외측도

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수학적 측정 이론에서, 외부 측정 또는 외부 측정은 어떤 추가 기술 조건을 만족하는 확장된 실제 숫자의 값으로 주어진 집합의 모든 하위 집합에 정의되는 함수다.외부 측정 이론은 콘스탄틴 캐러테오도리에 의해 처음으로 도입되어 측정 가능한 집합과 부가적인 측정 이론에 대한 추상적인 근거를 제공하였다.^[1][2]카라테오도리의 외부 측정에 관한 연구는 측정이론 집합 이론(예를 들어 외측 측도는 근본적인 카라테오도리의 확장 정리의 증명에서 사용된다)에서 많은 응용을 발견했으며, 하우스도르프가 현재 하우스도르프 차원이라고 불리는 차원 같은 계량 불변제를 정의하기 위해 필수적인 방법으로 사용하였다.외측척은 기하측량 이론 분야에서 흔히 사용된다.

측정은 길이, 면적, 부피의 일반화지만, ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 간격이나 R $3{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ $\$$mathb {R}{3}}$의 공보다 훨씬 추상적이고 불규칙적인 집합에 유용하다$.$ $일반화된{\displaystyle \mathbb{}}$ 측정 함수 ${\$$dis$$}$을 정의하기를 기대할 수 있다.다음 요구 사항을 충족하는$$ 플레이 $스타일 \mathb {R} }$

1. 임의의 리얼 간격 [a, b]에 측정값 b - a가 있다.
2. 측정 함수 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$은(는) $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {$R}$의 모든 하위 집합에 대해 정의된 음수가 아닌 확장된 실제 값 함수다$.$
3. 번역 불변:모든 세트 A와 실제 x에 대해 세트 A와 세트 A+x는 동일한 측정값을 갖는다($여기$서 A${\displaystyle }$+ x${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle \in }$ $}$ {\$displaystyle$A+$x=\{a+x:a\in A$
4. 카운트 가능한 추가성: $R{\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {R}$의 쌍별 분리 하위 집합 시퀀스(A_j)에 대해

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{i=1}^{{i}\right)=\sum _{i=1}^{\inft }\varphi(A_{i}).}$

이러한 요구사항은 양립할 수 없는 조건인 것으로 판명되었다. 측정 불가능한 집합을 참조하십시오.X의 모든 서브셋에 대한 외부측정을 구성하는 목적은 카운트 가능한 부가성 속성을 만족시키는 방법으로 서브셋의 한 종류(측정가능성이라고 함)를 선택하는 것이다.

외부 측정

집합 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ X$,}$을(를) 지정하면 $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ X ${\$ $2$$^{X}$가 빈 집합${\displaystyle }$set을 포함하여$$ $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ X$}$의 모든 하위 집합의 컬렉션을 나타내도록$$ 하십시오$$.$${\$displaystyle$$\varnoth.}$ X$}$의 외부 측정은 집합 함수입니다.

그런

• null 빈 집합: $\mu {\displaystyle (}$μ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mu(\varnothing )=0}$
• countable subadability: $임의{\displaystyle }$ 하위${\displaystyle {}_{}}$ A${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ 2 ,${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle A,B_{1},B_{2},\ldots }$ of$$ $X{\displaystyle }$ ,${\displaystyle X,}$
  $${\displaystyle {\text{{}}A\subseteq \빅컵 _{j=1}^{\infit }{{b_{j}{\dext{}}}:{}}}}}\comput \leq \sum _{j=1}^{\inft.}$$

  

이 정의에서 무한 합계에 대한 미묘함은 없다는 점에 유의하십시오.총합은 모두 음수가 아닌 것으로 가정되기 때문에 부분 합계의 순서는 제한 없이 증가함으로써만 갈릴 수 있었다.따라서 정의에 나타나는 무한의 합은 항상${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle \mathrm{,}}$ ]${\displaystyle ]}$ . ${\displaystyle [0,\fully ]$의 잘 정의된 요소가 될 것이다.$}$ {대신 외부 측정이 음의 값을 취할 수 있도록 허용한다면$$, 비합치적인 무한 금액의 가능성을 고려하여 그 정의를 수정해야 할 것이다.

