직접한도

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수학에서 직접 한계는 특정한 방법으로 조합되는 많은 (일반적으로 더 작은) 물체로부터 (일반적으로 큰) 물체를 구성하는 방법이다.이러한 물체는 그룹, 링, 벡터 공간 또는 모든 범주의 일반 물체일 수 있다.이들이 조립되는 방법은 그러한 작은 물체들 사이의 동형체(집단 동형체, 링 동형체 또는 범주의 일반적인 형태체)의 체계로 규정된다.개체 A ${\displaystyle i_{}}$ ${\$$}$의 범위인$$i$${\$displaystyle$I$\}$에 대한 직접적인 한계는 ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{im}}}$ →${\displaystyle \underset{}{\to }}$ ${\displaystyle A_{}}$ i$${\$displaystyle \varinjlim A_{i$ (이것은 스트루트에 중요한 동형체계를 억제하기 때문에 약간의 표기법 남용이다.극한의 음흉함)null

직접적인 한계는 범주 이론에서 콜리밋 개념의 특별한 경우다.직접적인 한계는 또한 범주 이론에서 한계의 특별한 경우인 역 한계에 이중적이다.null

형식 정의

우선 그룹이나 모듈 같은 대수적 구조에 대한 정의를 내리고, 그 다음에는 어떤 범주에서도 사용할 수 있는 일반적 정의를 내리겠다.null

대수적 객체의 직접 한계

이 절에서 물체는 그룹, 링, 모듈(고정 링 위), 알헤브라스(고정 필드 위) 등과 같이 주어진 대수적 구조를 가진 기초 집합으로 구성된 것으로 이해된다.이것을 염두에 두고, 동형성은 해당 설정(집단 동형성 등)에서 이해된다.null

$⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$ ,${\displaystyle \le }$ { ${\displaystyle \langle$ I$,\leq \angle }$을(를) 지시된 집합으로 두십시오.Let ${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$ be a family of objects indexed by ${\displaystyle I\,}$ and ${\displaystyle f_{ij}\colon A_{i}\rightarrow A_{j}}$ be a homomorphism for all ${\displaystyle i\leq j}$ with the following properties:

1. ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ $displaystyle f_{i}\,}$은(는) $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ $displaystyle A_{i}\,}$및
2. ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle i_{}{k}_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ k ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$jjj}\f_${ij$}}모든$$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle j}$ ≤ ${\displaystyle j}$ k {\$displaystystyle i\leq j\leq k}$.

그러면$$ pair${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\angle }$ 쌍을 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$ 위에 있는 직접 시스템이라고 한다$.$

직접 시스템 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle A_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\angle }}$의 직접 한계는 ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{im}}}$ →${\displaystyle \underset{}{}}$ A ${\displaystyle i_{}}$ ${\$로 표시되며$$$$ 다음과 같이 정의된다.그것의 기본 세트는 A ${\displaystyle i_{}}$ $displaystyle A_{i}\,}$의 분산 결합이다$.{\displaystyle }$ 특정 동등성 관계 ~ ${\$ $\backslash ,\}:$

${\displaystyle \varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .}$

Here, if ${\displaystyle x_{i}\in A_{i}}$ and ${\displaystyle x_{j}\in A_{j}}$, then ${\displaystyle x_{i}\sim \,x_{j}}$ iff there is some ${\displaystyle k\in I}$ with ${\displaystyle i\leq k}$ and ${\displaystyle j\leq k}$ and such that $$${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$( ${\displaystyle x_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= f ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$( x ${\displaystyle j_{}}$) ${\$ 경험적으로, 분리 유니언의 두 요소는 직접 시스템에서 "결국 같아지는" 경우에만 동등하다.역한계에 대한 이중성을 강조하는 등가 공식은 원소가 직접 ${\displaystyle {시스템}_{}}$의 지도 ${\displaystyle 아래{}_{}}$ 있는 모든 이미지와 동등하다는 것이다. $즉{\displaystyle {}_{}}$, i${\displaystyle j}$ j ${\$$displaystyle x_{i}\sim \,f_{ij}(x_{i})$는 $i{\displaystyle }$≤ j {\$displaystysty i\leq$ j$}$.

자연스레 이 정의 표준 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ i :${\displaystyle {}_{}{A}_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ →${\displaystyle \underset{}{}}$im → ${\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 화살표 $\varinjlim A_{i}}}$를 통해 각 원소를 동등성 등급으로 보낸다$$.${\displaystyle \underset{}{\mathrm{im}}}$ →${\displaystyle \underset{}{}}$ $⁡$ ${\displaystyle i_{}}$ {\$displaystyle$ \$varinjlim A_{$i}\,}에 대한 대수적 연산은 이러한 지도가 동형성이 되도록 정의된다$$.Formally, the direct limit of the direct system ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$ consists of the object ${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$ together with the canonical homomorphisms ${\displaystyle \phi _{i}\colon A_{i}\rightarrow \va$$린림 A_{i}}}$.

