세미놈

수학에서, 특히 기능 분석에서, 세미놈은 긍정적일 필요가 없는 벡터 공간 규범이다. 세미놈들은 볼록한 세트와 밀접하게 연결되어 있다: 모든 세미놈들은 어떤 흡수식 디스크의 밍코스키 기능이고 반대로, 그러한 세트의 밍코우스키 기능은 세미놈이다.

위상학적 벡터 공간은 위상이 세미몬 가족에 의해 유도되는 경우에만 국소적으로 볼록하다.

정의

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 실제 $숫자{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$ 또는$$ 복잡한 숫자 $C{\displaystyle \mathbb{}.}$ ${\displaystyle \mathb {C}$에 대한 벡터 공간이 되게$$ 두 가지 조건을 만족하면 real-값 함수 $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ $:X\to \mathb {R}$을 세미노름이라고 한다$$.

1. 하위additivity/${\displaystyle \mathrm{Triangle}}$ 불평등: $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$+ y${\displaystyle }$)${\displaystyle p}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle p}$ (${\displaystyle y}$) ${\displaystyle p(x+y)\leq$ p$(x)+p(y)}$ 모든 $x{\displaystyle ,}$ y${\displaystyle \mathrm{y<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; p(x+y)\backslash leq\; p(x)+p(y)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/b4c62346e0a4a5625be6fcc47ae8c7183de5041f"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; margin-left:\; -0.089ex;\; width:22.775ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="44">}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaysty$x$,y\in X.}$
2. 절대 동질성: $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle s}$( ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle p(sx)=$s($x)}$ 모든 x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ 및$$ $모든$ 스칼라 .${\displaystyle s.}$

이 두 ${\displaystyle \mathrm{조건}}$은 $p{\displaystyle }$( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$p(0$)=0}$을(를) 의미하며$$^{[proof 1]}, 모든 세미노름 $p{\displaystyle }${\$displaystyle$ p$}$도 다음과$$ 같은 속성을 가지고 있음을 의미한다.^{[proof 2]}

3. 비부정성: $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p(x)\geq 0}$ 모든$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ x$\in$ X$.}$

일부 저자들은 비부정성을 "세미놈"의 정의의 일부로서(그리고 때로는 "정상"의 정의의 일부로서 포함하기도 하지만, 이는 다른 두 속성에서 따르기 때문에 필요하지 않다.

정의에 따르면 $X{\displaystyle }${\$displaystyle X}$의 표준은 포인트도 구분하는 세미노름으로$$, 다음과 같은 추가 속성을 가지고 있음을 의미한다.

4. 긍정확정/점 구분: 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle x\in$ X$,}$에 대해 p${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle p(x)=0}$이면 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle$ x$=0.$$}$

A seminormed space is a pair ${\displaystyle (X,p)}$ consisting of a vector space ${\displaystyle X}$ and a seminorm ${\displaystyle p}$ on ${\displaystyle X.}$ If the seminorm ${\displaystyle p}$ is also a norm then the seminormed space ${\displaystyle (X,p)}$ is called a normed space

절대 동질성은 양의 동질성을 내포하기 때문에, 모든 세미놈은 하위선형함수라 불리는 함수의 일종이다. 지도 $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$이(가) 하위첨가성(즉, 위의 조건 1)이고 양수동질(위의 조건 5)이면 하위선형함수라고 한다$$. 세미노름과 달리, 하위 선형의 함수가 반드시 음수가 아닌 것은 아니다. 하한-바나흐 정리의 맥락에서 종종 하위 선형 함수를 접하게 된다.

