0에서 0의 거듭제곱까지

Zero to the power of zero

0에서0 0으로 표시되는 0의 거듭제곱은 문맥에 따라 1로 정의되거나 정의되지 않은 채로 남아 있는 수학식입니다. 대수학과 조합론에서는 일반적으로 0 = 1을 정의합니다. 수학적 분석에서 이 표현은 정의되지 않은 채로 남겨질 때가 있습니다. 컴퓨터 프로그래밍 언어와 소프트웨어도 이 표현을 처리하는 방법이 다릅니다.

이산 지수

자연수 지수를 포함하여 널리 사용되는 많은 공식은 0을0 1로 정의해야 합니다. 예를 들어, b에 대한 다음의 세 가지 해석은 양의 정수 b에 대한 해석과 마찬가지로 b = 0에 대해 의미가 있습니다.

이 세 가지는 모두 0=1을 주기 위해 특화된 것입니다.

다항식과 멱급수

다항식을 평가할 때는 0을 1로 정의하는 것이 편리합니다. (실)다항식은 ax + ⋅⋅⋅ + ax의 형태로 표현되며, 여기서 x는 불확정이고, 계수 a는 실수입니다. 다항식은 항 단위로 추가되고, 지수에 대한 일반적인 규칙과 분배 법칙을 적용하여 곱합니다. 이 연산들로 다항식들은 R[x]환을 형성합니다. R[x]의 곱셈 항등식은 다항식 x이며0, 즉 x0 곱하기 어떤 다항식 p(x)는 단지 p(x)입니다.[2] 또한 다항식은 x를 실수로 특화하여 평가할 수 있습니다. 더 정확하게 말하면, 주어진 임의의 실수 r에 대하여, ev(x) = r이 되도록 고유한 단위 R-대수 동형 사상 ev: R[x] → R이 존재합니다. ev는 단위이기 때문에, ev(x) = 1입니다. 즉, 0을 포함한 각 실수 r에 대하여 r = 1입니다. R이 임의의 링으로 대체되는 경우에도 동일한 인수가 적용됩니다.[3]

0 = 1을 정의하는 것은 많은 다항식 항등식에 필요합니다. 예를 들어, 이항 정리 (1 + x) = σ () x는 0 = 1인 경우에만 x = 0에 대해 유지됩니다.

마찬가지로, 멱급수의 고리들은 x의 모든 특수화에 대해 x를 1로 정의해야 합니다. 예를 들어, 1/1-x = σ x 또는 e = σ x/n!과 같은 항등식들은 0 = 1인 경우에만 x = 0을 유지합니다.

다항식 x가 연속 함수 R → R을 정의하기 위해서는 0 = 1을 정의해야 합니다.

미적분학에서 거듭제곱 규칙 d/dxx = nx는 x = 0에서 n = 1인 경우에만 유효합니다.

연속 지수

Plot of z = xy. 빨간색 곡선(z 상수)은 (x, y)가 (0, 0)에 가까워짐에 따라 다양한 한계를 산출합니다. 녹색 곡선(유한 상수 기울기, y = ax)은 모두 1의 한계를 산출합니다.

대수 연산과 관련된 한계는 종종 하위 표현식을 그 한계로 대체하여 평가할 수 있습니다. 결과 표현식이 원래 한계를 결정하지 않으면 그 표현식은 불확정 형태로 알려져 있습니다.[6] 식 0은 불확실한 형태입니다: 실수 함수 f(t) 및 g(t)가 0에 접근하는 경우(f(t) > 0인 실수 또는 ± ∞에 접근함에 따라), f(t)의 극한은 음이 아닌 실수 또는 + ∞일 수 있고, f 및 g에 따라 발산할 수 있습니다. 예를 들어, 아래의 각 극한은 f(t), g(t) → 0을 t → 0(단방향 극한)으로 하는 함수 f(t)를 포함하지만 값은 다릅니다.

따라서 2변수 함수 x는 집합 {(x, y) : x > 0}에서 연속적이지만 어떤 식으로 0을 정의하든 {(x, y) : x > 0} ∪ {(0, 0)}에서 연속적인 함수로 확장할 수 없습니다.

