내용(측정 이론)

수학에서 내용은 측도와 같은 집합 함수이지만, 내용은 최종 가법이어야 하는 반면, 측정치는 가산해야 합니다.콘텐츠는 다음과 같이 $서브셋{\displaystyle \mathcal{}}$A(\$displaystyle\mathcal {$A$$}) 컬렉션에 정의된 $(\displaystyle\mu})$입니다.

1. ${\displaystyle \mu(A)\in \[0,\infty]{\text{}A\in\mathcal {A}}}입니다.}$
2. $\displaystyle \mu(\varnothing)=0.}$
3. $\displaystyle \mu(A_{1}\cup A_{2})=\mu(A_{1}+\mu(A_{2}){}A_{1}\cup A_{2}\in {\mathcal {A}\cap A_{1}\cap A_{1}=\mathcap {A_{1}\mathcap {A_{1}\cap}{1}$

많은 중요한 응용 $프로그램$에서 A$(\$style${\mathcal$ {A$})$는 세트의 링 또는 적어도 세트의 세미링으로 선택되며, 이 경우 아래에서 설명하는 몇 가지 추가 속성을 추론할 수 있습니다.이러한 이유로 일부 저자는 반점이나 고리의 경우에만 내용을 정의하는 것을 선호합니다.

내용이 부가적으로 θ-additive이면 사전 측정이라고 하며$,$ $또한{\displaystyle \mathcal{}}$ A(\$displaystyle\mathcal$ {$A})$가 θ-대수이면 측정이라고 합니다.따라서 모든 (실제값) 측정치는 내용이지만 그 반대는 아닙니다.내용은 공간에 경계 함수를 통합하는 좋은 개념을 제공하지만, 무한 함수를 통합할 때 잘못 작동할 수 있는 반면, 측정치는 무한 함수를 통합하는 좋은 개념을 제공합니다.

예

일반적인 예로는 모든 하프 오픈 간격 $[{\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b]}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$[${\displaystyle a}$$, b)\displayeq \mathbb {R}$의 콘텐츠를$$μ$$ (${\displaystyle }$[${\displaystyle }$a${\displaystyle }$,${\displaystyle b}$ )${\displaystyle =b}$ -${\displaystyle a}$ .$$\ $displaystyle \mu ($ a , b ) =$$b - a }로 $설정$하는 것입니다$.$$$ 또, 이 컨텐츠가 실제로는 「가법」이기 때문에, 모든 하프 오픈 인터벌의 세미닝에 관한 사전 대책을 정의할 수 있습니다.이는 카라테오도리의 확장 정리를 사용하여 실수선에 대한 르베그 측도를 구성하는 데 사용될 수 있다.일반 공사에 대한 자세한 내용은 르베그 조치 기사를 참조하십시오.

δ-대수로 측정되지 않는 내용의 예로는 임의의 $정수{\displaystyle }$n(\$displaystyle$ n$)$에서 $값$이 1$(\$1/$2^{n})$이고 임의의 무한 서브셋에서 값이 무한인 정의 정수의 모든 서브셋에 있는 내용을 들 수 있습니다.

항상 유한하지만 척도가 아닌 양의 정수의 예를 다음과 같이 들 수 있다.한정된 수의 0 이외의 요소만 시퀀스에 포함되며 $시퀀스{\displaystyle \mathrm{}}$1,${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \dots ,}${\$display$1,$1$, 1, $\ldots}$의 값 1을 갖는 경우 0인 양의 선형 함수를 사용하여 어떤 의미에서 이 함수는 모든 경계 시퀀스의 "평균값"을 제공합니다.(이러한 함수는 명시적으로 구성될 수 없지만, 한-바나흐 정리에 의해 존재한다.)그러면 양의 정수 집합의 내용은 이 집합에서는 1이고 다른 집합에서는 0인 시퀀스의 평균 값입니다.비공식적으로, 사람들은 정수의 부분 집합의 내용을 무작위로 선택된 정수가 이 부분 집합 안에 있다는 "찬스"로 생각할 수 있다. (그러나 이것은 셀 수 있는 덧셈성을 가정한 확률 이론의 일반적인 우연의 정의와는 양립할 수 없다.)

