계수척도

수학에서, 구체적으로 측정 이론에서, 계수 측정은 어떤 세트에든 측정을 하는 직관적인 방법이다 – 부분 집합의 "크기"는 부분 집합의 원소의 수가 되는 것으로 간주된다. 부분$$ 집합이 미세하게 많은 경우에는 무한대 $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$^[1]\$infit}.$

계수 측정은 모든 측정 가능한 공간($즉{\displaystyle }$, 시그마-알지브라와 함께$$ 임의의$$세트 X {\$displaystyle$ X$})$에서 정의될 수 있지만 대부분 계수 가능한 집합에 사용된다.^[1]

$공식{\displaystyle }$ 표기법에서는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 전원 세트를 시그마-알게브라 $\sigma {\displaystyle \mathrm{};}$ ${\displaystyle \Sigma;},$ 즉 $X$ ${\displaystyle$ X$}$의 모든 하위 세트를 측정할$$ 수 있는 공간으로$$ 변환할 수 있다. 그러면 이 측정 가능한 공간$($, $σ$)에 대한$$ 계수 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$$\mu }$은(는$)$ $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$, +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ] ${\displaystyle ]}${\$displaystyle$ \$sigma \to$ [0$,+\fty$]}에 의해 정의된$$ 양의 측정값이다$.$

$${\displaystyle \mu(A)={\begin{case}\vert &{{\text{{}}}}}A{\text{}는 유한}\\+\infitty &{\text{}}}}}}}$$

$모든$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ,${\displaystyle$ A\$in \Sigma$ ,} $여기서$A ${\$\vert $A$$}$은$$$집합$$$A . ${\$displaysty $A$의 카디널리티를$$ 나타낸다.$}$^[2]

$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$) ${\displaystyle (X,\Sigma )}$에 대한 카운트 측정은 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 카운트할 수 있는 경우에만 σ-완료된다.^[3]

토론

개산 조치는 보다 일반적인 건설의 특수한 경우다. $위$와 같은 표기법으로${\displaystyle }$f${\displaystyle }$:${\displaystyle X}$ → [ ${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$)$${\$displaystyle f:X\to$[0,\$infit )}$은$({\displaystyle }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$)$${\$displaystyle$ \$mu }$을(를) 통해 측정 $\mu {\displaystyle }${\$displaystyle$ \mu }을$($X,\$Sigma )$로 정의한다.

$$\displaystyle \mu(A):=\sum _{a\in A}f(a)\quad {\text{모든 }A\subseteq X,}$$

$${\displaystyle \sum \{y\,\in \,Y\!\\subseteq \,\subseteq \, {F\subseteq Y,\,\, F <\infitty }\}\\sum {y\in F}y}y\y\rig\right\}.}$$

${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ x\in X}에 대해 f ( x ) = 1 {\displaystyle $f(x)=1$}을$($를) 선택하면 카운트 측도가 된다$$.

참고 항목

• Pip(카운팅) – 쉽게 셀 수 있는 아이템
• 기능 설정 – 세트에서 숫자로 기능

참조