마르코프의 부등식

확률론에서 마르코프의 불평등은 무작위 변수의 비음수 함수가 일부 양의 상수보다 크거나 같을 확률에 상한선을 준다.It is named after the Russian mathematician Andrey Markov, although it appeared earlier in the work of Pafnuty Chebyshev (Markov's teacher), and many sources, especially in analysis, refer to it as Chebyshev's inequality (sometimes, calling it the first Chebyshev inequality, while referring to Chebyshev's inequality as the second Chebyshev inequa리트) 또는 비엔에이메의 불평등.

마르코프의 불평등(및 기타 유사한 불평등)은 확률과 기대치를 연관시키고 랜덤 변수의 누적 분포 함수에 대한 (흔히 느슨하지만 여전히 유용한) 한계를 제공한다.

성명서

X가 음이 아닌 랜덤 변수와 a > 0인 경우 X가 적어도 a일 확률은 X를 a로 나눈 값이다.^[1]

${\displaystyle \operatorname {P}(X\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E}(X)}{a}}.}$

$a{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{a}}$ = ~${\displaystyle }$⁡ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle }$( X${\displaystyle }$)$${\$displaystyle$ a$={\tilde {a}\cdot \operatorname {E}(X)}($서~> ${\displaystyle {\tilde{a}}})$로 하고, 그러면 이전의 불평등을 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {P}(X\geq {\tilde {a}\cdot \operatorname {E}(X))\leq {\frac {1}{\tilde {a}}}.}$

측정 이론의 언어에서 마르코프의 불평등은 (X, μ, μ)가 측정 공간이라면, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$는 측정 가능한 확장된 실질 가치 함수, 그리고 > > 0이라고 기술하고 있다.

${\displaystyle \mu(\{x\in X: f: \geq \varepsilon \}}\leq {1}{\frac {1}{\barepsilon }\int_{X} f \d\mu .}$

이 측정-이론적 정의를 체비셰프의 불평등이라고 부르기도 한다.^[2]

단조롭게 증가하는 기능을 위한 확장 버전

만약 φ이 비음계 실체에 대해 단조롭게 증가하는 비음계 함수라면, X는 무작위 변수, 0 0, φ(a) > 0이다.

${\displaystyle \operatorname {P}(X\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E}(\varphi (X)}}{\varphi (a)}}}.}$

0보다 큰 값에서 지원되는 X의 높은 모멘트를 사용하는 즉시 상각은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {P}(X \geq a)\leq {\frac {\operatorname {E}(X ^{n}){a^{n}}}}.}$

교정쇄

확률 사례가 일반 독자가 더 쉽게 접근할 수 있기 때문에 측정 공간이 확률 공간인 경우를 일반 사례에서 분리한다.

직감

E((X))P⁡(X<>;)⋅ E⁡(X<>;)+P⁡(X는 ≥)⋅ E⁡(XX는 ≥){\displaystyle \operatorname{E}(X)=\operatorname{P}(X<.)\cdot\operatorname{E}(XX<.)+\operatorname{P}(X\geq)\cdot\operatorname{E}(XX\geq)}이 E⁡(X<>;){\displaystyle \operatorname{E}(XX<.)}은 더 크다. 0r.v으로 낫다${\displaystyle }$조건부 기대치는 r.v. $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $a}$보다 큰 값만 고려하므로$$$$ ${\displaystyle X}$ ${\$$displaystyle$ $X}$은(는) 음이 아니며 $X ≥$ $)$은 ${\displaysty a}$보다 크다$$.

Hence intuitively ${\displaystyle \operatorname {E} (X)\geq \operatorname {P} (X\geq a)\cdot \operatorname {E} (X X\geq a)\geq a\cdot \operatorname {P} (X\geq a)}$, which directly leads to ${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)\leq$${\frac {\operatorname {E}(X)}{a$

확률-이론적 증명

방법 1: 기대의 정의로부터:

${\displaystyle \operatorname {E}(X)=\int _{-\infit }^{\inf(x)\,dx}$

단, X는 음이 아닌 랜덤 변수로서,

${\displaystyle \operatorname {E}(X)=\int _{-\int _{-\int }^{\inf(x)\,dx=\int _{0}^{\inf(x)\,dx}$

이걸로 우리가 알아낼 수 있어

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{a}xf(x)\,dx+\int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx\geq \int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx\geq \int _{a}^{\infty }af(x)\,dx=a\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=a\operatorname {Pr} (X\geq a)}$

여기서부터 ${\displaystyle a}$로 나누면$$ 다음과 같은 것을 알 수 있다.

${\displaystyle \Pr(X\geq a)\leq \operatorname {E}(X)/a}$

Method 2: For any event ${\displaystyle E}$, let ${\displaystyle I_{E}}$ be the indicator random variable of ${\displaystyle E}$, that is, ${\displaystyle I_{E}=1}$ if ${\displaystyle E}$ occurs and ${\displaystyle I_{E}=0}$ otherwise.

