함수설정

수학, 특히 측도 이론에서, 집합 함수는 정의역이 주어진 집합의 부분집합들의 집합이고 확장된 실수선 $R$ ∪ ${\displaystyle \{\pm }$ ∞ ${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$에서 값을 취하는 $함수$이며$, 실수$ R {\$displaystyle$ \mathbb ${R}}$과 ±$$∞로 구성됩니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$$\pm \infty.}$

집합 함수는 일반적으로 부분 집합을 어떤 식으로든 측정하는 것을 목표로 합니다.측정값은 "측정" 집합 함수의 전형적인 예입니다.따라서 "집합 함수"라는 용어는 "계량"의 수학적 의미와 그 공통 언어적 의미 사이의 혼동을 피하기 위해 자주 사용됩니다.

정의들

$F$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}$이($가$) ⊆ ℘ {\$displaystyle \Omega}($${\displaystyle \mathrm{F}}$ω$)$ {\$displaystyle$ {\$mathcal {$F}}\$subseteq$$\$$wp$(\Omega )}($여기서$℘${\displaystyle )}$가 멱집합을 의미함)에 대한 집합 ${\displaystyle {\mathcal {F}}$의 집합 함수는$$F $도메인$이 ${\displaystyle$$\mu}$인 함수 $\mu$입니다$.$${\mathcal {F}} 유형$ 및 코드인$$[ -${\displaystyle \mathrm{}}$$∞$${\displaystyle \mathrm{,}}$$∞$${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [-\infty,\infty ]}$ 또는 때때로 코드인은 벡터 측도, 복소 측도 및 투영 값 측도와 마찬가지로 일부 벡터 공간입니다.집합 함수의 도메인은 임의의 숫자 속성을 가질 수 있습니다. 일반적으로 사용되는 속성과 패밀리의 범주가 아래 표에 나열되어 있습니다.

ω ${\displaystyle$ \$Omega$}에$$대한 집합 ${\$displaystyle ${\mathcal$ {F$}}$ 패밀리 F v t
$F{\displaystyle \mathcal{}:}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$에 대해 반드시 해당됩니다. 또는, $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 다음에 닫혀 있습니까?	연출된 ⊇${\displaystyle }$기준 ${\displaystyle \,\supsequ }$	${\displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A\cup B}$	${\displaystyle B\set 빼기 A}$	${\displaystyle \Omega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots}$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }$	${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$	F.I.P.
π 계통의
세미링										절대.
반대수 (세미필드)										절대.
모노톤급						${\displaystyle {Ai}_{}}$ ↘ ${\displaystyle A_{i}\searrow}$인 경우에만 해당	${\displaystyle {Ai}_{}}$ ↗ ${\displaystyle A_{i}\nearrow}$인 경우에만 해당됩니다.
𝜆 계통의 (Dynkin 시스템)				만일의 경우에만 ${\displaystyle A\subseteq B}$			${\displaystyle {Ai}_{}}$ ↗ ${\displaystyle A_{i}\nearrow}$ 또는 이 경우에만 해당됩니다. 그들은 서로 단절되어 있습니다.			절대.
링 (순서론)
링 (계측이론)										절대.
δ-링										절대.
𝜎-링										절대.
대수(필드)										절대.
𝜎-대수 (𝜎-필드)										절대.
이중이상
필터				절대.	절대.				${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$
프리필터 (필터베이스)				절대.	절대.				${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$
필터하위베이스				절대.	절대.				${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$
토폴로지 열기							$($임의 ∪도 ${\displaystyle \cup})$			절대.
닫힌 토폴로지						(임의 ∩도 ${\displaystyle \cap$				절대.
$F{\displaystyle \mathcal{}:}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$에 대해 반드시 해당됩니다. 또는, $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 다음에 닫혀 있습니까?	연출된 아래쪽으로	유한한 교차점	유한한 조합들	관련있는 보약	보약 ω에서 ${\displaystyle\Omega}$	헤아릴 수 있는 교차점	헤아릴 수 있는 조합들	ω ${\displaystyle$ \$Omega}$포함	${\displaystyle \varnothing}$∅ 포함	유한 교차로 소유물
또한 세미링은 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 보 $B$ ∖ A ${\displaystyle B\setminus A}$가 $F$.${\displaystyle {\mathcal {F}}$의 집합들의 유한한 분리 결합과 같은 π 시스템입니다. $반대수$는 ω를 포함하는 반구형입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \Omega .}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ A ${\displaystyle 2_{}}$… ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots}}$은(는$)$F {\$displaystyle$ {\$mathcal$ {F$}}$의 임의 요소이며${\displaystyle F}$ ≠ ∅이라고 가정합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing.}$

일반적으로 $\mu {\displaystyle (E)}$+ ${\displaystyle \mu (F)}$ ${\displaystyle \mu(E$) $+\mu(F)}$가 모든 ${\displaystyle E,}$ F ∈ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}$에 대해 항상 잘 정의되어 있다고 가정하거나, 이와 동등하게 $\mu$ ${\displaystyle \mu$ }이$($가)$$∞ {\$displaystyle$ -$\infty}$및$$+ ∞ {\$displaystyle$ +\$infty$}을$($를) 값으로 모두 사용하지 않는다고 가정합니다.이 문서는 앞으로 이를 가정할 것이지만, 아래의 모든 정의는 대신 "합/계열이 정의될 때마다"와 같은 문장으로 자격을 부여할 수 있습니다.이 작업은 때때로 다음 결과와 같이 뺄셈으로 수행되며, $\mu {\displaystyle }${\$displaystyle \mu$}이(가) 유한 가산될 때마다 수행됩니다.

${\displaystyle 설정}$ 차이 공식: $\mu$ (${\displaystyle F}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mu }$ (${\displaystyle }$E${\displaystyle }$)$-$(${\displaystyle E}$) {\$displaystyle \mu (F)$ -$\mu$ ($E)$=$\mu$ ($F\$setminus E){\$text{nevery }},$F ∈ F${\$$displaystyle$ $E$$,F\in {\mathcal {F}},$ ${\displaystyle F}$ ∖ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E$,F\in {\mathcal {F}}를 $만족$하는 F${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle F}$ {\$subseteq$F}, $F$ ⊆ ${\displaystyle E}$ ∖ ${\displaystyle F.}${\displaystyle $F\setminus E\in {\mathcal {F}}$을(를) 만족하는 F ∈ F.

Null 집합

집합 $F$ ∈ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}$을(를) null set($\mu$ ${\displaystyle \mu}$에 대해$)$ 또는 $\mu {\displaystyle (F)}$ = $.{\displaystyle \mu(F$) = $0.}$ $\mu$ ${\displaystyle \mu }$이(가$)$ ∞ ${\displaystyle$ -$\infty}$ 또는 +$$∞ ${\displaystyle +\infty}$과(와) 동일하지 않을 때 일반적으로 다음을 가정합니다.

• null 빈 집합: {\mathcal ${F}}$에서${\displaystyle }$∅ ∈ ${\displaystyle F}$인 경우 $\mu {\displaystyle (}$∅${\displaystyle }$) = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing$)= $0}.$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal$ {F}}

변화량과 질량

집합 $S$의 총$변형$ {\$displaystyle$ S$$$}:$

여기서 ⋅ $displaystyle \,\cdot$ $\,$$}$는 절대값($또는$ 일반적으로 μ$${\$displaystyle$ \$mu}$가 (semi) 정규 공간에서 벡터 값일 경우 정규 또는 준정규를 나타냅니다)을 나타냅니다.∪${\displaystyle }$${\displaystyle F}$ =$$ ⋃${\displaystyle \underset{}{F}}$가 F ∈${\displaystyle }$${\displaystyle F}$를 ∈$한다고$ 할 때, ${\displaystyle$ \$cup {\mathcal$ {$F}}~{\stackrel {\scriptstyle {\text{def$}}{=}}~\$textstyle \bigcup$ \limits$$_${F\in {\mathcal$ {F}}, F$\in {\mathcal$ {${\displaystyle F}$$}},$ ${\displaystyle \mu (}$∪$$F) {\$displaystyle$ \$left(\cup {\mathcal$ {F$}\right)}$를 μ {\$displaystyle$ \mu}와$$μ${\displaystyle (}$∪ $F$)의$$총 변이라고 합니다.$\mu \left(\cup {\mathcal {F}}\right)}$을(를) $\mu$의 질량이라고 합니다$$${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mu .}$

집합 함수는 모든 $F$ ∈ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},$ 의 경우 유한 함수라고 합니다.$}$$값$ μ${\displaystyle (F)}$ ${\displaystyle \mu(F)}$는 유한합니다(정의상 $\mu {\displaystyle (F)}$가 ${\displaystyle \mu(F)\neq \infty }$를 $≠ ∞$$하고$ μ${\displaystyle (F)}$ $≠$가${\displaystyle \mu(F)\neq$ -$\infty$ }를$$$∞$합니다$.$ 무한값은 $∞$ ${\displaystyle \infty }$ 또는 -$$$∞$ ${\displaystyle$ -$\infty }$와 같은 값입니다.)모든 유한 집합 함수는 유한 질량을 가져야 합니다.

