로컬 통합 기능

수학에서 국소적으로 통합할 수 있는 함수(국소적으로 요약할 수 있는 함수라고도 함)^[1]는 정의 영역의 모든 콤팩트한 부분 집합에서 통합할 수 있는 함수(그래서 그 적분은 유한함수)이다.그러한 기능의 중요성은 기능공간이 L공간과^p 유사하지만, 그 구성원은 도메인의 경계에 있는 자신의 행동에 대한 어떠한 성장제한도 충족시킬 필요가 없다는 점에 있다(도메인이 결합되지 않은 경우 무한대). 즉, 지역적으로 통합 가능한 기능은 도메인 경계에서 임의로 빠르게 성장할 수 있다.ary, 그러나 여전히 일반적인 통합 기능과 유사한 방식으로 관리할 수 있다.

정의

표준 정의

정의 1.^[2]Ω은 유클리드 공간 ℝ과ⁿ f : Ω → ℂ에서 열린 집합으로, 르베그에서는 측정 가능한 함수로 한다.f on Ω이 다음과 같은 경우

${\daystyle \int _{K}f \,\mathrm {d}x<+\fty ,}$

즉, 그것의 Lebesgue 적분은 Ω의 모든 콤팩트 서브셋 K에 유한하며,^[3] 그 다음 f를 로컬 통합형이라고 부른다.그러한_1,loc 모든 함수의 집합은 L(Ω)으로 표시된다.

${\displaystyle L_{1,\mathrm {loc}}(\Oomega )={\bigl \{}f:\Oomega \to \mathb{c} {\text{측정 가능}\,{\big }\,f_{K}\in L_{1}(K)\\\모든 \,K\subset \Obegie ,\,\compact}{bigr \},},}$

${여기}_{}$서 F ${\$$f\right _{K}$는 집합 K에 대한 f의 제한을 나타낸다$$.

국내에서 적분 가능한 기능에 대한 고전적 정의와 topological[4] 이론적 개념을 측정하고 이후 이러한 기능의 가장 공통 응용 유클리드 spaces,[2]모든 definit에 분배 이론은 추상에 complex-valued 함수들에 대한 위상 측정 공간(X,Σ, μ)에[5] 하지만, 운반될 수 있는 것을 포함한다.t에서 이온그와 다음의 절들은 이 중요한 사건만을 명시적으로 다룬다.

대체 정의

정의 2.^[6]Ω은 유클리드 공간 ℝ에서ⁿ 열린 집합이다.그 다음 함수 f : Ω → ℂ

${\displaystyle \int _{\Oomega }f\varphi \,\mathrm {d}x<+\fty ,}$

각 시험 함수 φ C ∞
c(Ω)에 대해 국소적으로 통합 가능한 것으로 불리며, 그러한 함수 집합은 L_1,loc(Ω)으로 표시된다.여기서 C ∞
c(Ω)는 Ω에 포함된 콤팩트 서포트로 무한히 다른 모든 함수 φ : Ω → ℝ의 집합을 의미한다.

이 정의는 니콜라스 부르바키 학파가 개발한 위상학적 벡터 공간에서 연속적인 선형 기능 개념을 바탕으로 측정 및 통합 이론에 대한 접근방식에 그 뿌리를 두고 있다:^[7] 스트리차르츠(2003년)와 마즈야 & 샤포시니코바(2009년, 페이지 34년)가 채택한 정의이기도 하다.^[8]이 "분산 이론" 정의는 다음과 같은 보조정리법이 증명하듯이 표준적인 정의와 동등하다.

보조정리 1.주어진 함수 f : Ω → ℂ은 정의 2에 따라 로컬로 통합할 수 있는 경우에만 정의 1에 따라 로컬로 통합할 수 있다.

${\displaystyle \int _{K} f \,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\Omega } f\varphi \,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).}$

보조정리증서 1

if part: φ ∈ C ∞
c (Ω)를 시험함수로 한다.그것은 그 우월적 규범 φ으로 한정되어 있고, 측정이 가능하며, 콤팩트한 지지를 가지고 있는데, 그것을 K라고 부르자.그러므로,

${\displaystyle \int _{\mathrm {d} x=\int _{K}f \, \varphi \, \leq \\varphi \{\int _{K}f \,\math {d} x\f}$

정의 1.

부분인 경우에만: K를 오픈 세트 Ω의 콤팩트 서브셋으로 한다.우선 K의 지표함수 χ를_K 전공하는 시험함수 φ_K C ∞
c(Ω)를 구축한다.K와 경계 ∂Ω 사이의 통상적인 설정 거리는^[9] 0보다 절대적으로 크다.

