.$$$복소수{\displaystyle \mathbb{}}$ C$${\$displaystyle \mathbb {C} }$의 장과 모든 복소 벡터 공간은 실벡터 공간으로 간주할 수 있기 때문에 복소수인 경우에도 마찬가지이다.

오일러의 균질함수정리는 동질함수의 기본정리로 간주될 수 있는 양의 균질미분함수의 특성화이다.

예

간단한 예

이 함수 f(), y)cmx2+y2{\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}}학위 2:단일 민족이다.

절대적 가치와 기준

학위 1의 균질지 않은 실수의 절대 값이 긍정적으로 동차 함수,, s부터 x)의{\displaystyle sx =s)}s만약>;0,{\displaystyle s>0,}과 s))s−){\displaystyle sx =-s)}만약 s<0.{\displaystyle s<0.}

학위 1{1\displaystyle}의 진정한 숫자( 때 벡터 공간으로 진짜 숫자에 대한 복잡한 숫자들을 감안할 때 그러는 것)에 대한 복소수의 절대 값은 긍정적으로 동차 함수.그것은 진짜 숫자뿐만 아니라 복잡한 숫자 넘어 균질이 아니다.

는 동차 함수 학위 1의 더 일반적으로, 모든 규범 그리고 seminorm은 긍정적으로 동차 함수.만약 표준 또는 semi-norm는 복잡한 숫자에 대한 벡터 공간에 정의되어 있는 절대 값기 때문에, 이 벡터 공간 벡터 공간으로 긍정적으로 동차 함수의 정의를 적용하기 위해 진짜 숫자에 고려해야 한다.

선형 함수

${\displaystyle \mathrm{임의}}$의 선형 $지도{\displaystyle }$f : V ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:$필드 F 위의 벡터 공간 사이의 V$\to$W는$$ 선형성의 정의에 따라 1도의 균질이다.

$모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \}}$F {\$displaystyle$\alpha $\in {F$}} $및$ v } V . {\$displaystyle v\$in V}에 대해 지정합니다.

마찬가지로, ${\displaystyle {}_{}}$ 다중 선형 $함수{\displaystyle }$f : V ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$× ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$2 ×${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}}$ {\$style$ f$:$$V_{1}\times$ V_${2}\times \cdots$ V_${n}\to$ W$}$는 다중직선의 정의에 따라 $차수{\displaystyle }$n$,\displaystyle$ n$,\$to$$ W의 동종입니다.

$모든{\displaystyle }$ α${\displaystyle f}$F {\$displaystyle$ \alpha $\in {F}}$ 및$$ ${\displaystyle {v1\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {V1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {v2\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {V2\mathrm{}}_{}\dots ,}$ $vn$ ${\displaystyle {Vn}_{}}$. ${\displaystyle v_${1$}\in$ V_{$2}\in V_{n}$에 대해 지정합니다.

균질 다항식

n ${\displaystyle$ n$}$ 변수의$$ $모노메일$은 균일한 $함수{\displaystyle }$f : F ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}F\mathbb{}}$. { $displaystyle$ f$:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F}$ .}를$$ 정의합니다. 예를 들어, 다음과 같습니다.

도수 10의 균질성을 가지고 있다.정도는 변수의 지수의 합계입니다.이 ${\displaystyle \mathrm{예}}$에서는 ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 5}$+ 2 +${\displaystyle \mathrm{}}$3 입니다$.\$ $display$ 10 $= 5$ +$2$ +$$$3$ .$}$

균질 다항식은 같은 정도의 단수들의 합으로 이루어진 다항식이다.예를들면,

51의 입니다.균질 다항식은 균질함수도 정의합니다.

k도({$displaystyle$$$k$})$의 균질 다항식이 양수 값만 취하는 실제 계수를 갖는 경우${\displaystyle ,}$ k/${\displaystyle d}$({$displaystyle$$k$$/$d$$})의 $제곱{\displaystyle \mathrm{}}$ 1$d$로 높임으로써${\displaystyle }$k$/$d의 양의 균질 함수를 얻을 수 $있다.$} 예를$$ 들어, 다음 함수는 1등급의 균질함수이지만 균질함수는 아닙니다$.$

최소/최대

$무게{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {w1\mathrm{}}_{}\dots ,}$ $,$ {\$displaystyle w_{1},\dots,w_{n}$에 대해 다음 함수는 등급 1과 완전히 동일하지만 동일하지는 않습니다.