예

• $X{\displaystyle }$${\displaystyle }$, ${\displaystyle X$$,}$의 상수 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$ 맵을$$ 참조하는$$ X$$, {\$displaystyle$ X}의 사소한 세미놈은 X${\displaystyle }$. ${\discrete$ 토폴로지를 $유도$한다$.$
• $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 벡터 공간의 선형 형태라면, $x{\displaystyle }$its f (${\displaystyle }$${\displaystyle x}$)$$, {\$displaystyle x\mapsto f(x)$ 로 정의된 절대값 f , ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystystyle$ f $,}$은 세미노름이다.
• A sublinear function ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ on a real vector space ${\displaystyle X}$ is a seminorm if and only if it is a symmetric function, meaning that ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ for all ${\displaystyle x\in X.}$
• Every real-valued sublinear function ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ on a real vector space ${\displaystyle X}$ induces a seminorm ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ defined by ${\displaystyle p(x):$$=\max\{f(x),fx)\}.$$}$^[1]
• 어떤 한정된 양의 세미노름도 세미노름이다. 벡터 서브스페이스에 대한 세미몬(존중, 규범)의 제한은 다시 한번 세미몬(존중, 규범)이다.
• $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$및$$ $q{\displaystyle }$: ${\displaystyle Y\mathbb{}}$→ ${\displaystyle R}$ ${\$$Y\to \mathbb {R} }$ are seminorms (respectively, norms) on ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ then the map ${\displaystyle r:X\times Y\to \mathbb {R} }$ defined by ${\displaystyle r(x,y)=p(x)+q(y)}$ is a seminorm (respectively, a norm) on ${\displayst$$yle X\times Y.}$ In particular, the maps on ${\displaystyle X\times Y}$ defined by ${\displaystyle (x,y)\mapsto p(x)}$ and ${\displaystyle (x,y)\mapsto q(y)}$ are both seminorms on ${\displaystyle X\times Y.}$
• $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ 및$$ $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 세미노름인 경우 다음과$$ 같다^[2].
  $${\displaystyle (p\vee q)(x)=\max\{p(x)\q(x)\}\cHB {\text{ 및 }}\p\cHB(p\be q)(x):=\inf\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{{}}y,z\in X\}}이(가) 있는 경우$$

  
  여기서 $p{\displaystyle }$q ${\displaystyle q}$ p {\$displaystyle p\p\$$leq$ $p}$ 및$$ $p{\displaystyle }$q ${\displaystyle q}$ q ${\displaystyle q.}${\$displaystyle p\p\leq.$
• 더욱이 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 있는 세미노름의 공간은$$ 위의 연산에 관한 분배 격자다.
• $L{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$이(가) 선형 지도이고 ${\displaystyle q}$: ${\displaystyle Y\mathbb{}}$→ R ${\$$Y\to \mathbb {R} }$ is a seminorm on ${\displaystyle Y,}$ then ${\displaystyle q\circ L:X\to \mathbb {R} }$ is a seminorm on ${\displaystyle X.}$ The seminorm ${\displaystyle q\circ L}$ will be a norm on ${\displaystyle X}$ if and only if ${\displaystyle L}$ is injective and the 제한 ${\displaystyle {}_{}}$( X$){\$은 L (${\displaystyle }$X )${\displaystyle }$.${\displaystyle L(X$)에 대한 표준이다$.$$}$

민코프스키 기능사 및 세미노름

벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 세미놈들은 민코프스키 함수를 $통해{\displaystyle }$ 볼록하고 균형잡히고 흡수되는 X$$ ${\displaystyle X}$의 하위 집합에 밀접하게 묶여 있다$$. $X{\displaystyle }$${\displaystyle }$, ${\displaystyle X$의 이러한$$ 부분 집합 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D$$}$을(를) 고려할 때 D ${\displaystyle D}$의 Minkowski 기능은 세미노름이다$$. 반대로, X에seminorm p{p\displaystyle}, 주어진}은 볼록, 게다가 흡수하는 균형 잡힌, 민코프 스키 이 두 집합의 기능(또한 세트({\displaystyle\와 같이{x\in X:p())<, 1\}}과{)∈ X:p())≤ 1}{\displaystyle\와 같이{x\in X:p())\leq 1\}{X\displaystyle,}. 아소.f "그들 사이에" 누워있는 모든 세트는 $p{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ p$.}$

대수적 특성

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) $F{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 벡터 공간으로 두십시오$$. 여기서$$ $F{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$는) 실제 또는 복잡한 숫자 중 하나임$$.

준선형 함수인 세미노름의 특성

모든 세미놈은 하위 선형함수이므로 세미놈은 다음과 같은 특성을 모두 가지고 있다.

