완전한 조치

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수학에서 전체 측정(또는 더 정확히 말하면 전체 측정 공간)은 모든 null 집합의 모든 부분 집합을 측정할 수 있는 측정 공간이다(축소 측정값 0).보다 공식적으로 측정 공간(X, ,, μ)은 다음과 같은 경우에만 완료된다.

${\displaystyle S\subseteq N\in \Sigma {\mbox{ and }}\mu(N)=0\ \Rightarrow \ S\in \Sigma .}$

동기

완성도 문제를 고려해야 할 필요성은 제품 공간의 문제를 고려함으로써 설명할 수 있다.

실제 라인에서 이미 Lebesgue 측정을 구성했다고 가정합시다$.{\displaystyle }$ (${\displaystyle R\mathbb{},}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \lambda }$)는 이 측정 공간을 가리킨다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle(\mathb {R}, B,\lambda ).$$}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 제품 측정값으로 R 2 {\displaystyle$\lambda$ ^{2}}면에$$ 2차원 Lebeg 측정값 ${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}^{}}$ 2${\$$displaystyle$ $\mathb{R} ^$2}}$개$를 구성하고자 한다.Naively, we would take the 𝜎-algebra on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ to be ${\displaystyle B\otimes B,}$ the smallest 𝜎-algebra containing all measurable "rectangles" ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}}$ for ${\displaystyle A_{1},A_{2}\in B.$$}$

이 접근방식은 측정 공간을 정의하지만 결함이 있다.모든 싱글톤 세트는 1차원 Lebesgue의 치수가 0이기 때문에,

$R{\displaystyle }$${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathb {R}$의 $하위{\displaystyle }$ 집합 A ${\displaystyle A}$에 대해 그러나 A ${\displaystyle$ A$}$은(는) Vitali 집합과 같이 실제 라인의 측정할 수 없는 하위 집합이라고 가정하십시오$$.그러면 $\lambda {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}$$- 측정값$$${\displaystyle }${${\displaystyle 0\}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{0\}\time A}$은(는) 정의되지 않지만$$그리고 이 큰 세트는 $have{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}$$- - 0이$$ 있다.따라서 방금 정의한 이 "2차원 르베그 조치"는 완전하지 않으며, 일종의 완성 절차가 필요하다.

완전조치구축

(완전하지 않을 가능성이 있는) 측정 공간(X, σ, μ)을 주어진다면, 이 측정 공간의 확장(X, σ₀, μ₀)이 완성된다.그러한 가장 작은 확장(즉, 가장 작은 al-algebra σ₀)을 측정 공간의 완성이라고 한다.

준공은 다음과 같이 시공할 수 있다.

• Z는 X의 영μ 측정 부분 집합의 모든 부분 집합(직관적으로, 아직 σ에 있지 않은 Z의 요소들은 완전성을 진실로 유지하는 것을 방해하는 요소들)이 되도록 한다.
• σ은₀ σ과 Z에 의해 생성된 σ-알지브라(즉, σ과 Z의 모든 요소를 포함하는 가장 작은 al-알지브라)가 되도록 한다.
• μ는 μ₀(μ가 μ-finite일 경우 고유함)에 연장₀ μ를 가지며, μ의 외측으로 불리며, 최소값으로 주어진다.

${\displaystyle \mu _{0}(C):=\inf\{\mu(D)\mid C\subseteq D\in \Sigma \}}$

그 다음(X, σ₀, μ₀)은 완전한 측정 공간이며, (X, σ, μ)의 완성이다.

위의 구조에서 σ의₀ 모든 구성원은 A ∈ σ and 그리고 일부 B ∈ Z 형식임을 알 수 있다.

$\displaystyle \mu _{0}(A\cup B)=\mu (A)}$

예

• 실선의 개방간격으로 생성된 보렐 σ-알게브라에 정의된 보렐 측정이 완료되지 않았으므로, 위의 완료 절차를 사용하여 완전한 르베그 측도를 정의해야 한다.이것은 모든 보렐의 세트들이 레알과 같은 카디널리티를 가지고 있다는 사실에 의해 설명된다.칸토어 세트가 보렐 세트인 반면, 측정값은 0이고, 파워 세트는 실제보다 카디널리티가 엄격히 더 크다.따라서 보렐 세트에 포함되지 않은 칸토어 세트의 하위 집합이 있다.따라서 보렐 측정은 완전하지 않다.
• n차원 르베그 측정은 1차원 르베그 공간의 n-폴드 제품을 스스로 완성한 것이다.1차원 사례에서와 같이 보렐 조치의 완성이기도 하다.

특성.

마하람의 정리는 모든 완전한 측정 공간은 연속체에 대한 측정으로 분해될 수 있고, 유한하거나 카운트 가능한 계산 측정으로 분해될 수 있다고 명시하고 있다.

참고 항목

• 내측량
• 르베그 측정 가능 세트

참조

• Terekhin, A.P. (2001) [1994], "Complete measure", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press