특성.

내용은 추가 제약을 충족하는 집합 집합에서 정의되는 경우가 많습니다.이 경우 집합 집합에서 정의된 내용에 대해 일반적으로 유지되지 않는 추가 속성을 추론할 수 있습니다.

세미링 시

A$(\$가 Semiring of sets를 형성하면 $다음{\displaystyle \mathcal{}}$ 문장을 추론할 수 있습니다.

• 모든 $콘텐츠{\displaystyle }$μ(\$displaystyle\mu)$는 단조로운 것입니다.
  $${\displaystyle A\subseteq B\rightarrow \mu (A)\leq \mu (B){\text{ for }A,B\in {mathcal {A}}}}.}$$

  
• 모든 $컨텐츠{\displaystyle }$μ$(\displaystyle\$mu)는 부가적인, 즉

${\displaystyle \mu }$( ${\displaystyle A\mathrm{display}}$B ) ${\displaystyle 、\mu }$ ( ${\displaystyle A}$) +$μ$ (${\displaystyle B}$) \ $displaystyle \ mu ( A$ ) + \$mu$ ( $B$$$)${\displaystyle }$。$A{\displaystyle }$${\displaystyle display\mathcal{}}$ A$$${\displaystyle \mathrm{display}}$ $display$ $style$ A$$、 $B$、 B $display$ in \$mathcal${ $A$$$} ${\displaystyle 。}$$}$

온링

$또한{\displaystyle \mathcal{}}$ A$(\$가 링 세트인 경우 추가로 얻을 수 있는 것은 다음과 같습니다.

• 감산율:${\displaystyle }$(B < \ $displaystyle \$ mu (B) < \ infty}을 만족하는$$ B${\displaystyle }$${\displaystyle a}$A \ displaystyle$$$B$ \ subseteq $A$${\displaystyle b}$ $μ$ ${\displaystyle A}$ )${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mu }$ ($$B${\displaystyle }$) . \ $displaystyle \ mu$ ($A$ \ $setus$ B \ $mu$ ) $=$B \ mu ( \ mu ) （ \ mu ） （ \ $mu$ ） （ \ mu （ \ mu ） ） （ A ） （ A ）$}$
• $(\displaystyle A, B, in {mathcal {A}}\오른쪽 화살표 \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B)).}$
• 하위 가감도:$=$$A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mu(A_{i}).$$}$
• $§$ ${\displaystyle$ \sigma$}$ - 초첨가도:임의의 ${\displaystyle A_{}}$ i${\displaystyle {}_{}a\mathcal{}}$ A${\displaystyle }$( ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle =1}$,${\displaystyle }$2 , ${\displaystyle ...}$ $){$ A_${i}\in{mathcal {A}\;(i=1,2,\dotsc)\}$쌍으로$$ 분리된 경우${\displaystyle \underset{1}{\overset{}{}}}$ i ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle 1_{}}$∈ $A$ ${\displaystyle {}_{}}$ A \$displaystyle$ \ $bigcup _{i=1$^{1}\fty_in_i$}$를 만족합니다$.$$ft(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\geq \sum _{i=1}^{\infty }\mu(A_{i}).$$}$
• μ$${\$displaystyle \mu}$가 유한한 내용인 $경우{\displaystyle }$, 즉 A (A ) <、 \ $style$A \$in$ \ $mathcal${ $A$} \ $rightarrow \ mu$ ( A ) < \ $in$ \ infty}인 경우 포함 제외 원칙이 적용됩니다.
  $$\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n})A_{i}\right)=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\!\!\sum _{I\subseteq \{1,\dotsc,n\}, \subseteq \}, \subseteq \, \subseteq I =k}\!\!\!\mu \left(\bigcape _{i\in I}A_{i}\right)}$$

  
  $여기$서 ${\displaystyle A}$는 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $i{\displaystyle }${ 1${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle \dots ,n\}}$에 대해 A$(style A_{i}\in$, {1,\dotsc$,$n})의 A$({style$ i$\in,\dotsc,n$}).$}$

경계 함수의 통합

일반적으로 콘텐츠에 대한 기능의 통합은 잘 작동하지 않습니다.그러나 다음과 같이 함수가 제한되고 공간의 전체 내용이 유한하다면 적분의 잘 작동하는 개념이 있다.

