로렌츠 공간

수학적인 분석에서, 1950년대에 조지 G. 로렌츠에 의해 소개된 로렌츠 공간은 $보다{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {친숙}^{}}$한 L p ${\$ L$^{p}$ 공간의 일반화다.^[1][2]

로렌츠 공간은 ${\displaystyle L^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ,${\displaystyle q^{}}$ ${\$ L$^{p,q}}$로 표시된다$.$ ${\displaystyle {Lp}^{}}$ ${\$ 공간과$$$$ 마찬가지로 $함수$의 "크기"에 대한 정보를 암호화하는 규범(기술적으로 퀘이시노름)이 특징이다.함수의 "크기"에 대한 두 가지 기본적인 질적 개념은 함수의 그래프 높이가 얼마인지와 함수의 분포가 얼마나 되는지이다.로렌츠 규범은 범위(${\displaystyle }$ ${\displaystyle p$와 도메인(${\displaystyle }$ ${\displaystyle q})$ 모두에서 측도를 기하급수적으로 재조정함으로써 L ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ 규범보다$$ 두 가지 품질에 대해 더 엄격한 제어를 제공한다.$$로렌츠 규범은 L ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ 규범과$$ 마찬가지로 함수의 값의 임의 재배열 하에서는 불변한다.

정의

측정 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle (X,\mu )}$의 로렌츠 공간은 다음 퀘이노름(Quasinorm)이 유한한 X의 {\$displaystyle f}$에 대한$$ 복합 값 측정 가능한 함수의 공간이다$$.

${\displaystyle \ f\ _{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left\ t\mu \{ f \geq t\}^{\frac {1}{p}}\right\ _{L^{q}\left(\mathbf {R} ^{+},{\frac {dt}{t}}\right)}}$

여기서 0 < p p$>{\displaystyle 0>$과 q ${\displaystyle 0<q\leq \$$infit$ 따라서 $<<\displaystyle q$

${\displaystyle \ f\ _{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left(\int _{0}^{\infty }t^{q}\mu \left\{x: f(x) \geq t\right\}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}=\left(\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\tau \mu \left\{x: f(x) ^{p}\geq \tau \right\}{\bigr )}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {d\tau }{\tau }}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

그리고, $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle q=\infully }$일 때$,$

${\displaystyle \ \f\{L^{p,\infit }}^{p}=\sup _{t>0}\left(t^{p}\mu \left\x: f(x) >t\right\}\right.}$

$L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ,${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$μ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle \mu }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$( X${\displaystyle }$, $){\displaystyle L^{\infit,\infit }(X,\mu )=L^{\infit }(X,\mu )}$을 설정하는 것도 관습이다$.$

재배열 감소

quasinorm은 본질적으로 정의에 의해 $기능{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$의 값을 재배열할 때 불변한다$.$특히 측정 공간에 정의된$$ 복합 값 측정 가능한 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f$$\},{\displaystyle }$ (${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle (X,\mu$ $)\},$ 감소하는 재배열 함수 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$:${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ∞${\displaystyle }$] →${\displaystyle }$[0$$, ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$] $ast ],$ [0$,\fort ]:[0,\$fty]로$정의$할 수 있다$$.

${\displaystyle f^{\ast }}=\inf\{\inf\{\alpha \inf {R}^{+}:d_{f}(\alpha )\leq t\}}$

여기서 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}${\$displaystyle d_{f$$}$은(는) $다음$과$$같은 f {\$displaystyle$ f}의 소위 분포 함수다$.$

${\displaystyle d_{f}(\alpha )=\mu(\{x\in X: f(x) >\alpha \}).}$

여기서 공칭적 편의를 위해 ${\displaystyle inf}$ inf${\displaystyle \inf \varnothing }$은(는) $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \infty }($으)로 정의된다$.$

$displaystyle$f$}$와 f ${\displaystyle {\ast }^{}}${\$displaystyle$ f$^{\ast }$의 두 함수는 동일시할 수 있으며$$, 이는 다음과 같은 의미를 갖는다.

${\displaystyle \bigl (}\{x\in X: f: f(x)\alpha \}{\bigr )}=\lambda {\bigl (}\{t>0:f^{\t)}\alpha \}{\bigr )},\quad \alpha >0,}$

여기서 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) 실제 라인의 르베그 측정값이다.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$과(와$)$ 동일한 관련 $대칭$ 감소 재배열 함수는 다음과 같이 실제 라인에 정의된다.

${\displaystyle \mathbf {R} \ni t\mapsto {\tfrac {1}{2}}:f^{\ast }(t )}$

정의에 따라 0 < p <orm ${\displaystyle 0<p<\p$>} 및 0< ${\displaystyle 0<q\leq \inft}}$에 대해 로렌츠 퀘이시노름(Lorenz quasinorms)은 다음과 같다

${\displaystyle \ f\ _{L^{p,q}}={\begin{cases}\left(\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)\right)^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\in (0,\infty ),\\\sup \limits _{t>0}\,t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)&q=\infty .\end{cases}}}$

로렌츠 시퀀스 공간

$({\displaystyle X}$ ,${\displaystyle \mu }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle (N\mathbb{}}$,${\displaystyle \mathrm{}}$#${\displaystyle }$) ${\displaystyle (X,\mu )=(\mathb {N} ,\#)}($$N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 계산법)$$일 때,$$ 결과 로렌츠 공간은 시퀀스 공간이다.그러나 이 경우에는 다른 표기법을 사용하는 것이 편리하다.

