사전측정

수학에서 사전 측정은 어떤 의미에서 주어진 공간에 대한 진정한 의미의 측정의 전구체인 세트 함수다.실제로 측정 이론의 근본적인 이론 중 하나는 사전 측정을 측정으로 확장할 수 있다는 것이다.

정의

R을 고정 세트 X의 서브셋 링(조합 및 상대 보완 하에서 닫힘)으로 하고 μ₀: R → [0, +³]을 세트 함수로 한다.μ는₀ 다음과 같은 경우에 사전 μ라고 한다.

\mu _{0}(\emptyet )=0

그리고, 조합이 R에 있는 쌍방향 불연속 세트의 모든 계수 가능(또는 유한) 시퀀스 {A_n}_n∈N ⊆ R에 대해,

\mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})

(

\mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})

=

\mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})

\mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})

\mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})

\mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})

)

\mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})

=

\mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})

\mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})

\mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})

\mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})

0

\mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})

n

\mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})

)

{\displaystyle \mu _{0}\left (\bigcup _{n=1}^{n

}\

n}\

compute

_{n=1}^{{n}\n

두 번째 재산은 σ-additivity라고 불린다.

따라서 사전측정이 척도가 되기 위해 누락된 것은 시그마-알지브라(또는 시그마-링)에 반드시 정의되어 있지 않다는 것이다.

카라테오도리의 확장 정리

사전 측정은 우주 X의 모든 하위 집합에 대해 정의된 외부 측정에 매우 자연스럽게 발생한다는 것이 밝혀졌다.더 정확히 말하면, μ가₀ 공간 X의 부분 집합 R의 링에 정의된 사전 측정인 경우, 설정 함수^∗ μ는 다음과 같이 정의된다.

\displaystyle \mu ^{*(S)=\inf \왼쪽\{\왼쪽.\sum _{i=1}^{\infit }\mu_{0}(A_{i}}}\right A_{i}\in R,S\s\subseteq \bigcup _{i=1}^{{i}\infitt}}}}}}

is an outer measure on X and the measure μ induced by μ^∗ on the σ-algebra Σ of Carathéodory-measurable sets satisfies $\mu (A)=\mu _{0}(A)$ for $A\in R$ (in particular, Σ includes R).빈 집합의 최소값은 + $+\infty$ $+\infit$ 로 한다 $+\infty$

(문헌에 사용된 용어에 약간의 차이가 있다는 점에 유의하십시오.예를 들어, 로저스(1998)는 이 글에서 "외부 측정"이라는 용어를 사용하는 "측정"을 사용한다.외부 측정은 일반적으로 σ-additive가 되지 않을 수 있기 때문에 측정치가 아니다.)

참고 항목

한-콜모고로프 정리

참조

Munroe, M. E. (1953). Introduction to measure and integration. Cambridge, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company Inc. p. 310. 미스터0053186
Rogers, C. A. (1998). Hausdorff measures. Cambridge Mathematical Library (Third ed.). Cambridge: Cambridge University Press. p. 195. ISBN 0-521-62491-6. MR1692618 (섹션 1.2 참조)
Folland, G. B. (1999). Real Analysis. Pure and Applied Mathematics (Second ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. pp. 30–31. ISBN 0-471-31716-0.

v t 측량 이론
기본개념	절대 연속성 르베그 통합 L공백^p 치수 공간 측정 확률공간 측정 가능한 공간/기능
놓다	거의 모든 곳에서 보렐 세트 측정의 수렴 𝜆-시스템 필수 범위 최소/최소 국소 측정 가능 π-시스템 σ-algebra 측정할 수 없는 집합 비탈리 세트 Null 집합 지원 횡척도
측정 유형	베이어 바나흐 베소프 보렐 콤플렉스 완성하다 내용 (논리적으로) 볼록스 이산형 유한한 내부 (Quasi-) 불변성 국소 유한 최대화 미터법 바깥쪽 바깥쪽 퍼펙트 사전측정 (하위-) 확률 투영 값 라돈 무작위 정규 보렐 정규 이너 레귤러 아우터 레귤러 포화상태 함수 설정 σ-finite s-through 서명된 단수형 스펙트럼 엄밀히 말하면 긍정적이다. 꽉 끼다 벡터
특정조치	계산 디락 오일러 가우스어 하르 조화 하우스도르프 강도 레베게 로그 제품 푸시포워드 구면계 접선 사소한 젊은
주요 결과	카라테오도리의 확장 정리 수렴 정리 지배적인 모노톤 비탈리 분해 정리 한 조던 에고로프스 파투 보조정리 푸비니즈 홀더 부등식 민코프스키 부등식 라돈-니코딤 리에즈-마르코프-카쿠타니 표현 정리
기타 결과	해체 정리 르베그 밀도 정리 르베그 분화 정리 사르트의 정리
적용들	확률론 실분석 스펙트럼 이론

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