• ${\displaystyle min}$( ${\displaystyle x\frac{{}_{}}{}}$ 1 ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}\frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$ , ${\displaystyle ...}$ , x ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \frac{w_{}}{}}$n $){$ $displaystyle \min$\left $({\frac {x_{1}},\dots ,$ {\$frac {x_{n}}}{w_{n}}}\right$}$$ (Leontief 유틸리티)
• $frac {displaystyle \max \leftfac {x_{1},\frac {x_n},{w_n}}\right)})$

두 개의 균질 다항식의 비율로 형성된 유리 함수는 그 영역의 균질 함수이다. 즉, 분모의 0에 의해 형성된 선형 원뿔에서 벗어난다.따라서 f${displaystyle$ f$}$가 차수$$m{$displaystyle$ m$}$이고 g${$$displaystyle$ g$}$가 $차수{\displaystyle }$n$,$ {$displaystyle$n$}$인 $경우{\displaystyle }$ $g는$$$g$.$의 0에서 떨어진 차수${\displaystyle }$m -$$${displaystyle$ m-n$}$의 차수이다.

비예시

단일 변수의 균질한 실함수는 일정 c에 $대해{\displaystyle }$ x${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle c^{}}$ x$$k \ $displaystyle$x \ $mapsto cx^{k}$ 형식을 가집니다$$.따라서 아핀 $함수{\displaystyle }$ x${\displaystyle x}$x +${\displaystyle 5}$ ,$${\$displaystyle$x\$mapsto$x+5$,$$자연로그$ x${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \ln }$(${\displaystyle x)}$, {\$displaystyle$$$x$\$$mapsto$ ln $(x$$)}$ 및 ${\displaystyle {지수}^{}}$ ${\displaystyle }$ x$$ e x \ $displaystyle$x\mapsto e$^{x}$는 균질하지 않습니다.

오일러의 정리

대략적으로 말하면, 오일러의 균질함수 정리는 주어진 정도의 양의 균질함수가 정확히 특정 편미분 방정식의 해라고 주장한다.보다 정확하게는:

증명: 간단한 수식을 위해 x $=$ ( ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ )${\displaystyle }$.$${ $displaystyle \mathbf {x}$ =($x_{1},\ldots,x_{n})$로 $설정$합니다.} 첫$$ 번째 부분은 s$,$ \$displaystyle$s,\$mathbf$$$ {x}에 $대하여{\displaystyle }$ $방정식{\displaystyle f}$($s$x${\displaystyle )}$ = ${\displaystyle sk\mathbf{}}$f$(x)$= $^{k}$f(\$mathbf${$x})$의 양쪽을 구별하고 $s$가 1이 될 때 결과의 한계를 취하는 연쇄 규칙을 사용하여 산출한다$.$

그 반대는 간단한 미분 방정식을 적분함으로써 증명된다.x$(\$가 f 영역의 내부에 있다고 $가정$합니다.1에 충분히 가까울 경우 $함수$g ($$s ) $=f$ ( $s\mathbf{}$x$$) { $textstyle$g ( s ) $= f$ ($s$ \ $mathbf { x$}}는$$ 잘 정의된다.편미분 방정식은 다음을 의미한다.

이 선형 미분 방정식의 해는 ${\displaystyle g}$(${\displaystyle }$s ) ${\displaystyle =g^{}}$ ( ${\displaystyle {}^{}}$) s k$$. { $displaystyle g$ ( s ) $= g$ ($1$) $s^$ { k }$형식$을 가지고 있습니다.따라서,s가 1에 충분히 가까운 경우.편미분방정식의 해법이 모든 양의 s에 대해 정의되지 않는다면, 함수방정식은 해를 연장시킬 수 있을 것이고, 편미분방정식은 이 연장이 유일하다는 것을 암시한다.따라서 편미분방정식의 최대해 영역은 선형원뿔이며, 해법은 k도의 양의 균질이다. $◻$ \$displaystyle \square$}