${\displaystyle \Delta :=d(K,\partial \Oomega )0,}$

따라서 Δ > 2 Δ > 0과 같은 실제 숫자 Δ를 선택할 수 있다(만약 ΔΩ이 빈 집합이라면 Δ = Δ를 취한다).K와_δ K는_2δ 각각 K의 닫힌 Δ-이웃과 2 Δ-이웃을 나타낸다.그들은 마찬가지로 콤팩트하고 만족한다.

${\displaystyle K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Oomega ,\qquadd d(K_{\delta }}}}\partial \Oomega )=\Delta -\delta >0.}$

이제 convolution을 사용하여 function_K : Ω → by by

${\displaystyle \varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(x-y)\,\mathrm {d} y,}$

여기서 φ은_δ 표준 양의 대칭을 사용하여 만든 몰리프트다.분명히 φ은_K φ_K 0, 무한히 차이가 날 수 있으며, 그 지지도가 K에_2δ 포함되어 있다는 점에서 음성이 아니며, 특히 시험 함수다.φ_K(x) = 모든 x ∈ K에 대해 1이므로, 우리는 그 χ_K φ을_K 가지고 있다.

정의 2에 따라 f를 로컬로 통합할 수 있는 함수가 되도록 한다.그러면

${\d}f \,\mathrm {d} f \, {\mathrm {d} x=\int _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _\\\varphi _{K}\mathrm {d} x<\ft.}$

이는 Ω의 모든 콤팩트 서브셋 K에 대해 유지되기 때문에, 함수 f는 정의 1. □에 따라 로컬로 통합할 수 있다.

일반화: 로컬 p-통합 기능

정의 3.^[10]Ω은 유클리드 공간 ℝ과ⁿ f : Ω → ℂ에서 열린 집합으로, 르베그에서는 측정 가능한 함수로 한다.만약, 1 ≤ p ≤ + ∞의 주어진 p에 대해 f가 만족한다면.

${\displaystyle \int _{K} f ^{p}\,\mathrm {d}x<+\fty ,}$

즉, Ω의 모든 콤팩트 서브셋 K에 대해 L_p(K)에 속하며, 그 다음 f를 로컬 p-통합 또는 p-locally 통합이라고도 한다.^[10]그러한_p,loc 모든 함수의 집합은 L(Ω)으로 표시된다.

${\displaystyle L_{p,\mathrm {loc}}(\Oomega )=\left\{f:\Oomega \to \mathb{C}{\text{측정 가능 }}\f \f \f \f \f_{P}(K)]\ \ forall \,K\subset \Oomega,K{\text{compact}}\ript}\right.\right\}}$

로컬 통합 기능에 대해 주어진 정의와 완전히 유사한 대체 정의도 로컬 p-통합 기능에 대해 제공할 수 있다. 즉, 이 정의는 이 절의 정의와 동등하고 입증될 수 있다.^[11]겉보기에 더 높은 일반성에도 불구하고 국소 p-통합 함수는 1 < p ≤ + ^[12]∞과 같은 p마다 국소적으로 통합 가능한 함수의 하위 집합을 형성한다.

표기법

대문자 "L"^[13]에 사용할 수 있는 다른 글리프 외에도, 국소적으로 통합 가능한 함수 집합의 표기법에 대한 변형도 거의 없다.

• ${\displaystyle L_{}^{}}$ ${\displaystyle {l\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle o_{}^{}}$ p${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle )}$, ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Oomega$ ), (Hörmander 1990, 페이지 37), (Strichartz 2003, 페이지 12–13), (Vladimirov 2002, 페이지 3)에서 채택된$$ $}.$
• ${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$, ${\displaystyle {l\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{o}}_{}}$ c${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle L_{p,\mathrm {loc} }}(\Oomega$ ),$$(Maz'ya & Poborchi 1997, 페이지 4) 및 Maz'ya & Shaposhnikova(2009, 페이지 44).
• ${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle l\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ c${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle L_{p}(\Oomega ,\mathrm {loc}),$ (Maz'ja 1985, 페이지 6) 및 (Maz'ya 2011, 페이지 2)에서$$ 채택한 것$.$

특성.

L은_p,loc 모든 p ≥ 1에 대한 전체 메트릭스 공간이다.

정리 1. ^[14]L은_p,loc 완전한 측정 가능한 공간이다: 그 위상은 다음 지표에 의해 생성될 수 있다.

${\displaystyle d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}}\qquad u,v\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),}$

여기서 {Ω_k}_k≥1은(는) 다음과 같은 비어 있지 않은 열린 집합의 제품군입니다.

