한 분해 정리

In mathematics, the Hahn decomposition theorem, named after the Austrian mathematician Hans Hahn, states that for any measurable space ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ and any signed measure ${\displaystyle \mu }$ defined on the ${\displaystyle \sigma }$-algebra ${\displaystyle \Sigma }$, there exist two ${\displaystyle \mathrm{\Sigma }}$$$$X$ ${\\displaystyle X}$의$$$측정{\displaystyle }$ 가능한$$ 세트, $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $P$$}$ 및$$ N ${\displaystyle$ N$\}.$

1. ${\displaystyle }$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle N}$= ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P\cup N=X}$ 및 P$$${\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ N${\displaystyle }$= ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle P\cap$ N$=\varnothy$
2. For every ${\displaystyle E\in \Sigma }$ such that ${\displaystyle E\subseteq P}$, one has ${\displaystyle \mu (E)\geq 0}$, i.e., ${\displaystyle P}$ is a positive set for ${\displaystyle \mu }$.
3. For every ${\displaystyle E\in \Sigma }$ such that ${\displaystyle E\subseteq N}$, one has ${\displaystyle \mu (E)\leq 0}$, i.e., ${\displaystyle N}$ is a negative set for ${\displaystyle \mu }$.

Moreover, this decomposition is essentially unique, meaning that for any other pair ${\displaystyle (P',N')}$ of ${\displaystyle \Sigma }$-measurable subsets of ${\displaystyle X}$ fulfilling the three conditions above, the symmetric differences ${\displaystyle P\triangle P'}$ and ${\displaystyle N\mathrm{△}{N}^{\prime }}$${\displaystyle N\triangle N'}$은(는) 모든 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle \$$mu }$ -null$$ 집합으로 측정 가능한$$ 부분집합은 0의 측정값을 가지고 있다는 강한 의미에서 $[\displaystyle \$$Sigma }$ -null 집합이다.쌍$({\displaystyle P}$, ${\displaystyle N}$) ${\displaystyle(P,N)}$을(를) 사인 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$$}$의 한 분해라고 한다.

요르단 측정 분해

그 한 분해 정리의 결과는 .mw-parser-output .vanchor>.:)μ+− μ −은 모든 서명한 조치 μ{\displaystyle \mu}Σ{\displaystyle \Sigma}에 정의된 차이가 μ에 독특한 분해되었다고 표시하는 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}Jordan 분해 정리,. 2긍정적인 조치, μ 정도의{\displaystyle \mu=\mu ^{+}-\mu ^{-}}.${\displaystyle \mu ^{+}}$ and ${\displaystyle \mu ^{-}}$, at least one of which is finite, such that ${\displaystyle {\mu ^{+}}(E)=0}$ for every ${\displaystyle \Sigma }$-measurable subset ${\displaystyle E\subseteq N}$ and ${\displaystyle {\mu ^{-}}(E)=0}$ for every ${\displaystyle \Sigma }$-measurable subset ${\displaystyle E\subseteq P}$, for any Hahn decomposition ${\displaystyle (P,N)}$ of ${\displaystyle \mu }$. We call ${\displaystyle \mu ^{+}}$ and ${\displaystyle \mu ^{-}}$ the positive and negative part of ${\displ$각각 $aystyle \mu$쌍$({\displaystyle {}^{}}$+ ,${\displaystyle {}^{}{}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle(\mu ^{+},\mu ^-})$을 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$}의 요르단 분해(또는 때로는 한-조단 분해)라고 한다$$$.$ 두 측정치는 μ {\displaystystyle \mu \mu }로 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\mu ^{+}(E):=\mu(E\cap P)\qquad {\text{and}\qquad {\mu ^-}(E):=-\mu(E\cap N)}$

${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ \ ${\displaystyle E\in \Sigma }$ 및 모든$$$$ 한 분해$({\displaystyle P}$, N${\displaystyle }$) ${\displaystyle (P,N)}$ $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$ $\}.$

요르단 분해는 독특하지만, 한 분해는 본질적으로 유일하다는 점에 유의한다.

요르단 분해는 다음과 같은 골수를 가지고 있다: 요르단 분해$({\displaystyle {}^{}}$+ ,${\displaystyle {}^{}{}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle(\mu ^{+},\mu ^-})$의 유한$$ 서명 측정 $[\displaystyle \mu$ \mu$\}\},$

${\displaystyle {\mu ^{+}}(E)=\sup _{B\in \Sigma ,~B\subseteq E}\mu (B)\quad {\text{and}}\quad {\mu ^{-}}(E)=-\inf _{B\in \Sigma ,~B\subseteq E}\mu (B)}$

for any ${\displaystyle E}$ in ${\displaystyle \Sigma }$. Furthermore, if ${\displaystyle \mu =\nu ^{+}-\nu ^{-}}$ for a pair ${\displaystyle (\nu ^{+},\nu ^{-})}$ of finite non-negative measures on ${\displaystyle X}$, then

${\displaystyle \nu ^{+}\geq \mu ^{+}\mu ^{\text}\note \nu ^{-}\geq \mu ^{-}.}$

마지막 표현은 요르단 분해가 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$을(를) 음이 아닌 측정값의 차이로 최소 분해하는 것임을 의미한다.이것이 요르단 부패의 최소성 특성이다.

