사전측정
Pre-measure수학에서 사전 측정은 어떤 의미에서 주어진 공간에 대한 진정한 의미의 측정의 전구체인 세트 함수다.실제로 측정 이론의 근본적인 이론 중 하나는 사전 측정을 측정으로 확장할 수 있다는 것이다.
정의
R을 고정 세트 X의 서브셋 링(조합 및 상대 보완 하에서 닫힘)으로 하고 μ0: R → [0, +³]을 세트 함수로 한다.μ는0 다음과 같은 경우에 사전 μ라고 한다.
그리고, 조합이 R에 있는 쌍방향 불연속 세트의 모든 계수 가능(또는 유한) 시퀀스 {An}n∈N ⊆ R에 대해,
- (= )= 0 n) }\compute
두 번째 재산은 σ-additivity라고 불린다.
따라서 사전측정이 척도가 되기 위해 누락된 것은 시그마-알지브라(또는 시그마-링)에 반드시 정의되어 있지 않다는 것이다.
카라테오도리의 확장 정리
사전 측정은 우주 X의 모든 하위 집합에 대해 정의된 외부 측정에 매우 자연스럽게 발생한다는 것이 밝혀졌다.더 정확히 말하면, μ가0 공간 X의 부분 집합 R의 링에 정의된 사전 측정인 경우, 설정 함수∗ μ는 다음과 같이 정의된다.
is an outer measure on X and the measure μ induced by μ∗ on the σ-algebra Σ of Carathéodory-measurable sets satisfies for (in particular, Σ includes R).빈 집합의 최소값은 + 로 한다
(문헌에 사용된 용어에 약간의 차이가 있다는 점에 유의하십시오.예를 들어, 로저스(1998)는 이 글에서 "외부 측정"이라는 용어를 사용하는 "측정"을 사용한다.외부 측정은 일반적으로 σ-additive가 되지 않을 수 있기 때문에 측정치가 아니다.)
참고 항목
참조
- Munroe, M. E. (1953). Introduction to measure and integration. Cambridge, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company Inc. p. 310. 미스터0053186
- Rogers, C. A. (1998). Hausdorff measures. Cambridge Mathematical Library (Third ed.). Cambridge: Cambridge University Press. p. 195. ISBN 0-521-62491-6. MR1692618 (섹션 1.2 참조)
- Folland, G. B. (1999). Real Analysis. Pure and Applied Mathematics (Second ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. pp. 30–31. ISBN 0-471-31716-0.