모노톤 수렴 정리

실제 분석의 수학적 분야에서 단조로운 수렴 정리는 또한 경계되는 단조로운 순서(비감소 또는 비증가하는 순서)의 수렴을 증명하는 여러 관련 이론들 중 하나이다.비공식적으로, 이론들은 만약 어떤 시퀀스가 증가하여 우월감에 의해 경계된다면, 그 시퀀스는 우월감에 수렴될 것이고, 같은 방식으로, 만약 시퀀스가 감소하고 있고, 그 아래에 최소로 경계된다면, 그것은 최소로 수렴될 것이라고 말한다.

실수의 단일한 시퀀스의 수렴

보조정리1길

실수의 순서가 증가하여 위에서 경계되고 있다면, 그 우월성이 한계다.

증명

Let ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ be such a sequence, and let ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ be the set of terms of ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$. By assumption, ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ is non-empty and bounded above.실제 숫자의 최소 상한 속성에 $의해$c = $\underset{}{supp}$ $\underset{}{n}${$n_{}$ ${}_{}$ ${\textstyle$ c$=\supp_{n}\{a_{n}\}\}}}$은(는) 존재하며$$ 유한하다.이제, 모든 ε>0{\displaystyle \varepsilon>0}에는 존재하는 N{N\displaystyle}를 N>요리− ε{\displaystyle a_{N}>, c-\varepsilon}, 이후 그렇지 않으면 c− ε{\displaystyle c-\varepsilon}은 상한의{는 n}{\displaystyle\와 같이{a_{n}\}}, 거스르는 것의 정의.c{)$디스플레이$ 스타일 $c}$.그럼(는 n)n∈ N{\displaystyle(a_{n})_{n\in \mathbb{N}}}, c{\displaystyle c}의 위, 모든 n을로 향한다;N{\displaystyle n>, 증가하고 있다.N}, 우리는 n≤ c− −, ε, \varepsilon}. 정의에 의해 따라서 제한하 N<>{\displaystyle c-a_{n}\leq c-a_{N}<>고 있다.${\displaystyle (n_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {n\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ N ${\$은(는) $\underset{}{supp}$ n$\underset{}{}{}_{}{n}_{}\}.${\$textstyle \sup _{n}\a_{n}\}\}\}}}}.$$}$

보조정리2길

실수의 순서가 감소하고 그 이하가 경계가 되는 경우, 그 최소치는 한계치가 된다.

증명

증명은 사건의 증빙과 유사하며, 순서가 증가하여 위에 경계선을 두었을 때,

정리

$({\displaystyle }$n )${\displaystyle n_{}{}_{n\mathbb{}}}$N ${\$이(가)^[1] 실수의 단조 시퀀스(즉, n ≥ 1마다 ≤ a_nn+1 또는 n_n ≥ 1마다 ≥ a_n+1)인$$ 경우, 이 시퀀스에 한계가 있다.

증명

• "If"-방향:그 증거는 레마에서 직접 따온 것이다.
• "만 해당"-방향:한계의 정의에 따라 한계 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$$(a_{n})_$${n\in \mathb{N}}}}}$의 모든 시퀀스$({\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$는 반드시$$ 경계를 ${\displaystyle {이룬다\mathbb{}}_{}}$.

모노톤 계열의 융합

정리

모든^{[2]: 168} 자연수 j와 k에 대해 a는_j,k 음이 아닌 실수와 ≤ a이면_j,kj+1,k

${\displaystyle \lim _{j\to \ft }\sum _{k}a_{j,k}=\sum _{k}\lim _{j\to \fto \fty }a_{j,k}.}$

정리는 다음과 같이 비음수 실수의 무한 행렬을 가지고 있다면 다음과 같이 기술하고 있다.

1. 기둥은 약하게 늘어나고 경계선이 있으며,
2. 각 행에 대해, 이 행에 의해 주어지는 용어의 시리즈는 수렴 합을 가진다.

그런 다음 행의 합계의 한계는 k라는 용어가 c열의 한계(또한 그 우월함)로 주어지는 계열의 합계와 동일하다.행 합계의 (약하게 증가하는) 순서가 경계가 되어 따라서 수렴되는 경우에만 시리즈는 수렴 합계를 갖는다.

예를 들어, 행의 무한 시리즈를 고려하십시오.

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}\오른쪽)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n}}{\binom {n}{k}}}{{n^}}}}}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{1}{k!}}}\frac {n}{n}}\frac {\frac {n-1}{n}}\cdots \cdots {\frac {n-k+1}{n},}$

여기서 n은 무한에 접근한다(이 시리즈의 한계는 e이다).여기서 n행과 k행의 행렬 항목은 다음과 같다.

