무작위 측정

확률론에서 랜덤 측정은 측정값 랜덤 요소다.^[1][2]랜덤 측정은 예를 들어 랜덤 공정 이론에서 사용되는데, 여기서 그것들은 포아송 점 공정과 Cox 공정과 같은 많은 중요한 점 공정을 형성한다.

정의

무작위 측정은 전환 커널 또는 무작위 요소로 정의할 수 있다.두 정의 모두 동일하다.정의의 경우 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$을(를) 분리 가능한 전체 메트릭 공간으로 $하고$ E ${\$을(를) 보렐 $l{\displaystyle }${\$displaystyle$$$\$sigma$} -algebra로 지정한다(분리 가능한 전체 메트릭 공간의 가장 $일반적$인 예는 Rn ${\n$} {$R$

전환 커널로서

무작위 $측정값{\displaystyle }$ ${{\displaystyle \zeta$}은(는) 확률 공간$({\displaystyle \mathrm{\Omega }}$,${\displaystyle A}$ , P$){\displaystyle(\Oomega ,{\mathcal {A},P)$에서 $E$, ${\mathcal {E}})$까지 로컬 유한 전환 커널이다$.$^[3]

전환 커널이 된다는 것은

• 고정 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle E\mathcal{}}$ ${\$에 대해$,$ 매핑

$\displaystyle \omega \mapsto \zeta(\omega ,B)}$

$({\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle (\Oomega ,{\mathcal {A})$에서${\displaystyle }$(${\displaystyle R\mathbb{}}$, ${\displaystyle B\mathcal{}}$ ${\displaystyle (R\mathbb{}}$ ${\displaystyle (\mathb {R}, {\mathb {B})(\mathb {R})}$까지 측정할 수 있다$.$

• 모든 고정 $\Omega {\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \omega \in \Oomega$ }$$, 매핑

${\displaystyle B\mapsto \zeta(\omega ,B)\quad(B\in {\mathcal {E})}$

$({\displaystyle E}$, ${\displaystyle E}$) ${\displaystyle(E,{\mathcal{E})$에 대한 측정값임

국소적으로 유한하다는 것은 그 측정치가

$\jeta(\omega ,B)}$

satisfy ${\displaystyle \zeta (\omega ,{\tilde {B}})<\infty }$ for all bounded measurable sets ${\displaystyle {\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}}$ and for all ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ except some ${\displaystyle P}$-null set

확률적 과정의 맥락에서 확률적 커널, 확률 커널, 마르코프 커널의 관련 개념이 있다.

임의요소로서

정의

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}:=\\\mu \mid \mu {\\text{\text{는 }}}}에 측정됨.$

그리고 지역적으로 유한한 측정의 부분집합은 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathcal {M}:=\\\mu \in {\tilde {\mathcal}\mid \mu({\tilde {B})}\inflt{\text}{{\tilde{\mathcal}}}}}}}$

모든 경계 측정 가능 $B{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$에 대해 매핑을 정의하십시오$.$

${\displaystyle I_{\tilde {B}\colon \mapsto \mapsto \mu({\tilde {B}})}$

from ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ to ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Let ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {M} }}}$ be the ${\displaystyle \sigma }$-algebra induced by the mappings ${\displaystyle I_{\tilde {B}}}$ on ${\displaystyle {\tilde {\math$$cal {M}}}}$ and ${\displaystyle \mathbb {M} }$ the ${\displaystyle \sigma }$-algebra induced by the mappings ${\displaystyle I_{\tilde {B}}}$ on ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. Note that ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {M} }} _{\mathcal {M}}=\mathbb {M} }$.

A random measure is a random element from ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ to ${\displaystyle ({\tilde {\mathcal {M}}},{\tilde {\mathbb {M} }})}$ that almost surely takes values in ${\displaystyle ({\mathcal {M}},\mathbb {M} )}$^[3][4][5]

기본 관련 개념

강도 측정

무작위 $측정값{\displaystyle }$ ▼ ${\displaystyle \zeta$}의$$ 경우, 만족스러운 $측정값{\displaystyle \mathrm{}}$ E${\displaystyle }${ { ${\displaystyle \zeta }${\$displaystyle \operatorname {E} \zeta$}

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\int f(x)\;\zeta(\mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\;\operatorname {E} \zeta(\mathrm {d} x)}$

모든 양의 측정 가능한 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 대해 $\zeta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \zeta }$의 강도 측정이라고 한다$$$.$ 강도 측정은 모든 무작위 측정에 대해 존재하며 s-완료 측정이다.

