측정할 수 없는 집합

수학에서 측정 불가능 집합은 의미 있는 "볼륨"을 할당할 수 없는 집합입니다.이러한 집합의 수학적 존재는 형식 집합 이론에서 길이, 면적 및 부피의 개념에 대한 정보를 제공하는 것으로 해석됩니다.저멜로-프랭켈 집합론에서, 선택 공리는 R \ $mathbb {R}$ 의 $\mathbb {R}$ 측정 불가능한 부분 집합이 존재한다는 것을 수반합니다.

측정할 수 없는 집합에 대한 개념은 도입된 이래로 큰 논란의 대상이 되어 왔습니다.역사적으로 볼렐과 콜모고로프는 측정 가능하도록 제한된 집합에 대한 확률 이론을 공식화했습니다.라인에서 측정 가능한 세트는 반복 카운트 가능 유니언 및 간격 교차점(보렐 세트라고 함) + - null 세트입니다.이 집합들은 표준 수학에서 발생하는 집합에 대한 모든 가능한 정의를 포함할 만큼 충분히 풍부하지만, 그것들은 집합들이 측정 가능하다는 것을 증명하기 위해 많은 형식주의를 필요로 합니다.

1970년, 로버트 M. 솔로베이는 솔로베이 모델을 구성했는데, 이는 셀 수 없는 선택 없이 표준 집합 이론과 일치하며, 실수의 모든 부분 집합을 측정할 수 있음을 보여줍니다.그러나 솔로베이의 결과는 표준 집합 이론 내에서 그 존재와 일관성을 증명할 수 없는 접근 불가능한 추기경의 존재에 달려 있습니다.

역사적 건축물

임의의 집합에 대한 길이를 정의하는 데 문제가 있을 수 있다는 첫 번째 징후는 비탈리의 [1]정리에서 나왔습니다.일부 추가 속성을 가진 비레베그 측정 가능 세트의 로빈 토마스의 구성과 유사한 더 최근의 조합 구성이 American Mathematical Monthly에 나타났습니다.^[2]

분리된 두 집합의 결합 측도는 두 집합의 측도의 합이 될 것으로 예상됩니다.이러한 자연 특성을 갖는 측도를 유한 가법이라고 합니다.유한 가법 측도는 대부분의 영역 직관에 충분하고 리만 적분과 유사하지만, 이벤트 또는 무작위 변수의 시퀀스에 대한 기존의 현대적 처리는 카운트 가능한 가법성을 요구하기 때문에 확률에 대해 불충분한 것으로 간주됩니다.

이 점에서 평면은 선과 유사합니다. 모든 등각선에서 불변하는 르베그 측도를 확장하는 유한 가법 측도가 있습니다.고차원의 경우 그림이 더 나빠집니다.하우스도르프 역설과 바나흐-타르스키 역설은 반경 1의 3차원 공이 5개의 부분으로 해부될 수 있으며, 이는 다시 조립되어 반경 1의 두 개의 공을 형성할 수 있음을 보여줍니다.

예

$\pi$ $원$ 의 모든 $S,$ 점들의 집합인 S $,$ $S$ 와 $\pi$ 모든 합리적인 회전(θ $G$ \ $pi$ 의 합리적 배수인 각도에 의한 회전)으로 구성된 $그룹$ GG에 의한 $SS$ 에 $S$ $대한$ 작용을 $S,$ 합니다. $G$ 서 $GG$ 는 $G$ 카운트할 수 있지만 $SS$ 는 $S$ 카운트할 수 없습니다( $보다$ $G$ 으로 $GG$ 는 $G$ Q $($ 스타일 $\mathbb {Q} /\mathbb {Z$ $따라서$ $SS$ 는 $S$ $GG$ $G$ 에서 셀 수 없이 많은 궤도로 분할됩니다(s $\{se^{iq\pi }:q\in \mathbb {Q} \}$ $\in$ S의 $s\in S$ $s\in S$ 는 카운트 가능한 $\{se^{iq\pi }:q\in \mathbb {Q} \}$ 집합 { $\{se^{iq\pi }:q\in \mathbb {Q} \}$ $\{se^{iq\pi }:q\in \mathbb {Q} \}$ : $\{se^{iq\pi }:q\in \mathbb {Q} \}$ $s\in S$ q $\{se^{iq\pi }:q\in \mathbb {Q} \}$ } Q $}{displaystyle$ \{ $se^{iq\$ pi }: $q\in \mathbb {Q}$ \}). $\{se^{iq\pi }:q\in \mathbb {Q} \}$ 선택의 공리를 이용해서, 우리는 각 궤도에서 하나의 점을 선택할 수 있습니다. $GG$ 쌍에 $의한$ $X$ 의 $X$ $일부$ $q$ ^[3] $q$ )에 대한 X의 모든 합리적인 q에 대해 $e^{iq\pi }X:=\{e^{iq\pi }x:x\in X\}$ 합리적인 $e^{iq\pi }X:=\{e^{iq\pi }x:x\in X\}$ $e^{iq\pi }X:=\{e^{iq\pi }x:x\in X\}$ $e^{iq\pi }X:=\{e^{iq\pi }x:x\in X\}$ X : $=$ { $e^{iq\pi }X:=\{e^{iq\pi }x:x\in X\}$ X : $e^{iq\pi }X:=\{e^{iq\pi }x:x\in X\}$ $}{displaystyle$ e $^{iq\pi}X:=\{e^iq$ \in $X\}}}$ 의 $e^{iq\pi }X:=\{e^{iq\pi }x:x\in X\}$ 속성을 갖는 가산할 수 없는 $X\subset S$ 집합 X ⊂ $\subset$ S를 $X\subset S$ 얻는 것은 (비합법적인 의미) $XX$ 에서 $X$ $분리$ 및 상호 분리)이러한 집합은 원을 (합리적 회전에 의해) 쌍으로 일치하는 분리 집합의 카운트 가능한 집합으로 분할합니다. $세트$ $X$ X는 $X$ $SS$ 에서 $회전$ 불변 가산 확률 측정에 대해 측정할 수 없습니다. X $X$ 에 $X$ 측정값이 0이면 $가산$ 가산성은 전체 원에 측정값이 0임을 의미합니다. $XX$ 에 $X$ 양의 측도가 있으면 $카운트$ 가능한 가법성은 원에 무한 측도가 있음을 나타냅니다.

