해체 정리

수학에서 분해 정리는 측정 이론과 확률 이론의 결과물이다. 그것은 문제의 측정 공간의 0 부분 집합에 대한 측정의 비독점적 "제한" 개념을 엄격하게 정의한다. 조건부 확률 측정의 존재와 관련이 있다. 어떤 의미에서 '비통합'은 제품 대책의 구축과는 정반대의 과정이다.

동기

유클리드 평면 R², S = [0, 1] × [0, 1]의 단위 정사각형을 고려한다. 2차원 Lebegue 측정값 λ² to S의 제한에 의해 S에 정의된 확률 측정 μ를 고려한다. 즉, 사건 E ⊆ S의 확률은 단순히 E의 영역이다. 우리는 E가 S의 측정 가능한 부분집합이라고 가정한다.

선 세그먼트 L_x = {x} × [0, 1]과 같은 S의 1차원 부분집합을 고려한다. L은_x μ 측정 0을 가지고 있다; L의_x 모든 부분 집합은 μ-null 집합이다; Lebegue 측정 공간은 완전한 측정 공간이기 때문에,

E\subseteq L_{x}\implies \mu(E)=0.

사실이지만, 이것은 다소 불만족스럽다. μ '제한된' L은_x 영점 척도가 아니라 1차원 르베그 측정치 λ이라고¹ 해도 좋을 것이다. 그런_x_x 다음 "2차원" 사건 E의 확률을 수직 "slices" E : L_x: 보다 공식적으로 μ가 L에 대한 1차원 Lebegue 측정을 나타내는 경우, 2차원 사건 E:의 적분으로 얻을 수 있다.

\mu(E)=\int _{[0,1]}\mu _{x}(E\cap L_{x})\,\mathrm {d}x

모든 "nice" E ⊆ S에 대해. 분해 정리는 이 주장을 미터법 공간에 대한 측정의 맥락에서 엄격하게 만든다.

정리명세서

(이후 P(X)는 미터법 공간(X, d)에 대한 보렐 확률 측정값의 컬렉션을 나타낸다.) 정리의 가정은 다음과 같다.

Y와 X를 두 개의 라돈 공간(즉, M에 대한 모든 보렐 확률 측정치가 내부 정규 공간(예: 모든 확률 측정치가 라돈 측정값인 분리 가능한 메트릭 공간)으로 한다.
μ μ P(Y)를 그대로 둔다.
π : Y → X를 보렐 측정 함수로 한다. Here one should think of π as a function to "disintegrate" Y, in the sense of partitioning Y into $\{\pi ^{-1}(x)\ \ x\in X\}$ . For example, for the motivating example above, one can define ${\displaystyle \pi ((a,b))=a,(a,b)\in [0$ $,1]\properties [0,$ $\pi ^{-1}(a)=a\times [0,1]$ ]} $\pi ((a,b))=a,(a,b)\in [0,1]\times [0,1]$ $\pi ^{-1}(a)=a\times [0,1]$ - 1 $\pi ^{-1}(a)=a\times [0,1]$ ( $\pi ^{-1}(a)=a\times [0,1]$ ) $\pi ^{-1}(a)=a\times [0,1]$ = $\pi ^{-1}(a)=a\times [0,1]$ [ 0 $\pi ^{-1}(a)=a\times [0,1]$ $\pi ^{-1}(a)=a\times [0,1]$ $\pi ^{-1}(a)=a\times [0,1]$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(a)=a\pi[0,1]},$ 캡처할 슬라이스 $\pi ^{-1}(a)=a\times [0,1]$
$\nu$ ${\displaystyle \nu$ }∈ $\nu$ P(X)를 푸시포워드 측정값 ν = μ_∗(μ) = μ π으로⁻¹ 한다. 이 측정치는 x의 분포를 제공한다( $\pi ^{-1}(x)$ 은 이벤트 $\pi ^{-1}(x)$ - $\pi ^{-1}(x)$ ( x ) ${\displaystyle \pi$ ^{- $1}(x)}).$

정리의 결론은 다음과 같다. 거의 모든 $\nu$ 곳에 고유하게 결정된 확률 측정치 {μ_x}_x∈X μP(Y $)$ P(Y)의 $\nu$ 패밀리가 $\mu$ 하며 $\{\mu _{x}\}_{x\in X}$ 이는 다음과 같은 방법으로 $\{\mu _{x}\}_{x\in X}$ {\ $displaystyle$ $mu \{x$ }\{ $x}\in X}$ 에 $\mu$ μs ${\$ $displaystyle \}$ 의 "분산"을 제공한다 $\{\mu _{x}\}_{x\in X}$

$x\mapsto \mu _{x}$ x $x\mapsto \mu _{x}$ $x\mapsto \mu _{x}$ ${\$ $x\mapsto \mu _{x}(B)$ $\$ $mapsto \$ mapsto $x\mapsto \mu _{x}$ $x\mapsto \mu _{x}(B)$ mapsto $_{x}(B)}$ 는 각 Borel 측정 가능한 집합 B ⊆ Y에 대해 $Borelerl$ $x\mapsto \mu _{x}(B)$ 가능한 함수라는 $x\mapsto \mu _{x}(B)$ 점에서 Borel 측정 가능한 것이다 $x\mapsto \mu _{x}$ .
μA_x 섬유 x( $\nu$ ): ( $\nu$ -almost $\nu$ allx ∈ X, $\mu _{x}\left(Y\setminus \pi ^{-1}(x)\right)=0,$ μ_x(E) = μ_x(E ∩ ∩(x⁻¹));
모든 Borel 측정 가능한 함수 f : Y → [0, ∞], $\int_{Y}f(y)\,\mathrm {d} \mu(y)=\int_{X}\int_{\pi ^{-1(x)f(y)\,\mathrm {d} \matrmatrm {d} \nu(x) \nu(x).$ 특히, 어떤 사건 E ⊆ Y의 경우, f를 E의 지표 함수로 삼는다.^[1] $\dmatrm {d}\nu(x)=\int _{X}\mu _{x}\left(E\right)\,\mathrm {d}\nu(x).}$

적용들

제품 공간

원래의 예는 분해 정리가 적용되는 제품 공간의 문제에 대한 특별한 경우였다.