집합 함수의 공통 속성

$F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 집합 함수 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu}$는 다음과^[1] 같습니다.

• $[{\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$∞${\displaystyle }$] .${\displaystyle [0,\infty$ ]}에서 값이 지정된 경우 음이 아닙니다$.$
• ∑${\displaystyle {}_{}}$$i$ =${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ μ (${\displaystyle {Fi}_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\mu }$ ( ⋃ $i$ =$$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ $Fi$ )${\displaystyle \textstyle \sum$\sum \limits _${i$=$1}^{n}\mu \left(F_{i}\right)$=$\mu \left(\textstyle \bigcup$\limits _${i$=$1$${\displaystyle \}^\{}$$n}F_{i$${\displaystyle {}_{}}$$right)}$인 경우${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∈$$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle$ F_{$1},\ldots,$F_{$n}\in {\mathcal$ {$F}}:$ ⋃${\displaystyle {}_{}}$i = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{n}}}}$ F ${\displaystyle i_{}}$ ∈ ${\displaystyle F.}$${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}\in {\mathcal {F}}.$$}$
  • 만약 $F$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}$가 이진 결합 하에서 닫혀 있다면$,$ μ {\$displaystyle$ \$mu}$는 $\mu {\displaystyle }$(${\displaystyle E}$∪ ${\displaystyle F)}$ = ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (E)}$ + ${\displaystyle \mu }$(${\displaystyle F)}$ ${\displaystyle \mu(E\cup$ F)=\${\displaystyle \mathrm{mu}}$$(E$) $+\mu(F)}$인 경우에만 유한 $가산$됩니다${\displaystyle .}$ ${\mathcal {F}에서 {\displaystyle$ E,$F\in${\mathcal {F}}.
  • $\mu$ ${\displaystyle \mu }$가 유한 가산이고 ∅ ∈ ${\displaystyle F}$$${\$displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$인 경우 $E$ := F := ∅ ${\displaystyle E:$$=$$F$$:=\varnothing }$은(는)${\displaystyle }$μ${\displaystyle (}$$∅$${\displaystyle )}$${\displaystyle }$$=$$$μ${\displaystyle (}$$∅$${\displaystyle )}$ +${\displaystyle }$μ$($$∅$$)$ ${\displaystyle \mu$ (\$varnothing)$$=$$\mu$ (\varnothing)$+\mu$ (\varnothing$)}$를 보여주는데, 이는 μ${\displaystyle (}$$∅$${\displaystyle )}$${\displaystyle }$$=$${\displaystyle }$0 ${\displaystyle \mu (\varnothing)$$=$$$0$}$ $또는$ $\mu$${\displaystyle (}$$∅$${\displaystyle )}$$=$ ± $∞$${\displaystyle \mathrm{,}}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing$)$=$\$pm \infty,}$이고, 후자의 경우,${\displaystyle \mu }$ ( ${\displaystyle E}$) $=$ μ ${\displaystyle \mathrm{(\; E}}$$∪$ ${\displaystyle \varnothing }$ )$$$=$ μ (${\displaystyle E}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mu }$ (${\displaystyle \varnothing }$) ${\displaystyle =}$ μ${\displaystyle }$( ${\displaystyle E}$)${\displaystyle }$+${\displaystyle (}$ ±${\displaystyle \infty }$) ${\displaystyle =}$ ±${\displaystyle }$${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mu$E) =\$mu (\cup \varnothin$ ) =\$mu$ ($E) +\mu (\varnothin$ ) =\$mu (E$) + $(\pm \inft$ ) =\$pm \infty }$의 모${\displaystyle 든}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \in }$ {\$displaystyle E\in {$F}(따라서 $대소문자$${\displaystyle }$μ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \varnothing }$ )${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \mu (\varnothin$${\displaystyle g}$ ) = $0}$이(만) 유용합니다.
• ⋃${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ =$$1 ∞$F$ ${\displaystyle i}$ ∈ F,${\$displaystyle {\$mathcal$ {F$},$ $displaystyle$ F_{$1},$F_{$2},\ldots \,}$를 $포함$하는 ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle$ {\$mathcal$ {F}, {\$displaystyle \textstyle \bigcup$ \limits \{i=1$}^{\infty }\{\mathcal$ {$F}}$의 경우 다음 모두를 유지합니다.
  1. ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty}}\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty}}F_{i}\right)}$
     • 왼쪽의 영상 시리즈는 일반적인 방식으로 제한 ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ∞ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}({Fi}_{}}$ = ${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{defimn}}}$ → ∞ ${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{}}({F1}_{}}$ +${\displaystyle }$⋯${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mu ({Fn}_{}}$로 정의됩니다${\displaystyle .}$${\displaystyle \textstyle \sum \sum \limits _{i=1}^{\infty}}\mu \left(F_{i}\right)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\displaystyle \lim _{n\to \infty}}\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right)입니다.$$}$
     • 결과적으로,ρ가 ${\displaystyle N}$→${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle$ \$rho :\mathbb$ {N$} \to \mathbb$ {N$}$인 경우,${\displaystyle }$∞${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$i = 1 ∑$$μ (F i ) = 1 ∞$μ$ (${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ρ (${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle \sum$ \sum \limits _${i$=$1}^{\infty }\mu$ \$left$(F_${i}\right)$=$\textstyle \sum$ \sum _${i$=$1}^{\infty }\mu$ \$left(F_{\rho(i)}\right$);$$⋃${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{i}_{}}$$$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\underset{}{\overset{}{1}}}$ ∞${\displaystyle }$F ρ (${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ ${\displaystyle {)\mathrm{때문}}_{}}$입니다.${\displaystyle \textstyle \bigcup \bigcup$\$lim$$i$$ts$ _${i$${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$$1$}^{\$infty }F_{i$}=\$textstyle \bigcup$\$lim$$i$$ts$ _{i$=$$1}^{\infty }F_${\rho$(i)}$를 두 번 $적$용하면 두 $∑$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{모두}}}$$$i ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ μ$$(${\displaystyle \mathrm{Fi}}$ $)$$=$ $μ$ ${\displaystyle (\bigcup }$$$${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ∞ ${\displaystyle {Fi}_{}}$) ${\displaystyle \textstyle \sum$$\$sum \$i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}$$\$$right$)=\$mu \left(\textstyle \b$$igcup$\lim$i$ts $_{i=1}^{\inf$})$ty }F_{i}\right)}$ $및$ μ${\displaystyle (}$$⋃$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ $=$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ $∑$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ $ρ$${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle i_{)}}$ $=$ $∞$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ $=$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ $ρ$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ $limits$${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle i_{}}$)${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \$$limits$$_{i$$=$$1}^{\rho (i)}\right$)$=$\$textstyle \sum \$$∞$ _${i$$=$$1}^{\infty}}\mu \left(F_{\rho$ ($i)}\right)}$가 고정됩니다.정의상, 이 성질을 갖는 수렴급수는 무조건 수렴한다고 합니다.일반 영어로 표현하면 집합 F ${\displaystyle 1_{}}$ F ${\displaystyle 2_{}}$… ${\displaystyle F_{1}, F_{2},\ldots }$을(를) 새 순서 $F$ ρ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle 1_{}{}_{}}$ ρ $),$ … {\$displaystyle$F_{\$rho (1)}, F_{\rho$ (2$)},\ldots }$로 재정렬/라벨링해도 측정값의 합에 영향을 주지 않습니다.합 $F$ = ${\displaystyle \stackrel{}{\text{def}}}$ ⋃ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ∈ ${\displaystyle \underset{}{N}}$ $F {\displaystyle$ F$~{\stackrel {\text{def}}{$=$}}~\textstyle$ \$bigcup \$limits _${i\in \mathbb {N}}F_{i}\$textstyle \mathbb {n}F_{i}가 이 집합들의 순서에 종속되지 않으므로, 합 μ($F{\displaystyle )}$= ${\displaystyle \mu (F_{}}$ 1${\displaystyle }$) +${\displaystyle {}_{}}$⋯ ${\displaystyle \mu(F$)=\$mu \left(F_{1}\right)+\mu$도 같아야 합니다.$\left(F_{2}\right)+\cdots }$ 및 μ${\displaystyle (F)}$ $=$ ${\displaystyle \mu ({}_{}}$ $ρ$${\displaystyle {(1)}_{}}$+ ${\displaystyle \mu ({}_{}}$ $ρ$${\displaystyle {(2}_{}}$ +${\displaystyle }$$⋯$${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mu(F$)$=$\$mu \left(F_{\rho(1)}\right)+\mu \left(F_{\rho(2)}\right)+\cdots \.,}$