대체 및 동등한 정의.^[3]할모스(1950년)와 같은 일부 교과서는 $대신{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle$ X$}$에 대한 외측 측정을 함수 $\mu {\displaystyle }$ :${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$→${\displaystyle }$[ $,$∞${\displaystyle \mathrm{}]}$ ${\displaystyle \mu :2^{X}\to$ [$0,\infit ]$로 정의한다$$.

• null 빈 집합: $\mu {\displaystyle (}$μ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mu(\varnothing )=0}$
• $모노톤{\displaystyle }$: A ${\displaystyle A}$ $및{\displaystyle }$ B$$ ${\displaystyle$ $B$$}$이(가) $A{\displaystyle }$⊆ ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle A\subseteq$ B$,}$인 X ${\\displaystyle$ X$}$의 하위 집합인$$ 경우$$ $\mu {\displaystyle (A}$ )$A)${\$displaystymu(B) \leq \mu$)
• 임의 하위 집합의 ${\displaystyle {경우\mathrm{}}_{}{}_{}}$ 1, B ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$… {\$displaystyle B_{1},B_{$2},\$ldots$}${\displaystyle }of$ X$$, {\$displaystyle$ X$,}$
  $$\displaystyle \mu \left(\bigcup _{j=1}^{{j}\right)\leq \sum \{j=1}^{j=1}^{\fty }\mu(B_{j}).}$$

  

등가 증명.

$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이(가) 원래 위에 주어진 의미에서의 외측치라고 가정하자.If ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ are subsets of ${\displaystyle X}$ with ${\displaystyle A\subseteq B,}$ then by appealing to the definition with ${\displaystyle B_{1}=B}$ and ${\displaystyle B_{j}=\varnothing }$ for all ${\displaystyle j\geq 2,}$$\mu {\displaystyle (A}$)${\displaystyle \mu (B}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \mu(A)\leq \mu(B)$ .$}}$ 대안 정의의 세 번째 조건은$$ $\cup {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ j j${\displaystyle {}_{}{j}_{}}$ J j . ${\displaystyle \cup _{j}\subseteq \cup$ \cup$_{j}B_{j}}}$라는 사소한 관찰에서 바로 나타난다.$}$ 대신 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이(가) 대체 정의의 외부 측정치라고 가정합시다.$A{\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$B ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle A,B_{1},B_{2},\ldots }$을(를) $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$의 임의 하위 집합으로$$ 하고 다음과$$ 같이 가정한다. $${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infit }B_{j}.}$$ 그 중 하나가 가지고 있다. $$\displaystyle \mu (A)\leq \leq \left(\빅컵 _{j=1}^{b_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{j=1}^{\infty \mu(B_{j}),}}}$$ 대체 정의의 두 번째 조건으로부터 이어지는 첫 번째 불평등과 대체 정의의 세 번째 조건으로부터 오는 두 번째 불평등.그래서 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은 원래 정의의 의미에서 외측척이다.

외부 측정에 따른 세트의 측정 가능성

X를 외측 μ로 세트로 한다.어떤 사람은 X의 부분집합 E는 만약의 경우, 그리고 단지 다음과 같은 경우에만 μ-measury(때로는 "μ에 상대적인 캐러테오도리-measury-measury-intery)"라고 말한다.

${\displaystyle \mu(A)=\big(}A\cap E{\big )}+\big(}A\setminus E{\big )}}}}$

모든 부분 집합 A의 X에 대해.