$p{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle p:X\to [0,\infit )}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 실제 값 하위 선형 함수인 경우$$:

• 세미놈은 ${\displaystyle \mathrm{역삼각형}}$ 불평등을 만족시킨다: ${\displaystyle p}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- p${\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle p}$( ${\displaystyle x}$- y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \text{모든 x}}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$. ${\displaystyle p(x)-p(y) \leq$ p$(x-y){\text{}}모든 }.$
• For any ${\displaystyle x\in X}$ and ${\displaystyle r>0,}$^[6] ${\displaystyle x+\{y\in X:p(y)<r\}=\{y\in X:p(x-y)<r\}.}$
• 모든 세미놈은 하위 선형 함수이므로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 $세미놈{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$은 볼록 함수다. 더욱이, > 0{\ r$>$ { x : ( x)< ${\displaystyle$\{$x\in$X:$p(x$)<$r\}}}$는 $X{\displaystyle }$ . {\$displaystyle X.}$의 흡수 디스크다.
• 모든 비선형 함수는 볼록함수다.
• $p(0)=0.}$
• ${\displaystyle 0\leq \max\{p(x),p(-x)\}}$ and ${\displaystyle p(x)-p(y)\leq p(x-y)}$ for all ${\displaystyle x,y\in X.}$^[1][5]
• $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 실제 벡터 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 하위 선형 함수인 경우${\displaystyle ,}$ $X$ ${\displaystyle$ $X$$}$에 $선형{\displaystyle }$ $함수{\displaystyle }$ f$$${\displaystyle$ f$\leq$ p$.}$이(가) 있음
• If ${\displaystyle X}$ is a real vector space, ${\displaystyle f}$ is a linear functional on ${\displaystyle X,}$ and ${\displaystyle p}$ is a sublinear function on ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle f\leq p}$ on ${\displaystyle X}$ if and only if ${\displaystyle$$}$^[5]

세미노름의 기타 특성

$p{\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{X}}$→${\displaystyle }$[ 0 ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle p:X\to [0,\infit )}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 세미노름인 경우$$:

• ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$은는) { X: p( )< ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$이(가) 비삼각 벡터 하위 공간을 포함하지 않는 경우에만$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ X$}$의 표준이다$$.
• ${\displaystyle p^{}}$-${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ ( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle$ p$^{-1}(0)}$은(는) $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$의 벡터 하위 공간이다$$.
• r > ${\displaystyle r>0,}$에 대해
  $${\displaystyle r\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x)<r\}=\refrac {1}{r}p(x)<1\right\}.}$$

  
• 만약 D{D\displaystyle}의 세트 D⊆{)∈ X:p())≤ 1}{\displaystyle\와 같이{x\in X:p())<, 1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:p())\leq 1\}⊆{)∈ X:p())<1}을 만족시키}그러면 D{D\displaystyle}X{X\displaystyle}및 p=}이p D{\displays pD{\displaystyle p=p_{D}은 주목된다.ptyle$_{D}}$는 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}($$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 게이지)$$^[4]와 관련된 Minkowski 기능을 가리킨다$$.
  • In particular, if ${\displaystyle D}$ is as above and ${\displaystyle q}$ is any seminorm on ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle q=p}$ if and only if ${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:q(x)\leq \}.$$}$^[4]

• If ${\displaystyle (X,\ \,\cdot \,\ )}$ is a normed space and ${\displaystyle x,y\in X}$ then ${\displaystyle \ x-y\ =\ x-z\ +\ z-y\ }$ for all ${\displaystyle z\in [x,y].$$}$^[7]
• 모든 규범은 볼록함수로서, 결과적으로, 규범에 기초한 객관적 함수의 전지구적 최대치 발견은 때때로 추적가능하다.

다른 표준과 같은 개념과의 관계

$p{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$을(를) 음수가 아닌 함수가 되도록$$ 한다. 다음은 이에 해당한다.

1. $[\displaystyle p]$는 세미노름이다.
2. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$은(는) 볼록 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$ - seminorm이다.
3. $[\displaystyle p]$는 볼록 균형 G-세미놈이다.^[8]

위의 조건 중 하나라도 유지되면 다음과 같다.

1. ${\displaystyle p}$ $[\displaystyle p}$은(는) 표준이다.
2. : ( x)< ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$은(는) 비교 벡터 하위 공간을 포함하지 않는다.^[9]
3. $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ X$,}$에 대한 규범이 존재하며, 이에 관하여는$$ : p( )< ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}$이(가) 경계된다.