  2. $\mu {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$⋃ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ∞ $)$ {\$displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \$limits$$_{$i$=$1}^{\infty}\right)}$이(가) 무한하지 않으면 이 급수 ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ∞ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}({Fi}_{}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum$\limits $_{i$=$1}^{\infty}\mu \left(F_{i}\right)}$도 완전히 수렴해야 합니다.정의에 따라 ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ = ${\displaystyle 1}$ ∞ μ (${\displaystyle {Fi}_{}}$ $displaystyle \textstyle \sum \$limits$_{i$=$1}^{\infty}}\left \mu \left(F_{i}\right)\right }$는 유한해야 합니다.$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$}이$($가) 음이 아닌 경우(또는 확장된 실수에서 값이 지정된 경우에도) 자동으로 적용됩니다.
     • 임의의 수렴 급수와 마찬가지로, 리만 급수 정리에 의하여,급수 ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ∞ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) = ${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{lim}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{N}}}$ → ∞ μ${\displaystyle }$( ${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{}}}$ ${\displaystyle 1_{}{}_{}}$)${\displaystyle }$+ μ (${\displaystyle {}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$) +${\displaystyle }$⋯${\displaystyle }$+ μ${\displaystyle }$( ${\displaystyle F_{}}$ N${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \textstyle \sum \$limits$_{i$=$1}^{\infty}}\mu \left(F_{i}\right$) = {\$displaystyle \lim _{N\to \infty}}\mu \left(F_{1}\right)+\mu \left(F_{2}\right)}$는 합이 순서에 의존하지 않는 경우에만 절대 수렴합니다.그 용어(무조건 수렴으로 알려진 속성).위 (a)에 의해 무조건 수렴이 보장되므로, $\mu$ ${\displaystyle \mu}$가$$[ -${\displaystyle \mathrm{}}$∞${\displaystyle \mathrm{,}}$∞${\displaystyle ]}$ $.{\displaystyle [-\infty,\infty$]에서 평가되면 이 조건은 자동으로 참이 됩니다$.$$}$
  3. $만약$ μ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$⋃ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ = ∞ ${\displaystyle {Fi}_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}$= ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ = 1 ∞ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{\mu }}}}$ (${\displaystyle {Fi}_{}}$ ) ${\displaystyle \mu \left(\textstyle$ \$bigcup$ \limits$$_{$i$=$1}^{\infty }F_${i$}\right$)=\$textstyle \sum \$limits$_{i$=1}^{\$infty }\mu \left(F_{i}\right)}$인 경우 급수 ∑ μ )> ∈ N ) ∑ ( )< ∈ μ i) $tyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in \mathbb {N}}}{\mu \left(F_{i}\right)>0}\mu \left(F_{i}\right)\;{\text{ and }}\;\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in \mathbb {N}}{\left(F_{i}\right)<0}}\mu \left(F_{i}\right)\;}$는 유한합니다(값의 합이 잘 정의되도록).$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$}이$($가) 음이 아닌 경우 자동으로 적용됩니다.
• 음이 아니고, 셀 수 있을 정도로 가법적인 값(유의 가법적인 값을 포함함)이며, null 빈 집합을 갖는 경우의 사전 측도입니다.
• 영역이 σ-algebra인 사전 측정일 경우 측정값.즉, 측도는 null 빈 집합을 갖는 σ 대수의 음수가 아닌 가산 집합 함수입니다.
• 질량이 $1인$ 측도일 경우 확률 측도. {\$displaystyle 1.}$
• 외부 측정값(non-negative, countable subadditive, null vempty set, ${\displaystyle \mathrm{멱집합}}$℘${\displaystyle (}$ω${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \wp(\Omega )}$을(를) 도메인으로 하는 경우).
  • 외부 측도는 카라테오도리의 확장 정리에서 나타나며, 종종 카라테오도리의 측정 가능한 부분 집합으로 제한됩니다.
• 부호 있는 측도(countly additive)이고, null 빈 집합을 가지며, $\mu$ ${\displaystyle \mu}$이(가)$$두 값${\displaystyle \mathrm{}}$-$$∞ {\$displaystyle$ -\infty$}$$$및 +$$∞ {\$displaystyle$ +\$infty}$을(를) 모두 사용하지 않는 경우.
• 모든 널 집합의 모든 부분 집합이 널(null)이면 complete입니다. 명시적으로 $F$ ∈ $F$가 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (F)}$ = 0 ${\displaystyle$ F$\in {\mathcal {F}}{\text{sates}}\mu(F)$=$0}$이고 ${\displaystyle N}$ ⊆ F ${\displaystyle N\subseteq F}$는 F ${\displaystyle$ $F$$}$의 모든 부분 집합이고 $N$ ∈ ${\displaystyle F}$ ${\mathcal {F}}$ 및 $\mu {\displaystyle }$(${\displaystyle N)}$ = $.$ {\$displaystyle \mu(N$)=$0}$입니다.
  • 다른 많은 속성과 달리 완전성은 설정 ${\displaystyle \mathrm{도메인}}$ ⁡ ${\displaystyle \mu }$ = F ${\displaystyle \operatorname {domain} \mu$ = {\$mathcal {F}}($$\mu$ ${\displaystyle \mu}$의$$값뿐만 아니라)에 요구 사항을 부여합니다.
• $시퀀스$ F ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ 3${\displaystyle ,}$… {\$displaystyle$ F_${1}, F_{2}, F_{3},\ldots \,}$이(가) $모든$ $인덱스$ i, {\displaystyle \$mu \left(F_{i}\right$)}에 대해 유한하도록 $F$$${\displaystyle $F_{$1}, F_{2}, F_{3},\ldots \,}에 있는 경우 𝜎 유한합니다$.$ 이 경우 μ${\displaystyle ({Fi}_{}}$ \${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{mu}}}}$ \left(F_{i}\right$)$는 모든 $인덱스$ i${\displaystyle ,}${\$displaystyle$ i,}에 대해$$⋃ n = 1${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$∞ ${\displaystyle F_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$⋃ F${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle \underset{}{F}}$입니다.${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty}F_{n}=\textstyle \bigcup \limits _{F\in{\mathcal {F}}F입니다.$$}$
• ${\displaystyle 만약}$ 모든 $P$ ∈ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle$$${$P}}$에 $대하여$ μ${\displaystyle (P)}$ ${\displaystyle$\$mu$$(P)}$가 유한하고 또한 ⋃ P ∈$$${\displaystyle \underset{}{P}}$ ${\displaystyle P}$$$= ⋃ ${\displaystyle \underset{}{F}}$ ${\displaystyle \underset{}{F}}$ ${\displaystyle \bigcup \{P}\mathcal {$P}\,$P=\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F}($여기서 $F$ $=$ ${\displaystyle \mathrm{도메인}}$ $⁡$ μ ${\displaystyle {\mathcal {$F}}$=$\$operator$ name {$domain} \mu}).$
  • 모든 𝜎-무한 집합 함수는 역으로는 아니지만 분해가 가능합니다.예를 들어$R$ $\{\backslash$$displaystyle \mathbb {$R}}(도메인이$$℘$($${\displaystyle R))}$ ${\displaystyle \wp(\mathbb {R$의 카운트 측도는 분해할 수 있지만 𝜎-무한은 아닙니다.
• 정의역이 σ algebra인 위상 벡터 $$ X ${\displaystyle X}($정규 공간과 같은)에서 값이 계산된, 셀 수 있을 정도로 가법적인 $집합$ ${\displaystyle 함수}$ μ${\displaystyle }$→$$ {\$displaystyle \mu :{\mathcal$ {$F}}\to$ X$}.$
  • 만약 μ ${\displaystyle \mu$}가 정규 공간$$(${\displaystyle X,}$ ‖ ⋅ ‖${\displaystyle )}${\$displaystyle (X,\cdot$\$)}$에서 값이 매겨지면, ${\displaystyle {F1}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{F2}_{}}$… $F$, ${\displaystyle F_{1}, F_{2},\ldots \,}$가 F${\displaystyle ,}${\$displaystyle {\mathcal {F}},$ ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ n${\displaystyle \underset{}{}}$→ ∞ ‖ μ${\displaystyle }$(${\displaystyle F_{}}$1${\displaystyle }$) + ⋯ + ${\displaystyle \mu }$(${\displaystyle F_{}}$n ) -${\displaystyle }$μ ${\displaystyle (}$⋃ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ∞ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle i_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}$‖ = ${\displaystyle 0\mathrm{.}}$ ${\displaystyle$$e \lim _{n\to \infty }\left\ \mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right)-\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_${i}\right$)\right\=0.}$ $\mu${\$displaystyle \mu }$가 바나흐 공간에서 유한 가법적이면, 만약 어떤 쌍대의 서로소 수열 ${\displaystyle {F1}_{}}$ ${\displaystyle {F2}_{}}$… ${\displaystyle F_{$1}일 경우에만 가법적입니다.$F{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle${\$mathcal {F}},$$${\displaystyle {\mathcal {F}}, ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle n}$ $→$ $∞ ‖$${\displaystyle }$μ (${\displaystyle \mathrm{Fn}{}_{}}$$∪$ ${\displaystyle {\mathrm{Fn}}_{}}$ ${\displaystyle {+}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$$∪$ ${\displaystyle {Fn}_{}}$ ${\displaystyle {+}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ $∪ ⋯$) $‖$ $=$ 0$.$ {\$displaystyle \lim$ _${n\to \infty}\left\mu \left(F_{n}\cup$ F_${n+1}\cup$ F_${n+2}\cup \cdots \right)\right\$$=$$$0.$}$
• 복소 측도(complex measurement) 만약 그것이 가산 복소값 집합 $함수$ μ :${\displaystyle F}$ → ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to \mathbb {C}$ 도메인이 σ-algebra인 경우.
  • 정의에 따라 복잡한 측도는 ±$$∞ ${\displaystyle \pm \infty}$을(를) 값으로 사용하지 않으므로 null 빈 집합이 있습니다.
• 측도값 랜덤 요소인 경우 랜덤 측도입니다.