$그{\displaystyle }$ 결과${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ : ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n\mathbb{}}$ $→$ R {\$displaystyle f:\mathbb${R} ^{$n}\to\mathbb${R} $}$이 연속 미분가능하고${\displaystyle }$k의 균질이라면 1차 편도${\displaystyle \mathrm{}\theta }$f /${\displaystyle \mathrm{}{}_{}}$ x$$ {\$displaystyle f/$display $x_{$r} {r$}$는$$k$}$이다${\displaystyle \mathrm{.}}$} 하나의$$ 변수에 대한 편미분 방정식을 도출하여 오일러의 정리에 의한 결과$.$

단일 실질적인 변수(nx1{\displaystyle n=1})의 함수의 경우, 정리가 학위 k의 계속해서 poxitively 동일한 미분 가능한 기능)댁+xk{\displaystyle f())=c_{+}x^{k}}x의 형태 f()), 0{\displaystyle x>0}와 f()))c− x는 k를 의미한다. {\dis $f(x)=c_{-}x^{k}($<0$.\displaystyle$ x$<0).$} $정수$ c +(\$displaystyle$ c_$$${\displaystyle {\{+\})}_{}}$와$c$ +(\$displaystyle$ c_${+})$는 절대값과 같기 때문에 반드시 같을 필요는 없습니다$.$

미분방정식에 적용

대체 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle y}$/ x {$displaystyle v=y/$x$$}는 일반 미분 방정식을 변환합니다.

$여기$서 I$(\displaystyle$ I$)$와 J$(\displaystyle$ J$)$는 분리 가능한 미분 방정식의 동질 함수이다.

일반화

모노이드 작용 하에서의 균질성

위에 제시된 정의는 모두 X$${\$displaystyle$ X$}$가 (벡터 공간이 아닌) 임의의 집합이 될 수 있고 실수는 모노이드의 보다 일반적인 개념으로 대체될 수 있는 $다음$과 같은 동질성의 보다 일반적인 개념의 특수한 경우이다.

M$(\$$displaystyle$ M$)$을 ID 요소 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle m}$ M$X$$(\displaystyle$$$X$)$와$$Y(\$displaystyle$ Y$)$를 가진 모노이드로 $하고{\displaystyle }$ X$(\displaystyle$ X$)$와 Y$(\displaystyle$ Y$)$를 모두 M$.display$ M.$Displ$의 모노이드 액션이 정의되어 있다고 $가정$합니다$.$$aystyle$ k$}$는 음수가 아닌 정수이며 f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:X\to$ Y$}$를 맵으로 $합니다{\displaystyle }$.$그러면$ $($x$$)는$$x$x$) X${\displaystyle (}$$x)$ $M$(${\displaystyle x}$)과 m$($m) M$($$x$)의 경우 m$($$x$)에 대해 k(x)와 m($x$$)$의 $차원$이 같다.

또한 M ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle M}$, m${\displaystyle m}$m ,$mapsto$ m , { $displaystyle$$$m , { displaystyle m$$}으로 $표시$되는 $함수$가 있는 경우$,$ f { $displaystyle$ f$}$는$X-displaystyle$ x\$style$ x$\$$style$ x\$displaystyle$m에$$ 대해$$M에 $대한{\displaystyle }$ k의 $절대{\displaystyle }$ 균질함수라고 합니다.$X}$ 및$$ $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle †}$ $,$ {\$displaystyle$ m$\in$ M$,}$

기능이 M$({displaystyle$ M$}({$$displaystyle$ M$})$보다$1도{\displaystyle \mathrm{}}$({$displaystyle$1)와 M$({displaystyle$M})$$보다 1도({$displaystyle$M$\})$와 동질적인 경우)는 $({$$displaystyle$ M$})$에 동질적입니다.

일반적으로 기호 ${\displaystyle m^{}}$ k$({$ m$^{k})$는 m${\displaystyle m}$M({$displaystyle$ m$\in$M})에 $대해{\displaystyle }$ 정의할 수 있으며$$k$({$$displaystyle$ k$})$는 정수가 아닌 정수$($예를 들어 M {$displaystyle$M}, $k{\displaystyle }$ {$display style$k})는$$$$ 0이 아닌 ${\displaystyle {실수}^{}}$이다.$k$$(\displaystyle$ k$)$가 정수가 아닌 $경우$에도 {$displaystyle$ m$^{k}}$이(가) 정의됩니다$.$이 경우 f${displaystyle$ f$}$가$$M({$displaystyle$M})에 대한 등급 k$({displaystyle$k})의 균일한 것으로 간주됩니다.