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 실제 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 하위 선형 함수인 경우$$, 다음은$$ 동일하다.^[5]

1. ${\displaystyle p}$ $[\displaystyle p}$은(는) 선형 기능이다.
2. ${\displaystyle p}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle p}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 매}$ x${\displaystyle \mathrm{for}}$ X ${\displaystyle p(x)+p(-x)\leq$ 0${{\text{$매$}in$ X$}$;
3. ${\displaystyle p}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ p${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= 매 x ${\displaystyle \in }$에 ${\displaystyle \text{대해}}$ 0 = 매 ${\displaystyle x}$ ∈ X ${\displaystyle p(x)+p(-x)=0{{\text{$매$}in$ X$}$;

반달가슴곰과 관련된 불평등

$p{\displaystyle }$ ,${\displaystyle q}$ : ${\displaystyle X}$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle p,q:X\to [0,\fty )}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 세미노름인 경우$$:

• ${\displaystyle p}$$q{\displaystyle }$$$(${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle q(x)\leq 1}$이(가) $p{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) 1${\displaystyle p(x)\leq 1.}$을(를) 내포하는 경우에만$$ 해당됨
• If ${\displaystyle a>0}$ and ${\displaystyle b>0}$ are such that ${\displaystyle p(x)<a}$ implies ${\displaystyle q(x)\leq b,}$ then ${\displaystyle aq(x)\leq bp(x)}$ for all ${\displaystyle x\in X.}$ ^[11]
• 한{\displaystyle}과 b{\displaystyle b}은 긍정적인 진짜 번호와 q, p1,…,p n{\displaystyle q,p_{1},\ldots ,p_{n}}X에 있seminorms 모든 x에 대한은 ∈ X,{x\in X\displaystyle,}만약 최대{p1()),…,p n())}<>;{\displaystyle \m{X\displaystyle}다고 가정해 보자.ax\${p_{1}(x),\ldots ,p_{n}(x)\}<a},$ () ${\displaystyle q(x)<b.}$ $그런{\displaystyle }$ 다음 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b({p\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ ${\displaystyle p_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle aq\leq$b\\$leq$ b$\왼쪽($p_${1}+\cdots$+p_{$n}\right).$$}$^[9]
• If ${\displaystyle X}$ is a vector space over the reals and ${\displaystyle f}$ is a non-zero linear functional on ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle f\leq p}$ if and only if ${\displaystyle \varnothing =f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}.}$^[10]

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 세미놈이고 $f$ ${\displaystyle f}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 선형 함수인 경우$$:

• ${\displaystyle }$$X {\displaystyle$ $X$$}$의 F ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f\leq$ $p$$}$인 경우에만$$ $해당$된다($$증거는 각주 참조).^[12][13]
• ${\displaystyle }$ - ( )$${ $$ :$$( )< = } . ${\displaystyle$ f$^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)=\varnothing.$$}$^[5][10]
• If ${\displaystyle a>0}$ and ${\displaystyle b>0}$ are such that ${\displaystyle p(x)<a}$ implies ${\displaystyle f(x)\neq b,}$ then ${\displaystyle a f(x) \leq bp(x)}$ for all ${\displaystyle x\in X.}$^[11]

세미놈들을 위한 한-바나흐 정리

세미노름스는 한-바나흐 정리의 특히 깨끗한 공식화를 제공한다.

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 세미노르드 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle(X,p)}$의 벡터 하위 공간이고$$, $f$ ${\$$displaystyle$ $f$$}$이$($가$)$ $M{\displaystyle }$, ${\$$displaystysty$ M$,}$에서 연속 선형$$ 기능 F ${\displaystystystystystyf}$까지 확장될 수 있다$$.$f$. ${\displaystyle$f}과(와) 동일한 규격을 가진 $yle$ X$}.$$}$^[14]

유사한 확장 속성은 세미노름에도 적용된다.