요르단 분해의 증거:요르단 측정 분해의 존재, 고유성 및 최소성에 대한 기본적인 증거는 Fischer(2012)를 참조한다.

한 분해 정리 증명

준비:$[\displaystyle \mu }$이(가) -${\displaystyle \mathrm{}}$μ$[\displaystyle -\inflt$} 값을 사용하지$$ 않는다고 가정하십시오($$그렇지 않으면 -${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\mu }).$As mentioned above, a negative set is a set ${\displaystyle A\in \Sigma }$ such that ${\displaystyle \mu (B)\leq 0}$ for every ${\displaystyle \Sigma }$-measurable subset ${\displaystyle B\subseteq A}$.

클레임: ${\displaystyle \mathrm{D}}$ ${\displaystyle \in }$ $∈$ } {\$displaystyle D\$in \$Sigma }}$이($가{\displaystyle }$) μ${\displaystyle (D}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mu(D)\leq 0}$을(를) 만족한다고 가정합시다$.$그 다음 $\mu {\displaystyle (A}$)${\displaystyle \mathrm{\mu \mu }(D)}$ ${\디스플레이$ $스타일$ \mu($A$$)\leq \mu$$($$D)}$과 같은 음의 집합 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$ ${\디스플레이$ 스타일 $\mu(D$)}이 있다$.$

청구에 대한 증거:${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A_{0}:=D}$ 정의$.$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\$에 대해 귀납적으로 가정하여 $A{\displaystyle {}_{}n}$ D ${\displaystyle A_{n}\subseteq D}$가 생성되었다고$$ 가정한다$$.내버려두다

${\displaystyle t_{n}=\sup(\{\mu(B)\mid B\in \sigma ~{\text{and}}}~B\subseteq A_{n}\}}}$

$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 $모든$ $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma}$에 대한$$ $($) ${\displaystyle \$$mu(B)}$의 우월성을 나타낸다$.$이 우월감은 아마도 무한할 것이다.As the empty set ${\displaystyle \varnothing }$ is a possible candidate for ${\displaystyle B}$ in the definition of ${\displaystyle t_{n}}$, and as ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$, we have ${\displaystyle t_{n}\geq 0}$. By the definition of ${\displaystyle t_{n}$$\}\},$ 그러면 만족스러운$$ $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ - 측정$$ 가능한 하위 집합 B ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$이(가) 존재함

${\displaystyle \mu(B_{n})\geq \min \!\왼쪽(1,{\frac{t_{n}}}{2}}\오른쪽).}$

$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle :=A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$를 설정하십시오.$A_{n}\setminus B_{n}}}$를 눌러 유도 단계를 완료하십시오.마지막으로 정의하십시오.

$(\displaystyle A:=D{\Bigg \backslash }\bigcup _{n=0}^{\inful }B_{n}.}$

세트$({\displaystyle {Bn}_{}{}_{}^{}}$)${\displaystyle n_{}^{}}$= ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$은(는) $D{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle D}$의 분리 하위 집합이므로 [감산을$$$$ 사용하지 않는 정당성 필요] 서명된 측정 $\mu {\displaystyle }$ {\$displaystylement \mu}$의 시그마 추가성에서 따온 것이다$.$

${\displaystyle \mu(A)=\mu-\sum _{n=0}^{n=}\mu(B_{n})-\leq \mu(D)-\sum \n=0}^{n=0}^{n=0}\min \(1,{\frc{t_}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{2}}\오른쪽).}$

이것은 $\mu {\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$μ ${\displaystyle \mu \mu }$ ( D${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mu$(A)\$leq \mu$ (D$)}$을(를) 보여준다.$$A {\$displaystyle$ A$}$이(가) 음의 집합이 아니라고$$ 가정한다$.$이는 충족 μ(B)한{\displaystyle B\subseteq A}⊆;0{\displaystyle \mu(B)>0}는Σ{\displaystyle \Sigma}-measurable 부분 집합 B존재하는 것을 의미한다.그리고 tn마다 n에 ∈에 N0(_{0}}, 그래서 시리즈(B){\displaystyle t_{n}\geq \mu(B)}μ ≥.$\mu {\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{(}}$A${\displaystyle )}$= - μ${\displaystyle (A}$$)$ = -$∞(A$) =-\$displaystyle \mu(A)=-\fty$ $\}$ 로 전환해야 하는데$,$ 이는 허용되지 않는다.따라서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) 음수 집합이어야 한다$$.