M$($ $스타일$ M$)$에 대한 k$(디스플레이 스타일$ k$)$의 절대 균일한 개념도 마찬가지로 일반화되어 있다.

분포(일반화된 함수)

$n$의 $연속{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $함수{\displaystyle }$f ${\displaystyle \mathbb$ {R} ^{$n}$는 다음과$$ 같은 경우에만 k$(\displaystyle$$$k$)$의 균질함수이다.

콤팩트하게 지원되는 모든 테스트 ${\displaystyle }$ $†$ {$displaystyle \varphi$ ; 및 0이 아닌 $실제{\displaystyle }$t .$${$displaystyle$ t$.}$ 동등하게$$ ${\displaystyle }$ y ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle t}$x$$, {$displaystyle$ y $= f$$${$displaystyle$f$}$의 변경은$k$의 균질함수이다.$모든{\displaystyle }$ t$\displaystyle$$$t 및$$ 모든 테스트 $함수{\displaystyle }$ $..$ {\$displaystyle$ \$varphi .}$ 마지막$$ 디스플레이에서는 분포의 균질성을 정의할 수 있습니다.$분포{\displaystyle }$ S$(\displaystyle$ S$)$는 $다음$과 같은 경우 k$(\displaystyle$ k$)$의 균질입니다.0이 아닌 모든 $실수{\displaystyle }$t {\$displaystyle$ t$}$ 및$$ 모든 테스트 $..$ {\$displaystyle \varphi.}$ 여기서$$ 꺽쇠 괄호는 분포와 테스트 함수 간의 쌍을 $나타내고{\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {\mu }_{}{\mathbb{}}^{}}$ : R ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ \$displaystyle$ \$mu$ _${t:\mathbb {R} ^{n}\$mathbb {R$}$^{n} \m} } } \mathbbb {n$$$} ^{n$} \t} } } { \mathbbbbb {n} nu \t}$mber{\displaystyle }$ t$.$ {\$displaystyle$t.}

변형

이 섹션에는 독창적인 연구가 포함되어 있을 수 있습니다. 클레임을 확인하고 인라인 인용을 추가하여 개선해 주십시오. 독창적인 연구로만 구성된 진술은 삭제되어야 한다.( 2021년 12월) (이 템플릿메시지를 삭제하는 방법과 타이밍에 대해 설명합니다)

f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:X\to$ Y$}$를 필드$$F {\$displaystyle \mathbb {F}($일반적으로 $실수{\displaystyle \mathbb{}}$R {\$displaystyle \mathbb$${$$R}}$ 또는 $복소수{\displaystyle \mathbb{}}$C {\$displaystyle$ \$mathbb${C$})$ 위의 두 벡터 공간 사이의 맵으로 $합니다{\displaystyle }$.Z{\displaystyle \mathbb{Z} 같은 scalars,},-LSB- 0, ∞){\displaystyle -LSB- 0,\infty)}, 또는 예를 들어 R{\displaystyle \mathbb{R}}의 S{S\displaystyle}세트입니다, 그 f{\displaystyle f}가 되.mw-parser-output .vanchor&gt은 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}homogeneous 끝난다고 한다. S{S\displaystyle}만약 f(s)))sf()){\textstyle f(sx)=s.$f(x))$는 x${\displaystyle \mu }$X(\$displaystyle$ x$\in$ X$)$와 $스칼라{\displaystyle }$ S$(\$$displaystyle$ s$\in$S$)$에 대해 각각이다. 예를 들어 벡터 공간 간의 모든 가산 맵은 실수 ${\displaystyle S\mathbb{}}$${\displaystyle :}$$\$$mathbb {Q}$에 대해 균질하지 않을 수 있다.${R}$ $\}$ } 。

으로 볼 수 및 .