반대로 f와 g가 수 c의 열린 근방에 대한 분석 함수라면, f가 양수인 어느 한 변에서 t가 c에 접근하듯이 f(t) → 1입니다. 이것과 더 일반적인 결과는 함수 ln(f(t)) = g(t) ln f(t)의 한계 거동을 연구함으로써 얻을 수 있습니다.

복소 지수

복합 도메인에서 함수 z는w 로그 z의 분기를 선택하고 zase를 정의함으로써 0이ww log z 아닌 z에 대해 정의될 수 있습니다. 이것은 0의 근방은 고사하고 z = 0에서 정의된 로그 z의 분기가 없으므로 0을 정의하지 않습니다.

역사

가치로

1752년 오일러 인 도입부에서 인니토럼은 a = 1이라고 쓰고 명시적으로 0 = 1이라고 언급했습니다. 오일러의 저서인 인니토럼의 1787년 판에서 마셰로니에 의한 주석은 "정당성"을 제공합니다.

그리고 또 다른 관련된 정당성도 있습니다. 1830년대에 Libri는 주장 0=1을 정당화하려는 몇 가지 주장을 추가로 발표했습니다. 비록 이것들은 그 당시의 엄격한 기준에 의해서도 설득력이 떨어졌지만 말입니다.

제한 양식으로

오일러는 0 = 1로 설정할 때 결과적으로 함수 0의 값은 x < 0의 경우 ∞에서 1로, x = 0에서 1로, x > 0의 경우 0으로 "huge 점프"를 취한다고 언급했습니다. 1814년에 파프는 스퀴즈 정리를 사용하여 x → 1이 x → 0임을 증명했습니다.

한편 코시는 1821년에 어떤 고정 관계에 의해 제약을 받으면서 x를 양수 x와 y로 하는 극한이 0에 접근하는 이유를 설명했고, 그 관계를 적절하게 선택함으로써 0과 ∞ 사이의 임의의 값을 가정할 수 있었습니다. 그는 지정된 제약 조건이 없는 완전한 2변수 함수y x의 극한은 "불확정"이라고 추론했습니다. 이런 이유로 그는 0/0과 같은 표현과 함께 0을0 불확정 형태의 표에 나열했습니다.

코시의 업적을 모르는 것처럼 보이던 뫼비우스는 1834년 파프의 주장을 토대로 수 c에 x가 접근할 때마다 f(x) → 1,g(x) → 0이라고 잘못 주장했습니다(presum적으로 f는 c에서 양수라고 가정합니다). 뫼비우스는 경우 c = 0으로 축소했지만, 분석 함수의 경우에는 성립하지만 일반적으로 그렇지 않은 어떤 연속 함수 P와 어떤 음이 아닌 정수 n에 대해서는 f와 g가 Px 형태로 표현될 수 있다고 가정하는 실수를 범했습니다. 익명의 댓글 작성자가 부당한 조치를 지적하자, 단순히 'S'로 이름을 붙인 또 다른 댓글 작성자가 명시적인 반례 (e) → e와 (e) → e를 x → 0으로 제공하고 "0은 여러 가지 다른 값을 가질 수 있다"고 적어 상황을 표현했습니다.

현재상황

  • 많은0 정리문을 단순화하기 때문에 0을 1로 정의하는 저자도 있습니다. Benson(1999)에 따르면, "0을0 정의할 것인가의 선택은 정확성이 아니라 편리성에 근거합니다. 만약0 우리가 0을 정의하는 것을 삼간다면, 어떤 주장들은 불필요하게 어색해집니다. 비록 0을 정의하는 것을 자제하는 교과서들도 있지만, 그 합의는 0 = 1이라는 정의를 사용하는 것입니다." Knuth(1992)는 0이 "1이어야 한다"고 더 강하게 주장합니다. 그는 1과 같아야 하는 값 0과 극한 형태 0(f(t)의 약어로 f(t), g(t) → 0), "코시와 리브리 모두 옳았지만 리브리와 그의 변호인들은 왜 진실이 그들 편인지 이해하지 못했습니다."[19]
  • 다른 저자는 0이 불확정 형태이므로 0을 정의되지 않은 채로 남깁니다. f(t), g(t) → 0은 f(t) → 1을 의미하지 않습니다.