언제 Y는 데카르트의 제품으로 쓰여 있Y)X1× X2와 πi:Y→ 자이는 자연스러운 돌출부 각 섬유 π1−1(x1) 수 있을 교회 법에 의하여 확인과 함께 X2그리고 존재하는 보렐 가족의 확률 대책{μ x1}x1∈ X1{\displaystyle\와 같이{\mu_{x_{1}}년}_{x_{1}\in X_{1}}}에 P(X2)(어떤 ITπ1은)∗(μ)-almost ev이다erywhere uni그렇게 굳게 결심)했다.

\mu =\int _{X_{1}}\mu _{x_{1}}\,\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right)=\int _{X_{1}}\mu _{x_{1}}\,\mathrm {d} (\pi _{1})_{*}(\mu )(x_{1}),

특히

\int _{X_{1}\times X_{2}}f(x_{1},x_{2})\,\mu (\mathrm {d} x_{1},\mathrm {d} x_{2})=\int _{X_{1}}\left(\int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\mu (\mathrm {d} x_{2} x_{1})\right)\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right)

그리고

\\daystyle \mu(A\times B)=\int _{A}\mu \left(B x_{1}\right)\,\mu \left(\pi _{1}^{1}-1}(\mathrmon {d}x_{1})\right.}

조건부 기대와의 관계는 정체성에 의해 주어진다.

{\dmathrm \operatorname {E}(f \pi _{1})(x_{1}=\int_{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\mu(\mathrm {d}x_{2} x_{1}),}

\mu(A\time B \pi _{1})(x_{1}=1_{A}(x_{1})\cdot \mu(B x_{1})

벡터 미적분학

분해 정리는 벡터 미적분학에서 "제한된" 척도의 사용을 정당화하는 것으로도 볼 수 있다. 예를 들어, 콤팩트한 표면 Ⅱ ⊂ R을³ 흐르는 벡터장에 적용되는 스토크스의 정리에서는 Ⅱ에 대한 "정확한" 척도가 Ⅱ에 대한 3차원 르베그 측정³ on의 분해라는 것을 내포하고 있으며, Ⅱ에 대한 이 조치의 분해는 ∂의³ 분해와 동일하다는 것을 암시한다.^[2]

조건부 분포

분해 정리는 조건부 확률 분포의 엄격한 처리를 제공하는 동시에, 조건부 확률의 순수하게 추상적인 제형을 피할 수 있도록 하기 위해 적용할 수 있다.^[3]

참고 항목

참조

^ Dellacherie, C.; Meyer, P.-A. (1978). Probabilities and Potential. North-Holland Mathematics Studies. Amsterdam: North-Holland. ISBN 0-7204-0701-X.
^ Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. (2005). Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel. ISBN 978-3-7643-2428-5.CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
^ Chang, J.T.; Pollard, D. (1997). "Conditioning as disintegration" (PDF). Statistica Neerlandica. 51 (3): 287. CiteSeerX 10.1.1.55.7544. doi:10.1111/1467-9574.00056.

[Dellacherie_Meyer-1] Dellacherie, C.; Meyer, P.-A. (1978). Probabilities and Potential. North-Holland Mathematics Studies. Amsterdam: North-Holland. ISBN 0-7204-0701-X.

[Ambrosio_Gigli_Savare-2] Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. (2005). Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel. ISBN 978-3-7643-2428-5.CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)

[Chang_Pollard-3] Chang, J.T.; Pollard, D. (1997). "Conditioning as disintegration" (PDF). Statistica Neerlandica. 51 (3): 287. CiteSeerX 10.1.1.55.7544. doi:10.1111/1467-9574.00056.

[1]

[2]

[3]

v t 측량 이론
기본개념	절대 연속성 르베그 통합 L공백^p 치수 공간 측정 확률공간 측정 가능한 공간/기능
놓다	거의 모든 곳에서 보렐 세트 측정의 수렴 𝜆-시스템 필수 범위 최소/최소 국소 측정 가능 π-시스템 σ-algebra 측정할 수 없는 집합 비탈리 세트 Null 집합 지원 횡척도
측정 유형	베이어 바나흐 베소프 보렐 콤플렉스 완성하다 (논리적으로) 볼록스 이산형 유한한 내부 (Quasi-) 불변성 국소 유한 최대화 미터법 바깥쪽 바깥쪽 퍼펙트 사전측정 (하위-) 확률 투영 값 라돈 무작위 정규 보렐 정규 이너 레귤러 아우터 레귤러 포화상태 함수 설정 σ-finite s-through 서명된 단수형 스펙트럼 엄밀히 말하면 긍정적이다. 꽉 끼다 벡터
특정조치	계산 디락 오일러 가우스어 하르 조화 하우스도르프 강도 레베게 로그 제품 푸시포워드 구면계 접선 사소한 젊은
주요 결과	카라테오도리의 확장 정리 수렴 정리 지배적인 모노톤 비탈리 분해 정리 한 조던 에고로프스 파투 보조정리 푸비니즈 홀더 부등식 민코프스키 부등식 라돈-니코딤 리에즈-마르코프-카쿠타니 표현 정리
기타 결과	해체 정리 르베그 밀도 정리 르베그 분화 정리 사르트의 정리
적용들	확률론 실분석 스펙트럼 이론

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