증명: $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $S$$}$을$($를) {${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \in }$ M${\displaystyle }$: p${\displaystyle }$( ${\displaystyle m}$ )${\displaystyle )}$ 1 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \cup }$ {${\displaystyle }${ { { { ${\displaystyle \{}$ { ${\displaystyle q}$ q${\displaystyle }$q q${\displaystyle q}$ q q q q ${\displaystyle \mathrm{q}}$ \${\displaystyle \backslash }$ \$\$ \ \.{m\$in$ M$:p(m)\leq 1\}\c)\cup$ \$cup \c$.$$ Then ${\displaystyle S}$ is an absorbing disk in ${\displaystyle X}$ and so the Minkowski functional ${\displaystyle P}$ of ${\displaystyle S}$ is a seminorm on ${\displaystyle X.}$ This seminorm satisfies ${\displaystyle p=P}$ on ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle P\l$$X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X.}$${\displaystyle }$on ${\displaystyle \blacksquare }$의 $eq}$

반원형 공간의 토폴로지

유사측정학 및 유도 위상

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 세미노름 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$은 표준번역-invariant 유사측정학 $d{\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle X_{}x}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$를 통해 세미노름 유도 위상이라고 하는 위상(위상)을$$ 유도한다.$X{\displaystyle {}_{}}$$\time X\to \mathb {R}$; ${\displaystyle d_{}}$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle p}$( ${\displaystyle x}$- y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= p${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle d_{p}(x,y):=p(x-y)=p($y-x)=p($y-x$)=p(y-x$).$$}}$ 이$$ 위상은 d ${\displaystyle p_{}}$ ${\$가 메트릭인 경우에만 Hausdorff이며 p {\$displaystyle$ p$}$이(가$)$^[3] 표준인 경우에만 $발생$한다. 이 위상은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 원점을 중심으로 다음과 같은 열린 공(또는 닫힌 공)으로 구성된 원점에 근린 근린 및 원점에 경계된 근린(근린) 근린(근린)을 갖는 국소적으로 볼록한 유사 측정 가능한 위상 벡터 공간으로 만든다$$.

> ${\displaystyle r>0}$이(가) 양의 reals에 걸쳐 있는 경우. 다른 표시가 없는 한 모든 정합 공간$({\displaystyle X}$, p${\displaystyle }$) ${\$디스플레이 $스타일(X,p)}$은(는) 이 위상이 부여된 것으로 가정해야 한다$$. 어떤 세미노름에 의해 위상이 유도되는 위상학적 벡터 공간을 세미노마블이라고 부른다.

Equivalently, every vector space ${\displaystyle X}$ with seminorm ${\displaystyle p}$ induces a vector space quotient ${\displaystyle X/W,}$ where ${\displaystyle W}$ is the subspace of ${\displaystyle X}$ consisting of all vectors ${\displaystyle x\in X}$ with ${\displa$$ystyle p(x)=0.}$ 그러면$$ $X{\displaystyle }$/ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X/W}$은(는)${\displaystyle }$p${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle W}$) = ${\displaystyle p}$(${\displaystyle }$)$$. {\$displaystyle p(x+W)=p$(v)로 정의된 규범을 전달한다$.$$}$ $X{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle X,}($으)로 당겨진 결과$$ 위상은 정확하게$$ $p{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ p$.}$에 의해 유도된 위상이다.

세미노름 유도 위상은 $다음$과 같이 X ${\displaystyle X}$을(를) 국소적으로 볼록하게 만든다. X{X\displaystyle}에 만약 p{p\displaystyle}은 seminorm과 r∈ R,{\displaystyler\in \mathbb{R}, 디렉터리 집합을{)∈ X:p())<>r}{\displaystyle\와 같이{x\in X:p())<, r\}}기원에 대해 반지름 r{r\displaystyle}의 열린 공, 반지름 r{r\displaystyle}의 마찬가지로 닫힌 공을 무엇이라고 불렀습니까. 는 ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq r\}}$$$ 오리진에서 모든 $열린{\displaystyle }$(resp. closed) p ${\displaystyle$ p$}$ -balls$$ 집합은 $X{\displaystyle .}$ ${\displaystyle X}$의 p ${\displaystyle p}$ -topology에서$$ 열린(resp. closed) 볼록 균형 집합의 근린 기준을 형성한다.

더 강하고, 약하며, 동등한 세미놈

더 강하고 약한 세미노름의 개념은 더 강하고 약한 규범들의 개념과 비슷하다. $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ 및 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$이(가) $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$의 세미orms인 경우, $q{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $q}$이(가) $p{\displaystyle }$${\displaystystyle$$$$p$}보다 강하며$$, p {\daystyp}이$($ 다음과 같은 동등한 조건 중 하나라도$$ $q}$보다 약하다고 말한다.