1 이외의 특정 값을 0으로0 할당하는 저자는 없는 것 같습니다.[22]

컴퓨터에서 처리

IEEE 부동소수점 표준

IEEE 754-2008 부동 소수점 표준은 대부분의 부동 소수점 라이브러리의 설계에 사용됩니다. 전력을 계산하기 위한 몇 가지 작업을 권장합니다.[25]

  • pown (지수가 정수임) 0을 1로 처리합니다. § 이산 지수를 참조하십시오.
  • pow (지수가 정수인 경우 Non-NaN이 아닌 결과를 반환하려는 의도는 다음과 같습니다.) pown)는0 0을 1로 취급합니다.
  • powr 형태가 불확실하여 0을 NaN(Not-a-Number)으로 처리합니다. § 연속 지수를 참조하십시오.

그 pow 변종은 다음에서 영감을 받았습니다. pow 주로 호환성을 위해 C99에서 기능합니다.[26] 주로 단일 전원 기능이 있는 언어에 유용합니다. 그 pown 그리고. powr 동력 기능과 서로 다른 관점(위에서 언급한 바와 같이)의 사용이 상충되어 변형이 도입되었습니다.[27]

프로그래밍 언어

C 및 C++ 표준에는 0의0 결과가 명시되어 있지 않습니다(도메인 오류가 발생할 수 있음). 그러나 C99의 경우, 표준 부속서 F가 지원되는 경우, 실제 부동 소수점 유형에 대한 결과는 1이 필요합니다. 왜냐하면 이 값이 NaN보다[28] 더 유용한 중요한 응용 프로그램(예를 들어, 이산 지수가 있는 경우)이 있기 때문입니다. 정보 부속서 G가 지원되는 경우에도 복합 유형에 대한 결과는 지정되지 않습니다. 자바 표준,[29] 더.NET Framework 방법 System.Math.Pow ,[30]Julia 및 Python도[31][32] 0을0 1로 취급합니다. 일부 언어는 지수화 연산이 다음에 해당한다고 문서화합니다. pow C 수학 라이브러리의 함수, Lua와[33] Perl의 경우가 이에 해당합니다. ** 연산자[34](의 결과가 명시적으로 언급된 경우) 0**0 플랫폼에 따라 달라집니다.

수학 및 과학 소프트웨어

APL,[citation needed] R,[35] Stata, SageMath,[36] Matlab, Magma, GAP, Singular, PARI/GP [37]및 GNU 옥타브가 1로 평가됩니다. mathematica와[38] Macsyma는 제약조건이 없어도 1로 단순화되지만, 0을0 직접 입력하면 오류로 처리되거나 불확실합니다. SageMath는 0을x 단순화하지 않습니다. Maple, Mathematica[38] 및 PARI/GP는[37][39] 정수 값과 부동 소수점 값을 더 구분합니다. 지수가 정수 유형의 0인 경우 기저 유형의 1을 반환합니다. 부동 소수점 지수 값이 0인 지수는 정의되지 않거나, 불확실하거나, 오류로 처리됩니다.