임의 범주의 직접 제한

직접 제한은 범용 특성을 이용하여$$ 임의 범주 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에서 정의할 수 있다.$⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$⟩ ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\angle }}$을(를) $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$위의 정의에 따름)에 있는 개체와 모형의 직접 시스템이 되게 하라$$.A target is a pair ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ where ${\displaystyle X\,}$ is an object in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ and ${\displaystyle \phi _{i}\colon X_{i}\rightarrow X}$ are morphisms for each ${\displaystyle i\in I}$ such that ${\displaystyle {\varphi }_i}$${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}$ whenever ${\displaystyle i\leq j}$. A direct limit of the direct system ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ is a universally repelling target ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ in the sense that ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ is a target and for each target ${\displaystyle \langle Y,\psi _{i}\rangle }$, there is a unique morphism ${\displaystyle u\colon X\rightarrow Y}$ such that ${\displaystyle u\circ \phi _{i}=\psi _{i}}$ for each i. 다음 도표

모든 i, j를 위해 통근할 것이다.

직접 한계는 흔히 표시된다.

${\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}$

직접 시스템 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, f ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$⟩ ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\angle }$과(와) 표준 형태 isms ${\displaystyle i_{}}$ ${\$이(가) 이해되고$$ 있다.null

대수적 객체의 경우와는 달리 임의 범주의 모든 직접 시스템이 직접 한계를 갖는 것은 아니다.그러나 만약 그렇다면 직접적인 한계는 강한 의미에서는 독특하다: 또 다른 직접적인 한계 X given을 감안할 때, 정론적인 형태에 통용되는 고유한 이형성 X′ → X가 존재한다.null

예

• 세트 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 서브셋 ${\displaystyle M_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 모음은 포함에 의해 부분적으로 주문할 수 있다$$.컬렉션을 지시할 경우 직접적인 한계는 유니온 $\bigcup {\displaystyle }$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이다$.$특정 집단의 하위집단의 지시집합이나 특정반지의 지시집합 등에 대해서도 마찬가지다.
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 가장 큰 $요소{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$이(가) 있는 지시된 집합으로$$ 두십시오$.$해당 직접 시스템의 직접 한계는 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$에 대해 이형성이며 표준형$$ 형태론 ${\displaystyle {\varphi }_{}}$ m${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle X_{}}$ m${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{m}:$$X_{m}\오른쪽$ 화살표 $X}$는 이소형이다.
• K를 들판이 되게 하라.양의 정수 n의 경우, K의 항목이 있는 반전 가능한 n x n 행렬로 구성된 일반 선형 그룹 GL(n;K)을 고려하십시오.오른쪽 아래 구석에 1을, 마지막 행과 열의 다른 곳에 0을 넣어 행렬을 넓히는 집단동형성 GL(n;K) → GL(n+1;K)이 있다.이 계통의 직접 한계는 GL(K)로 표기된 K의 일반 선형 그룹이다.GL(K)의 요소는 오직 미세하게 많은 항목에서만 무한정 정체성 매트릭스와 다른 무한정 되돌릴 수 있는 매트릭스라고 생각할 수 있다.그룹 GL(K)은 대수학 K 이론에서 매우 중요하다.
• p를 프라임 넘버로 하자.Consider the direct system composed of the factor groups ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ and the homomorphisms ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /p^{n+1}\mathbb {Z} }$ induced by multiplication by ${\displaystyl$$e p}$. 이 체계의 직접적인 $한계$는 p$${\$displaystyle$p$\}$의 어느 정도의 힘을 질서 통일의 모든 근원으로 구성되며, Prüfer 그룹 Z (${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$) ${\displaysty \mathb {Z} (p^{\infty }})$라고 불린다$.$
• $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 변수의$$ 대칭 다항식 링에서 ${\displaystyle \mathrm{n}}$+ 1 ${\displaystyle n+1}$변수의$$ 대칭 다항식 링까지 (불확실) 주입식 링 동형성이 있다.이 직접 시스템의 직접 한계를 형성하면 대칭 함수의 링이 생성된다.
• F는 위상학적 공간 X의 C-값의 sheaf가 되게 하라.X에 점 X를 고정하십시오.x의 열린 주변은 포함에 의해 명령된 방향 세트를 형성한다(U if V가 포함된 경우 및 U에 포함된 경우에만).해당 직접 시스템은 (F(U), r_U,V)이며 여기서 r은 제한 맵이다.이 체계의 직접적인 한계는 F를 가리키는_x x에서 F의 줄기로 불린다.x의 각 근린 U에 대해, 표준 형태론 F(U) → F는_x U에 대한 F의 섹션 s에 연관된다. x에서 s의 배아라고 불리는 스토프_x F의 요소_x.
• 위상 공간 범주의 직접적인 한계는 최종 위상을 기초적인 설정-이론적 직접 한계에 배치함으로써 주어진다.
• 계획이란 계획들의 귀납적인 한계다.