비공식적으로, 이것은 μ-측정 가능한 부분집합이 빌딩 블록으로 사용될 수 있는 부분집합이라고 말하고, 다른 부분집합은 조각으로 쪼개진다. (명칭, 측정 가능한 부분집합과 측정 가능한 부분집합물의 바깥쪽에 있는 부분집합은 측정 가능한 부분집합은 측정 가능한 부분집합물의 바깥쪽에 있는 부분집합이다.측정 이론에 대한 동기 측면에서, 예를 들어, 그 영역이 비행기의 외부 측정이어야 한다고 예상할 수 있다.그러면 사람들은 다음과 같은 예상 원칙을 따라 비행기의 모든 부분 집합이 "측정이 가능한" 것으로 간주될 것으로 예상할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {area}(A\컵 B)=\operatorname {area}(A)+\operatorname {area}(B)}$

A와 B가 비행기의 하위 세트를 분리할 때마다그러나 이론의 형식적인 논리적 전개는 상황이 더 복잡하다는 것을 보여준다.선택 공리의 공식적 함축은 사각형 면적에 대한 표준 공식을 포함하는 외부 측정으로서의 면적의 정의에 대해 측정 불가능한 평면의 부분 집합이 있어야 한다는 것이다.특히 선택이라는 공리를 받아들인다면 위의 "기대 원칙"은 거짓이다.

외부 측정과 관련된 측정 공간

위 μ-측정성의 정의를 사용하여 다음과 같은 것을 확인하는 것은 간단하다.

• 만약 A x X가 μ-measurable이라면, 그 보완 X - A ⊂ X도 μ-measurable이다.

다음 조건은 "측정 가능한 하위 집합에 대한 μ의 카운트 가능한 부가성"으로 알려져 있다.

• 만약₁ A, A₂, ...가 X의 μ 측정 가능한 하위 집합이고_i A ∩ A는 내가 empty_j j를 할 때마다 비어 있다면, 그 중 하나는 다음과 같다.

${\displaystyle \mu {\big (}\bigcup _{j=1}^{\infit }A_{j}{\Big )}=\sum _{j=1}^{nothy }\mu(A_{j}).}$

셀 수 있는 부가성의 증거.

하나는 자동적으로 외부 측정의 정의로부터 "결정"의 형태로 결론을 얻는다.그래서 "불평등한" 불평등을 증명하는 것만이 필요하다.가지고 있다 ${\displaystyle \mu {\big (}\bigcup _{j=1}^{\infit }A_{j}{\Big )}\geq \mu {\big(}\bigcup _}\j=1}^{{N}{\Big )}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:}$ 위에 주어진 외부 측정의 "대체 정의"의 두 번째 조건 때문에 모든 양의 숫자 N에 대해.예를 들어(귀납적으로) ${\displaystyle \mu {\big (}\bigcup _{j=1}A_{j}{\Big )}=\sum _{j=1}^{{n-1}\mu(A_{j}})}$ A = A1 = A ∪ ⋅⋅ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ withN with with with with with with with with with with with with with with with withN ${\displaystyle {\begin{aligned}\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}&=\mu \left({\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}\cap A_{N}\right)+\mu \left({\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}\smallsetminus A_{N}\right)\\&=\mu(A_{N})+\mu {\Big (}\Bigcup _{j=1}^{N-1}A_{\Big )}\end{Aligned}}}}}}$ 인덕션을 닫는 거야증거의 첫줄로 돌아가면, 그 다음 한 줄은 ${\displaystyle \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infit }A_{j}{\Big )}\geq \sum _{j=1}^{N}\mu(A_{j}}})}$ 모든 양의 정수 N에 대해.그런 다음 N을 무한대로 보내 필요한 "불평등한" 불평등을 얻을 수 있다.

유사한 증거는 다음을 보여준다.

• A₁, A₂, ...가 X의 μ 측정 가능한 하위 집합이라면, 조합 ∪_{j ∈ ${\displaystyle \mathbb {N} }$} A와_j 교차로 ∩_{j ∈ ${\displaystyle \mathbb {N} }$} A도_j μ 측정 가능하다.

여기에 제시된 속성은 다음과 같은 용어로 요약할 수 있다.

외부 측정 μs가 설정된 X에 있을 경우, X의 모든 μ 측정 가능한 하위 집합의 수집은 μ-알지브라이다.이 μ-알지브라에 대한 μ의 제한은 대책이다.