측정값 및 확률의 일관된 정의

바나흐-타르스키 역설은 다음의 다섯 가지 양보 중 하나를 ^{[citation needed]}하지 않는 한 부피를 3차원으로 정의할 방법이 없음을 보여줍니다.

세트가 회전할 때 세트의 볼륨이 변경될 수 있습니다.
두 개의 분리된 집합의 결합 볼륨이 해당 볼륨의 합과 다를 수 있습니다.
일부 세트에는 "측정할 수 없음" 태그가 지정될 수 있으며, 볼륨에 대해 설명하기 전에 세트가 "측정 가능"인지 확인해야 합니다.
ZFC의 공리는 변경되어야 할 수도 있습니다.
[ $[0,1]^{3}$ $[0,1]^{3}$ [ $0,1]^{3}$ 의 $[0,1]^{3}$ $[0,1]^{3}$ $0$ 은0{{ $displaystyle$ 0 $}$ 또는 $0$ $∞$ $infty$ 입니다.

표준 측도 이론은 세 번째 ^{[citation needed]}옵션을 사용합니다.하나는 측정 가능한 집합의 집합을 정의하는데, 이 집합은 매우 풍부하며, 수학의 대부분의 분기에서 명시적으로 정의되는 거의 모든 집합은 이 ^{[citation needed]}집합에 속할 것입니다.기하학적 평면의 특정 부분 집합이 측정 가능하다는 ^{[citation needed]}것을 증명하는 것은 일반적으로 매우 쉽습니다.기본적인 가정은 이산 집합의 셀 수 없이 무한한 시퀀스가 γ-additivity라고 불리는 특성인 합계 공식을 만족한다는 것입니다.

1970년, 솔로베이는 (접근 불가능한 기수의 일관성을 가정하여) ZF의 모델이 있다는 것을 보여줌으로써 추가 공리(선택의 공리와 같은)가 없는 경우, 르베그 측도에 대한 측정 불가능한 집합의 존재는 저멜로-프랑켈 집합 이론의 틀 안에서 증명할 수 없음을 증명했습니다.셀 수 있는 선택이 유지되는 솔로베이의 모델이라고 불리는, 모든 집합은 르베그 측정 가능하고 선택의 완전한 ^{[citation needed]}공리가 실패합니다.

선택의 공리는 점집합 위상수학의 기본 결과인 티호노프의 정리와 같으며, 함수해석학의 두 기본 결과인 바나흐-알라오글루 정리와 크레인-밀만 ^{[citation needed]}정리의 결합과도 같습니다.그것은 또한 고리 이론과 순서 이론뿐만 아니라 무한대 그룹의 연구에도 큰 영향을 미칩니다.^{[citation needed]}그러나 결정성과 종속 선택의 공리는 대부분의 기하학적 측정 이론, 전위 이론, 푸리에 급수 및 푸리에 변환에 충분하며 실제 라인의 모든 하위 집합을 측정할 ^{[citation needed]}수 있습니다.

참고 항목

바나흐-타르스키 역설 - 기하학적 정리
Carathéodory의 기준 – 측정 가능한 세트에 대한 필요충분조건 하는 페이지
하우스도르프 역설
측정(수학) – 질량, 길이, 면적 및 부피의 일반화
비보렐 세트 – 리디렉션 대상에 대한 간단한 설명을 표시하는 수학적 프로세스 페이지
외부 측정 – 수학적 함수
비탈리 세트 – 르베그를 측정할 수 없는 실수의 집합

레퍼런스

메모들

^ 무어, 그레고리 H., 저멜로의 선택의 공리, 스프링어-베를라그, 1982, 100-101페이지
^ Sadhukhan, A. (December 2022). "A Combinatorial Proof of the Existence of Dense Subsets in $\mathbb {R}$ without the "Steinhaus" like Property". Am. Math. Mon. 130 (2): 175. doi:10.1080/00029890.2022.2144665.
^ Ábrego, Bernardo M.; Fernández-Merchant, Silvia; Llano, Bernardo (January 2010). "On the Maximum Number of Translates in a Point Set". Discrete & Computational Geometry. 43 (1): 1–20. doi:10.1007/s00454-008-9111-9. ISSN 0179-5376.

서지학

Dewdney, A. K. (1989). "A matter fabricator provides matter for thought". Scientific American (April): 116–119. doi:10.1038/scientificamerican0489-116.

[1] 무어, 그레고리 H., 저멜로의 선택의 공리, 스프링어-베를라그, 1982, 100-101페이지

[2] Sadhukhan, A. (December 2022). "A Combinatorial Proof of the Existence of Dense Subsets in $\mathbb {R}$ without the "Steinhaus" like Property". Am. Math. Mon. 130 (2): 175. doi:10.1080/00029890.2022.2144665.

[3] Ábrego, Bernardo M.; Fernández-Merchant, Silvia; Llano, Bernardo (January 2010). "On the Maximum Number of Translates in a Point Set". Discrete & Computational Geometry. 43 (1): 1–20. doi:10.1007/s00454-008-9111-9. ISSN 0179-5376.

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