공간의 전체 내용이 유한하다고 가정합니다.$f{\displaystyle }${\$displaystyle$ f$}$가 공간상의 경계 함수이며, real의 열린 서브셋의 반전 이미지가 내용을 포함한다면, 그 내용에 대한 f$${\$displaystyle$ f$}$의 적분을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

여기서 $(\$는 f$,$ {\$displaystyle$ f$$$,$ 및 α $(\$displaystyle \$alpha_{$$i$})의 범위를 포함하는 유한한 반개방 집합 집합을 형성하며, 여기서 한계는$Ai$(\$displaystyle$A_i$$$})$의 직경으로 ${\displaystyle {간주}_{}}$한다.$플레이 스타일$ A_${i}}$는 0이 되는 경향이 있습니다.

유계 함수의 공간 이중화

μ$${\$displaystyle \mu}$가 $공간{\displaystyle }$X에 대한 척도라고 가정합니다$.$ {\$displaystyle$ X$}$의 경계 측정 가능 함수는 최상규범에 대해 바나흐 공간을 형성합니다.이 공간의 듀얼의 플러스 요소는 ${\displaystyle f}$의${\displaystyle }$$\displaystyle$${\displaystyle f}$의 $값$인$"\displaystyle\lambda$$"$$X$$,\displaystyle$ X,\displaystyle X$,\$displaystyle X에 $대응합니다$.\displaystyle f,\lambda도 마찬가지로 에센티아의 공간을 형성할 수 있습니다.ly 유계 함수와 기본 수위에 의해 주어진 노름, 그리고 이 공간의 이중의 양의 요소는 측정치 0 집합에서 사라지는 유계 내용에 의해 주어진다.

내용에 의한 조치의 구축

토폴로지 공간에 내용물$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle\lambda)$로부터 측정값 μ를 구성하는 방법은 여러 가지가 있습니다.이 섹션에서는 로컬로 콤팩트한 하우스도르프 공간에 대해 이러한 방법 중 하나를 설명합니다.이 방법에서는 콘텐츠가 모든 콤팩트한 서브셋에 정의됩니다.일반적으로 이 척도는 내용물의 확장이 아닙니다.내용물이 가산되지 않을 수 있으며, 내용이 가산되지 않더라도 동일한 제로가 될 수 있기 때문입니다.

먼저 내용을 콤팩트 세트로 제한합니다.이것에 의해, 다음의 속성을 가지는 $콤팩트{\displaystyle }$ 세트$$C의$$ $함수{\displaystyle }$ $「{$$displaystyle\$$lambda}」$가 주어집니다.

1. ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $콤팩트{\displaystyle }$ 세트$C$의 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$[$0,$$displaystyle$ $\lambda (C)\in \[0$,\infty$$$$])
2. $\displaystyle \displayda (\varnothing)=0 입니다.}$
3. $\displaystyle \lambda (C_{1})\leq \lambda (C_{2}){\text{언제든지}C_{1}\subseteq C_{2}}$
4. ${\displaystyle {}_{}}$ 세트의 모든 쌍에 대해${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle C{1\mathrm{}}_{}{}_{}}$) +${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ $2$） \ display $style$ \$lambda$( C _ { $1$} \ cup C$$_ { 2 ） \$leq$\ $lambda$ ( C _ { 1 ) + \ $lambda$ ( C _ { 2$$$$} )
5. ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle C}$ 1${\displaystyle {}_{}}$∪${\displaystyle {}_{}{C\mathrm{}}_{}}$ 2 )${\displaystyle }$= ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle {}_{}{}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ ) +${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ $2 ）{$ display $style$ \ scup$C_${2} = \$lambda$ ( C $_ {1$} + \$lambda$ ( C _${$2$$} ) } 。

또한 위의 함수 above(\style $\lambda)$는 콘텐츠로 구성되어 있지 않습니다$.$예를 들어 국소적으로 콤팩트한 그룹에 Haar 측정치를 구축한다.이러한 Haar 측정을 구성하는 방법 중 하나는 그룹의 콤팩트 서브셋에서 위와 같이 왼쪽 불변 함수$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \lambda)$를 생성하는 것입니다. 이 함수는 왼쪽 불변 측정까지 확장할 수 있습니다.