따라서 하나는 X에 측정 공간 구조를 가지며, X에 대한 외부 측정의 규격에서 자연적으로 발생한다.이 측정 공간은 다음과 같은 설명에 포함된 완전성의 추가 속성을 갖는다.

• μ(A) = 0과 같은 모든 부분집합 A x X는 μ-측정 가능하다.

이것은 외부 측정의 "대안적 정의"에 있는 두 번째 속성을 사용함으로써 증명하기 쉽다.

외부 측정의 제한 및 푸시포워드

μ는 설정된 X에 외측으로 한다.

푸시포워드

또 다른 세트 Y와 지도 f : X→Y가 주어지면, 다음에_# 의해 f μ^Y : 2→[0,10]를 정의한다.

${\displaystyle {\big (}f_{\sharp }\mu {\big )}(A)=\mu {\big (}f^{-1})(A){\big )}.}$

f_# μ가 Y의 외측치임을 정의에서 직접 확인할 수 있다.

제한

B를 X의 부분집합으로 하자.μ_B : 2^X→[0,10] 정의 기준

$\displaystyle \mu _{B}(A)=\mu(A\cap B).}$

X의_B 또 다른 외측치라는 정의에서 직접 확인할 수 있다.

푸시포워드 또는 제한에 따른 세트의 측정 가능성

X의 부분집합 A가 μ 측정 가능한 경우, X의 부분집합 B에 대해서도 μ_B 측정 가능하다.

지도 f : X→Y와 Y의 부분집합 A가 주어진다면 ⁻¹, f(A)가 μ-measurable이면 μ-measurable이다_#.보다 일반적으로 f ⁻¹(A)는 X의 모든 부분집합 B에 대해 A가 f_#(μ_B)인 경우에만 μ-측정 가능하다.

규칙적인 외부 측정

규칙적인 외부 측정의 정의

설정된 X에 따라, X의 외부 측정 μ는 μ-측정 가능한 집합으로 '외부에서' 근사치를 추정할 수 있는 경우 규칙적이라고 한다.공식적으로 이것은 다음의 동등한 조건들 중 하나를 요구한다.

• X의 모든 부분 집합 A와 양수 μ의 경우, A를 포함하고 μ(B) < μ(A) + μ를 포함하는 X의 μ-측정 가능한 부분 집합 B가 존재한다.
• X의 모든 부분 집합 A에 대해, A를 포함하고 μ(B) = μ(A)를 포함하는 X의 μ-측정 가능한 부분 집합 B가 존재한다.

두 번째 조건이 첫 번째 조건을 내포하는 것은 자동이며, 첫 번째 조건은 하위 집합의 최소화된 순서의 교차점을 고려함으로써 두 번째 조건을 내포한다.

외부 측정과 관련된 정기적인 외부 측정

외부 측정 μs의 X에 대해 다음과 같이 , : 2→[0^X,10]

${\displaystyle \nu(A)=\inf {\Big \{}\mu(B):\mu {\text{측정 가능한 하위 집합 }}B\subset X{\text}{{{}}}{{B\supset A{\Big \}}}}}.}$

그 다음 on은 X의 모든 μ 측정 가능한 하위 집합에 μ와 동일한 측정치를 할당하는 X에 대한 규칙적인 외부 측정이다.모든 μ 측정 가능한 부분집합은 μ 측정 가능한 것이며, 유한 μ 측정의 모든 μ 측정 가능한 부분집합도 μ 측정 가능한 것이다.

따라서 ν과 관련된 측정 공간은 μ에 관련된 측정 공간보다 σ-알지브라(σ-algebra)가 더 클 수 있다.작은 σ-알지브라에 대한 ν과 μ의 제한은 동일하다.작은 σ-알지브라에 포함되지 않은 큰 σ-알지브라 원소는 무한 infinite-측정 및 유한 μ-측정값을 갖는다.