분해 구성:${\displaystyle {설정\mathrm{}}_{}}$ $N{\displaystyle {}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$∅ ${\displaystyle N_{0}=\varnothing$ $\}.$ 주어진 ${\displaystyle N_{}}$ ${\$ 정의

$\displaystyle s_{n}=\inf(\{\mu(D)\mid D\inn) \Sigma ~{\text{and}}~D\subseteq X_setminus N_{n}\}).}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle N_{}}$의 모든$$$\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle$ \$Sigma }$에 대한$$ $\mu {\displaystyle (D}$ )$${\$displaystyle$$$\$mu(D)}$의 최소값으로 측정$$ 가능한 하위 $집합{\displaystyle }$ D ${\$$displaystyle D${\$displaystystyle X\setminus N_{n$This infimum might a priori be ${\displaystyle -\infty }$. As ${\displaystyle \varnothing }$ is a possible candidate for ${\displaystyle D}$ in the definition of ${\displaystyle s_{n}}$, and as ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$, we have ${\displaystyle s_{n}\leq 0}$.따라서 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ - 측정$$ 가능한 부분 집합 D ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle N_{}}$ ${\$이 있다.

${\displaystyle \mu(D_{n})\leq \max \!\왼쪽({\frac {s_{n}:{2}},-1\오른쪽)\leq 0.}$

By the claim above, there is a negative set ${\displaystyle A_{n}\subseteq D_{n}}$ such that ${\displaystyle \mu (A_{n})\leq \mu (D_{n})}$. Set ${\displaystyle N_{n+1}:$$=N_{n}\컵 A_{n}}}$를 눌러$$ 유도 단계를 완료하십시오.마지막으로 정의하십시오.

${\displaystyle N:=\bigcup _{n=0}^{\\infit }A_{n}.}$

세트$({\displaystyle {An}_{}{}_{}^{}}$)${\displaystyle n_{}^{}}$= ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$은(는) 분리되므로$$, 모든$$ $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle \Sigma}$ - 측정 가능한$$ 서브셋 $B{\displaystyle }$ ${\displaystystyteq$ N$}$이 있다.

${\displaystyle \mu(B)=\sum _{n=0}^{\infit }\mu(B\cap A_{n})}$

$\mu s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$의 시그마 추가성에 의해$.$ $특히{\displaystyle }$ N ${\displaystyle$ N$}$이(가) 음수 집합임을$$ 알 수 있다.다음에:)X∖ N{\displaystyle P:=X\setminus N}. 만약 P{P\displaystyle}은 긍정적인 집합μ(D)<>D⊆ P{\displaystyle D\subseteq P}aΣ{\displaystyle \Sigma}-measurable 부분 집합이 존재할 것;0{\displaystyle \mu(D)<0}P을 규정한다.그리고 n≤ μ(D){\displaystyle s_{n}\leq \mu(D).$모든$$$n ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 및

${\displaystyle \mu(N)=\sum_{n=0}^{\n}\mu(A_{n})\leq \sum _{n=0}^{n=0}^{\n}\max \!\put({\frac {s_{n}}}}{2}},-1\rig)=\ft}=\ft}}}}}=\ft}}}}}}}}}}}=\ft;\ft;}}}}}}}}}}}}}$

$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$에는 허용되지 않으므로 P ${\displaystyle P}$은(는) 양의 집합이다$.$

고유성 설명의 증거:$({\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle (N',P')}$이(가) X$${\$displaystyle$X}의 또 다른 한 분해라고 가정하자$.$ ${\displaystyle {}^{}}$ P${\displaystyle }$n N${\displaystyle {}^{}}${$${\$displaystyle P\cap$ N$'}$은 양수 집합이며 음수 집합이기도 하다.따라서 모든 측정 가능한 부분집합은 측정치가 0이다.$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$에도 같은 내용이$$적용됨.

$[\displaystyle P'\triangle P'=N\triangle N'=(P\cap N')\컵(N\cap P),}$

이것으로 증명할 수 있다.Q.E.D.

참조

• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure -- Third Edition. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2.
• Fischer, Tom (2012). "Existence, uniqueness, and minimality of the Jordan measure decomposition". arXiv:1206.5449 [math.ST].

외부 링크

• 플래닛매트릭스의 한 분해 정리.
• "Hahn decomposition", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 조던의 수학 백과사전 서명된 조치의 분해