베소프 측도

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수학에서 - 특히 확률 이론과 역문제의 분야에서 - 베소프 측정과 관련 베소프 분산 랜덤 변수는 가우스 측정의 개념과 무작위 변수, 라플라스 분포 및 기타 고전적 분포의 일반화다.그것들은 특히 가우스 베이지안 이전이 부적절한 모델인 함수 공간의 역문제의 연구에 유용하다.베소프 조치의 건설은 베소프 공간의 건설과 유사하므로 명명법이다.

정의들

Let ${\displaystyle H}$ be a separable Hilbert space of functions defined on a domain ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$, and let ${\displaystyle \{e_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}$ be a complete orthonormal basis for ${\displaystyle H}$. Let ${\displaystyle s\in$$\mathb {R}$ 및$$ 1and < ${\displaystyle$ 1$\\leq$ p$<\fty$${\displaystyle \underset{}{}}u{\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{n\mathbb{}}{}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle H}${\$displaystyle u=\sum _{n\in \mathb {n}u_{n$}e_${n}\}in}in}$을 정의한다$.$

${\displaystyle \ u\ _{X^{s,p}}=\left\ \sum _{n\in \mathbb {N} }u_{n}e_{n}\right\ _{X^{s,p}}:=\left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{({\frac {ps}{d}}+{\frac {p}{2}}-1)} u_{n} ^{p}\right)^{1/p}.}$

이것은 한정된 $H$ ${\displaystyle H}$의 하위 공간에 대한 표준을 정의하며, $우리$는 X ${\displaystyle {s,}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ {\$displaystyle$ X$^{s,p}$ 이 새로운 표준과 관련하여 이 하위 공간의 완성을 나타낸다.이러한 정의에 대한 동기는 ${\displaystyle {u{}^{}}_{}}$$u{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {X^{}}_{}}$s , ${\displaystyle {p^{}}_{}}${\$displaystyle$\ $u\ _{X^{s,p$}}}이(가$$) 베소프 공간 B p p${\displaystyle {}_{}^{}}$s (${\displaystyle D}$)$${\$displaystyle B_{pp}^{s}(D)$의 u ${\displaystystystystystyle u}$의 규범위와 동일하다는 사실에서 비롯된다$.$

> ${\displaystyle \kappa >0}$을(를) 가우스 측도의 정밀도(분산의 역수)와 유사한 척도 매개변수로 한다.$이제$ X ${\displaystyle {s,}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$$displaystyle$ $X^{s$$,$$p$$}$ 값을$$ 정의함$$

${\displaystyle u:=\sum \mathb {N}}{n^-{n^-({\frac {s}{d}}+{1}{1}:{2}}-{\frac {1}{p}}}}}}\capta ^{-{-{p}}}\n}e_{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

where ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\dots }$ are sampled independently and identically from the generalized Gaussian measure on ${\displaystyle \mathbb {R} }$ with Lebesgue probability density function proportional to ${\displaystyle \exp(-{\tfrac {1}{2}} \xi$$_{n} ^{p})}$. Informally, ${\displaystyle u}$ can be said to have a probability density function proportional to ${\displaystyle \exp(-{\tfrac {\kappa }{2}}\ u\ _{X^{s,p}}^{p})}$ with respect to infinite-dimensional Lebesgue measure (which does not make rigorous sense), and is therefo$X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle s^{}}$, ${\displaystyle p^{}}$ ${\$의 "일반적인" 요소에 대한 자연적인 후보($$이것은 사실이 아니지만, 아래 참조).

특성.

t ≤ s일 때 X^s,p 규범이 있을 때마다 X^t,p 규범이 유한하다는 것을 쉽게 알 수 있다.따라서 공백^s,p X와^t,p X는 내포된다.

${\displaystyle X^{s,p}\subseteq X^{t,p}{\mbox{{{}}}}{}}}}}$

This is consistent with the usual nesting of smoothness classes of functions f: D → R: for example, the Sobolev space H²(D) is a subspace of H¹(D) and in turn of the Lebesgue space L²(D) = H⁰(D); the Hölder space C¹(D) of continuously differentiable functions is a subspace of the space C⁰(D) of continuous functions.

u를 정의하는 시리즈는 어떤 t < s - d / p에 대해서도 거의 확실히 X로^t,p 수렴되므로, 잘 정의된 X 값 랜덤 변수를 제공한다는^t,p 것을 알 수 있다.X는^t,p X보다^s,p 더 큰 공간이며, 사실 e 랜덤 변수 u는 거의 확실히 작은 공간 X에^s,p 있지 않다.공간 X는^s,p 오히려 가우스 사례 p = 2에서 이 확률 측정의 카메론-마틴 공간이다.무작위 변수 u는 매개변수(κ, s, p)와 함께 분포된 베소프라고 하며, 유도 확률 측정치를 베소프 측정치라고 한다.

참조

• Dashti, Masoumeh; Harris, Stephen; Stuart, Andrew M. (2012). "Besov priors for Bayesian inverse problems". Inverse Problems & Imaging. 6 (2): 183–200. arXiv:1105.0889. doi:10.3934/ipi.2012.6.183. ISSN 1930-8337. MR 2942737. S2CID 88518742.
• Lassas, Matti; Saksman, Eero; Siltanen, Samuli (2009). "Discretization-invariant Bayesian inversion and Besov space priors". Inverse Problems & Imaging. 3 (1): 87–122. arXiv:0901.4220. doi:10.3934/ipi.2009.3.87. ISSN 1930-8337. MR 2558305. S2CID 14122432.