1. (Strict) 양의 $균질성{\displaystyle :}$ ${\displaystyle f}$ ( ${\displaystyle rx}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle r}$f (${\displaystyle x}$){ $displaystyle$f ( f ( f ) $=$f ( x$$){ $displaystyle$x$\$$in$ X$}$ 모든 양의 r > { $displaystyle$ r $> 0$
   • ∈ X{\displaystyle Xx\in}과 모든non-negative 실제 r0{\displaystyle r\geq 0}.[증거 1] 하지만 ≥기 때문에 기능은 벡터 공간 또는 필드에서 평가한, 논리적으로 f(r)):)모든 x에 rf()){\displaystyle f(rx)=rf())}해당합니다 이 속성도 또한 종종, 기능을 위해 비음의 동질성을 불리v.에서 alued볼록 해석과 같은 필드에 나타나는 확장 실수${\displaystyle }$[ -${\displaystyle \mathrm{},}$ ,${\displaystyle \mathrm{}]}$ ] ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \cup }${ ±${\displaystyle \mathrm{}}$∞$$} { $displaystyle$ [ - \$infty$, \$infty$ ] = \$mathbb {R$} \cup $\{$ \$pm \infty$\}$$\ ${\displaystyle f}$ ( $displaystyle$0${\displaystyle }$\ $cdot$f ($$${\displaystyle \mathrm{x<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; 0\backslash cdot\; f(x)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/cdc18ec4ca7f7291fe9edda00ff70b2563656bb2"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:7.259ex;\; height:2.843ex;">}}$ ) ${\displaystyle \mathrm{=}}$ $f{\displaystyle }$ ( x${\displaystyle }$) ± f${\displaystyle }$)반드시 교환할 ^{[note 1]}수 있는 것은 아닙니다.
   • 이 속성은 하위 선형 함수의 정의에 사용됩니다.
   • 민코프스키 함수는 정확히 이 속성을 가진 음이 아닌 확장 실수값 함수입니다.
2. 실제 균질성:${\displaystyle }f{\displaystyle }$ ( ${\displaystyle r}$x ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle r}$f (${\displaystyle x}$ $){$ $displaystyle f$( f ) =$$f ( x$){$ $displaystyle$ x \ $in$ X$$ 모든 $실제{\displaystyle }$r { $displaystyle$ r$\}.$
   • 이 속성은 실제 선형 함수의 정의에 사용됩니다.
3. 균질성:${\displaystyle }f{\displaystyle }$ ( ${\displaystyle s}$x ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle s}$f (${\displaystyle x}$) \ $displaystyle$ f ( s x ) ${\displaystyle =}$$s$ f ( x$$) \ $displaystyle$ x \ $in X$ 모든 $스칼라$ ${\displaystyle \in }$ ( \ $displaystyle s$\ $in$ \$mathbb${ F$\}$ }
   • 이 정의는 $X의$기초가$$ 되는 $스칼라{\displaystyle \mathbb{}}$ 필드$$F ${\$$displaystyle$$\mathbb${$F}}$에 의존함을 강조합니다$.$
   • 이 속성은 선형 함수 및 선형 맵의 정의에 사용됩니다.
4. 켤레 균질성: $모든{\displaystyle }$ $x{\displaystyle x}$X {\$displaystyle$ x$\in$ X$}$ $및$$$ 모든$$ $스칼라{\displaystyle }${\$displaystyle$ s$\in \mathbb${F$\}\}$에 대해${\displaystyle }$f ( ${\displaystyle s}$x ) $= s$ )$$。
   • F ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle C\mathbb{}}${ $displaystyle$\$mathbb { F$ } = \ $mathbb${ C$$$}$인 $경우$ s$${\ （ \ $displaystyle${ s } ）는$$$$ 일반적으로$$s { $displaystyle$s$}$의 $복잡한{\displaystyle }$ 공역형을 나타냅니다. 그러나 더 일반적으로 반직선 맵과 $마찬가지$로$$s ${\displaystyle \stackrel{}{（}}$ \ $displaystyle { s$$}$ ）의 $이미지$가 될 수 있습니다.Ome 식별된 F\$style \mathbb {F$의 자기동형성$.$
   • 이 속성은 가감도와 함께 반직선 지도의 정의에서 가정된다.또한 반직선 형태의 두 좌표 중 하나가 (힐버트 공간의 내적과 같은) 이 특성을 갖는다고 가정한다.