Using this notation, we have ${\displaystyle I_{(X\geq a)}=1}$ if the event ${\displaystyle X\geq a}$ occurs, and ${\displaystyle I_{(X\geq a)}=0}$ if ${\displaystyle X<a}$. 다음 > ${\displaystyle a>0}$을(를) 지정한다

${\displaystyle aI_{(X\geq a)}\leq X}$

만약 X< 우리가 X의 두 가능한 값{\displaystyle X\geq}≥. 생각해 어느;{\displaystyle X<.},=}0{\displaystyle I_{(X\geq)}=0(X는 ≥)고, 맑은 것이 이렇게 제가 한(X는 ≥)=0≤ X(X}. 그렇지 않으면, 우리는 X≥{\displaystyle X\geq},.어떤.${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle I_{X\geq$ a$}=1},$ 따라서$$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$= ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle aI_{X\geq$ a$}=a\leq$ X$\}.$

$E{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \operatorname {E}}$은(는) 단조롭게 증가하는 기능이기$$ 때문에 불평등의 양쪽을 모두 기대하는 것은 그것을 되돌릴 수 없다.그러므로

${\displaystyle \operatorname {E}(aI_{(X\geq a)})\leq \operatorname {E}(X).}$

이제 기대의 선형성을 이용하여 이 불평등의 좌뇌는 같은 것이다.

${\style a\\operatorname {E}(I_{(X\geq a)}}=a(1\cdot \operatorname {P}(X\geq a)+0\cdot \operatorname {P}(X<a)=a\operatorname {P}(X\geq a)).}$

그래서 우리는

${\style a\operatorname {P}(X\geq a)\leq \operatorname {E}(X)}$

그리고 0 >이기 때문에 양쪽을 a로 나눌 수 있다.

측정-이론적 증명

함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 절대값만 방정식에 입력되므로 음수가 아니라고$$ 가정할 수 있다.자, 다음에서 주어진 X의 실제 값 함수 s를 고려하십시오.

${\displaystyle s(x)={\displaystyle s(x)={\case}\varepsilon ,&#text{}f(x)\varepsilon \0,&#text{}}}}$

그러면 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle s}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \le }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle 0\leq s(x)\leq f(x)}.$르베그 적분 정의에 의해.

${\displaystyle \int_{X}f(x)\,d\mu \geq \int_{X}s(x)\,d\mu =\varepsilon \mu(\{x\in X:\,f(x)\geq \varepsilon \}}$

그리고 > ${\displaystyle \varepsilon >0}$ 이후 양쪽을 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ 으로 나누어 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle \mu(\{x\in X:\,f(x)\geq \varepsilon \}\leq {1 \over \varepsilon \}\int_{X}f\,d\mu .}$

코롤러리

체비셰프의 부등식

체비셰프의 불평등은 분산을 사용하여 랜덤 변수가 평균에서 멀리 벗어날 확률을 구속한다.구체적으로 말하자면

${\displaystyle \operatorname {P}(X-\operatorname {E}(X) \geq a)\leq {\frac {\\operatorname {Var}(X)}{a^{2}},}$

임의의 a > 0에 대해.여기서 Var(X)는 X의 분산으로, 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {Var}(X)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E}(X)^{2}]}$

체비셰프의 불평등은 마르코프의 불평등에서 무작위 변수를 고려해서 따르게 된다.

${\displaystyle(X-\operatorname {E}(X))^{2}}$

그리고$$ 마코프의 불평등이 읽는 ${\displaystyle {상수\mathrm{}}^{}}$ a${\displaystyle {}^{}}$2,$${\$displaystyle$ a$^{2},$

${\displaystyle \operatorname {P}(X-\operatorname {E}(X))^{2}\geq a^{2}\leq {\frac {\\\operatorname {Var}(X)}{a^{2}}.}$

이 주장은 요약할 수 있다(여기서 "MI"는 마르코프의 불평등 사용을 나타낸다).

${\displaystyle \operatorname {P} ( X-\operatorname {E} (X) \geq a)=\operatorname {P} \left((X-\operatorname {E} (X))^{2}\geq a^{2}\right)\,{\overset {\underset {\mathrm {MI} }{}}{\leq }}\,{\frac {\operatorname {E} \left((X-\operatorname {E} (X))^{2}\right)}}{a^{2}}={\frac {\operatorname {Var}(X)}{a^{2}}.}$

기타 Corolar(관상)

1. "단조적" 결과는 다음을 통해 증명할 수 있다.

   ${\displaystyle \operatorname {P} ( X \geq a)=\operatorname {P} {\big (}\varphi ( X )\geq \varphi (a){\big )}\,{\overset {\underset {\mathrm {MI} }{}}{\leq }}\,{\frac {\operatorname {E} (\varphi ( X ))}{\varphi (a)}}}$

2. 음이 아닌 랜덤 변수 X의 경우 X의 계량함수가 다음을 만족하는 결과:

   ${\displaystyle Q_{X}(1-p)\leq {\frac {\operatorname {E}(X)}{p},}$

   의 증거.

   ${\displaystyle p\leq \operatorname {P}(X\geq Q_{X}(1-p))\,{\overset {\underset {\mathrm {MI}{}}}}}}{\frac {\operatorname {E}(X){Q_{X}-1p}.}$

3. $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⪰}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle M\succeq 0}$을(를) 자체 적응 행렬 값 랜덤 변수와 a > 0이 되도록$$ 한다.그러면

   ${\displaystyle \operatorname {P}(M\npreseq a\cdot I)\leq {\fractorname {tr} \left(E(M)\right)}{na}}.}$

   비슷한 방식으로 보여질 수 있다.

예

소득이 없다고 가정하면 마코프의 불평등은 인구의 1/5 이상이 평균소득의 5배 이상을 가질 수 없다는 것을 보여준다.

참고 항목

• Paley-Zygmund 불평등 – 상응하는 하한
• 농도 불평등 – 무작위 변수에 대한 미행의 요약.

참조

외부 링크

• 미자르 제도에서 마르코프가 불평등을 증명하는 형식적인 증거.

이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "마코프의 불평등" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (2010년 9월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습)