지지(측정 이론)

수학에서 측정 가능한 위상학적 공간(X, Borel(X))에 대한 측정 μ의 지지(때로는 위상학적 지지 또는 스펙트럼)는 공간 X에서 측정 "lives"의 위치에 대한 정확한 개념이다.그것은 집합의 모든 점의 모든 열린 인접 지역이 양적인 척도를 갖는 X의 가장 큰 부분집합으로 정의된다.

동기

A (non-negative) measure ${\displaystyle \mu }$ on a measurable space ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ is really a function ${\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,+\infty ]}$. Therefore, in terms of the usual definition of support, the support of ${\displaystyle \mu }$ is a subset of the σ-algebra${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ ${\displaystyle \Sigma$ $\}:$

${\displaystyle \propertname {supply}(\mu ):={\overline {\\{A\in \Sigma \,\vert \,\mu(A)\neq 0\}}}$

여기서 막대는 폐쇄를 의미한다.그러나 이 정의는 다소 만족스럽지 못하다: 우리는 폐쇄 개념을 사용하지만 $but{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle \Sigma }$에는 위상조차 없다$.$ 우리가 정말로 알고 싶은 것은 공간 $X$에서 측정 $\mu {\displaystyle }$ {\$displaystyle \$mu$$ }이(가$$$)$ 0이 아닌 곳에 측정 μ ${\displaystystylement \mu$ \mu }이 있다.다음 두 가지 예를 들어 보십시오.

1. 실제 라인 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ {\$displaystyle \mathb {R}$에서$bes{\displaystyle }$ {\$displaystyle \lambda }$을(를) 측정한 결과,$$$\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }}$이(가) 실제 라인 전체를 $$"live on"하는 것은 분명해 보인다.
2. Dirac 측정 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$ 어느 $지점$에서${\displaystyle \Delta \mathbb{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$ 다시 직관적으로 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ p$${\$displaystyle \delta_{$$p}}$는 p $지점{\displaystyle }$ p ${\displaystyp$에 "live"하며 그 어디에도 없는 것으로 나타난다.

이 두 가지 예에 비추어 볼 때, 우리는 다음 절에서 찬성하는 다음 후보 정의를 거부할 수 있다.

1. We could remove the points where ${\displaystyle \mu }$ is zero, and take the support to be the remainder ${\displaystyle X\setminus \{x\in X\mid \mu (\{x\})=0\}}$. This might work for the Dirac measure ${\displaystyle \delta _{p}}$, but it would definitely not work for ${\displayst$$yle \lambda$ $\}:$ 어떤 싱글톤에 대한 Lebesgue 측정치가 0이므로, 이 $정의$는 {$${\$displaystyle \lambda }$의 빈 지원을 제공할 것이다.
2. 조치의 엄격한 긍정의 개념과 비교하여, 우리는 긍정적인 조치의 인접성을 가진 모든 요점의 집합이 되도록 지원을 취할 수 있다.

${\displaystyle \{x\in X\mid \exists N_{x}{\text{open}}\colon(x\in N_{x}\wedge \mu({x})>0)\}}$

(또는 이것의 종결).또한 너무 단순하다: 모든 포인트 $x{\displaystyle }$ x${\displaystyle x}$에 $대해$ N x${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N_{x}=X}$을$($를) 취함으로써$$X {\$displaystyle$ $x\$$in{\displaystyle }$ X$}$의 전체 측정값 0을 제외한 모든 측정값을 지원할 수 있다$.$

그러나 '지역적 엄격한 긍정'이라는 생각은 실행 가능한 정의에서 그리 멀지 않다.

정의

let (X, T)은 위상학적 공간이다; let B(T)는 X에서 보렐 σ-알게브라를 나타낸다. 즉, 모든 오픈 세트 U contains T를 포함하는 X에서 가장 작은 시그마 대수학이다. μ는 (X, B(T)에 대한 측정이 되게 한다.그 다음 μ의 지지(또는 스펙트럼)는 x의 모든 열린 인접 영역 N이_x 양의 측정을 갖는 X의 모든 지점 x의 집합으로 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {supply}(\mu }):=\{x\in X\mid \forall N_{x}\in T\colon(x\in N_{x}\Rightarrow \mu({x})\}\}.}$

일부 저자들은 위 세트의 폐지를 선호한다.그러나 이것은 필요하지 않다: 아래의 "속성"을 참조하십시오.

지원의 등가 정의는 C와 비어 있지 않은 교차점이 있는 모든 오픈 세트가 포지티브 측정치를 가질 수 있도록 (포용과 관련하여) 가장 큰 C as B(T)로서 다음과 같다.

$\displaystyle (\all U\in T)(U\cap C\neq \varnothing \implies \mu (U\cap C)>0).}$

특성.

• ${\displaystyle \supplyname {supply}(\mu _{1}+\mu _{2}=\supplyname {supply}(\mu _{1})\cupplyname {supply}(\mu _{2})}$
• A measure μ on X is strictly positive if and only if it has support supp(μ) = X. If μ is strictly positive and x ∈ X is arbitrary, then any open neighbourhood of x, since it is an open set, has positive measure; hence, x ∈ supp(μ), so supp(μ) = X. Conversely, if supp(μ) = X, then every non-empty open set (being an open neighbourhood of some point i또한 지지점인 그것의 내부에는 양의 측정치가 있다. 따라서 μ는 엄격히 양의 측정치가 있다.
• 조치의 보완점은 개방된 조치 0의 조합이기 때문에 X에서는 조치의 지지대가 폐쇄된다.
• 일반적으로 0이 아닌 조치의 지원은 비어 있을 수 있다. 아래 예를 참조하십시오.그러나 X가 위상학적 하우스도르프 공간이고 μ가 라돈 측정값인 경우 지지대 외부에 있는 측정 가능한 집합 A는 0을 측정한다.