지지척도

무작위 측정값 $\zeta {\displaystyle }${\$displaystyle \zeta$}의 경우$,$ 만족스러운$$ 측정값 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$

${\daystyle \int f(x)\;\zeta(\mathrm {d} x)=0{\text{ a.s.}}{\text{iff }}\int f(x)\;\nu(\mathrm {d} x)=0}$

모든 양의 측정 가능한 함수에 대해 $\zeta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \zeta }$의 지지 척도로 불린다$.$ 모든 무작위 측정에 대해 지지 척도가 존재하며 유한성을 선택할 수 있다.

라플라스 변환

무작위 측정 $\zeta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \zeta$}의 경우$,$ 라플라스 변환은 다음과 같이 정의된다.

${\dmathcal {\mathcal {L}_{\\zeta }=\operatorname {E} \eft[\ex(-\int f(x)\;\zeta(\mathrm {d}x)\right]}$

모든 양의 측정 가능한 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$에 대해$.$

기본 속성

통합의 측정 가능성

랜덤 측정값$$$\zeta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \zeta }$의 경우 통합

${\displaystyle \int f(x)\zeta(\mathrm {d} x)}$

및 $\zeta {\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}{}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \zeta }$(${\displaystyle d\mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \zeta (A):$$=\int \mathbf {1} _{A}(x)\zeta(\mathrm {d} x)}$

양의 $E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ - 측정$$ $가능$한 f ${\displaystyle f}$은(는) 측정할 수 있으므로 랜덤 변수임.

유니크함

랜덤 측정의 분포는 다음 분포에 의해 고유하게 결정된다.

${\displaystyle \int f(x)\zeta(\mathrm {d} x)}$

for all continuous functions with compact support ${\displaystyle f}$ on ${\displaystyle E}$. For a fixed semiring ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {E}}}$ that generates ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ in the sense that ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})={$$\mathcal{E$ 랜덤 측정의 분포는 모든 양의 단순 $I{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ - 측정 가능한$$ 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 대한 적분에 의해 고유하게 결정된다$.$^[6]

분해

측정치는 일반적으로 다음과 같이 분해될 수 있다.

${\displaystyle \mu \mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\capa _{n}\delta _{X_{n},},}$

여기서 ${\displaystyle {\mu d}_{}}$ ${\$ $\mu _{d}$는 원자가 없는 확산 측정치인$$ $,$ $μ$ a는 순수하게 원자 측정치인 것이다$$.

무작위계수

형식에 대한 랜덤 척도:

${\displaystyle \mu =\sum _{n=1}^{N}\delta _{X_{n},}$

여기서 ${\displaystyle \delta}$는 Dirac 측정값이고, ${\displaystyle {Xn}_{}}$ ${\$는 랜덤$$ 변수로서 점 공정 또는^[1][2] 랜덤 카운팅 측정값이라고 한다.이 랜덤 측정은 (일반적으로 벡터 값을 매긴) $랜덤{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {변수}_{}}$ X n ${\$에 의해 위치가 주어지는 N 입자의 집합을 설명한다$.$확산성분 ${\displaystyle {\mu d}_{}}$ d ${\$은 계수 측정에 대해 null이다$$.

위의 공식 표기법에서 무작위 계수 측정은 확률공간에서 측정 가능한 공간(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}${\$displaystyle N_{X$${\displaystyle }B{\displaystyle \mathfrak{}}$ (${\displaystyle N_{}}$X $){\displaystyle {\mathfrak{B}(N_{X$까지에 대한 지도가 있다.여기서 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$은(는) 모든 한정된 정수 값 측정값 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$계수 측정값이라고 함)의 공간이다$$.

무작위 측정에 대한 기대 측정, 라플라스 기능, 모멘트 측정 및 측점성 정의는 점 프로세스의 정의에 따른다.무작위 측정은 몬테카를로 수치 사분법 및 입자 필터와 같은 몬테카를로 방법의 설명과 분석에 유용하다.^[7]

참고 항목

• 포아송 랜덤 측정
• 벡터 측정
• 앙상블

참조