${\displaystyle {\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}={\frac {1}{k!}}}\frac {n}{n}}\frac {\frac {n-1}{n}\cdots \cdots {\frac {n-k+1}{n};}$

열(고정 k)은 n과 경계(1/k!)로 약하게 증가하는 반면, 행은 0이 아닌 항만 미세하게 많으므로 조건 2는 만족된다. 이제 정리에서는 행 합계의 한계$({\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle n{}^{}}$) ${\displaystyle n^{}}$ ${\$를 계산할 수 있다고 한다.$^{n}}$ 열$$ 제한의 합, 즉 ${\displaystyle \frac{1k}{}}$! ${\$$}}}$.

베포 레비의 보조정리

다음 결과는 베포 레비(Bepo Levi)가 1906년 앙리 르베게(Henri Lebesgue)의 초기 결과에서 약간 일반화를 증명했기 때문이다.^[3]In what follows, ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}}}$ denotes the ${\displaystyle \sigma }$-algebra of Borel sets on ${\displaystyle [0,+\infty ]}$. By definition, ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}$$}}}$에는 세트${\displaystyle }${${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{+\infit \}}$과(와$$) ${\displaystyle {\mathrm{R}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle \mathb {R} _{\geq 0}$의 모든 Borel 하위 집합이 포함되어$$ 있다.$}$

정리

Let ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ be a measure space, and ${\displaystyle X\in \Sigma }$. Consider a pointwise non-decreasing sequence ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ of ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\m$$atsb {R} _{\geq$ 0$}}$ - 측정$$ 가능한 비음성 함수 $f{\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle X}$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$+${\displaystyle \mathrm{}}$∞ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ f_${k}:$$X\to [0,+\inful$ $]\},$ 즉, ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 1 ${\$ 및 $모든$ x${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle X}$ ${\$ X$}$에 대해$,$

${\displaystyle 0\leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\leq \inft .}$

시퀀스${\displaystyle }${${\displaystyle {fn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}\}$의 포인트와 같은 $제한$을 f$${\$displaystyle$f$\}($즉, ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ x ${\displaystyle \in }$ X ${\displaystyle x\in$ X$})$로 설정하십시오$.$

${\displaystyle f(x):=\lim _{k\to \infit }f_{k}(x).}$

그러면 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle {{\mathrm{f}}_{}}_{}}$$}$은$({\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$, B ${\displaystyle R_{{\mathbb{}}_{}}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ 0${\displaystyle {{}_{}}_{}}$) ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {B} _{\mathb {R} _{\geq 0})$ - 측정$$ 가능 및

${\displaystyle \lim _{k\to \inf}\{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu .}$

비고 1.통합은 유한하거나 무한할 수 있다.

비고 2.그 정리는 만약 그 가정이 거의$$ 모든 곳에 $[\displaystyle \mu }$ -를 가지고 있다면 그대로 유지된다.In other words, it is enough that there is a null set ${\displaystyle N}$ such that the sequence ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ non-decreases for every ${\displaystyle {x\in X\setminus N}.}$ To see why this is true, we start with an observation that allowing the sequence ${\displ$$aystyle \{f_{n}\}}$ 거의 모든 곳에서 포인트$$ 세트의 $한계인{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$가 일부 null $집합{\displaystyle }$ N ${\displaystyle N}$에서 정의되지 않는다$$$.$ 이 null 집합에서 f ${\displaystyle f}$는 임의로, 예를 들어 0으로 정의되거나 측정성을 보존하는 다른 방법으로 정의될$$ 수 있다.이것이 정리의 결과에 영향을 미치지 않는 이유를 알아보려면 $\mu {\displaystyle (\mathrm{N}}$) = 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle${\$mu(N)=0},$ 모든 $k{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ k$,}$이(가) 존재한다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle \int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X\setminus N}f_{k}\,d\mu }$ and ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X\setminus N}f\,d\mu ,}$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) (${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$, B ${\displaystyle R_{{\mathbb{}}_{}}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {0_{}}_{}}$) ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {B} _{\mathb {R} _{\geq$ 0$})$이면 - 측정$$ 가능.^{[4]: section 21.38} (이러한 동일성은 비음수 함수에 대한 Lebesgue 적분 정의에서 직접 따른다.

비고 3.정리를 가정하면

(참고: 두 번째 동일성 체인은 주석 5에 따른다.)