${\displaystyle A\subseteq X\setminus \operatorname {supply}(\mu )\implies \mu(A)=0.}$

A가 열려 있으면 그 반대는 사실이지만 일반적으로 사실이 아니다: μ({x} = 0(예: 르베그 측정치)과 같은 점 x supp supp supp supp(μ)이 존재하면 실패한다.

따라서 측정 가능한 함수 f : X → R 또는 C에 대해 "지지 외부로 통합"할 필요가 없다.

${\displaystyle \int _{X}f(x)\,\mathrm {d} \mu(x)=\int _{\operatorname {supply}(\mu )f(x)\,\mathrm {d} \matrmo(x) \mu(x) \mu) \mu) \mu(x).}$

• 힐버트 공간의 자체 적응형 선형 연산자의 측정 지지 개념과 스펙트럼의 개념은 밀접하게 관련되어 있다.실제로 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mutb$ ${R}$ $선$에서 μ ${\$ {R$}}$이$($가) 정기적인 보렐 측정값이라면 곱셈 연산자$({\displaystyle \mathrm{Af}}$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystystyle (Af)=xf(x)}$은 자연영역에서 자칭이다$$.

${\displaystyle D(A)=\{f\in L^{2}(\mathb {R},d\mu )\mid xf(x)\in L^{2}(\mathb {R},d\mu )\}}$

그리고 그것의 스펙트럼은 정확히 $[\$$displaystyle x\mapsto$ x$}$의 지원인 ID 함수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle x}$ ${\$$displaystyle$x\$mapsto$ $x}$의 필수 범위와 일치한다$.$^[1]

예

르베그 측도

실제 라인 R에서 Lebesgue 측정값 λ의 경우 임의 포인트 x ∈ R을 고려한다.그런 다음 x의 열린 이웃 N은_x 일부 ε > 0에 대해 열린 간격(x - ε, x + ε)을 포함해야 한다.이 간격은 Lebesgue 측정치가 2㎛ > 0이므로, ((N_x) 2 2㎛ > 0. x r R은 임의였으므로, supp(λ) = R.

디락 척도

Dirac 측정값 Δ의_p 경우 x ∈ R으로 하고 다음 두 가지 경우를 고려한다.

1. x = p인 경우, x의 모든 열린 이웃 N은_x p를 포함하므로 Δ_p(N_x) = 1 > 0;
2. 반면에 x x p일 경우 x 주위에 p를 포함하지 않는 충분히 작은 오픈볼 B가 존재하므로 Δ_p(B) = 0이다.

우리는 supp(Δ_p)가 싱글톤 세트 {p}의 폐쇄라고 결론짓는데, 이는 {p} 그 자체다.

실제로 실선의 측정 μ는 μ의 지지대가 싱글톤 집합 {p}인 경우에만 디락 측정 Δ이다_p.따라서 실제 라인의 Dirac 측정치는 분산이 0인 고유한 측정치[분산이 전혀 없는 경우]이다.

균일분포

다음에 의해 정의된 실제 라인 R에서 측정 μ를 고려하십시오.

$\displaystyle \mu(A):=\lambda (A\cap (0,1)}$

즉, 개방 간격에 대한 균일한 측정(0, 1)Dirac 측정의 예와 유사한 논거는 supp(μ) = [0, 1]이라는 것을 보여준다.경계점 0과 1은 지지대에 있다는 점에 유의하십시오. 0(또는 1)을 포함하는 열린 집합은 0(또는 1)에 대한 열린 간격을 포함하며 교차(0, 1)해야 하므로 양의 μ 측정값이 있어야 한다.

지원이 비어 있는 비독점적 조치

"개방 간격"에 의해 생성된 위상이 있는 모든 계산 가능한 서수의 공간은 로컬로 압축된 하우스도르프 공간이다.무한 폐쇄 서브셋을 포함하는 보렐 세트에 측정치 1을 할당하고 다른 보렐 세트에 0을 할당하는 측정치("Diudonné 측정치")는 지원이 비어 있는 보렐 확률 측정치다.

지지도가 0인 비독점적 조치

콤팩트한 하우스도르프 공간에서는 0이 아닌 측정의 지지대가 항상 비어있지만 측정치가 0일 수도 있다.앞의 예에 첫 번째 탑재 불가능한 서수 Ω을 추가함으로써 그 예가 제시된다: 측정의 지원은 측정치 0을 갖는 단일점 Ω이다.

서명 및 복잡한 조치

μ : σ → [-∞, +∞]이 서명된 척도라고 가정한다.한 분해 정리를 사용하여 쓰기

${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}$

여기서 μ는^± 모두 음이 아닌 측정값이다.그러면 μ의 지지도가 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \propertname {supply}(\mu ):=\mu ^{+}\컵 \mu ^{-}(\mu ^{-})\supplyname {supply}(\mu ^{-})}$

마찬가지로 μ : σ → C가 복합적인 척도라면, μ의 지원은 그 실체와 상상의 부분의 지지대의 결합으로 정의된다.

참조

• Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. (2005). Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel. ISBN 3-7643-2428-7.{{cite book}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)
• Parthasarathy, K. R. (2005). Probability measures on metric spaces. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. p. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X. MR2169627(2장 2절 참조)
• Teschl, Gerald (2009). Mathematical methods in Quantum Mechanics with applications to Schrödinger Operators. AMS.(제3장 제2장 참조)