공간 측정

측량공간은 측량 이론의 기본 대상이며, 부피의 일반화된 개념을 연구하는 수학의 한 분야다. 여기에는 측정이 가능한 기본 집합, 이 집합의 하위 집합( measuring-algebra) 및 측정에 사용되는 방법(측정)이 포함된다. 측정 공간의 한 가지 중요한 예는 확률 공간이다.

측정 가능한 공간은 특정한 측정치가 없는 처음 두 요소로 구성된다.

정의

측정 공간은 3중$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle A\mathcal{}}$ ,${\displaystyle \mu }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle(X,{\mathcal{A},\mu }),$ 여기서$$^[1][2]

• ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$이(가) 집합임
• ${\displaystyle \mathcal{A}}$ ${\$$displaystyle$ ${\mathcal${$A$$}$은(는$)$ $X{\displaystyle }$ 집합에 있는 σ-algebra이다$.$
• ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu}$은$({\displaystyle }$는) (${\displaystyle X\mathcal{}}$, A${\displaystyle }$) ${\displaystyle(X,{\mathcal$ {$A})$에 대한 측정값이다.

예

$X{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle X=\{0,1\}$을(를) 설정하십시오$.$ 위의 것과 같은 유한 집합의 $on$ ${\textstyle \sigma }$ -algebra는$$ 대개 전원 집합으로, (주어진 집합의) 모든 하위 집합의 집합이며, $P\mathcal{}$ ($\cdot$)$${\$textstyle${\$mathcal{P}(\cdot$)로 표시된다$.$ 이 규칙을 고수한다.

${\displaystyle {\mathcal{A}={\mathcal {P}(X)}$

이 간단한 경우, 전원 세트를 명시적으로 기록할 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {P}(X)=\{\emptyset,\{0\},\{1\},X\}.}$

측정으로 $\mu$ ${\textstyle \mu }$을(를) 정의하십시오$$.

${\displaystyle \mu(\{0\})=\mu(\{1\}}}={\frac {1}{1}2}},}$

so $\mu ($ $X$)$$= $1$ ${\textstyle \mu(X)=1}($측정값 추가) 및 $\mu (\mathrm{}$μ$$)$$= $0$ ${\textstyle \mu(\emptyet )=0}($조치의 정의)

This leads to the measure space ${\textstyle (X,{\mathcal {P}}(X),\mu )}$. It is a probability space, since ${\textstyle \mu (X)=1}$. The measure ${\textstyle \mu }$ corresponds to the Bernoulli distribution with ${\textstyle p={\frac {1}{2}}}$, which is for example used to m순한 동전의 냄새를 풍기다

측정 공간의 중요 클래스

측정 공간의 가장 중요한 클래스는 관련 측정값의 속성에 의해 정의된다. 여기에는 다음이 포함된다.

• 확률 공간, 측정값이 확률^[1] 측정값인 측정 공간
• 유한 측정 공간, 여기서 유한 측정^[3] 공간
• ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma}$ -message$$ 측정 공간, 여기서 측정값은 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma}$ -message$$ 측정값임^[3]

또 다른 종류의 측정 공간은 전체 측정 공간이다.^[4]

참조