참고 항목

참고문헌

  1. ^ Bourbaki, Nicolas (2004). "III.§3.5". Elements of Mathematics, Theory of Sets. Springer-Verlag.
  2. ^ Bourbaki, Nicolas (1970). "§III.2 No. 9". Algèbre. Springer. L'unique monôme de degré 0 est l'élément unité de A[(Xi)i∈I]; on l'identifie souvent à l'élément unité 1 de A
  3. ^ Bourbaki, Nicolas (1970). "§IV.1 No. 3". Algèbre. Springer.
  4. ^ Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1989-01-05). "Binomial coefficients". Concrete Mathematics (1st ed.). Addison-Wesley Longman Publishing Co. p. 162. ISBN 0-201-14236-8. Some textbooks leave the quantity 00 undefined, because the functions x0 and 0x have different limiting values when x decreases to 0. But this is a mistake. We must define x0 = 1, for all x, if the binomial theorem is to be valid when x = 0, y = 0, and/or x = −y. The binomial theorem is too important to be arbitrarily restricted! By contrast, the function 0x is quite unimportant.
  5. ^ Vaughn, Herbert E. (1970). "The expression 00". The Mathematics Teacher. 63: 111–112.
  6. ^ Malik, S. C.; Arora, Savita (1992). Mathematical Analysis. New York, USA: Wiley. p. 223. ISBN 978-81-224-0323-7. In general the limit of φ(x)/ψ(x) when x = a in case the limits of both the functions exist is equal to the limit of the numerator divided by the denominator. But what happens when both limits are zero? The division (0/0) then becomes meaningless. A case like this is known as an indeterminate form. Other such forms are ∞/∞, 0 × ∞, ∞ − ∞, 00, 1∞ and ∞0.
  7. ^ Paige, L. J. (March 1954). "A note on indeterminate forms". American Mathematical Monthly. 61 (3): 189–190. doi:10.2307/2307224. JSTOR 2307224.
  8. ^ a b c Möbius, A. F. (1834). "Beweis der Gleichung 00 = 1, nach J. F. Pfaff" [Proof of the equation 00 = 1, according to J. F. Pfaff]. Journal für die reine und angewandte Mathematik (in German). 1834 (12): 134–136. doi:10.1515/crll.1834.12.134. S2CID 199547186.
  9. ^ Baxley, John V.; Hayashi, Elmer K. (June 1978). "Indeterminate Forms of Exponential Type". The American Mathematical Monthly. 85 (6): 484–486. doi:10.2307/2320074. JSTOR 2320074. Retrieved 2021-11-23.
  10. ^ Xiao, Jinsen; He, Jianxun (December 2017). "On Indeterminate Forms of Exponential Type". Mathematics Magazine. 90 (5): 371–374. doi:10.4169/math.mag.90.5.371. JSTOR 10.4169/math.mag.90.5.371. S2CID 125602000. Retrieved 2021-11-23.
  11. ^ Carrier, George F.; Krook, Max; Pearson, Carl E. (2005). Functions of a Complex Variable: Theory and Technique. p. 15. ISBN 0-89871-595-4. Since log(0) does not exist, 0z is undefined. For Re(z) > 0, we define it arbitrarily as 0.
  12. ^ Gonzalez, Mario (1991). Classical Complex Analysis. Chapman & Hall. p. 56. ISBN 0-8247-8415-4. For z = 0, w ≠ 0, we define 0w = 0, while 00 is not defined.
  13. ^ Meyerson, Mark D. (June 1996). "The xx Spindle". Mathematics Magazine. Vol. 69, no. 3. pp. 198–206. doi:10.1080/0025570X.1996.11996428. ... Let's start at x = 0. Here xx is undefined.
  14. ^ a b Euler, Leonhard (1988). "Chapter 6, §97". Introduction to analysis of the infinite, Book 1. Translated by Blanton, J. D. Springer. p. 75. ISBN 978-0-387-96824-7.
  15. ^ Euler, Leonhard (1988). "Chapter 6, §99". Introduction to analysis of the infinite, Book 1. Translated by Blanton, J. D. Springer. p. 76. ISBN 978-0-387-96824-7.
  16. ^ a b Libri, Guillaume (1833). "Mémoire sur les fonctions discontinues". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in French). 1833 (10): 303–316. doi:10.1515/crll.1833.10.303. S2CID 121610886.
  17. ^ Euler, Leonhard (1787). Institutiones calculi differentialis, Vol. 2. Ticini. ISBN 978-0-387-96824-7.
  18. ^ Libri, Guillaume (1830). "Note sur les valeurs de la fonction 00x". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in French). 1830 (6): 67–72. doi:10.1515/crll.1830.6.67. S2CID 121706970.