1. $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$이(가) 유도한$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 위상이 $p{\displaystyle }$. ${\displaystyle p.}$에 의해 유도된 위상보다 미세하다$$.
2. If ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ is a sequence in ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):$$=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ implies ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} .}$^[3]
3. If ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ is a net in ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):$$=\left(q\left(x_{i}\right$)\$right)_{i\in I}\to 0}$의 R ${\$$displaystyle$ $\mathb {R}$은(는) $($ $∙$)${\displaystyle }$→ $(x_{\bullet$ $\right$$)\$$to$ $0$${\displaystyle .}$ ${\displaystymathb${R$}.$
4. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$은는) { X: ( x)< 1.${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}}$에 경계로 지정됨$$
5. ${\displaystyle if}$ {${\displaystyle q}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$: p${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) : ${\displaystyle p}$ ( x )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle xx}$ X${\displaystyle \}}$ = 0$${\$displaystyle \inf {}\{q(x):p(x)=1,x\in$ X$\}}$인 경우$$, $모든{\displaystyle }$ x$X$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ p${\displaystyle }$($x$) $= 0$$.$ {\$displaystystyleylease x.$
6. $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$에 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \mathrm{Kq}}$ ${\displaystyle p\leq Kq}$과 같은 실제 > ${\displaystyle$ $K$$>0}$이(가) 있다.

세미노름 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$과 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$이(가) 서로 약하거나 둘 다 강한 경우 동등하다고 부른다. 이는 다음과 같은 조건 중 하나를 충족하면 발생한다.

1. $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$에 의해$$ 유도된 X {\$displaystyle$ X}의$$위상은 p . ${\displaystyle$ p.}에$$의해 $유도$된 위상과 동일하다.
2. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$이(가) $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$보다 강하고$$ p ${\displaystyle p}$이(가) $q{\displaystyle }$ .${\displaystyle q.}$보다 강하다.
3. If ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ is a sequence in ${\displaystyle X}$ then ${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):$$=\좌(q\좌)(x_{i}\우)\우측$)_${i=1}^{\\nft }\$$p$가 0. p${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$)${\displaystyle }$→ $.$ {\$displaystyle p\left($x_${\i1}\우측)\p$가 0$.}$에 해당하는 경우에만 해당된다.
4. ${\displaystyle q}$ > ${\displaystyle$ r$>0$$}$ 및 > ${\displaystyle$ R$>0}$이(가) 존재하며, $rq{\displaystyle }$p${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathrm{Rq}.}${\$displaystyle rq\leq$p\$leq Rq.}$과 같은 양의 실수가 있다.

정규성 및 정규성

위상 벡터 공간(TV)은 위상이 하나의 세미노름에 의해 유도되는 경우 세미노름 가능한 공간(존중하게, 규범 가능한 공간)이라고 한다. TVS는 세미노마블과 하우스도르프 또는 동등하게 세미노마블과 T의₁ 경우에만 규격이 가능하다(TVS는 T₁ 스페이스인 경우 및 T 스페이스인 경우에만 하우스도르프이기 때문이다). 국부 경계 위상 벡터 공간은 기원의 경계 인접 지역을 차지하는 위상학적 벡터 공간이다.

위상 벡터 공간의 규범성은 콜모고로프의 규범성 기준으로 특징지어진다. TVS는 원산지의 볼록한 이웃이 있는 경우에만 반증할 수 있다.^[16] 따라서 로컬 볼록형 TVS는 비빈 경계 개방 세트를 가지고 있는 경우에만 반증할 수 있다.^[17] TVS는 그것이₁ T 공간이고 그 기원의 경계 볼록한 볼록한 이웃을 인정하는 경우에만 규격이 가능하다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Hausdorff 로컬 볼록 TVS인 경우 다음 사항은 동일하다.

1. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 규범적이다.
2. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 반정형이다.
3. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 원산지의 경계 부근을 가지고$$ 있다.
4. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 강력한 듀얼 $X{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$은(는) 규범적이다.^[18]
5. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 강력한 $듀얼{\displaystyle {}_{}^{}}$ X ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$은(는) 메트리징이 가능하다$$.^[18]

Furthermore, ${\displaystyle X}$ is finite dimensional if and only if ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ is normable (here ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ denotes ${\displaystyle X^{\prime }}$ endowed with the weak-* topology).

