무조건 수렴

수학, 구체적으로는 기능적 분석에서 시리즈의 모든 재순서가 동일한 값으로 수렴되는 경우 시리즈는 무조건 수렴된다.대조적으로, 연속은 그것이 수렴하지만 다른 순서가 모두 동일한 값으로 수렴되지 않는다면 조건적으로 수렴된다.무조건 수렴은 유한차원 벡터 공간에서 절대 수렴과 동등하지만 무한 차원에서는 약한 특성이다.

정의

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 위상 벡터 공간이 되도록 한다$$.$I{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle I}$을(를$)$ 인덱스 집합으로 하고$$ 모든${\displaystyle i}$에 대해$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i_{}}$$display$ X {\$displaystyle$ x_${i$$}\$$in$ X$}$로 설정$.$

시리즈 $\sum {\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은$($는) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ X ${\displaystyle x\in$ X$}$에 무조건 수렴한다고 한다$$.

• 색인 세트 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle :=}${ I ${\displaystyle \in x_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}}$ ≠${\displaystyle 0}$ 0} ${\displaystyle I_{0}:=\{i\in I\mid x_{i}\neq 0\}}}$은(는) 카운트할 수 있으며,
• 모든 순열(편향) $\sigma {\displaystyle }$: ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}{}_{}}$→ I ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$:$I_{0}\to I_{0}}$ of ${\displaystyle I_{0}=\{i_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ the following relation holds: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{\sigma (i_{k})}=x}$

대체 정의

Unconditional convergence is often defined in an equivalent way: A series is unconditionally convergent if for every sequence ${\displaystyle (\varepsilon _{n})_{n=1}^{\infty }}$, with ${\displaystyle \varepsilon _{n}\in \{-1,+1\}}$, the series

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\nft }\barepsilon _{n}x_{n}}}$

수렴하다

X가 바나흐 공간이라면, 모든 절대 수렴 시리즈는 무조건 수렴하지만, 역 함축은 일반적으로 성립하지 않는다.실제로 X가 무한한 차원의 바나흐 공간이라면, 그렇다면 드보레츠키-로저스 정리에 의해 이 공간에는 항상 절대적으로 수렴되지 않는 무조건적인 수렴 시리즈가 존재한다.그러나 X = R일ⁿ 때, 리만 시리즈 정리에 의해 시리즈$\underset{seriesn}{}$ $x_{}$ x n ${\$는 절대적으로 수렴된 경우에만 무조건 수렴된다$$.

참고 항목

• 절대 수렴 – 무한 연속물의 수렴 모드.
• 수렴 모드(공지지수) – 다양한 수렴 모드의 주석 지수
• 재배열 및 무조건 수렴/Dvoretzky-Rogers 정리 – 무한 계열의 수렴 모드.
• 리만 시리즈 정리 – 무조건 시리즈 수렴 절대

참조

• Ch. Hilly: 기본 이론 프라이머
• Knopp, Konrad (1956). Infinite Sequences and Series. Dover Publications. ISBN 9780486601533.
• Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. Dover Publications. ISBN 9780486661650.
• Wojtaszczyk, P. (1996). Banach spaces for analysts. Cambridge University Press. ISBN 9780521566759.

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath 상의 무조건적인 수렴에서 얻은 자료가 통합되어 있다.