  19. ^ a b Knuth, Donald E. (1992). "Two Notes on Notation". The American Mathematical Monthly. 99 (5): 403–422. arXiv:math/9205211. Bibcode:1992math......5211K. doi:10.1080/00029890.1992.11995869.
  20. ^ Cauchy, Augustin-Louis (1821), Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, Oeuvres Complètes: 2 (in French), vol. 3, pp. 65–69
  21. ^ a b Anonymous (1834). "Bemerkungen zu dem Aufsatze überschrieben "Beweis der Gleichung 00 = 1, nach J. F. Pfaff"" [Remarks on the essay "Proof of the equation 00 = 1, according to J. F. Pfaff"]. Journal für die reine und angewandte Mathematik (in German). 1834 (12): 292–294. doi:10.1515/crll.1834.12.292.
  22. ^ a b Benson, Donald C. (1999). Written at New York, USA. The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies. Oxford, UK: Oxford University Press. p. 29. ISBN 978-0-19-511721-9.
  23. ^ Edwards; Penney (1994). Calculus (4th ed.). Prentice-Hall. p. 466.
  24. ^ Keedy; Bittinger; Smith (1982). Algebra Two. Addison-Wesley. p. 32.
  25. ^ Muller, Jean-Michel; Brisebarre, Nicolas; de Dinechin, Florent; Jeannerod, Claude-Pierre; Lefèvre, Vincent; Melquiond, Guillaume; Revol, Nathalie; Stehlé, Damien; Torres, Serge (2010). Handbook of Floating-Point Arithmetic (1 ed.). Birkhäuser. p. 216. doi:10.1007/978-0-8176-4705-6. ISBN 978-0-8176-4704-9. LCCN 2009939668. ISBN 978-0-8176-4705-6 (online), ISBN 0-8176-4704-X (print)
  26. ^ "More transcendental questions". grouper.ieee.org. Archived from the original on 2017-11-14. Retrieved 2019-05-27. (NB. IEEE 754 표준 개정을 위한 전력 기능에 대한 논의 시작, 2007. 5.)
  27. ^ "Re: A vague specification". grouper.ieee.org. Archived from the original on 2017-11-14. Retrieved 2019-05-27. (NB. IEEE 754 표준 개정을 위한 전력 기능에 대한 논의에서 변형 제안, 2007년 5월)
  28. ^ Rationale for International Standard—Programming Languages—C (PDF) (Report). Revision 5.10. April 2003. p. 182.
  29. ^ "Math (Java Platform SE 8) pow". Oracle.
  30. ^ ".NET Framework Class Library Math.Pow Method". Microsoft.
  31. ^ "Built-in Types — Python 3.8.1 documentation". Retrieved 2020-01-25. Python defines pow(0, 0) and 0 ** 0 to be 1, as is common for programming languages.
  32. ^ "math — Mathematical functions — Python 3.8.1 documentation". Retrieved 2020-01-25. Exceptional cases follow Annex 'F' of the C99 standard as far as possible. In particular, pow(1.0, x) and pow(x, 0.0) always return 1.0, even when x is a zero or a NaN.
  33. ^ "Lua 5.3 Reference Manual". Retrieved 2019-05-27.
  34. ^ "perlop – Exponentiation". Retrieved 2019-05-27.
  35. ^ The R Core Team (2023-06-11). "R: A Language and Environment for Statistical Computing – Reference Index" (PDF). Version 4.3.0. p. 25. Retrieved 2019-11-22. 1 ^ y and y ^ 0 are 1, always.
  36. ^ The Sage Development Team (2020). "Sage 9.2 Reference Manual: Standard Commutative Rings. Elements of the ring Z of integers". Retrieved 2021-01-21. For consistency with Python and MPFR, 0^0 is defined to be 1 in Sage.
  37. ^ a b "pari.git / commitdiff – 10- x ^ t_FRAC: return an exact result if possible; e.g. 4^(1/2) is now 2". Retrieved 2018-09-10.
  38. ^ a b "Wolfram Language & System Documentation: Power". Wolfram. Retrieved 2018-08-02.
  39. ^ The PARI Group (2018). "Users' Guide to PARI/GP (version 2.11.0)" (PDF). pp. 10, 122. Retrieved 2018-09-04. There is also the exponentiation operator ^, when the exponent is of type integer; otherwise, it is considered as a transcendental function. ... If the exponent n is an integer, then exact operations are performed using binary (left-shift) powering techniques. ... If the exponent n is not an integer, powering is treated as the transcendental function exp(n log x).

외부 링크