• Ω_k Ω_k+1, 즉 Ω이_k Ω에_k+1 엄격히 포함됨을 의미한다. 즉, Ω이 높은 지수 집합에 엄격히 포함되는 콤팩트한 폐쇄성을 갖는 집합이다.
• ∪_kω_k = Ω.
• ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$→ R${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ {$R}$ $^\{+\},$ k ∈ ∈은 세미놈들의 색인 계열로 정의되어 있다.

${\displaystyle {\vert u\vert _{p,\omega_{k}}=\왼쪽(\int _{\nomega_{k} u(x)^{p}\mathrm {d} x\right)^{1/p}\u_{p,\mathrmatrm {loc}}}}}}.}$

참조에서harv 오류:노 타깃:CITEREFGilbargTrudinger1998( 도와 주),(Maz'ya&Poborchi 1997년, 5p.),(Maz'ja 1985년, 6p.)과(Maz'ya 2011년 페이지의 주 2), 이 정리지만 형식적인 기초에 증명하지 않:[15]는에 있는 보다 일반적인 결과의 완전한 증거(Meise 및에서 발견된다 언급된 것은, 보그 트는 1997년(Gilbarg&Trudinger 1998년 페이지의 주 147)., p. 40cm이다.

L은_p 모든 p ≥ 1에 대한 L의_1,loc 하위공간이다.

정리2.L_p(Ω), 1 ≤ p ≤ +∞에 속하는 모든 함수 f는 Ω이 ℝ의ⁿ 공개 서브셋인 로컬로 통합할 수 있다.

증명. 사례 p = 1은 사소한 것이므로, 증명서의 속편에서는 1 < p ≤ +∞로 가정한다.Ω의 콤팩트 서브셋 K의 특성 함수 χ을_K 고려한다. 그런 다음, p ≤ +∞의 경우,

${\displaystyle \왼쪽 {\int_{\Oomega } \chi _{K} ^{q}\,\mathrm {d}\오른쪽 ^{1/q}= K ^{1/q}+\ft;}$

어디에

• q는 주어진 1 ≤ p ≤ + ∞에 대해 1/p + 1/q = 1과 같은 양수다.
• K는 콤팩트 세트 K의 르베그 측정값이다.

그 다음, Hölder의 불평등에 의해 L_p(Ω)에 속하는 f의 경우, 제품 fχ는_K 통합이 가능하다. 즉, L₁(Ω)에 속한다.

${\displaystyle {\int _{K} f \,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega } f\chi _{K} \,\mathrm {d} x}\leq \left {\int _{\Omega } f ^{p}\,\mathrm {d} x}\right ^{1/p}\left {\int _{K}\mathrm {d} x}\right ^{1/q}=\ f\ _{p} K ^{1/q}<+\infty ,}$

그러므로

${\displaystyle f\in L_{1,\mathrm {loc} }(\Oomega ).}$

다음의 불평등이 사실이기 때문에 주의하십시오.

${\displaystyle {\int _{K} f \,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega } f\chi _{K} \,\mathrm {d} x}\leq \left {\int _{K} f ^{p}\,\mathrm {d} x}\right ^{1/p}\left {\int _{K}\mathrm {d} x}\right ^{1/q}=\ f\chi _{K}\ _{p} K ^{1/q}<+\infty ,}$

정리는 국소 p-통합함수의 공간에만 속하는 함수 f에도 또한 참이며, 따라서 정리는 또한 다음과 같은 결과를 내포한다.

코롤러리 1.Every function ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle L_{p,loc}(\Omega )}$, ${\displaystyle 1<p\leq \infty }$, is locally integrable, i. e. belongs to ${\displaystyle L_{1,loc}(\Omega )}$.

Note: If ${\displaystyle \Omega }$ is an open subset of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ that is also bounded, then one has the standard inclusion ${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )}$ which makes sense given the above inclusion ${\displaystyle L_1(\mathrm{\Omega })\subset L_{1,loc}(\mathrm{\Omega })}$${\displaystyle L_{1}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )}$. But the first of these statements is not true if ${\displaystyle \Omega }$ is not bounded; then it is still true that ${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )}$ for any ${\displaystyle p}$, but not that ${\displaystyle L_p}$${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )}$. To see this, one typically considers the function ${\displaystyle u(x)=1}$, which is in ${\displaystyle L_{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ but not in ${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ for유한 $[\displaystyle$ p$\}.$

L은_1,loc 절대적으로 연속적인 측정의 밀도 공간이다.