비고 4.아래 증빙은 여기에 확립된 것을 제외하고는 르베그 적분 성질을 전혀 사용하지 않는다.따라서 이 정리는 르베그 통합에 관련된 선형성과 같은 다른 기본적 성질을 증명하는 데 사용될 수 있다.

비고 5(Lebesgue 적분 단소성).아래 증거에서 우리는 비음성 함수에만 통합된 르베그(Lebesgue)의 단조적 특성을 적용한다.Specifically (see Remark 4), let the functions ${\displaystyle f,g:X\to [0,+\infty ]}$ be ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-measurable.

• $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$에서 f ${\displaystyle \le }$ g ${\displaystyle f\leq g}$이(가) 어디에나$$ 있는 경우$$

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .}$

• ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{2}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∈ ∈$${ {\$displaystyle X_{$1},$X_{2$}\in \$Sigma$${\displaystyle {}_{}}$$}$ ${\displaystyle {및\mathrm{}}_{}}$ X 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 2$$, {\$displaystyle X_{$1}\$subseteq X_{2}}$인 경우, 그런 다음$$

${\displaystyle \int_{X_{1}f\,d\mu \leq \int_{X_{2}}f\,d\mu .}$

Proof. Denote ${\displaystyle \operatorname {SF} (h)}$ the set of simple ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-measurable functions ${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$ such that ${\displaystyle 0\leq s\leq h}$ ev$에리위스{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$

1. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le g}$, ${\displaystyle f\leq$ g$,}$이(가) 있기 때문에

${\displaystyle \operatorname {SF}(f)\subseteq \operatorname {SF}(g).}$

Lebesgue의 적분과 우월성의 정의에 의해

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in {\rm {SF}}(f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{s\in {\rm {SF}}(g)}\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}g\,d\mu .}$

2. 1 ${\displaystyle {{X\mathrm{}}_{}}_{}}$ 1 ${\$을(를) 세트 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$의 지표 함수가 되게 한다$$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{1}.}$이(가) 다음과 같은 Lebesgue 적분의 정의에서 추론할 수 있다.

${\displaystyle \int _{X_{2}}f\cdot {1}{1}{X_{1}}\,d\mu =\int _{X_1}1}f\,d\mu }$

if we notice that, for every ${\displaystyle s\in {\rm {SF}}(f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}),}$ ${\displaystyle s=0}$ outside of ${\displaystyle X_{1}.}$ Combined with the previous property, the inequality ${\displaystyle f\cdot {\mathbf {1} }_{X$$_{1}\leq f}$는 암시한다.

${\displaystyle \int_{X_{1}f\,d\mu =\int_{2}}f\cdot{1}{1}{X_{1}\,d\mu \leq \int_{X_{2}}f\,d\mu .}$

증명

이 증거는 파투의 보조정리에는 의존하지 않는다.그러나 우리는 그 보조정리기가 어떻게 사용될 수 있는지 설명한다.

독립적인 입증에 관심이 없는 사람에 대해서는, 아래의 중간 결과를 생략할 수 있다.

중간 결과

척도로 통합된 르베그

보조정리 1.$({\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ,${\displaystyle \mu }$, ) ${\displaystyle (\Oomega ,\Sigma ,\mu$ )}은$($는) 측정할 수 있는 공간이다$$.${\displaystyle \mathrm{간단한}}$ ( $({\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle R_{{\mathbb{}}_{}}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {0_{}}_{}}$) ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {B} _{\mathb {R} _{\geq 0}})$ - 측정$$ 가능한 비음수 함수 $s{\displaystyle }$ :${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$→ R ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$$\Oomega \to {\mathb {R} _{\geq 0$ 부분 집합 $S{\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle S\subseteq \Oomega}$에 대해 정의하십시오$.$

$\displaystyle \nu(S)=\int _{S}s\,d\mu .}$

그러면 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$은(는) $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$에 대한 측정값이다$.$

증명

단조로운 것은 5번에서 따온 것이다.여기서 우리는 오직 셀 수 있는 부가성을 증명하고 나머지는 독자에게 맡길 것이다.${\displaystyle \underset{}{\overset{}{Let}}}$ $S{\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\$ S$=\bigcup _{i=$1}^{\$infit }S_{$i$\}\}\},$ 여기서 모든 세트 ${\displaystyle S_{}}$i {\$displaysty S_{i}$는 쌍으로 분리된다$$.단순성 때문에