열린 집합의 정의

위와 같이 μ가 주어졌을 때, 우리는 다음과 같이 모든 열린 집합에서 함수 μ를 정의한다.

여기에는 다음 속성이 있습니다.

1. ${\displaystyle\mu(U)\in\[0,\infty]}$
2. $\displaystyle \mu(\varnothing)=0}$
3. $\displaystyle \mu (U_{1})\leq \mu (U_{2}){\text{언제든지}U_{1}\subseteq U_{2}}$
4. ${\displaystyle \mu }$(${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ n U${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ )${\displaystyle }$≤ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ n${\displaystyle }$（ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$） \ $displaystyle \ mu$ \ left ( \ $bigcup$_ {$n$ } $U$$$_ { $n$} \ $right$)\$leq$\$sum$_ { $n$} \ $lambda$( U$_$ { $n$} )
5. ${\displaystyle \mu }$(${\displaystyle \underset{n}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle U_{}}$n ) $=$ ${\displaystyle （}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$） \ $displaystyle \mu \left$( \ $bigcup$_ {$n$ } $U$_ { $n$} \ $right$ )= \ $sum$_ { $n$} \ $sum$ _ { n } \ bigcup _ { n } U$$ _ { n $（ U$_ { n$$） 。

모든 세트의 정의

위와 같이 μ가 주어지면, 우리는 함수 μ를 위상 공간의 모든 부분 집합으로 확장한다.

이것은 외부 측정치입니다. 즉, 다음과 같은 특성을 가집니다.

1. ${\displaystyle\mu(A)\in\[0,\infty]}$
2. $\displaystyle \mu(\varnothing)=0.}$
3. $\displaystyle \mu (A_{1})\leq \mu (A_{2}){\text{항상}A_{1}\subseteq A_{2}}$
4. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (\underset{n}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$)${\displaystyle }$、${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle {}_{}\underset{}{}}$（ A${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ $）$ \ $displaystyle \ mu$ \$left$ ( \ $bigcup$_ {$n$ } $A$$$_ { $n$} \ $right$)\$leq$\ $sum$_ { $n$} \ $lambda$( A$_$ { $n$} ) 。

조치의 구축

위의 함수 μ는 모든 서브셋 패밀리에 대한 외부 측도입니다.따라서 외부 측정의 측정 가능한 $(모든$ 서브셋에 대해${\displaystyle }$μ (${\displaystyle X)}$ $=$ (${\displaystyle Xe}$E${\displaystyle }$) +${\displaystyle }$μ ( ${\displaystyle Xe}$E$$) \ $display$ $style$ $\ mu (X\cap$E) + mu ($X\setus ))$로 제한되는 경우 측정이 됩니다.en set는 이 측정에 대해 측정 가능합니다.

$({$$displaystyle$$\mu})$는 콤팩트 세트의 $내용{\displaystyle }${\({$displaystyle \lambda$$})$과 반드시 일치하지는 않지만, $콤팩트{\displaystyle }$C에 대해$$\$displaystyle$$$\lambda$C)$는 $D{\displaystyle (}$displaystyle $\lambda$$)$의 inf라는 의미에서 규칙적인 값입니다$.$$내부$에$$C(\displaystyle C$)$가 $포함$된 콤팩트 $세트{\displaystyle }$D(\$displaystyle$ D$)$의 플레이 스타일 \$lambda(D)$를 선택합니다$$.

「 」를 참조해 주세요.

• 민코프스키 함량

레퍼런스

• Elstrodt, Jürgen (2018), Maß- und Integrationstheorie, Springer-Verlag
• Halmos, Paul (1950), Measure Theory, Van Nostrand and Co.
• Mayrhofer, Karl (1952), Inhalt und Mass (Content and measure), Springer-Verlag, MR 0053185