초케 이론

수학에서 구스타브 초케의 이름을 딴 초케 이론은 볼록 집합 C의 극한점에 대한 지지를 갖는 조치와 관련된 기능 분석과 볼록 분석의 영역이다. 대략적으로 말하면, C의 모든 벡터는 극한 지점의 가중 평균으로 나타나야 하며, 극한 지점의 설정 E를 차지한 볼록 조합에서 적분으로 가중 평균의 개념을 일반화함으로써 더 정밀하게 만든 개념이다. 여기서 C는 실제 벡터 공간 V의 부분집합이며, 이론의 주된 추력은 V가 유한차원 사례와 유사한 선을 따라 무한 차원(로컬 볼록 하우스도르프) 위상 벡터 공간인 경우를 다루는 것이다. 구스타브 초케의 주요 관심사는 잠재력 이론에 있었다. 초케 이론은 일반적인 패러다임이 되었고, 특히 볼록콘이 극도의 광선에 의해 결정되는 것을 다루기 때문에, 수학에서 많은 다른 개념의 긍정에 대해 다루기 시작했다.

선 세그먼트의 두 끝은 중간 지점을 결정한다: 벡터 용어로 v에서 w까지의 세그먼트는 0 ≤ λ λ ≤ 1의 +v + (1 - w)w로 구성된다. 헤르만 민코프스키의 고전적인 결과는 유클리드 우주에서 경계되고 닫힌 볼록 세트 C는 그것의 극한 지점 세트 E의 볼록한 선체여서 C의 어떤 C도 E의 (마인이트) 볼록한 조합이라고 말한다. 여기서 E는 유한 집합 또는 무한 집합일 수 있다. 벡터 용어로, E의 e(e)에 음이 아닌 가중치 w(e)를 거의 모두 할당함으로써, 우리는 C의 어떤 C를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle c=\sum _{e\in E}w(e)e\ }$

와 함께

$\displaystyle \sum _{e\in E}w(e)=1.\ }$

어떤 경우에도 w(e)는 E의 유한 부분 집합에서 지원되는 확률 측정값을 제공한다. C의 어떤 아핀 함수 f에 대해, 지점 c에서의 그것의 값은

$[\displaystyle f(c)=\int f(e)dw(e)dw.}$

무한 차원 설정에서 유사한 표현을 하고 싶다.

Choquet의 정리는 표준 공간 V의 콤팩트 볼록 부분집합 C의 경우, C에 주어진 C의 극한 지점의 설정 E에 대해 지지되는 확률 측정치가 존재하며, C의 어떤 아핀 함수 f에 대해서도,

$[\displaystyle f(c)=\int f(e)dw(e)dw.}$

실제로 V는 바나흐의 공간이 될 것이다. 원래의 크레인-밀만 정리는 초케의 결과에서 비롯된다. 또 다른 관점은 메트리저블 컴팩트 하우스도르프 공간의 연속적 기능에 대한 상태를 위한 리즈 표현 정리다.

보다 일반적으로 V의 경우 국소적으로 볼록한 위상학적 벡터 공간인 초케-비숍-데 류우 정리는^[1] 동일한 형식적인 진술을 한다.

주어진 점 c를 나타내는 극한 경계에서 지원되는 확률 척도의 존재 외에, 그러한 척도의 고유성도 고려할 수 있다. 유한 치수 설정에서도 고유성이 유지되지 않는다는 것을 쉽게 알 수 있다. 백반샘플의 경우 볼록세트는 R의³ 큐브나 볼이 될 수 있다. 그러나 볼록 세트가 유한 치수 심플렉스일 때는 고유성이 유지된다. 유한 치수 심플렉스는 초켓 심플렉스의 특별한 경우다. Choquet simplex의 모든 점은 극한점에 대한 고유한 확률 측도로 표현된다.

참고 항목

• 카라테오도리의 정리
• 샤플리-폴크만 보조정리
• 크레인-밀만 정리
• 헬리의 정리
• 볼록한 주제 목록

메모들

참조

• Asimow, L.; Ellis, A. J. (1980). Convexity theory and its applications in functional analysis. London Mathematical Society Monographs. Vol. 16. London-New York: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]. pp. x+266. ISBN 0-12-065340-0. MR 0623459.
• Bourgin, Richard D. (1983). Geometric aspects of convex sets with the Radon-Nikodým property. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 993. Berlin: Springer-Verlag. pp. xii+474. ISBN 3-540-12296-6. MR 0704815.
• Phelps, Robert R. (2001). Lectures on Choquet's theorem. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1757 (Second edition of 1966 ed.). Berlin: Springer-Verlag. pp. viii+124. ISBN 3-540-41834-2. MR 1835574.
• "Choquet simplex", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]