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot {\mathbf {1}{A_{i},}$

for some finite non-negative constants ${\displaystyle c_{i}\in {\mathbb {R} }_{\geq 0}}$ and pairwise disjoint sets ${\displaystyle A_{i}\in \Sigma }$ such that ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}$$A_{i}=\오메가$ 르베그 적분이라는 정의로 볼 때

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (S)&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu (S\cap A_{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu \left(\left(\bigcup _{j=1}^{\infty }S_{j}\right)\cap A_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n_{i}\cdot \left(\빅컵 _{j=1}^{j=1}^{\infit }(S_{j}\cap A_{i}\right)\end{aigned}}}}}}}}}}}$

모든 ${\displaystyle S_{}}$ j ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}${\$displaystyle S_{j}\cap A_{i}}$ 세트가 쌍으로 분리되므로$$ $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$의 계수 가능한 부가성이 우리에게$$ 주어진다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }(S_{j}\cap A_{i})\right)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \sum _{j=1}^{\infty }\mu (S_{j}\cap A_{i}).}$

모든 합계가 음수가 아니기 때문에, 이 합계가 유한이든 무한이든, 합계의 합은 합계의 순서가 같다면 바뀔 수 없다.그런 이유로

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \sum _{j=1}^{\infty }\mu (S_{j}\cap A_{i})&=\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu (S_{j}\cap A_{i})\\&=\sum _{j=1}^{\infty }\int _{S_{j}}s\,d\mu \\&=\sum _{j=1}^{\infty }\nu (S_{j}),\end{aligned}}}$

필요에 따라

"아래로부터의 연속성"

다음의 속성은 조치의 정의에 따른 직접적인 결과물이다.

보조정리 2.$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$을(를) 척도로 하고$$, $S{\displaystyle }$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle i_{}\underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ s ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\$1}^{\$infty }S_{i}}}}}$을$($를) 여기서 측정한다.

${\displaystyle S_{1}\subseteq \cdots \subseteq S_{i}\subseteq S_{i+1}\subseteq \cdots \subseteq S}$

모든 세트 $[\displaystyle \mu }$ - 측정$$ 가능한 비 멀티미터 체인이다.그러면

$\displaystyle \mu(S)=\lim _{i}\mu(S_{i}).}$

정리증거

단계 1. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) (${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$, B ${\displaystyle R_{{\mathbb{}}_{}}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {0_{}}_{}}$) ${\displaystyle (\Sigma ,\opercal$ 이름 ${B} _{\mathb {R} _{\geq$ 0$})$-측정가능하다는 것을 보여주는 것으로 시작한다.^{[4]: section 21.3}

참고. 우리가 파투의 보조정리기를 사용하고 있다면, 측정가능성은 비고 3(a)에서 쉽게 따라올 것이다.

To do this without using Fatou's lemma, it is sufficient to show that the inverse image of an interval ${\displaystyle [0,t]}$ under ${\displaystyle f}$ is an element of the sigma-algebra ${\displaystyle \Sigma }$ on ${\displaystyle X}$, because (closed) intervals generate the Borel sigma algebra on the reals.${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,t]}$은(는) 닫힌 간격이며$$, 모든 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 대해 $0{\displaystyle \mathrm{}}$≤ ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle x}$)$$${\displaystyle \le }$ f${\displaystyle (x}$ $){\displaystyle 0\leq f_{k}(x)\leq f(x$

${\displaystyle 0\leq f(x)\leq t\quad \Leftrightarrow \quad {\Bigl [}\all k\leq f_{k}(x)\leq t{\Bigr ]}.}$

그러므로,

${\displaystyle \{x\in X\leq f(x)\leq t\}=\bigcap_{k}\{x\in X\mid 0\leq f_{k}(x)\leq t\}.}$

Being the inverse image of a Borel set under a ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-measurable function ${\displaystyle f_{k}}$, each set in the countable intersection is an element of ${\displaystyle \Sigma }$. Since ${\displaystyle \sigma$$}$-algebras are, by definition, closed under countable intersections, this shows that ${\displaystyle f}$ is ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-measurable, and the integral ${\displaystyle \textstyle \int _{X}f\,d\mu }$ is well defined (그리고 어쩌면 무한할 수도 있다)

단계 2. 먼저${\displaystyle {}_x}$ X ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d}$μ ${\displaystyle \underset{}{\mu }}$ ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ lim${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$lim lim lim lim ${\displaystyle {lim}_{}}$ f f ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ f f ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle k{}_{}k}$ μ text $text$ text text $\textstyle \int \$int $_{X}f\,d\mu .}$을 보여줄 것이다.