이러한 관점에서 ν은 μ의 연장으로 볼 수 있다.

외부 측정 및 위상

(X, d)는 미터법 공간이고 X에 대한 외부 측정값이라고 가정합시다.만약 φ이 다음과 같은 속성을 가지고 있다면

${\displaystyle \varphi(E\cup F)=\varphi(E)+\varphi(F)}$

언제든지

${\displaystyle d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,}$

그 다음에 φ은 미터법 외측량이라고 한다.

정리.X에 대한 미터법 외측값인 경우 X의 모든 보렐 부분집합은 φ 측정 가능하다.(X의 보렐 세트는 오픈 세트에 의해 생성된 가장 작은 σ-알게브라 원소들이다.)

외부대책의 구축

한 세트에 외부 대책을 구성하는 몇 가지 절차가 있다.아래의 고전적인 먼로 참조는 방법 I과 방법 II로 언급되는 두 가지 특히 유용한 것을 설명한다.

방법 I

X를 집합으로 하고, C는 빈 집합을 포함하는 X의 하위 집합과 p는 빈 집합에서 사라지는 C의 비-음극 확장 실질 가치 함수를 집합으로 한다.

정리.C 패밀리 및 p 함수가 위와 같다고 가정하고 정의하십시오.

${\displaystyle \varphi (E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg }\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C{\biggr \}}.}$

즉, 최소는 E를 포함하는 C 요소의 모든 시퀀스 {A_i}에 걸쳐 확장되며, 그러한 시퀀스가 존재하지 않을 경우 최소는 무한하다는 규약을 가지고 있다.그렇다면 φ은 X에 대한 외측척이다.

방법 II

두 번째 기법은 미터법 외측을 산출하기 때문에 미터법 공간에 외측을 구성하는 데 더 적합하다.(X, d)가 메트릭 공간이라고 가정하십시오.위의 C는 빈 세트를 포함하는 X의 하위 집합과 빈 세트에서 사라지는 C의 비 음의 확장 실질 가치 함수를 포함하는 X의 하위 집합이다.각 Δ > 0에 대해 다음과 같이 한다.

${\displaystyle C_{\delta }=\{A\in C:\operatorname {diam}(A)\leq \delta \}}}$

그리고

${\displaystyle \varphi _{\delta }(E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg }\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C_{\delta }{\biggr \}}.}$

Δ가 감소함에 따라 최소치가 소분류에서 차지하는 것이므로 Δ_δ Δ Δ'일 때 when φ_δ'.그러므로

${\delta \lim \delta \rightarrow 0}\varphi _{\delta }(E)=\varphi _{0}(E)\in[0,\infit ]}$

존재하다(무한하다).

정리.φ은₀ X에 대한 미터법 외측이다.

이것은 미터법 공간에 대한 하우스도르프 측정의 정의에 사용되는 구성이다.

참고 항목

• 내측량

메모들

참조

• Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2006). Infinite Dimensional Analysis (3rd ed.). Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag. ISBN 3-540-29586-0.
• Carathéodory, C. (1968) [1918]. Vorlesungen über reelle Funktionen (in German) (3rd ed.). Chelsea Publishing. ISBN 978-0828400381.
• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (2015). Measure theory and fine properties of functions. Revised edition. Textbooks in Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL. pp. xiv+299. ISBN 978-1-4822-4238-6.
• Federer, H. (1996) [1969]. Geometric Measure Theory. Classics in Mathematics (1st ed reprint ed.). Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag. ISBN 978-3540606567.
• Halmos, P. (1978) [1950]. Measure theory. Graduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag. ISBN 978-0387900889.
• Munroe, M. E. (1953). Introduction to Measure and Integration (1st ed.). Addison Wesley. ISBN 978-1124042978.
• Kolmogorov, A. N.; Fomin, S. V. (1970). Introductory Real Analysis. Richard A. Silverman transl. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-61226-0.

외부 링크

• 수학 백과사전 외측도
• 수학 백과사전 캐러테오도리 측정법