미터법 외측치

수학에서 미터법 외측치는 주어진 미터법 공간(X, d)의 하위 집합에 정의된 외측 측정 μ이다.

$\displaystyle \mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)}$

X의 A와 B의 모든 쌍에 대해.

미터법 외측척도 건설

τ : σ → [0, +∞]은 빈 집합 ∅을 포함하는 X의 하위 집합의 class 등급 on에 정의된 집합 함수로서, ∅( =) = 0. 셋트 함수 μ가 정의되어 있음을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle \mu(E)=\lim _{\delta \to 0}\mu _{\delta }(E),}$

어디에

$\displaystyle \mu _{\delta }(E)=\inf \left\{\left.\sum _{i=1}^{\infit }\\tau(C_{i})\sigma ,\operatorname {diam}(C_{i})\leq \delta ,\bigcup _{i=1}^{{i}\ipseteq eQ\right\}}}}.$

외측뿐만 아니라, 사실상 미터법 외측도 마찬가지. (일부 저자는 한계치보다는 Δ → 0보다 Δ 이상의 우월성을 택하는 것을 선호한다. Δ가 감소함에 따라 μ_δ(E)가 증가하기 때문에 두 저자는 동일한 결과를 낸다.)

함수 τ는 사용할 수 있다.

${\displaystyle \tau(C)=\operatorname {diam}(C)^{s},\,}$

여기서 s는 양의 상수로서, 이 τ은 X의 모든 하위 집합의 전원 집합에 정의된다.카라테오도리의 확장 정리에 의해 외부 측정은 완전 측정으로 촉진될 수 있으며, 관련 측정 μ는 s차원 하우스도르프 측정이다.보다 일반적으로는 소위 차원 함수를 사용할 수 있다.

이런 식으로 하우스도르프 측정이 얻어지기 때문에 프랙탈 기하학에서는 이 구조가 매우 중요하다.포장 방법은 표면적으로는 비슷하지만 세트 내부를 덮기 보다는 세트 내부에 공을 포장해 다른 방식으로 얻는다.

메트릭 외부 측정값의 속성

미터법 공간(X, d)에서 μ를 미터법 바깥쪽 측정으로 한다.

• 다음이 포함된 X의 하위_n 집합 A, n ∈ N의 모든 시퀀스에 대해

${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \dots \subseteq A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}}}}$

그리고_n A와 A \ A가_n+1 긍정적으로 분리되는 것, 그것은 다음과 같다.

$\displaystyle \mu(A)=\sup _{n\in \mathb {N}}\mu(A_{n})}$

• X의 모든 d-폐쇄 하위 집합 E는 다음 버전의 카라테오도리의 기준을 만족한다는 점에서 μ 측정 가능하다: A와 B가 A와 B인 모든 집합에 대해 X \ E,

$\displaystyle \mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)}$

• 따라서 X의 모든 보렐 하위 집합(계산 가능한 조합, 교차점 및 개방형/폐쇄형 집합의 설정-이론적 차이)은 μ-측정 가능하다.

참조

• Rogers, C. A. (1998). Hausdorff measures. Cambridge Mathematical Library (Third ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pp. xxx+195. ISBN 0-521-62491-6.