정의

For ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ (or ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}$ in the complex case), let ${\textstyle \left\ (a_{n})_${n=1}^{\infty}\right\ _ᆭ=\left(\sum_{n=1}^{}\infty a_{n}^{p}\right)^{1/p}}1≤<>;∞{1\leq p<,\infty\displaystyle}과(는 n)n‖=1∞ ‖ ∞=n∈ N은 n{\textstyle\left\(a_{n})_{n=1}^{\infty}\right\ _{\infty}=\sup _{n\in \mathbb{N}}a_{n}}은 ∞-no 감독관은 p-norm를 의미한다.기업.유한한 p-표준을 가진 모든 시퀀스의 Banach 공간을 $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$로 나타낸다.c ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을(를) ${\displaystyle {만족}_{}}$하는 모든 시퀀스의 Banach 공간은$$ ∞-n${\displaystyle \underset{}{}}$→${\displaystyle \underset{}{\mathrm{}}}$n${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ {\$displaystyle \lim _{n\to \fty }a_{n}=0}$을$($를) 제공하도록 한다.c ${\displaystyle {00}_{}}$ ${\$을(를) 기준으로 모든$$ 시퀀스의 정규화된 공간을 나타내며, 0이 아닌 항목만 미세하게 많다.이 공간들은 모두 아래의$$ 로렌츠 시퀀스 $공간{\displaystyle }$ d${\displaystyle }$( ${\displaystyle w}$, ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle d(w,p)}$의 정의에 역할을 한다.

Let ${\displaystyle w=(w_{n})_{n=1}^{\infty }\in c_{0}\setminus \ell _{1}}$ be a sequence of positive real numbers satisfying ${\displaystyle 1=w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}\geq \cdots }$, and define the norm ${\Vert (a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert }_{d(w,}$${\textstyle \left\ (a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\ _{d(w,p)}=\sup _{\sigma \in \Pi }\left\ (a_{\sigma (n)}w_{n}^{1/p})_{n=1}^{\infty }\right\ _{p}}$.로렌츠 시퀀스 공간 $d{\displaystyle (w}$, p${\displaystyle }$) ${\displaystyle d(w,p$)}은 이 규범이 유한한 모든 시퀀스의 Banach 공간으로 정의된다$$.동등하게 $d{\displaystyle }$ (${\displaystyle w}$, p${\displaystyle }$) ${\displaystyle d(w,p)}$을(를) ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {d(w}_{}}$, $){$00} {\$displaystyle$ $\$$cdot \{d(w,p)}}}}$의 c ${\displaystyle {00}_{}}$ ${\$}의 완료로 정의할$$ 수 있다$.$

특성.

로렌츠 공간은 Cavalieri의 원리에서 $따르는{\displaystyle }$ 모든 p ${\displaystyle$ $p$$\},$ ${\displaystyle L^{}}$ p${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ = L p ${\$의 의미로 ${\displaystyle {Lp}^{}}$ ${\$ L$^{p}}}}}}}}}}}}}$의 진정한 일반화다.또한 L ${\displaystyle p^{}}$ ,${\displaystyle {\mathrm{\infty }}^{}}$ ${\$ L$^{p,\flt}}$은(는) 약한 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ L$^{p}$과(와) 일치한다$.$그들은quasi-Banach 공간(그, 있는quasi-normed 공간 또한 완벽한 것이다)과 1<>에normable, p<>∞{1<, p<,\infty\displaystyle}과 1≤∞{1\leq q\leq\infty\displaystyle}≤ q.L1,1때 p=1{\displaystyle p=1},)L1{\displaystyle L^{1,1}=L^{1}}노르마가 장착되어 있지만.그것은 아니다.$L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {\mathrm{\infty }}^{}}$ ${\$ L$^{1,\flotty}}$의 quasinorm에 해당하는 규범을 정의할 수 있음, 약한 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$ L$^{1}$ 공간$$$.$$L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {\mathrm{\infty }}^{}}$ ${\$에서 삼각형 불평등이 실패한다는 구체적인 예로서 고려한다$.$

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}\chi _{0,1)}(x)\cH(x)\text{and}\cH(x)={\tfrac {1}{1-x}}\chi _{(0,1)},},},},}$

L ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {\mathrm{}\infty }^{}}$ ${\$ L$^{1,\ft}}$ 준규격은$$ 1인 반면, 합계의 준규격은 $f{\displaystyle }$+ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f+g}$은 4이다$$.

공간 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ,${\displaystyle q^{}}$ ${\$은${\displaystyle {(}^{}}$는)< r {\$displaystyle$ $L^{p,$$r}$에 포함되어 있다$$로렌츠 공간은 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$과 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{\inflt}$ 사이의 실제 보간 공간이다$.$

참고 항목

• 보간공간
• 하디-리틀우드 불평등

참조

• Grafakos, Loukas (2008), Classical Fourier analysis, Graduate Texts in Mathematics, vol. 249 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-09432-8, ISBN 978-0-387-09431-1, MR 2445437.

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