정리 3.함수 f는 $f{\displaystyle }$if ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$c {\$displaystyle f\in L_{$1,$loc}$인 경우에만 절대 연속 측정의 밀도를 의미한다$.$

이 결과의 증거는 (Schwartz 1998, 페이지 18)에 의해 스케치된다.이 정리는 그 진술을 바꿔 말하면, 모든 국소적으로 통합할 수 있는 기능이 절대적으로 연속적인 측정을 정의하고 반대로 모든 절대적으로 연속적인 측정은 국소적으로 통합할 수 있는 기능을 정의한다고 주장한다. 이것은 또한 추상 측정 이론 체계에서 스타니스와프 삭이 제공한 중요한 라돈-니코디움 정리의 형태다.그의 논문에 의하면.^[16]

예

• 실선에 정의된 상수함수 1은 국소적으로 통합할 수 있지만 실선이 무한 측정치를 가지기 때문에 글로벌하게 통합할 수는 없다.보다 일반적으로 상수, 연속함수^[17] 및 통합함수는 국소적으로 통합할 수 있다.^[18]
• x ∈ (0, 1)에 $대한{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle f(x)=1/x}$은(는) 로컬이지만 (0, 1)에서는 전역적으로 통합할 수 없다.콤팩트 세트 K ⊆(0, 1)은 0에서 양의 거리를 가지며, 따라서 f는 K에서 경계하므로 국부적으로 통합할 수 있다.이 예는 지역적으로 통합 가능한 기능이 경계 영역 근처의 성장 조건의 만족을 요구하지 않는다는 초기 주장을 뒷받침한다.
• 함수

${\displaystyle f(x)={\begin{case}1/x&x\neq 0,\\0&x=0,\end{case}\quad x\in \mathb {R}}}}$

x = 0에서는 로컬로 통합할 수 없다. 포함하지 않는 모든 콤팩트 세트에 대한 통합은 유한하므로 이 지점 근처에서 실제로 로컬로 통합할 수 있다.정식으로 말하면 1/x ∈ L_1,loc(( \ 0):^[19] 그러나 이 함수는 ℝ 전체의 분포로 확장되어 Cauchy 원액으로 사용할 수 있다.^[20]

• 앞의 예는 다음과 같은 의문을 제기한다: Ω ⊊ in에서 국소적으로 통합할 수 있는 모든 기능이 전체 ℝ에 대한 확장을 분포로 인정하는가?대답은 음이며, 다음과 같은 함수에 의해 counterexample이 제공된다.

${\displaystyle f(x)={\displaystyle f(x)={\case}e^{1/x}&x\neq 0,\0&x=0,\end{case}}}}}$

ℝ에 대한 분포를 정의하지 않는다.^[21]

• 다음의 예시는 앞의 예와 유사하게 L_1,loc( \ \ 0)에 속하는 함수로서, 불규칙한 단수 계수를 갖는 미분계 연산자에 분포 이론을 적용하는 데 있어 기초적인 백례의 역할을 한다.

${\displaystyle f(x)={\displaystyle f(x)={\1}k_{1}e^{1/x^{2}}:x}0,\0&x=0,\k_{2}e^{1/x^{0,\end{case}}}}}}}}}$

여기서 k와₁ k는₂ 복잡한 상수로서, 1차 순서의 다음과 같은 기초 비-후치안 미분방정식의 일반적인 해법이다.

${\displaystyle x^{3}{\frac {\mathrm {d}f}{\mathrm {d}x}+2f=0.}$

또는 k2k1 있지 않0다시 그것은,:그런 방정식의 유일한 분포 상의 글로벌 솔루션 있기 때문에 0유통, 그리고 이 어떻게, 미분 방정식 이론의 이 기로에서, 분배를 이론의 방법은 같은 성공 i.을 달성했다.을 줄것으로 예상할 수 없음을 보여 주는 전체 ℝ에 여타의 유통을 정의하지 않는다n같은 이론의 다른 가지들, 특히 계수가 일정한 선형 미분 방정식 이론에서 특히 그러하다.^[22]

적용들

국소적으로 통합할 수 있는 함수는 분포 이론에서 두드러진 역할을 하며 경계 변동의 함수와 같은 다양한 등급의 함수와 함수 공간의 정의에서 발생한다.더욱이, 그것들은 모든 조치의 절대적으로 연속적인 부분을 특징짓는 것으로 라돈-니코디름 정리에 나타난다.

참고 항목

• 콤팩트 세트
• 분포(수학)
• 르베그 밀도 정리
• 르베그 분화 정리
• 르베그 적분
• Lp 스페이스

메모들

참조

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외부 링크

• Rowland, Todd. "Locally integrable". MathWorld.
• Vinogradova, I.A. (2001) [1994], "Locally integrable function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 로컬 통합 기능에서 얻은 자료가 통합되어 있다.