무한히 많은 반원형 공간의 산물은 이러한 공간들 중 거의 모든 것이 사소한 것(즉 0차원)을 제외하고는 다시 반원형이다.^[17]

위상학적 특성

• If ${\displaystyle X}$ is a TVS and ${\displaystyle p}$ is a continuous seminorm on ${\displaystyle X,}$ then the closure of ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ in ${\displaystyle X}$ is equal to ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq r\}.$$}$^[2]
• The closure of ${\displaystyle \{0\}}$ in a locally convex space ${\displaystyle X}$ whose topology is defined by a family of continuous seminorms ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ is equal to ${\displaystyle \bigcap _{p\in {\mathcal {P}}}p^{-1}(0).$$}$^[10]
• $p{\displaystyle }$(${\displaystyle S}$) ${\displaystyle$ $(X,p)}$이$($가) 제한되는$$ 경우에만 세미노름 공간$({\displaystyle X}$,${\displaystyle p)}$의 하위 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $S}$이(가) 제한된다$$.^[19]
• If ${\displaystyle (X,p)}$ is a seminormed space then the locally convex topology that ${\displaystyle p}$ induces on ${\displaystyle X}$ makes ${\displaystyle X}$ into a pseudometrizable TVS with a canonical pseudometric given by ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ for all ${\displaystyle x}$${\displaystyle x,y\in$
• 무한히 많은 반원형 공간의 산물은 이러한 공간들 중 극히 많은 공간을 제외한 모든 공간이 사소한 경우(즉, 0차원)에만 다시 반원형이다.^[17]

세미노름의 연속성

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 위상 벡터 $공간{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$에 있는 세미놈이라면$$, 다음은$$ 동등하다.^[4]

1. ${\displaystyle p}$ $[\displaystyle p}$은(는) 연속적이다$$.
2. ${\displaystyle p}$ $[\displaystyle p}$은(는) 0에서 연속됨$$;^[2]
3. : ( x)< ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}$은$($^[2]는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X};$
4. ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$: p${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq 1\}$은(는) X ${\displaystyle$ X$}$에서 0의 폐쇄 근린이다$.$^[2]
5. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$은(는) $X{\displaystyle }${\$displaystyle X}$에서 균일하게 연속됨$;$^[2]
6. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에는 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle p\leq.}$과 같은$$ 연속적인 세미노름 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $q$$}$이(가) 존재한다.

특히${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle (X,p)}$이(가) 정합 공간인$$ 경우, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 세미노름 $q{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle q}$이(가$)$ $p{\displaystyle }$. ${\displaystystyp.}$의 양의 스칼라 배수로 지배되는 경우에만$$ 연속된다$$.

If ${\displaystyle X}$ is a real TVS, ${\displaystyle f}$ is a linear functional on ${\displaystyle X,}$ and ${\displaystyle p}$ is a continuous seminorm (or more generally, a sublinear function) on ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle f\leq p}$ on ${\displaystyle X}$ implies that ${\displaystyle f}$ $[\displaystyle f}$은(는) 연속적이다$$.^[5]

선형 지도의 연속성

$F{\displaystyle }$:${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle p}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$( Y${\displaystyle }$, ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle$ F$:(X,p)\to (Y,q)}$이(가) 세미노밍된 공간 사이의 지도라면 다음과^[14] 같이 하십시오.

$F{\displaystyle }$:${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle p}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$( Y${\displaystyle }$, ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle$ F$:(X,p)\to (Y,q)}$이(가) 세미노름된 공간 사이의 선형 지도라면 다음과 같다.

1. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$은(는) 연속형이며,
2. p ,< ${\displaystyle \F\ _{p,q}<\infully }$^[14];
3. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle \mathrm{Kq}}$ ${\displaystyle p\leq Kq}$과 같은 실제 K $p$ 0 ${\displaystyle p\leq Kq}$이(가) 존재한다$.$^[14]
   • 이 경우 $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ,${\displaystyle q_{}}$q ${\displaystyle K}$. ${\displaystyle$\ F\$_{p,q}\leq$ K$.}$

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $F$$}$이(${\displaystyle 가}$) 연속이면$$ ${\displaystyle \mathrm{q<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; q(F(x))\backslash leq\; \backslash |F\backslash |\_\{p,q\}p(x)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/18542fbbb495572db8551080146f1fd6c958f04b"\; style="vertical-align:\; -1.005ex;\; width:21.504ex;\; height:3.009ex;">}}$${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$)${\displaystyle }q{\displaystyle }$ ${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ p ,${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle q(F(x)\leq \$\{p$,q($x) \{p$,q(x)}$ 모든 x${\displaystyle .}$ ${\displaystystystyle$ x$\in$ X$.}$

The space of all continuous linear maps ${\displaystyle F:(X,p)\to (Y,q)}$ between seminormed spaces is itself a seminormed space under the seminorm ${\displaystyle \ F\ _{p,q}.}$ This seminorm is a norm if ${\displaystyle q}$ is a norm.^[14]

일반화

알헤브라의 구성에서 규범의 개념은 규범의 일반적인 속성을 공유하지 않는다.

합성 대수학$({\displaystyle A}$, ${\displaystyle \ast }$, ${\displaystyle N}$) ${\displaystyle (A,*,N)}$은(는) 필드${\displaystyle }$A$$, {\$displaystyle$ A$,}$ 비자발성${\displaystyle ,}$ ,$${\$displaystyle \,*,}$에 대한 대수학 및 2차 형식 $N{\displaystyle }$, ${\displaystystyle N$으로 구성되며$$, 이를 "n$"$이라고 한다. 여러 경우에서 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$은(는) 이 글에서 논의된 일반적인 표준에 필요한 점의 분리와 반대로, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 적어도 하나의 null 벡터가 있도록$$ 등방성 2차 형태다.

An ultraseminorm or a non-Archimedean seminorm is a seminorm ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ that also satisfies ${\displaystyle p(x+y)\leq \max\{p(x),p(y)\}{\text{ for all }}x,y\in X.}$

하위 가독성 약화: 준조류

A map ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ is called a quasi-seminorm if it is (absolutely) homogeneous and there exists some ${\displaystyle b\leq 1}$ such that ${\displaystyle p(x+y)\leq bp(p(x)+p(y))$${\text{ }x,y\in$ X$.}$ 이 값이 가진$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $b$$}$의 최소값을${\displaystyle }$p . ${\displaystyle$ p$.}$의 승수라고 한다.

점을 구분하는 준조직을 $X{\displaystyle .}$ ${\displaystyle X.}$에서 준조형이라고 한다.

동질성 약화 - $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ - semminorms$$

A map ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ is called a ${\displaystyle k}$-seminorm if it is subadditive and there exists a ${\displaystyle k}$ such that ${\displaystyle 0<k\leq 1}$ and for all ${\displaystyle x\in X}$ and scalars ${\displaystyle s,}$

${\displaystyle p(sx)=s ^{k}p(x)}$

점을 구분하는 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ -seminorm을$$ $X{\displaystyle }$ .${\displaystyle X.}$에서 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ -normal이라고 한다.

우리는 준조류와 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ -조류$$ 사이에 다음과 같은 관계가 있다.

승수 b.{\displaystyle. b이다.}과 벡터 공간 X{X\displaystyle}에 그 q{\displaystyle q}은 quasi-seminorm 만약 0<>k<>로그 2⁡ b{0<,\displaystyle{\sqrt{k}}<>\log _{2}b}다음 k{k\displaystyle}X{\displaysty에 -seminorm p{p\displaystyle}이 존재한다고 가정해 보세요.X}equi 르발렌트에서 $q$까지${\displaystyle .}${\$displaystyle q.}$

See also

• Asymmetric norm – Generalization of the concept of a norm
• Banach space – Normed vector space that is complete
• Finest locally convex topology
• Hahn-Banach theorem
• Gowers norm
• Locally convex topological vector space – A vector space with a topology defined by convex open sets
• Mahalanobis distance
• Matrix norm – Norm on a vector space of matrices
• Minkowski functional
• Norm (mathematics) – Length in a vector space
• Normed vector space – Vector space on which a distance is defined
• Relation of norms and metrics
• Sublinear function

Notes

Proofs

References

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External links

• Sublinear functions
• The sandwich theorem for sublinear and super linear functionals