임의합

이 글의 일반화 급수에 대한 부분에서 설명한 바와 같이 임의의 색인 $집합$으로 색인화된 실수의 임의의 가군 $({\displaystyle {{ri}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∈ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I$${\displaystyle \}\},}${\$displaystyle$ I$}$에 ${\displaystyle {대해}_{}}$ 그들의 합 ∈ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ∑ ${\displaystyle \underset{}{I}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$를 유한 파의 망의 극한으로 정의할 수 있습니다.$티알$ 합계 F ∈ 유한 ${\displaystyle \mathrm{부분}}$ 집합 ⁡ ${\displaystyle (I)}$ ↦ ∑ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ∈ ${\displaystyle {Fri}_{}}$ ${\displaystyle F\in \operatorname {FiniteSubsets}(I)\maps$to \$textstyle \limits _${i$\in$F}$r_{i}$에 \maps to \textstyle \limits _${$i\in F}r_{i} 도메인 $FiniteSubsets$⁡ $I)$ ${\displaystyle \,\subseteq .\,}$ 이 그물이 수렴할 때마다 그 한계는 이로 표시됩니다.e 기호는 ${\displaystyle i_{}}$ ∈ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ∑ {\$displaystyle \sum$ \$textstyle \sum$_{$i\in I}$r_${i}}$인 반면, 이 망이 대신 $\pm$ ∞$${\$displaystyle \pm \infty}$로 분할되는 경우, 이는 ∑ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ∈ ${\displaystyle \underset{}{I}}$ ${\displaystyle r_{}}$ =${\displaystyle }$± ∞로 표시될 수 있습니다$.$ {\$displaystyle \textstyle$\sum $\sum _{i\in I}r_{i$}=\$pm \infty.}$ 빈 집합에 대한 모든 합은 0으로 정의됩니다. 즉,$I$ = ${\displaystyle$I =\$varnothing$}을$($를) ∅하면 정의에 따라 ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ∈ ∅ ${\displaystyle r_{}}$ = 0 ${\displaystyle \textstyle \sum \$limits$_{i\in \varnothing}r_{i$}=$0}$을(를) ∑합니다.

예를 들어, 모든 $i{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle I}${\$displaystyle$ i$\in$ I$}$에 $대해$ ${\displaystyle {zi}_{}}$= ${\displaystyle 0}${\$displaystyle z_{i$}= $0$인 경우 ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ∈ I ${\displaystyle z_{}}$ = ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \$limits $_{i\in I}z_{i$}= 0$.}$ 그리고 ∑ ${\displaystyle \underset{}{I}}$가 ∈ ${\displaystyle I_{}}$ = ∑ r ${\displaystyle \underset{}{\stackrel{}{i_{}}}}$ = 0 ${\displaystyle \underset{}{\stackrel{}{}}}$ ∈ I${\displaystyle \underset{}{\stackrel{}{,}}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\stackrel{}{}}}$ +${\displaystyle {}_{}}$∑ r ${\displaystyle \underset{}{\stackrel{}{i_{}}}}$ ≠ 0 ${\displaystyle \underset{}{\stackrel{}{}}}$ ∈ ${\displaystyle \underset{}{\stackrel{}{I,}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\stackrel{}{}}}$ ${\displaystyle i_{}}$ = ${\displaystyle 0}$ +${\displaystyle }$∑ ${\displaystyle \underset{}{r}}$ ${\displaystyle \underset{}{\stackrel{}{i_{}}}}$ ≠ 0 ${\displaystyle \underset{}{\stackrel{}{}}}$ ∈ ${\displaystyle \underset{}{\stackrel{}{I,}}}$ r ${\displaystyle i_{}}$ = ∑ ${\displaystyle \underset{}{r}}$ ${\displaystyle \underset{}{\stackrel{}{i_{}}}}$ ≠ ${\displaystyle \underset{}{\stackrel{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\stackrel{}{}}}$ ∈ I, r ${\displaystyle i_{}}$ = limits r i ∑ 0 i$$ i ${\displaystyle \underset{}{\stackrel{}{I,}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\stackrel{}{}}}$ i. {\$displaystyle \sum \i\i$$n I}r_{i}=\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}=0}}r_{i}+\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}=0+\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}=\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}.$$}$${\displaystyle \underset{}{\overset{}{I}}}$ $=$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle$I $=$\$mathbb {N}}$인 경우, 일반화 급수 $∑$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ $∈$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle \sum \textstyle$ \$sum$ \$limits$$_{i\in$ I}$r_{$i}}가 R {\$displaystyle$ \${\displaystyle {textstyle}_{}}$ \$sum$ \$sum \i$$=$1$}^{\infty }r_{i}$인 경우에만 R ${\displaystyle \mathbb {R}$$limits$에 수렴합니다$.$절대적으로 수렴합니다). 통상적인 의미에서.일반화된 급수가 ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ∈ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum$ \$limits$ _${i\in I}r_{i}}$가 $R${\$displaystyle$ \$mathbb {R}}$에 모이면, 두 ∑ r > ∈ {\$displaystyle \textstyle$ \$sum \limits _{\stackrel$ {$i\in$ I$}{$r_{$i}}r_{i}},$ ∑ r i< ∈ $r {\displaystyle \textstyle \limits _{\stackrel {i}<0}r_{i}}$ 또한 co입니다.$R$ ${\displaystyle$$$\$mathbb {R}}$ 및 집합 $\{{\displaystyle i}$ ∈ I :${\displaystyle {ri}_{}}$ ≠ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \left\{i\in$I$:r_{i}\neq 0\right\}$의 요소는 필수적으로 셀 수 있습니다(즉, 유한하거나 셀 수 있을 정도로 무한한). $이$는$$R {\$displaystyle$ \$mathbb$ {$R}}$이(가) 정규 공간으로 대체된 경우에도 성립합니다.따라서 일반화 급수 ∑ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ∈ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits$ _${i\in I}r_{i}}$이($)$R {\$displaystyle$ \mathbb ${$$R}$${\displaystyle }또는$C$,$ {\$displaystyle$ \mathbb {$C},${$displaystyle r_{i}$을(를) 제외한 모든 ${\displaystyle {ri}_{}}$가 $,$ {\$displaystyle 0,$$}$즉, $∑$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ $∈$ ${\displaystyle I_{}}$ $=$ $∑$ ${\displaystyle \underset{}{r}}$ ${\displaystyle \underset{}{\stackrel{}{i_{}}}}$ $≠$ 0 ${\displaystyle \underset{}{\stackrel{}{}}}$ $∈$ ${\displaystyle \underset{}{\stackrel{}{}}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle \sum \$$limits$$_{i\in I}r_{i$}~$=$~\$textstyle \sum$\$limits$ $_{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}r_{i$}}r_{i$}$는 많아야 0이 아닌 항의 합입니다.달리 말하면$,$ {${\displaystyle i}$ ∈ I :${\displaystyle {ri}_{}}$ ≠ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \left\{i\in$ I $:r_{i}\neq 0\right\}}$이(가) 셀 수 없는 경우, 일반화된 영상 시리즈 ∑ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ∈ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$가 수렴되지 않습니다.

