대책의 엄격성

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수학에서 빡빡함은 측량 이론의 개념이다.직관적인 아이디어는 주어진 조치들의 집합이 "무한으로 도망가지 않는다"는 것이다.

정의들

Let ${\displaystyle (X,T)}$ be a Hausdorff space, and let ${\displaystyle \Sigma }$ be a σ-algebra on ${\displaystyle X}$ that contains the topology ${\displaystyle T}$. (Thus, every open subset of ${\displaystyle X}$ is a measurable set and ${\displaystyle \Sigma }$ is at least as fine as theX{X\displaystyle}에 보렐 σ-algebra.(이나 복잡한 서명)조치Σ{\displaystyle \Sigma}에 정의된 모음은 M{M\displaystyle}타이트한(이나 가끔은 한결같이 꽉)라고 불린다)레트 M{M\displaystyle} 컬렉션을. 만약 어떤ε 을 모든 0{\displaystyle \varepsilon>0}aC.이다ompac$t$ 모든 측정에 대해${\displaystyle \mathrm{\mu M}}$ ${\displaystyle$\mu $\in$ M$\},$ X {\$displaystyle X}$의 부분 집합 $K_{\varepsilon },$

$\\displaystyle \mu(X\setminus K_{\varepsilon }}<\varepsilon .})$

여기서 ${\displaystyle \mu s}$[\$displaystyle \mu }$은 μs의 총 변동 측정치 ${\displaystyle \mu$ $\}.$ 문제의 측정치는 확률 측정치이므로 마지막 부분은 다음과 같이 기록할 수 있다.

$\\displaystyle \mu(K_{\barepsilon }})>1-\barepsilon .\,}$

엄격한 수집 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 단일 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$$}$로 구성된$$ 경우, (저자에 따라 다름) $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은(는) 엄격한 측정 또는 내부 정규 측정이라고 말할 수 있다$$.

$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 확률 분포가 엄격한 측정값인 X$${\$displaystyle$ X$}$ 값$$ 랜덤 변수라면$$ Y ${\displaysty$ Y$}$은(는) 분리 가능한 랜덤 변수 또는 라돈 랜덤 변수라고 한다$$.

예

컴팩트 스페이스

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 보정 가능한 컴팩트 공간이라면 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 (아마도 복잡한) 측정의 모든 컬렉션이 빠듯하다$$.비메트릭스 컴팩트 공간은 반드시 그렇지는 않다.만약 우리가 그것의 주문 위상들을 가지고$$${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [0,\omega _{1}]$을 취한다면, 그 위에$$ 내부 정규가 아닌 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이 있다.따라서 싱글톤${\displaystyle }${${\displaystyle \mu \}}$ ${\displaystyle \{\mu \}}$은(는) 꽉 끼지 않는다$$.

폴란드어 공간

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 소형 폴란드 공간인 경우 X$${\$displaystyle X}$의 모든 확률 측정이 빠듯하다$$.나아가 프로코로프의 정리에 의해 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 확률 측정의 집합은 약한 수렴의 위상에서 사전 컴팩트할 경우에만 팽팽하다$$.

점 질량 집합

일반적인 보렐 토폴로지의 실제 라인$$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$를) 고려하십시오.$\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$은(는) R ${\$의 $지점{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$에 있는 단위 질량인 Dirac 측정값을 나타내도록$$ 한다$.$ 컬렉션

${\displaystyle M_{1}:=\{\delta_{n}n\in \mathb {N} \}}}$

$R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 컴팩트 하위 집합은 정확히 닫히고 경계된 하위 집합이며$$, 그러한 집합은 경계되므로 ${\displaystyle {\Delta n}_{}}$ ${\$ -측정$$ 0은 충분히 큰 $n{\displaystyle }$ ${\displaysty n}$을(를)이므로, 수집은 충분하다$.$

${\displaystyle M_{2}:=\{\delta_{1/n}n\in \mathb {N} \}}}}$

:컴팩트 간격[0,1]{\displaystyle[0,1]}K({\displaystyle K_{\varepsilon}}어느ε 을을 위해 일할 것;0{\displaystyle \varepsilon>0} 붙나 일반적으로, Rn(^{n}}에 디랙 델타 조치의 모음으로, 크다면 만약 수집에 그들의 supp는 꽉 낀다.orts 나는경계가 있는

가우스 조치 모음

일반적인 보렐 $위상$ 및$$and-algebra의 $n$ ${\$^{$n}}$을(를) 고려하십시오.가우스 조치의 수집을 고려하십시오.

${\displaystyle \Gamma =\\{\gamma_{i}I\in I\}}$

where the measure ${\displaystyle \gamma _{i}}$ has expected value (mean) ${\displaystyle m_{i}\in \mathbb {R} ^{n}}$ and covariance matrix ${\displaystyle C_{i}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$. Then the collection ${\displaystyle \Gamma }$ is tight if, and only if, the collections ${\displaystyle \{m_{i} i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ and ${\displaystyle \{C_{i} i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n\times n}}$ are both bounded.

밀착성과 수렴성

조임성은 종종 일련의 확률 측정의 약한 정합성을 입증하기 위해 필요한 기준이 되는데, 특히 측정 공간의 치수가 무한할 때는 더욱 그러하다.참조

• 유한차원 분포
• 프로호로프의 정리
• 레비-프로호로프 미터법
• 약한 대책 수렴
• 클래식한 위너 공간의 조임성
• 스코로크호드 공간의 조임성

지수타이트성

타이트함의 강화는 큰 편차 이론에 응용되는 지수 타이트함의 개념이다.확률 등이 가족;0{\displaystyle(\mu_{\delta})_{\delta>0}}X{X\displaystyle}만약 어떤ε 을 모든 0{\displaystyle \varepsilon>0}, 소형 부분 집합 K({\displaystyle K_{\varepsilon}}은 기하 급수적으로 빠듯할 것으로 알려진 하우스 도르프 위상 공간에 δ 을(μ δ).X{)$다음$과 같은$$ $표시$ 스타일 X$}$

${\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(X\setminus K_{\barepsilon }})<-\barepsilon .}$

참조

• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
• Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.
• Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Probability in Banach spaces. Berlin: Springer-Verlag. pp. xii+480. ISBN 3-540-52013-9. MR1102015 (제2장 참조)