특성.

직접 한계는 다음을 통해 역한계에 연결된다.

${\displaystyle \mathrm {Hom}(\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom}(X_{i}Y).}$

중요한 특성은 모듈의 범주에 직접적인 제한을 두는 것이 정확한 기능자라는 것이다.This means that if you start with a directed system of short exact sequences ${\displaystyle 0\to A_{i}\to B_{i}\to C_{i}\to 0}$ and form direct limits, you obtain a short exact sequence ${\displaystyle 0\to \varinjlim A_{i}\to \v$$아린jlim B_{i}\to \varinjliinjlim B_{i$}\$to$ 0$\}$ .

관련 구성 및 일반화

범주 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 있는 직접 시스템은 펑커와 관련하여 대체 설명을 허용한다는$$ 점에 유의하십시오.Any directed set ${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$ can be considered as a small category ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ whose objects are the elements ${\displaystyle I}$ and there is a morphisms ${\displaystyle i\rightarrow j}$ if and only if ${\displaystyle i\leq j}$. A direc$I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$에 ${\displaystyle 대한\mathcal{}}$ t 시스템은 공변량 $펑터{\displaystyle \mathcal{}}$ I${\displaystyle }$→ C ${\$ {$I}\오른쪽$화살표 {\$mathcal {C}}}$과 동일하다$.$ 이 펑터의 콜리미트는 원래 직접 시스템의 직접 한계와 동일하다.null

직접 한계와 밀접하게 관련된 개념은 여과된 콜리밋이다.여기서는 필터링된 범주 $J{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ ${\mathcal {J}$에서 일부$$ 범주 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ ${\mathcal {J}}$까지의 공변량 펑터${\displaystyle }J{\displaystyle \mathcal{}}$ → ${\displaystyle C\mathcal{}}$ ${\$displaystyle ${\mathcal {C}$로 시작하고$$ 이 펑터의 콜릿을 $형성한다.$필터링된 콜리미트가 모두 있는 경우와 있는 경우에만 범주가 모든 지시된 한계를 가지고 있고, 그러한 범주에 정의된 펑터는 모든 필터링된 콜리미트와 통근하는 경우에만 모든 직접 한계로 통근한다는 것을 보여줄 수 있다.^[1]null

임의 범주 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을$($를) 지정하면 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 직접 제한이 없는 직접$$ 시스템이 $있을{\displaystyle \mathcal{}}$ 수 있다($$예: 유한 집합 범주 또는 정밀하게 생성된 아벨리아 그룹의 범주 고려).이 경우 항상 $C{\displaystyle \mathcal{}}${\$displaystyle${\$mathcal {C}$을(를) 범주 ${\displaystyle \text{Ind}(C}$)$${\$displaystyle${\$text$}에$$ 포함할 수 있다$.$$Ind}({\mathcal{C})}$이(가) 모든 직접 한계가 존재하는 경우$$, $){\displaystyle{\text}$의 개체$Ind}({\mathcal{C})}$을(를) C ${\$의 ind-objects라고 한다$$$.$

직한계의 범주형 이중성을 역한계라고 한다.위와 같이 역한계는 특정 펑터의 한계로 볼 수 있으며, 코필터링된 범주에 대한 한계와 밀접한 관련이 있다.null

용어.

문헌에서 앞에서 정의한 직접 한계 개념에 대해 "방향 한계", "직접 귀납 한계", "방향 콜리밋", "직접 콜리밋", "유도 한계"라는 용어를 발견한다.그러나 일부 저자들이 콜리밋의 일반적인 개념에 사용하기 때문에 귀납적 한계라는 용어는 모호하다.null

참고 항목

• 그룹의 직접 한계

메모들

참조

• Bourbaki, Nicolas (1968), Elements of mathematics. Theory of sets, Translated from French, Paris: Hermann, MR 0237342
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, vol. 5 (2nd ed.), Springer-Verlag