요약하면, 실수와 그 위상의 특성 때문에, 수렴하는 모든 일반화된 실수 계열(임의의 집합으로 색인화됨)은 셀 수 있을 정도로 많은 실수들의 보통의 절대 수렴 계열로 축소될 수 있습니다.따라서 측도 이론의 맥락에서 셀 수 없이 많은 집합과 일반화된 급수를 고려함으로써 얻을 수 있는 이점은 거의 없습니다.특히, 이것은 "countable additive"의 정의가 셀 수 있을 정도로 많은 집합 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ F ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$…${\$$}$$F$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}($및 일반적으로 계산 가능한 급수 $∑$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ $=$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ $∞$ μ${\displaystyle (}$$Fi$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \$$limits$ $_{i$$=$$1}^{\infty}\mu \left(F_{i}\right$에서 임의로 많은 집합$({\displaystyle {{Fi}_{}}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ {\$displaystyle \left(F_{i}\right$) $I}($및 일반화된 급수 $∑$ I ${\displaystyle \underset{}{}({Fi}_{}}$ ${\displaystyle \textstyle$ \$sum$\$limits$ _{i\$in I}\m$$u \left(F_{i}\right)}).$

내부측량, 외부측량 및 기타 특성

집합 함수 ${\displaystyle \mu}$가/만족이라고 합니다^[1].

• $E{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle F}$ ∈ F ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}$가 $E$ ⊆ ${\displaystyle F}$를 만족할 때마다 $\mu {\displaystyle }$(${\displaystyle E}$)$$ μ ${\displaystyle (F)}$ ${\displaystyle E,$$F$\$in$ {\$mathcal$${F$$}$인 경우 단조
• 모듈러라 함: $모듈러$라 함: μ${\displaystyle }$(${\displaystyle E}$ ∪ F${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mu }$(${\displaystyle E}$ ∩ ${\displaystyle F}$ )${\displaystyle }$= μ${\displaystyle }$(${\displaystyle E}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (F}$) ${\displaystyle \mu (E\cup$F) $+\mu (E\cap$F) =\$mu ($E) $+\mu (F)},$${\displaystyle F}$ ∈ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}},$${\displaystyle E}$ ∩ ${\displaystyle F}$∈ ${\displaystyle E\cup F,E\cap F\in {\mathcal {F}}.$
  • 집합들의 필드에 대한 모든 유한 가산 함수는 모듈식입니다.
  • 기하학에서, 이 성질을 가진 일부 아벨리안 반군에서 값이 매겨진 집합 함수를 값이라 합니다."평가"에 대한 기하학적 정의는 아래에 제시된 "평가"에 대한 더 강력한 비동등성 측도 이론적 정의와 혼동되어서는 안 됩니다.
• $모든$ $E$에${\displaystyle \mathrm{대해}}$ μ (${\displaystyle E}$ ∈${\displaystyle }$F) + μ (${\displaystyle E}$ ∩ ${\displaystyle F)\le }$ ${\displaystyle \mu }$ (${\displaystyle E)}$+ μ ${\displaystyle (F)}$ ${\displaystyle \mu (E\cup$ F) $+\mu (E\cap$ F$)\leq \mu (E$) $+\mu (F)},$ ${\displaystyle F}$ ∩ F ${\displaystyle E,F\in {\mathcal$ {$F}}.$ {\$mathcal {F}$에서 ${\displaystyle E}$ ∈ F$E\cap F\in {\displaystyle E\cup$F}.
• $만약$ ${\displaystyle \mu }$ (${\displaystyle F}$ )${\displaystyle \le }$ ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$( ${\displaystyle {Fi}_{}}$) $displaystyle \mu (F) \leq \textstyle \sum \$limits $_{i$=$1}^{n}\left \mu \left$${\displaystyle {}_{}}$$F_{i}\right },$${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ $F$ ${\displaystyle n_{}}$ ∈ ${\displaystyle i}$${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{n}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle i_{}}$를 만족하는 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F,F_{1},\ldots,F_{n}\in {\mathcal {F}}$이면 유한 부분 가법.${\displaystyle F\;\subseteq \;\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}.$$}$
• $만약$ ${\displaystyle \mu (}$${\displaystyle F}$) ${\displaystyle \le }$ ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ∞ ${\displaystyle \mu ({Fi}_{}}$ $displaystyle \mu(F) \leq \textstyle \sum \$limits$_{i$=$1}^{\infty}}\left \mu \left$${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {F\_}_{}}$${i}\$${\displaystyle {right}_{}}$$$${\displaystyle {}_{}}$$F$${\displaystyle }$⊆ ⋃ i = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$${\displaystyle {}_{}}$∞ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle I_{}}$를 만족하는 $F$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}$의 {\displaystyle $F,F_{1},$F_${2},F_{3},\ldots \,}.$${\displaystyle F\;\subseteq \;\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty}F_{i}.$$}$
  • $F$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}$가 유한 결합 하에서 닫혀 있으면 이 조건은 μ (F ∪ ${\displaystyle G)\le }$ μ (${\displaystyle F)}$+ ${\displaystyle \mu }$(${\displaystyle G)}$ $displaystyle \mu (F\cup G) \leq \mu (F) +$ \${\displaystyle \mathrm{mu}}$$(G) }$인 ${\displaystyle 경우}$에만 성립합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle F,G\in {\mathcal {F}}$에서$$μ {\$displaystyle \mu$ }이$($가) 음이 아니면 절대값이 제거될 수 있습니다.
  • $\mu$ ${\displaystyle \mu }$가 측도인 경우, 이 조건은 $\mu$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$⋃ i = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ∞ ${\displaystyle {Fi}_{}}$ ${\displaystyle \le }$ ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ∞ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ $Fi$ ${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \$limits$_{i$=$1}^{\infty}\right)\leq \textstyle \sum$\limits $_{i$=$1}^{\infty }\mu \left$${\displaystyle (}$$F_{i}\right)}$인 경우에만 성립합니다. $F$의 모든 $F$ ${\displaystyle 1_{}}$ F ${\displaystyle 2_{}}$ F ${\displaystyle 3_{},}$ … ${\displaystyle F_{1}, F_{2}, F_{3},\ldots \,}.$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu}$가^[3] 확률 측도라면 이 부울의 부울 부울 부울 부울 부울 부울 부울 부울 부울 부울 부울 부울 부울 부울 부울 부울 부울 부울 부울 부울 부울
  • $\mu$ ${\displaystyle \mu}$가 카운트 가능한${\displaystyle }$하위 가산이고 $\mu {\displaystyle (}$∅${\displaystyle )}$= ${\displaystyle 0}$ ${\$$mathcal {F}}$인$$∅ ∈ F {\$displaystyle$ \$varnothing$\in {\mathcal {F}}인$$경우 μ {\$displaystyle$$$\$mu$(\$varnothing)}$은$($는) 유한 부분 가산입니다$.$
• $E{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle F}$ ∈ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}$가 $E$ ∪ F ∈ ${\displaystyle F}$와 $서로소$일 $때$마다 μ${\displaystyle }$($E$)${\displaystyle }$+$$($E$∪ $F$,$F\in$ {\$mathcal$ {F$}}$인 경우 초첨가제.${\displaystyle E\cup F\in {\mathcal {F}}$인 경우
• 만약 ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$ → ∞ ${\displaystyle \underset{}{}}$ (${\displaystyle {Fi}_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (}$⋂ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ∞ ${\displaystyle {Fi}_{}}$) ${\displaystyle \lim _{n\to \infty}}\mu \left(F_{i}\right$)=\$mu \left(\textstyle \bigcap \$limits$$_{i=1$}^{\infty }F_{$i}\$right)}$ 집합 ${\displaystyle {F1}_{}}$ ⊇ ${\displaystyle {F2}_{}}$ ⊇ ${\displaystyle {F3}_{}}$ ⋯ ${\displaystyle F_{1}\supseeteq F_{2}\supseeteq F_{3}\cdots \,$$}$${\displaystyle }i$$$$=$${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$1 $∞$${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$${\displaystyle F_{}}$ $⋂$ F {\$displaystyle$ {\$mathcal$ {F$}}$에서 F ${\displaystyle$ \$bigcap$ \$limits$ _{$i$$=$$1}^{\infty$}F_{$i}\$in ${\mathcal$ {$F}}$에서 μ($∞$$i$ $=$ 1 $limits$ ${\displaystyle {Fi}_{}}${\$displaystyle$\$mu$$\left(\textstyle \bigcap$\bigcap \$∈$$_{i$$=$$1}^{\infty}^{i}\right)}$ 및 $모든$ μ${\displaystyle \mu \left(F_{i}\$right)} 유한.
  • 르베그 측정 λ ${\displaystyle \lambda}$은(는) 위에서 연속이지만, 이 예제에서 보여주는 것처럼 모든 $\mu {\displaystyle ({Fi}_{}}$ ${\displaystyle \left(F_{i}\right)}$이(가) 유한하다는 가정이 정의에서 누락된 경우에는 그렇지 않습니다.모든 정수 $i{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ i$,}$에 대해 ${\displaystyle {Fi}_{}}$ ${\displaystyle F_{i}$를 열린 구간$$(${\displaystyle i,\mathrm{}}$∞${\displaystyle )}$ ${\displaystyle ($${\displaystyle i_{}}$$infty )}$으로 함으로써, ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$ → ∞ ∞ ${\displaystyle }$= ∞ ≠ ${\displaystyle 0}$ = λ ${\displaystyle (}$∅${\displaystyle }$) =$$λ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$⋂ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ = 1 ∞ ${\displaystyle {Fi}_{}}$ )${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\$lambda \$left$(F_{$i}\right$) =$\lim _{n\to \infty}\infty$ =\$infty \neq$0=\lambda$(\varnothing$ )=\lambda$$\displaystyle$left(\textstyle \bigcap \limits$ $_{i=1}^{\infty}F_{i}\right)},$ 여기서 $⋂$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ $=$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ $∞$ ${\displaystyle {Fi}_{}}$ $=$ $∅$${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcap$\$limits$ $_{i$$=$$1}^{\infty}}F_{i$}$=$\$varnothing.$
• ${\displaystyle {만약}_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$ → ∞ ${\displaystyle \mu }$ (${\displaystyle {Fi}_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}$= μ ${\displaystyle (}$⋃ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ = 1 ∞ ${\displaystyle {Fi}_{}}$) ${\displaystyle \lim _{n\to \infty}}\mu \left(F_{i}\right$)=\$mu \left(\textstyle \bigcup$\limits _${i$=$1}^{\infty }$${\displaystyle {F\_}_{}}$${i}\right)}$인 $경우$, F ${\displaystyle F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq F_{3}\cdots \,}$ F ${\displaystyle {\mathcal {F}}$ su의 모든 비decre화 시퀀스에 대해${\displaystyle \underset{}{\overset{}{ch}}}$∞ i = 1$$⋃ ${\displaystyle F}$ ∈ F. {\$displaystyle \textstyle \bigcup \$limits$_{i$=$1}^{\infty}F_{i}\in$ {\$mathcal$ {F}}.$}$
• $F$ ∈ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}$가 $\mu {\displaystyle (F)}$ = ∞ ${\displaystyle \mu(F$)=\$infty }$를 만족할 때마다 을초과하는 모든 에 대해${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle F_{}}$ ∈ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{r}\in{\mathcal {F}$에 ${\displaystyle {일부}_{}}$ F ⊆ F가 존재하면 F는 ${\displaystyle F_{r}\subseteq$ F$}$와 <∞.${\displaystyle$ r$\l$$eq \mu \left(F_{r}\right)<\infty.}$
• $\mu$ ${\displaystyle \mu }$이(가) 음이 아닌 하위 가법적인 값을 가지며 null 빈 집합을 가지며 멱집합$$℘${\displaystyle (}$ω${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \wp(\Omega )}$을(를) 도메인으로 하는 경우 외부 측도입니다.
• $\mu$ ${\displaystyle \mu }$이(가) 음이 아닌 값, 초첨가인 값, 위에서 연속인 값, null 빈 집합이 있고 멱집합$$℘${\displaystyle \mathrm{(}}$ω${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \wp(\Omega$ )}을$($를) 도메인으로 하고 + ∞ ${\displaystyle +\infty$}이$($가) 아래에서 접근하는 경우 내부 측도입니다.
• 측정 가능한 모든 양의 측정 집합이 원자를 포함하는 경우 원자.