The definition of ${\displaystyle f}$ and monotonicity of ${\displaystyle \{f_{k}\}}$ imply that ${\displaystyle f(x)\geq f_{k}(x)}$, for every ${\displaystyle k}$ and every ${\displaystyle x\in X}$. By monotonicity (or, more precisely, its narrower version established in REmark 5; Lebesgue 적분 (Levesgue)의 주석 4) 참조,

${\displaystyle \int_{X}f\,d\mu \geq \int_{X}f_{k}\,d\mu ,}$

그리고

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \geq \lim_{k}\{X}f_{k}\,d\mu .}$

단조로움(비고 5와 비고 4 참조)으로 인해 순서가 감소하지 않기 때문에 우파의 한계(완료 또는 무한)가 존재한다는 점에 유의한다.

2단계 끝.

우리는 이제 역불평등을 증명한다.우리는 그것을 보여주기 위해 노력한다.

${\displaystyle {\int }_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\mu s}}$ ${\displaystyle \underset{}{\mu s}}$ 임 ${\displaystyle \underset{}{k}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ X ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle k{}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\mu s}}$ ${\daystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \lim _{k}\int _${X$}f_{k}\,d\mu$ $\}.$

파투의 보조정리기를 이용한 증거.논평 3에 따르면, 우리가 증명하고자 하는 불평등은 다음과 같다.

${\displaystyle \int _{X}\liminf _{k}(x)\,d\mu \leq \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

그러나 후자는 파투의 보조마에서 바로 뒤따라와, 그 증거는 완전하다.

독립적인 증거.파투의 보조정리기를 사용하지 않고 불평등을 증명하려면, 우리는 여분의 기계가 필요하다.Denote ${\displaystyle \operatorname {SF} (f)}$ the set of simple ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-measurable functions ${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$ such that ${\displaystyle 0\leq s\leq f}$ on ${\displaystyle X}$${\displaystyle }(\backslash$$displaystyle X)$

3단계. 간단한 $함수{\displaystyle }$ s${\displaystyle \mathrm{sf}}$ SF${\displaystyle (}$ (${\displaystyle f}$ )$${\$displaystyle$s\$in \operatorname${SF} ($f)}$과(와) 실제 $숫자{\displaystyle }$ t ${\displaystyle \in }$(${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 1}$ )$${\$displaystyty$ t$\in (0,1$)을 지정하여 정의하십시오$.$

${\displaystyle B_{k}^{s,t}=\{x\in X\mid t\cdot s(x)\leq f_{k}\}\subseteq X.}$

Then ${\displaystyle B_{k}^{s,t}\in \Sigma }$, ${\displaystyle B_{k}^{s,t}\subseteq B_{k+1}^{s,t}}$, and ${\displaystyle \textstyle X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$.

3a단계.To prove the first claim, let ${\displaystyle \textstyle s=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{i}}}$, for some finite collection of pairwise disjoint measurable sets ${\displaystyle A_{i}\in \Sigma }$ such that ${\displaystyle \tex$$tstyle X=\cup _{i=1}^{m$$}A_{i}}$, some (finite) non-negative constants ${\displaystyle c_{i}\in {\mathbb {R} }_{\geq 0}}$, and ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A_{i}}}$ denoting the indicator function of the set ${\displaystyle A_{i}}$.

For every ${\displaystyle x\in A_{i},}$ ${\displaystyle t\cdot s(x)\leq f_{k}(x)}$ holds if and only if ${\displaystyle f_{k}(x)\in [t\cdot c_{i},+\infty ].$$}$ A ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 세트가 쌍으로$$ 분리된 경우$$,

${\displaystyle B_{k}^{s,t}=\bigcup _{i=1}{m}{\bigl (}f_{k}^{1}{-1}}{\bigl (}[t\cdot c_{i}}}+\bigr )}\cap A_{i}{bigr )}.}$

Since the pre-image ${\displaystyle f_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}}$ of the Borel set ${\displaystyle [t\cdot c_{i},+\infty ]}$ under the measurable function ${\displaystyle f_{k}}$ is measurable, and ${\displaystyle \sigma }$$$정의상 유한 교차로와 조합에 의해 폐쇄되는 것으로, 첫 번째 주장은 다음과 같다.