위의 모든 정의는 $조건{\displaystyle }$f ( ${\displaystyle r}$x ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle r}$f (${\displaystyle x}$) {$style$f ( $r$${\displaystyle }$x ) ${\displaystyle =}$$$${\displaystyle rf}$ ( ${\displaystyle x}$ )$$${\displaystyle （}$ ${\displaystyle x}$） { $displaystyle f$( f ( ${\displaystyle r}$ x ) =$r$( x )로 대체함으로써 일반화할 수 있습니다.이 경우 이 정의에는 "absolute" $또는$ "absolutsolute"라는 단어가 붙습니다.예를들면,

5. $절대$ 균질성: $모든{\displaystyle }$ $x{\displaystyle }$${\displaystyle )}$ X {\$displaystyle$$x\in$ X$}$ 및$$ 모든 $스칼라{\displaystyle }$ s${\displaystyle f\mathbb{}}$F {\$displaystyle$ s$\in \mathbb {F$에 대해${\displaystyle }$f ( ${\displaystyle x}$ ) $= s$($x$ )$$。
   • 이 속성은 세미놈과 노름의 정의에 사용됩니다.

k$(\$$displaystyle$$$k)가$$ 고정 실수인 $경우{\displaystyle }$, 위의 정의는 조건$($x) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle r}$ f$x)$ $=$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle k^{}}$f(x$)$를 f${\displaystyle (}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle =}$$r k f$${\displaystyle (<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; f(rx)=r^\{k\}f(x)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/aa5658d54f960a7879e3aaae78cbec4e333e4995"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:15.12ex;\; height:3.176ex;">}$$x)$로 $치환함$으로써 더욱 일반화할 수 있습니다.f${\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$x ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$f ( ${\displaystyle x}$$$) (절대값을 사용하는 조건 등에 대해 x$$) {$displaystyle$f$($$f$) =$r$^{$k}f(x)})$인 $경우,$ 동질성은 "$도{\displaystyle }$ k$"($$특히$, 위의 모든 정의는 "도 1$($$display$ 1$)"$이라고 한다.예를 들어.

6. $모든$ $x{\displaystyle }$all$$ 및 모든 $실제{\displaystyle }$r {\$displaystyle x\in$ X$}$에 대한 $도수{\displaystyle }$k${\displaystyle }$: ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ) $=$k $f$( ${\displaystyle x}$){ $displaystyle$ f ( x ) f ( x ) f ($$x )$$} f$$ ( x { $displaystyle$ r$$} f ( x ) 。
7. $모든$ $x{\displaystyle \mu }$X 및 $모든{\displaystyle }$ 스칼라 s $F$ {\$displaystyle$$$s$\in$X$\}$에 대한 $정도{\displaystyle }$k :${\displaystyle }$f ( ${\displaystyle s}$x ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}{}^{}}$ (${\displaystyle x}$) { $displaystyle$ f ( x ) =$s^$ {k $( x$ ) f ( x ) f ( x ) } f ( x } f ( x )의 균질성
8. $모든$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle †}$ 및 모든 $실제{\displaystyle }$r {\$displaystyle$$x$$\backslash$$in$ X$\}$에 대해 $각도{\displaystyle }$ k$($r${\displaystyle x}$ )$=$ $(x)$의 절대적인 실제 균질성.
9. $모든$ $x{\displaystyle x}$$$X 및 모든 $스칼라{\displaystyle }$ s ${\displaystyle \in }$ { $displaystyle$s \$in$ \$$$mathbb${$F$의 절대 균질성$$k${\displaystyle }$: ${\displaystyle f}$ ($s$ ${\displaystyle x}$ ) $=$ $^$ { k }$f$( ${\displaystyle x}$ )$$。

${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle 0}$ { 0${\displaystyle }$}$（$ { $displaystyle$ \ $mathbb${ R } ^ {$$n } \$backslash$ \ $lbrace$$0$ \ rbrace$$$}$$k$ k ${\$k $displaystyle$ k$}$의 균일한 비제로 연속함수는 ${\displaystyle {}^{}}$>$0$일 경우에만 R $n까지 계속$ 확장됩니다$.$

「 」를 참조해 주세요.

• 균질 공간
• 삼각형 중심 함수

메모들

증명서

레퍼런스

• Blatter, Christian (1979). "20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.". Analysis II (2nd ed.) (in German). Springer Verlag. p. 188. ISBN 3-540-09484-9.

외부 링크

• "Homogeneous function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Eric Weisstein. "Euler's Homogeneous Function Theorem". MathWorld.