이진 연산${\displaystyle }$+ ${\$이(가) 정의된 경우 집합 $함수{\displaystyle }$ μ$${\$displaystyle \mu}$는

• ω${\displaystyle }$+${\displaystyle F}$가${\displaystyle }${\$displaystyle$ \$omega$ \$in$\Omega }와 $F$가 ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ F$\$$in$ \$Omega$ }를$$∈$하는$ 모든$$ω ∈ ${\displaystyle }$ω {\$displaystyle F\$in {\$mathcal$ {F$}}$인 경우${\displaystyle }$변환 불변. ${\$$displaystyle$ \$omega$ + F\in ${\mathcal$ {F$}}이($가$)$${\displaystyle F를}$∈합니다. ${\$displaystyle \omega + F\$in${\$mathcal$ {F}}.

토폴로지 관련 정의

τ ${\displaystyle$ \$tau$}이$($가) ω ${\displaystyle$ \$Omega$}의 토폴로지라면 집합 함수 $\mu$ ${\displaystyle$ \mu}은$($는) 다음과 같습니다.

• 모든 열린 부분 집합(즉, τ ${\displaystyle \tau}$ 포함)을 포함하는 가장 작은 σ 대수인 모든 보렐 집합의 σ 대수에 정의된 측도인 경우 보렐 측도.
• 모든 Baire 세트의 σ-대수에 정의된 측도인 경우 Baire 측도.
• 모든 점 ω ∈ ω ${\displaystyle \omega \in \Omega }$에 대하여 $이웃$ U${\displaystyle }$∩ τ F$$∈ {\$displaystyle$ U$\in$ {\$mathcal {F}}\cap$ \tau $}$이(가) 있는 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$ μ$($U) {\$displaystyle \mu($U)}가 유한합니다.
  • $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$가 유한한 가법적이고 단조이며 국소적으로 유한한 경우 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle (K)}$ ${\displaystyle \mu(K)}$는 모든 콤팩트한 측정 가능 부분 집합 $K$에 대해 반드시 유한합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle K.}$
• ${\displaystyle }${\$displaysty$tau $}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle \underset{}{\mu }(\bigcup }$${\displaystyle }$${\displaystyle \underset{}{D})}$ ${\displaystyle =}$${\displaystyle \stackrel{}{\text{su}}}$${\displaystyle p}$ D ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (D)}$ ${\displaystyle \mu \l$${\displaystyle \mathrm{ef}}$$t$ ({\$textstyle \bigcup }\,{\mathcal {D}\rig$${\displaystyle h}$$t$) =\$sup$ _${D\in {\$$mathcal {D}}\$$mu(D)}\$$subseteq \cap {\mathcal {F}$은${\displaystyle (}$는) ${\displaystyle \subseteq }$ {\$displaystyle \,\$mathcal {F$}$에 대해 지${\displaystyle 시}$되며 ${\displaystyle \bigcup }$ ${\displaystyle \underset{}{D}}{\displaystyle =}$ ${\displaystyle d}$ef ${\displaystyle \bigcup }$ ${\displaystyle \underset{}{D}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ D를 만족합니다.${\displaystyle {\textstyle \bigcup}\,{\mathcal {D}}~{\stackrel {\scriptstyle {\text{d$$}$
  • ${\displaystyle \mathcal{D}}$ ${\displaystyle {\mathcal$는${\displaystyle }$${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \,\subseteq$ \,}이$($가) 비어 있지 않은 경우에만 해당되고, 모든 $A$에${\displaystyle \mathcal{}}$${\displaystyle \mathrm{대해}}$ B ${\displaystyle \in }$ D ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {$D${\displaystyle \mathcal{\}}}$}에 C$$${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {D}}$이(가) 존재하므로 $A$ ⊆ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\subseteq$${\displaystyle \mathcal{C}}$$}$와 $B$ ∈ ${\displaystyle C}$.${\displaystyle B\subseteq C.}$
• 모든 $F$ ∈${\displaystyle F}$에 대해 ${\displaystyle$ F$\in {\mathcal {F}}$ $\mu$${\displaystyle (F)}$ = ${\displaystyle sup}${${\displaystyle \mu (K)}$: ${\displaystyle (}$ω,${\displaystyle }$τ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \}}$의 콤팩트 ${\displaystyle \text{부분}}$ ${\displaystyle 집합}$인 K ∈ ${\displaystyle F}$인 ${\displaystyle F}$ ⊇ ${\displaystyle K}$.${\displaystyle \mu(F$)=\$sup\{\mu(K):$$F\supseteq K{\text{ with }}K\in{\mathcal{F}}{\text{콤팩트한 부분집합 }}(\Omega,\tau )\}$
• 모든 $F$ ∈ ${\displaystyle F}$에 대해${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},}$ $\mu$${\displaystyle (F)}$ = ${\displaystyle inf}${${\displaystyle \mu (U)}$ :${\displaystyle F}$ ⊆ U ${\displaystyle \text{및}}$ ${\displaystyle U}$ ∈ ${\displaystyle F}$ ∩ τ ${\displaystyle \}:}$ ${\displaystyle \mu(F$)=\$inf\{\mu(U):$$F\subseteq U{\text{및 }}U\in{\mathcal{F}}\cap \tau \}}$
• 내부정규일 경우와 외부정규일 경우 모두 정규입니다.
• Borel 정규 측도인 경우에는 Borel 정규 측도입니다.
• 라돈 측정치가 정규적이고 국부적으로 유한한 측정치인 경우.
• 비어 있지 않은 모든 열린 부분 집합에 (strictly) 양의 측도가 있을 경우 엄밀하게 양수입니다.
• 값이 음이 아닌 모노톤, 모듈형이고 null 빈 집합을 $가지며$ 도메인 τ이 있는 경우${\displaystyle$\tau $.}$