스텝 3b.두 번째 주장을 입증하려면 각 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $k$$}$ 및 모든$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ x$\in$ X$},$f $k{\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x_{}}$ )${\displaystyle \le }$ f ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ (${\displaystyle {}_{}x}$ )${\displaystyle }$.${\displaystyle f_{k}(x)\leq f_{k+1$}($x)$에 대해 유의하십시오$.$$}$

3단계.세 번째 청구를 증명하기 $위해{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$⊆ k${\displaystyle \underset{k}{}}$ k k k k k ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}^{}}$ k k ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$ \ \${\displaystyle {}_{}^{}}$\ \ $\$ \ \ \ \$textyle X\subseteq \bigcup_{k}^{k}^{s,$t$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$

실제로, $반대$로 X${\displaystyle }$k ${\displaystyle \underset{}{k}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ k B ${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$, t ${\$t$\}\}\}\}\}\},$ 그 다음에 원소가 된다.

${\displaystyle \textstyle x_{0}\in X\setminus \bigcup _{k_{k}^{s}s,t}=\bigcap _{k}(X\setminus B_{k}^,t})}}}}}$

$모든{\displaystyle }$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 f ( )$<<\displaystyle f_{k}(x_{0})}<t\cdot s(x_{0$$\})\}$과 같은 f →${\displaystyle \mathrm{}}$∞ ${\displaysty k\to$\fto \$fto$ $\},$ 우리는 다음과 같은 한도를 얻는다.

${\displaystyle f(x_{0})\leq t\cdot s(x_{0})<s(x_{0}).}$

그러나 초기 가정에서는 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s\leq$ f$\}.$ 이것은 모순이다.

단계 4. 간단한 모든 (${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$, ${\displaystyle {{\mathrm{B}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle R_{{\mathbb{}}_{}}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ 0 )${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\b} _{\mathb {R} _{\geq$ 0$}}})$ - 측정 가능한$$ 비음수 ${\displaystyle {함수\mathrm{}}_{}}$ s 2 ${\$$2$}},

${\displaystyle \lim_{n}\int_{B_{n}^{s,t}s_{2}\,d\mu =\int_{X}s_{2}\,d\mu .}$

To prove this, define ${\displaystyle \textstyle \nu (S)=\int _{S}s_{2}\,d\mu }$. By Lemma 1, ${\displaystyle \nu (S)}$ is a measure on ${\displaystyle \Omega }$. By "continuity from below" (Lemma 2),

${\displaystyle \im_{n}\int_{B_{n}^{s,t}\,d\mu = {n}\no(B_{n}^{s,t})=\int _{X}s_,d\mu ,}$

필요에 따라

5단계. 이제 모든${\displaystyle }s$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ SF ${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$ s$\in \operatorname${SF}$(f$

${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \lim_{k}\{X}f_{k}\,d\mu .}$

실제로 ${\displaystyle {Bk}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle t_{}^{}}$ ${\$의 $정의{\displaystyle {}_{}}$,$$f$$ {\$displaystyle f_{$k$\}\}$의 비부정성, 르베그 적분(Levesgue 5와 4 참조)의 정의를 이용하여 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \int_{B_{k}^{s,t}t\cdot s\,d\mu \leq\int_{B_{k}^{B_{k}\,d\mu \leq \int_{X}f_{k}\,d\}$

모든 $k{\displaystyle }$≥ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k\geq 1}$에 대해$.$ 4단계에 $따라{\displaystyle }$ k${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}${\$displaystyle k$\to $\inforty }$로서 불평등은 다음과 같이 된다$.$

${\displaystyle t\int _{X}s\,d\mu \leq \lim_{k}\{X}f_{k}\,d\mu .}$

$제한값$을 t ${\displaystyle \uparrow }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$t\$uparrow 1}$ 산출량으로$$ 간주

${\dapplaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \lim_{k}\{X}f_{k}\,d\mu ,}$

필요에 따라

6단계. 우리는 이제 역불평등을 증명할 수 있다.

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \lim_{k}\{X}f_{k}\,d\mu .}$

실제로 비부정성에 의해 ${\displaystyle f{}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$= f ${\displaystyle f_{+}=f}$ 및$$ $f{\displaystyle {}_{}}$-${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle f_{-}=0.}$ $아래$의 계산을 위해서는$$ f ${\displaystyle f}$의 비부정성이 필수적이다$$.Lebesgue 적분 및 5단계에서 확립된 불평등의 정의를 적용하면, 우리는 다음과 같다.

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup \in \operatorname {SF}(f)\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{X}f_{k}\,d\mu .}$

증거가 완전하다.

참고 항목

• 무한계열
• 지배적 수렴 정리

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