집합함수간의 관계

$\mu$ ${\displaystyle \mu}$ 및$$ν ${\displaystyle \nu}$가 ω, $displaystyle$\Omega}에 대한 두$$집합 함수인 경우:

• ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu}$는 ${\displaystyle \$${\displaystyle n}$$u$}$$$\nu$에 대해 절대적으로 연속적이거나 $\nu$ ${\displaystyle \nu}$에 의해 지배되는${\displaystyle \mu }$$$≪ ν${\displaystyle ,}$$$기록된 μ ν, ${\displaystyle$$\mu \ll \nu$$,}$인 $경우$ ${\displaystyle \n$${\displaystyle u}$$,}$ν${\displaystyle (}$${\displaystyle F)}$ $= 0$ ${\displaystyle \n$${\displaystyle u}$$(F$)= 0$}$μ (${\displaystyle F)}$$=$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle$\mu($F)$$=$ 0.$}$
  • $\mu$ ${\displaystyle \mu}$와 ν ${\displaystyle \nu$}가$$σ ${\displaystyle \sigma}$ - 동일한 측정 공간에 대한 유한 측도이고 $\mu$ ≪ ν${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mu \ll \nu,}$인 경우 라돈-니코딤 도함수 d ${\displaystyle \frac{}{}}$ ν ${\displaystyle {\frac {d\mu}{d\nu}}$가 존재하고 모든 측정 $가능$한 $F$에 대해${\displaystyle$ F$,}$
    $${\displaystyle \mu(F)=\int _{F}{\frac {d\mu}{d\nu}}{d\nu.}$$

    
  • ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu$ 및 $\nu$ ${\displaystyle \nu}$은(는) 각각이 서로에 대해 절대적으로 연속인 경우 동치라고 합니다.${\displaystyle }$$\mu$ ${\displaystyle$$\mu }$이${\displaystyle (}$가) $σ {\displaystyle$\$mu$ } - 유한이고 동일한 경우 μ ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle }$측정 ν의 지원 측도라고 합니다.
• ${\displaystyle }$$\mu$ ${\displaystyle \mu$ 및 ${\displaystyle \mathrm{\nu }}$$${\$displaystyle$$\nu }$은(는) $단수$입니다${\displaystyle .}$ $만약$ μ ${\displaystyle \mu }$의$도메인에$서로소 $집합$ $M$$$${\displaystyle M}$ 및 N ${\displaystyle N}$이 있고${\displaystyle }$${\displaystyle M}$이 ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle =}$ ω${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle M\cu$${\displaystyle p}$$$N =\$Omega,}$ $\mu$${\displaystyle }$${\displaystyle (}$${\displaystyle F)}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \mu$${\displaystyle (}$$F$) ${\displaystyle =}$$$0 }ν${\displaystyle }$$도메인$에 있는 모든 $F$ ⊆ N ${\$$displaystyle$ F\$subseteq M$$}$에 대해 ${\displaystyle \mathrm{\mu }}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ \$mu$$,}$ 및 ν${\displaystyle (}$${\displaystyle F)}$ =$0$ ${\$$displaystyle$ F$\$$subseteq$ N}의 도메인에 있는 모든 ${\displaystyle F}$⊆ {\$displaystyle$ F$\$$subseteq$ M$}.$ ${\displaystyle$ \$nu.}$

예

집합 함수의 예는 다음과 같습니다.

• 함수를
  $${\displaystyle d(A)=\lim _{n\to \infty}{\frac {A\cap \{1,\ldots,n\}}{n}}}$$

  
  충분히 잘 동작하는 부분 $집합$에 밀도를 할당합니다.${\displaystyle }$⊆ ${\displaystyle \{1,}$ ${\displaystyle 2,}$ 3${\displaystyle ,}$ $…},$ {\$displaystyle$A\$subseteq \{1, 2, 3,\ldots \}}$는 집합 함수입니다.
• 확률 측도는 σ 대수의 각 집합에 확률을 할당합니다.구체적으로 빈 집합의 확률은 0이고 샘플 공간의 $확률$은${\displaystyle }$1$,$ {\$displaystyle$ 1$,}$이며 다른$$ 집합의 확률은 $0{\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle 0}$에서 1 $사이$입니다${\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystyle 1.}$
• 가능성 측도는 주어진 집합의 거듭제곱 집합에 있는 각각의 집합에 0과 1 사이의 숫자를 할당합니다.가능성 이론을 참고하세요.
• 랜덤 집합은 집합 값의 랜덤 변수입니다.기사 랜덤 콤팩트 세트 참조.

${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대한 요르단 측정값은 ${\displaystyle {}^{}}$의 모든 요르단 측정 가능 부분 집합에 정의된 집합 함수입니다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n};}$ 이것은$$ 요르단 측정값 집합을 해당 요르단 측정값으로 보냅니다.

르베그 측도

$R$ ${\displaystyle \mathbb {R}}$의 르베그 측도는 르베그 σ ${\displaystyle \sigma}$ - 대수에 속하는 모든 실수 집합에 음수가 아닌 실수를 할당하는 집합 함수입니다.

이 정의는 $실수$의 모든 구간의 ${\displaystyle \mathrm{집합}}$⁡${\displaystyle (}$$)$ ${\$$displaystyle \operatorname {Intervals}(\mathbb {R})$로 시작합니다${\displaystyle .}$ {\$displaystyle \mathbb {R}.}$ 모든 $구간$ I ${\$$displaystyle I$${\displaystyle \}}$에 해당 길이 ⁡(I) {\$displaystyle \operatorname {length}(I$)}은(는) 유한 ${\displaystyle \mathrm{덧셈}}$입니다$.$ve set 함수(explicit를 들어, I ${\displaystyle I}$에 $끝점$이${\displaystyle }$≤ ${\displaystyle b}${\$displaystyle$ a$\leq$ b$}$이면 ${\displaystyle \mathrm{length}}$ ⁡ (${\displaystyle I)}$ = ${\displaystyle b}$ -${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {length}$ (I) =$b-a})$입니다.이 집합 함수는 $변환-$invariant 집합 함수 λ ∗인 $R{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R},}$의 르베그 외곽 측도까지 확장할 수 있습니다:${\displaystyle {}^{}}$℘${\displaystyle \mathrm{(}R)}$ → ${\displaystyle [0}$,${\displaystyle }$∞${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$\lambda ^{\!$*\!}:\wp(\mathbb {R})\to [0,\infty ]:$ 부분 집합 ${\displaystyle E}$ $⊆$ ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R}}$을(를) 최소값으로 전송합니다.

르베그 외부 측도는 카라테오도리 기준을 만족하는 모든 부분집합 $M$의 𝜎 ${\displaystyle 대수}$에 대한 제한이 ⊆ ${\displaystyle M\subseteq \mathbb {R}}$임에도 불구하고 셀 수 없을 정도로 가법적이지 않습니다.르베그 척도라고 불리는 척도입니다.활력소 집합은 측정할 수 없는 실수 집합의 예입니다.

무한 차원 공간

무한 차원 르베그 측정에 대한 기사에서 자세히 설명한 바와 같이 무한 차원 분리 가능한 정규 공간에서 국소적으로 유한하고 번역 불변인 보렐 측정은 사소한 측정뿐입니다.그러나 무한 차원 위상 벡터 공간에 대한 가우스 측도를 정의할 수 있습니다.가우시안 측정에 대한 구조 정리는 추상 위너 공간 구성이 분리 가능한 바나흐 공간에서 엄밀하게 양의 가우시안 측정을 얻을 수 있는 유일한 방법임을 보여줍니다.

유한 가법 변환 불변 집합 함수

$도메인$$$℘$($${\displaystyle R)}$가 {\$displaystyle$\Omega =$\mathbb {R$$}}$인 ω = ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \wp(\mathbb {R})}$에 대한 변환-invariant 측도는 R$${\displaystyle \mathbb {R}}의 모든 콤팩트 부분 집합에서 유한한 사소한 집합 함수 ℘${\displaystyle \mathrm{(}R)}$ → [ ${\displaystyle 0,}$ ∞${\displaystyle ]}${\$displaystyle \wp(\mathbb {R})\to [0,\infty]($0$,\$infty])로 $0$과 동일함$ystyle 0}($즉, 모든 ${\displaystyle S}$ $⊆$ R ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R}을($를) $0$ ${\displaystyle 0}$으로 보냅니다.) 그러나$,$ 가산성이 유한한 가산성으로 약화되면 이러한 성질을 갖는 자명하지 않은 집합 함수가 존재하며, 일부는 심지어$$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1]}$에서${\displaystyle }$평가됩니다$.$ {\$displaystyle [0,1$].$}$사실$$, 그러한 자명하지 않은 집합 함수는 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$가) 다른 아벨리아 군 $G$로 대체되더라도$$ 존재할 것입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle G.}$

집합 함수 확장

반대수에서 대수까지 확장

$\mu$ ${\displaystyle \mu$}가$$ω ${\displaystyle \Omega}$ 위의 $반대수$ F ${\displaystyle {\mathcal {F}}$에 집합 함수라고 가정하고 다음과 같이 하십시오.

$이것$은${\displaystyle }$F$.$ {\$displaystyle${\$mathcal$ {F$}}$에 의해 $생성$된$$ω {\$displaystyle$ \$Omega}$의 대수입니다. 또한 대수가 아닌 반대수의 가장 전형적인 예는 가군입니다.ω:=R ${\displaystyle$ \$Omega :$=$\mathbb$ {$R} ^{d}$ 여기서( ):={ ∈ : < ${\displaystyle$ ($a,b]):$$=\{x\in \mathbb {R}$: $a$$\leq b\}$ 모두에 대해 - $∞$$≤$ a ≤$∞$ ${\displaystyle -\infty \leq a< b\leq \infty .}$ 중요한 것은 - $∞$의 두 비$strict$ 부등식 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ in -$∞$의 부등식 ≤ < b ≤b$∞$ {\$displaystyle -\infty \leq a_{i}< b_{i}\leq \infty }$는 반대어가 함께 있어야 하므로 엄격한 부등식 <$displaystyle \,<\}$로 대체할 수 없습니다.전체 기본 집합 R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d};$ 즉, ${\displaystyle {}^{}}$ ∈ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle$ \$mathbb {R} ^{d}\in {\mathcal {S}_{d}$에서 ∅ ∈ ${\displaystyle S}$ D ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}_{d}$과 마찬가지로 반대칭의 요구 사항입니다.

$\mu$ ${\displaystyle \mu}$가 유한 가산인 경우, ${\displaystyle \mathrm{대수}}$⁡${\displaystyle (}$${\displaystyle F)}$ ${\$$displaystyle {\overline {\mu}}$에서 집합 함수 {\$displaystyle${\mu$}}$에 대한 고유한 $확장$을$$갖습니다. ${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$$$⁡ $F$n ∈ ${\displaystyle \mathrm{대수}}$ ⊔ ⋯ ⊔${\displaystyle (F)}$ ${\displaystyle F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}\in \operatorname {algebra}({\mathcal {F}).$$})($여기서 $⊔$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ $\,\sqcup \,}$은(는) {\$mathcal$ {$F}}의$$∈$${\displaystyle F_{$i}\in {\mathcal {F}이(가) 쌍으로 서로소임을 나타냅니다.)

또한 이 $확장$ μ${\displaystyle \stackrel{}{}}$¯ {\$displaystyle${\$overline {\mu}}}$은(는) 쌍방향 서로소 ${\displaystyle A_{}}$ 1, …,${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle \mathrm{대수}}$ ⁡${\displaystyle (F),}$ ${\displaystyle A_{1},\ldots,A_{n}\in \operatorname {algebra}({\mathcal {F}),}$

$만약$ μ ${\displaystyle \mu}$가 확장된 실수 값이고 단조로운 경우($특히$ μ$${\$displaystyle \mu}$가 음수가 아닌 경우에 해당됨), μ ¯ ${\displaystyle {\overline {\mu}}$이(가) $단조$롭고 유한 부분 가산됩니다. 임의의 $A{\displaystyle ,}$ A ${\displaystyle 1_{}\dots ,}$ ${\displaystyle A_{}}$ ∈ ${\displaystyle \mathrm{대수}}$ ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle F)}$ ${\displaystyle A, A_{1},\ldots, A_{n}\in \operatorname {algebr$}$a$$}({\mathcal {F}}):$ A $⊆$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$이 ${\displaystyle {An}_{}}$,${\displaystyle$ A$\subseteq A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}}$을(를) $∪ ⋯ ∪$합니다.

고리부터 σ대수까지 확장

$\mu$ :${\displaystyle F}$ →${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$∞${\displaystyle }$] ${\displaystyle \mu$ : ${\mathcal {F}}\to [0,\infty ]}$이(가) 집합의 대수와 같은) F ${\displaystyle$ ${\$mathcal {F}} ¯${\$mathcal {$Omega}$ $위$에$있는$ μ {\displaystyle $\mu }$에 $측정$ μ σ 확장이 있습니다${\displaystyle .}$ ∞ ${\displaystyle (F}$ ) → [ ${\displaystyle 0,}$sigma ]$${\$displaystyle {\overline {\mu}}:\$ω $({\mathcal {F})\to [0,\i$]${\displaystyle {\mathcal {F}}$에서 $생성$된 $σ$$-대수$ $σ$${\displaystyle (F)}$ ${\displaystyle \sigma({\mathcal {F}})}$의 $nfty ]}.$ $\mu${\$displaystyle \mu}$이(가) $σ$ 유한이면 이 확장이 고유합니다.

이 확장을 정의하려면 먼저 $\mu$ ${\displaystyle \mu }$를 바깥쪽 측정 $\mu {\displaystyle {}^{}}$∗$${\$displaystyle \mu ^{*}$로 2 ω = ℘ ( ω${\displaystyle 2^{\Omega$}=\$wp$(\$Omega$)}까지 확장합니다.

${\displaystyle {그리고}_{}}$ 나서 $세트$ F ${\displaystyle {\mathcal {F}_{M}$의 μ∗ ${\displaystyle \mu^{*}}$ -측정 가능한 세트(즉, Carathéodory-measured sets), 즉 모든 $M$의 ⊆ ω ${\displaystyle M\subseteq \Omega }$의 집합으로 제한하여 다음을 수행합니다.σ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle$ \$sigma }$ - 대수와 $\mu$ ∗ ${\displaystyle \mu^{*}}$는 카라테오도리 단품의 시그마 첨가제입니다.

외부 조치 제한

$\mu$ ∗ :${\displaystyle {}^{}}$℘ (${\displaystyle }$ω ∞ )${\displaystyle }$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$ω${\displaystyle }$] ${\displaystyle \mu ^{*}\wp(\Omega)\to [0,\infty]}$가 집합 ω의 바깥쪽 척도인 경우${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \Omega,}$ 도메인은 반드시 ω 집합 ℘( set)${\displaystyle \wp(\Omega )},$${\displaystyle \Omega,$$}$그런 다음 부분 집합 $M$ $⊆$ $ω$ ${\displaystyle M\subseteq \Omega }$을(를) $\mu$$∗$ {\$displaystyle \mu^{*}$라고 합니다$.$ 이는 다음 카라테오도리의 기준을 만족하는 경우 측정 가능 또는 카라테오도리 측정 가능합니다.

여기서 ${\displaystyle {Mc}^{}}$ := ω ∖ $M {\displaystyle$ M$^{\mathrm {c}$ }:=\$Omega \setminus M}$은 $M{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ M$.}$의 $여집합$입니다.

모든 $\mu$ ∗ ${\displaystyle \mu ^{*}$– 측정 가능한 부분 집합의 패밀리는 σ 대수이며 이 패밀리에 대한 외부 $측정$ μ ∗$${\$displaystyle \mu ^{*}$의 제한은 척도입니다.

참고 항목

• 절대 연속성(측정 이론) – 함수의 연속성 형태방향 전환 대상에 대한 간단한 설명을 표시하는 페이지
• 부울링 – 수학적 개념Wikidata 설명을 폴백으로 표시하는 페이지
• 실린더 세트 측정 – 제품 공간에 측정값을 생성하는 방법 위키데이터 설명을 폴백으로 표시하는 페이지
• 집합의 장 – 측정 이론에서 대수적 개념, 집합의 대수라고도 함
• 하드위거 정리
• 한 분해 정리 – 측정 가능성 정리
• 불변측량
• 르베그 분해 정리
• 양수 및 음수 집합
• 라돈-니코딤 정리 – 측도를 다른 측도의 적분으로 표현
• 리에즈-마르코프-카쿠타니 표현 정리
• 집합 고리 – 조합 및 상대적 보완 하에 폐쇄된 패밀리
• σ 대수 – 집합 대수의 대수 구조
• 비탈리-한-삭스 정리

메모들

프루프

참고문헌

• Durrett, Richard (2019). Probability: Theory and Examples (PDF). Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Vol. 49 (5th ed.). Cambridge New York, NY: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC 1100115281. Retrieved November 5, 2020.
• Kolmogorov, Andrey; Fomin, Sergei V. (1957). Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Dover Books on Mathematics. New York: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2. OCLC 912495626.
• A. N. 콜모고로프와 S. V. 포민 (1975), 실물 분석 입문, 도버.ISBN 0-486-61226-0
• Royden, Halsey; Fitzpatrick, Patrick (15 January 2010). Real Analysis (4 ed.). Boston: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-143747-0. OCLC 456836719.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.

추가열람

• Sobolev, V.I. (2001) [1994], "Set function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• 수학 백과사전의 정규 집합 함수